Значение параметра у в критерии гурвица. Минимаксное решение. Критерий Гурвица. должны быть положительны

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство R n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R n в себя, то есть A:R n → R n .

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ 1 , λ 2 , …, λ m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов , соответствующих различным собственным числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R n . Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

. (*)

(1)
где - матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Пример 12. Линейный оператор A действует в R 3 по закону , где x 1 , x 2 , .., x n - координаты вектора в базисе , , . Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Подставляя λ = -1 в систему, имеем:
или
Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.
Пусть x 1 - свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: , где x 1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x 1 = 1: .
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: .
В пространстве R 3 базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R 3 составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример 13. Дана матрица .
1. Доказать, что вектор является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.
Решение.
1. Если , то - собственный вектор

.
Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор. Собственное число λ = -1.
Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.
Собственные векторы ищем из системы:

Характеристическое уравнение: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:

Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x 1 = x 3 = 0. x 2 здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x 2 = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:
.
Если λ = 1, то получаем систему
Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.
Пусть x 3 - свободное неизвестное. Тогда x 1 = -3x 3 , 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3 , x 2 = -9x 3 .
Полагая x 3 = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

.
Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R 3 . Таким образом, в базисе , , матрица A имеет вид:
.
Не всякую матрицу линейного оператора A:R n → R n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой .
Замечания. 1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.
В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Определение 5.3. Ненулевой вектор х в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора А: L → L, если для некоторого действительного числа А выполняется соотношение Ах = λx. При этом число λ называют собственным значением (собственным числом) линейного оператора А.

Пример 5.3. В линейном пространстве К n [х] многочленов степени не выше n содержатся многочлены нулевой степени, т.е. постоянные функции. Так как dc/dx = 0 = 0 с, многочлены нулевой степени р(х) = с ≠ 0 являются собственными векторами линейного оператора дифференцирования, а число λ = 0 - собственным значением этого оператора. #

Множество всех собственных значений линейного оператора называют спектром линейного оператора . Каждый собственный вектор связан со своим собственным значением. Действительно, если вектор х одновременно удовлетворяет двум равенствам Ах = λx и Ах = μх, то λx = μх, откуда (λ - μ)х = 0. Если λ - μ ≠ 0, умножим равенство на число (λ - μ) -1 и в результате получим, что x = 0. Но это противоречат определению собственного вектора, так как собственный вектор всегда ненулевой.

Каждому собственному значению отвечают свои собствен-ные векторы, причем таких бесконечно много. Действительно, если x - собственный вектор линейного оператора А с собственным значением λ, т.е. Ах = λx, то для любого ненулевого действительного числа α имеем αx ≠ 0 и А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Значит, и вектор αx является для линейного оператора собственным.

Замечание 5.1. Часто говорят о собственных значениях (числах), спектре и собственных векторах квадратной матрицы . При этом имеют в виду следующее. Матрица А порядка n является матрицей некоторого линейного оператора в фиксированном базисе , действующего в n-мерном линейном пространстве . Например, если остановиться на стандартном базисе в линейном арифметическом пространстве R n , то матрица А определяет линейный оператор А, отображающий вектор х ∈ R n со столбцом координат х в вектор со столбцом координат Ах. Матрицей А как раз и является матрица А. Естественно отождествить оператор с его матрицей аналогично тому, как арифметический вектор отождествляется со столбцом своих координат. Такое отождествление, которое часто используется и при этом не всегда оговаривается, позволяет перенести на матрицы "операторные" термины.

Спектр линейного оператора тесно связан с его характеристическим уравнением .

Теорема 5.3. Для того чтобы действительное число λ являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения этого оператора.

◄ Необходимость. Пусть число λ является собственным значением линейного оператора А: L → L. Это значит, что существует вектор x ≠ 0, для которого

Ах = λx. (5.2)

Отметим, что в L действует тождественный оператор I: Ix = x для любого вектора x. Используя этот оператор, преобразуем равенство (5.2): Ах = λIx, или

(А - λI)х = 0. (5.3)

Запишем векторное равенство (5.3) в каком-либо базисе b. Матрицей линейного оператора А - λI будет матрица А - λE, где А - матрица линейного оператора А в базисе b, а Е - еди-ничная матрица, и пусть х - столбец координат собственного вектора x. Тогда х ≠ 0, а векторное равенство (5.3) равносильно матричному

(А - λE)x = 0, (5.4)

которое представляет собой матричную форму записи одно-родной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с квадратной матрицей А - λЕ порядка n. Эта система имеет ненулевое решение, являющееся столбцом координат х собственного вектора x. Поэтому матрица А - λЕ системы (5.4) имеет нулевой определитель , т.е. det(A - λЕ) = 0. А это означает, что λ является корнем характеристического уравнения линейного оператора А.

Достаточность. Легко убедиться, что приведенные рассуждения можно провести в обратном порядке. Если λ является корнем характеристического уравнения, то в заданном базисе b выполняется равенство det (A - λЕ) = 0. Следовательно, матрица однородной СЛАУ (5.4), записанной в матричной форме, вырождена, и система имеет ненулевое решение х. Это ненулевое решение представляет собой набор координат в базисе b некоторого ненулевого вектора x, для которого выполняется векторное равенство (5.3) или ему эквивалентное равенство (5.2) . Мы приходим к выводу, что число λ является собствен-ным значением линейного оператора А.

