Аксиоматическое построение. Основные принципы выведения заключений. Балансовый метод, метод меньших чисел, метод среднего квадратического

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - метод построения научной теории, при котором выбирается ряд исходных утверждений, называемых аксиомами, а дальнейшие утверждения (теоремы) получаются из них с помощью чисто логических рассуждений (доказательств). Классический образец применения аксиоматического метода - изложенная в «Началах» Евклида (около 300 года до нашей эры) аксиоматическая система, которая охватывала всю известную в то время математику. Влияние аксиоматического метода распространилось и на другие области знания: физику, биологию, философию, богословие.

На протяжении многих столетий «Начала» Евклида были единственным примером аксиоматической теории. Начиная с 19 века, создаются новые теории, например Лобачевского геометрия, аксиоматические теории действительных и натуральных чисел. В начале 20 века были построены аксиоматические теории множеств, повлиявшие на развитие всей математики.

Формальное определение аксиоматической теории было дано Д. Гильбертом. При формальном описании теории задаётся её язык (правила построения выражений различных типов, в том числе формул, которые соответствуют содержательным утверждениям), выделяется класс формул, называемых аксиомами теории, и описываются правила вывода, позволяющие строить доказательства теорем. Доказательство есть последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих по одному из правил вывода. Теория называется непротиворечивой, если в ней нельзя получить противоречие, т. е. отрицания её теорем не являются теоремами; и полной, если для любой формулы А, либо А, либо отрицание А является теоремой. При построении формальных теорий вопрос о непротиворечивости является ключевым. Для установления непротиворечивости обычно используется метод интерпретаций. При синтаксической интерпретации теории Т выбирается другая теория Т1, непротиворечивость которой предполагается известной; интерпретация переводит формулы Т в формулы Т1, а теоремы Т в теоремы Т1. При семантической интерпретации строится модель теории: теоремы превращаются в истинные содержательные утверждения об объектах некоторого универсума. Если теория имеет модель, то она непротиворечива. Путём интерпретации доказательство непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к доказательству непротиворечивости теории действительных чисел, а доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского - к доказательству непротиворечивости евклидовой геометрии.

Вопросы о непротиворечивости стали особенно актуальны в начале 20 века после обнаружения парадоксов множеств теории. В связи с этим в начале 20 века Д. Гильбертом выдвинута программа обоснования математики, целью которой было доказательство непротиворечивости формальных теорий, использующих бесконечные множества. Программа Гильберта существенно переосмыслена после открытий К. Гёделя (1931-32). Для любой непротиворечивой теории S, содержащей арифметику и заданной алгоритмически перечислимым списком аксиом, установлено, что теория S неполна (теорема Гёделя о неполноте) и непротиворечивость теории S нельзя доказать средствами самой теории S (теорема Гёделя о непротиворечивости). Первый результат, по существу, означает, что окончательная формализация научного знания невозможна, и в любой достаточно сильной аксиоматической теории имеются проблемы, которые неразрешимы в самой этой теории. Второй результат показывает, что такой проблемой является непротиворечивость теории S, и для её доказательства требуются неарифметические средства. С помощью дополнительных принципов были получены доказательства непротиворечивости арифметики, анализа и ряда других теорий. Была усилена теорема Гёделя о неполноте: найдены арифметические утверждения, которые истинны, но недоказуемы в формальной арифметике.

Формальная аксиоматическая теория называется алгоритмически разрешимой, если для любой формулы А существует алгоритм, который за конечное число шагов определяет, является ли формула А теоремой. Программа Гильберта подразумевала, что формальное доказательство теорем можно механизировать. Однако неразрешима даже простейшая теория - исчисление предикатов, неразрешима всякая непротиворечивая теория, содержащая арифметику, и многие другие теории. С другой стороны, обнаружены и нетривиальные примеры разрешимых теорий, например евклидова геометрия и теория конечных полей.

Альтернативным аксиоматическим методом является генетический (конструктивный) метод, при котором новые научные законы находятся опытным путём, а не как логические следствия известных результатов. Генетический метод развивался в 20 веке в интуиционистском (французский математик Г. Вейль, голландский математик Л. Брауэр) и конструктивном (А. А. Марков) направлениях математики.

Аксиоматический метод сыграл и продолжает играть важную роль в основаниях математики.

Лит.: Бурбаки Н. Начала математики. М., 1965. Ч. 1. Кн. 1: Теория множеств; Клини С. К. Математическая логика. М., 1973; Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973; Ефимов Н.В. Высшая геометрия. 6-е изд. М., 1978; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Теория доказательств. М., 1982; Справочная книга по математической логике: В 3 часть М., 1982; Успенский В. А. Что такое аксиоматический метод? 2-е изд. Ижевск, 2001.

Аксиоматический метод является способом построения научных теорий, которые уже установлены. В основе лежат аргументы, факты, утверждения, не требующие доказательств или опровержения. По сути, это вариант знания представлен в виде дедуктивной структуры, в которую изначально входит логическое обоснование содержания из основоположений - аксиом.

Этот метод не может быть открытием, а является только классифицирующим понятием. Он больше подойдет для преподавания. В основе присутствуют исходные положения, а остальные сведения вытекают как логическое следствие. Где находится аксиоматический метод построения теории? Он лежит в структуре большинства современных и устоявшихся наук.

Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова

Прежде всего, это понятие возникло в Древней Греции благодаря Евклиду. Он стал основоположником аксиоматического метода в геометрии. Сегодня он распространен во всех науках, но более всего в математике. Этот способ формируется на основе устоявшихся утверждений, а последующие теории выводятся путем логического построения.

Это объясняется следующим образом: существуют слова и понятия, которые определяются другими понятиями. В результате исследователи пришли к выводу, что существуют элементарные выводы, обоснованные и являющиеся постоянными - основными, то есть аксиомами. К примеру, доказывая теорему, обычно опираются на факты, которые уже устоявшиеся и не требуют опровержения.

Однако до этого их требовалось обосновать. В процессе получается, что неаргументированное утверждение принимается за аксиому. Опираясь на набор постоянных понятий, доказывают другие теоремы. Они составляют основу планиметрии и являются логическим строением геометрии. Устоявшиеся аксиомы в этой науке определяются как объекты любой природы. Они, в свою очередь, обладают свойствами, которые указаны в постоянных понятиях.

Дальнейшие исследования аксиом

Способ рассматривался как идеальный вплоть до девятнадцатого столетия. Логические средства поиска основных понятий еще в те времена не изучались, но в системе Евклида можно наблюдать структуру получения содержательных последствий из аксиоматического метода. Исследования ученого показали идею о том, как получить полную систему геометрических знаний на основе чисто дедуктивного пути. Им предлагалось сравнительно небольшое количество утвержденных аксиом, которые истинны наглядно.

Заслуги древнегреческих умов

Евклид доказал множество понятий, причем некоторые из них были обоснованы. Однако большинство приписывает эти заслуги Пифагору, Демокриту и Гиппократу. Последний составил полный курс геометрии. Правда, позже в Александрии вышел сборник "Начало", автором которого являлся Евклид. Затем, он был переименован в "Элементарную геометрию". Спустя некоторое время его начали критиковать на основе некоторых причин:

все величины строились только с помощью линейки и циркуля;
геометрия и арифметика были разъединены и доказывались с учетом обоснованных чисел и понятий;
аксиомы, некоторые из них, в частности, пятый постулат, предлагали вычеркнуть из общего списка.

В результате в XIX веке возникает неевклидовая геометрия, в которой отсутствует объективно истинный постулат. Это действие дало толчок для дальнейшего развития геометрической системы. Таким образом, к дедуктивным способам построения пришли математические исследователи.

Развитие математического знания на основе аксиом

Когда начала развиваться новая система геометрии, изменился и аксиоматический метод. В математике стали чаще обращаться к чисто дедуктивному построению теории. В результате в современной числовой логике возникла целая система доказательств, которая является главным разделом всей науки. В математической структуре стали понимать необходимость обоснования.

Так, уже к концу столетия сформировались четкие задачи и построение сложных понятий, которые из сложной теоремы сводились к простейшему логическому утверждению. Таким образом, неевклидовая геометрия стимулировала прочную основу для дальнейшего существования аксиоматического метода, а также для решения проблем общего характера математических конструкций:

непротиворечивости;
полноты;
независимости.

В процессе появился и успешно получил развитие способ интерпретации. Этот метод описывается так: для каждого выходного понятия в теории поставлен математический объект, совокупность которых называется полем. Высказывание об указанных элементах может быть ложным или истинным. В результате утверждения получают названия в зависимости от выводов.

Особенности теории интерпретации

Как правило, поле и свойства также подвергаются рассмотрению в математической системе, и она, в свою очередь, может стать аксиоматической. Интерпретация доказывает утверждения, в которых имеется относительная непротиворечивость. Дополнительным вариантом выступает ряд фактов, при которых теория становится противоречивой.

По сути, условие в ряде случаев выполняется. В результате получается, что, если в высказываниях одного из утверждений присутствуют два ложных или истинных понятия, то оно считается отрицательным или положительным. Таким методом была доказана непротиворечивость геометрии Евклида. При интерпретационном методе можно решить вопрос о независимости систем аксиом. Если нужно опровергнуть какую-либо теорию, то достаточно доказать, что одно из понятий не выводится из другого и ошибочно.

Однако наряду с успешными утверждениями, способ имеет и слабые стороны. Непротиворечивость и независимость систем аксиом решаются как вопросы, которые получают результаты, носящие относительный характер. Единственное важное достижение интерпретации - обнаружение роли арифметики как структуры, в которой вопрос о непротиворечивости сводится к ряду иных наук.

Современное развитие аксиоматической математики

Аксиоматический метод стал развиваться в работе Гилберта. В его школе было уточнено само понятие теории и формальной системы. В результате возникла общая система, а математические объекты стали точными. Кроме того, появилась возможность решить вопросы обоснования. Таким образом, формальная система строится точным классом, в котором находятся подсистемы формул и теорем.

Чтобы построить эту структуру, нужно только руководствоваться техническими удобствами, потому что они не имеют никакой смысловой нагрузки. Они могут быть вписаны знаками, символами. То есть, по сути, сама система строится таким образом, чтобы формальную теорию можно было применять адекватно и в полной мере.

В результате выливается конкретная математическая цель или задача в теорию на основе фактического содержания или дедуктивного умозаключения. Язык числовой науки переводят на формальную систему, в процессе любое конкретное и осмысленное выражение определяется формулой.

Метод формализации

При естественном положении вещей подобный способ сможет решать такие глобальные вопросы, как непротиворечивость, а также строить положительную суть математических теорий по выведенным формулам. Причем в основном все это будет решать формальная система на основе доказанных утверждений. Математические теории постоянно осложнялись обоснованиями, и Гилберт предложил исследовать эту структуру при помощи финитных методов. Но это программа провалилась. Результаты Геделя уже в двадцатом столетии привели к следующим выводам:

естественная непротиворечивость невозможна за счет того, что формализованная арифметика или другая подобная наука из этой системы будет неполной;
появились неразрешимые формулы;
утверждения недоказуемы.

Истинные суждения и разумное финитное доведение считаются формализуемыми. С учетом этого аксиоматический метод имеет определенные и четкие границы и возможности в рамках этой теории.

Результаты развития аксиом в трудах математиков

Несмотря на то что некоторые суждения были опровергнуты и не получили должного развития, способ постоянных понятий играет значительную роль в формировании основ математики. Кроме этого, интерпретация и аксиоматический метод в науке выявили фундаментальные результаты непротиворечивости, независимости утверждений выбора и гипотез во множественной теории.

В решении вопроса непротиворечивости главное применить не только устоявшиеся понятия. Их нужно также дополнить идеями, концепциями и средствами финитного доведения. В данном случае рассматриваются различные взгляды, способы, теории, которые должны учитывать логический смысл и обоснование.

Непротиворечивость формальной системы указывает на подобное доведение арифметики, которая опирается на индукцию, счет, трансфинитное число. В научной области аксиоматизация является важнейшим инструментом, имеющим неопровержимые концепции и утверждения, берущиеся за основу.

Сущность исходных утверждений и их роль в теориях

Оценка аксиоматического метода указывает на то, что в его сущности лежит некая структура. Эту систему строят с выявления основополагающей концепции и фундаментальных утверждений, которые являются неопределяемыми. То же происходит и с теоремами, считающимися исходными и принимающимися без доказательств. В естественных науках за подобные утверждения выступают правила, допущения, законы.

Затем происходит процесс фиксации установленных баз для рассуждений. Как правило, сразу указывается, что из одного положения выводится другое, а в процессе выходят остальные, которые, в сущности, совпадают с дедуктивным методом.

Особенности системы в современности

В составе аксиоматической системы находятся:

логические выводы;
термины и определения;
частично неправильные утверждения и понятия.

В современной науке этот метод утратил абстрактность. В Евклидовой геометрической аксиоматизации в основе лежали интуитивные и истинные положения. И интерпретировалась теория единственным, естественным способом. Сегодня аксиома - это положение, которое само по себе очевидно, а соглашение, причем любое, может выступать как начальное, не требующее обоснования понятие. В результате исходные значения могут быть далекими от наглядности. Этот метод требует творческого подхода, знания взаимосвязей и исходной теории.

Основные принципы выведения заключений

Дедуктивно аксиоматический метод - это научное познание, строящееся по определенной схеме, в основе которой лежат правильно осознанные гипотезы, выводящие утверждения об Подобное умозаключение строится на основе логических структур, путем жесткого выведения. Аксиомы - изначально неопровержимые утверждения, не требующие доказательств.

При дедукции к исходным понятиям применяются определенные требования: непротиворечивости, полноты, независимости. Как показывает практика, первое условие основано на формально-логическом знании. То есть в теории не должны присутствовать значения истинности и ложности, ибо она уже не будет иметь значения и ценности.

Если такое условие не соблюдается, то она считается несовместной и в ней теряется какой-либо смысл, ибо теряется смысловая нагрузка между истиной и ложью. Дедуктивно аксиоматический метод является способом построения и обоснования научного знания.

Практическое применение метода

Аксиоматический метод построения научного знания имеет практическое применение. По сути, этот способ влияет и оказывает глобальное значение на математику, хотя это знание уже достигло своей вершины. Примеры аксиоматического метода следующие:

аффинные плоскости имеют три утверждения и определение;
теория эквивалентности обладает тремя доказательствами;
бинарные отношения подразделяются на систему определений, понятий и дополнительных упражнений.

Если нужно сформулировать исходное значение, то необходимо знать природу множеств и элементов. В сущности, аксиоматический метод лег в основу различных областей науки.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные (»принципы») и требующие доказательства (»доказываемые»). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат «Начала» Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. - требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие «аксиома». Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода - метааксиомы и метатеоремы. К, Геде-лем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как «полуаксиоматический») и методом математической гипотезы. Гипотетико-де-дуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики «во всех мирах»; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.

Новейший философский словарь. - Минск: Книжный Дом . А. А. Грицанов . 1999 .

Смотреть что такое "АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД" в других словарях:

Способ построения науч. теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логич. путём, посредством… … Философская энциклопедия

См. МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, метод математических рассуждений, основанный на логическом выводе из некоторых утверждений (аксиом). Этот метод является одной из основ математической науки: его использовали еще в древней Греции, а формализацию его… … Научно-технический энциклопедический словарь

Современная энциклопедия

Способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории … Большой Энциклопедический словарь

аксиоматический метод - АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) принятое положение способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Аксиоматический метод - АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории (вспомогательные леммы и ключевые теоремы) получаются как… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически… … Философия науки: Словарь основных терминов

Способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. * * * АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ… … Энциклопедический словарь

аксиоматический метод - aksiominis metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. axiomatic method vok. axiomatische Methode, f rus. аксиоматический метод, m pranc. méthode axiomatique, f … Fizikos terminų žodynas

Книги

Множества. Логика. Аксиоматические теории , Роберт Р. Столл. В книге дается элементарное изложение важнейших понятии, идей, методов и результатов теории множеств (включая алгебру операций над множествами), математической логики (элементы логики…

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД –метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться в доказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными из них утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто т.н. постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории , не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения. Аксиоматический метод был впервые продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем. В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимых общих начал доказательства. Понимание аксиом как истин самоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояля , для авторов которой очевидность означает особую способность души осознавать некоторые истины непосредственно (в чистом созерцании, или интуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит от этой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых их семейств (напр., р -адические числа); появление переменных структур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» – все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным при сопоставлении «Начал» Евклида с «Основаниями геометрии» Д.Гильберта – новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в.

К концу того же века Дж.Пеано дал аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщен и на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний , а П. Бернайс – логики предикатов . Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. В последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико-модельным.

Н.Н.Непейвода

Математика - это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.

П.Дирак

Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.

Евклид

1.1 Сущность аксиоматического метода

Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.

Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма - понятие четырехугольника, для четырехугольника - понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.

Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями . Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.

Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.

Аксиома - это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.

К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.

Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А , неА .

Система аксиом называется независимой , если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

Система аксиом называется полной , если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А , либо неА.

Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой .

Теорема - это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.

Пример 2.

Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей».

Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм».

Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод . Сущность его состоит в следующем:

перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);

формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;

предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;

предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.