Каждому собственному значению λ матрицы (линейного оператора) сопоставляют его кратность , полагая ее равной кратности корня λ характеристического уравнения этой матрицы (этого линейного оператора).

Множество всех собственных векторов, отвечающих данно-му собственному значению линейного оператора, не является линейным подпространством , так как это множество не содержит нулевого вектора , который, по определению, не может быть собственным. Но это формальное и легко устранимое препятствие является единственным. Обозначим через £(А, λ) множество всех собственных векторов линейного оператора А в линейном пространстве L, отвечающих собственному значению λ, с добавленным к этому множеству нулевым вектором.

Теорема 5.4. Множество £(А,λ) является линейным подпространством в L.

◄ Выберем произвольные два вектора x,у ∈ £(А, λ) и докажем, что для любых действительных α и β вектор αх + βу также принадлежит £(А, λ). Для этого вычислим образ этого вектора под действием линейного оператора А:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Таким образом, для вектора z = αх + βу выполняется соотношение Az = λz. Если z - нулевой вектор, то он принадлежит £(А,λ). Если же он ненулевой, то, согласно доказанному соотношению, он является собственным с собственным значением λ и опять-таки принадлежит множеству £(А, λ).

Линейное подпространство £(А,λ) иногда называют собственным подпространством линейного оператора * . Оно является частным случаем инвариантного подпространства линейного оператора А - такого линейного подпространства что для любого вектора х ∈ H вектор Ах также принадлежит H.

Инвариантным подпространством линейного оператора яв-ляется также линейная оболочка любой системы его собствен-ных векторов. Инвариантным подпространством линейного оператора, не связанным с его собственными векторами, является образ оператора .

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S . Для этого отображения будем использовать обозначение y=A (x) или y=A x .

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x 1 и x 2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

1. A (x 1 +x 2)=A x 1 +A x 2 .
2. A (λx )=λ A x .

Если пространство S совпадает с пространством R , то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R .

Пусть заданы два векторных пространства n- мерный R и m- мерный S , и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A , отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K , что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x .

Пусть x − произвольный элемент в R . Тогда

где a ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

где x ∈R означает, что x принадлежит пространстве R .

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B . Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e j , тогда:

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R , S и T . Пусть линейный оператор B отображает R в S , а линейный оператор A отображает S в T .

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C , для которого выполняется следующее равенство при любом x из R :

Произведение линейных операторов обозначается C=AB . Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T . Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A , B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A , B , C

Учитывая произвольность х, получим

Таким образом оператор C отображает пространство R в S . Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x , y , z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х , получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ .

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O . Действие нулевого оператора можно записать так:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R Ax =0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A .

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R , для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R .

Образ линейного оператора обозначается символом im A .

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A , т.е.: rang A =dim(im A ).

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - y) и в самом выгодном состоянии с вероятностью y , где y - коэффициент доверия. Если результат h ji - прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так:

W = max[ y max+(1- y)min]

Когда целевая функция представляет затраты (потери), то:

W = min[ y min+(1- y)max]

Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).

Инструкция Для расчета и оформления решения в формате Word и Excel необходимо выбрать

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - y) и y , где 0Пример . Исходные данные:

НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА)

Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком

А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.

Адольф Гурвиц (нем. Adolf Hurwitz ),26 марта 1859 , Хильдесхайм - 18 ноября 1919 , Цюрих - немецкий математик.

Гурвиц поступил в университет Мюнхена в1877 году. Через год он переезжает вБерлин . Заканчивает обучение вЛейпциге (1880 ). Преподавательскую карьеру начал вКёнигсбергском университете , где в1884 году стал профессором. С1892 года профессор Политехнической школы вЦюрихе . Среди его студентов в Цюрихе былиДавид Гильберт иАльберт Эйнштейн .

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА

Чтобы все корни характеристического уравнения АС

a 0 s n +a 1 s n -1 + ...+ a n -1 s + a n = 0 ,

имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a 0 > 0 выполнение условия:

все n определителей Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов

должны быть положительны.

Матрица Гурвица составляется следующим образом:

на главной диагонали записывают коэффициенты характеристического уравнения от a 1 доa n (в порядке возрастания индекса),

в каждом столбце выше возрастающими индексами,

в каждом столбце ниже диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательноубывающими индексами;

на местах коэффициентов с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули.

Определители Гурвица – это так называемые

ДИАГОНАЛЬНЫЕ МИНОРЫ:

;
;; . . .

Последний столбец матрицы содержит всегда только один элемент a n , отличный от нуля, поэтому согласно известному свойству определителей

Если a n = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень - астатическая система),

если
, то - колебательная граница устойчивости (комплексные корни).

Если хотя бы один из определителей Гурвица

отрицателен или равен нулю ,

то система неустойчива.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА

Главное достоинство критерия Гурвица состоит в том, что могут быть записаны формулы , по которым для конкретных порядков АС может быть не только установлена её устойчивость, но и проанализировано влияние параметров АС на это свойство.

Наиболее известно неравенство
для АС 3-го порядка (все коэффициенты ХПАС должны быть одного знака, чаще считают - положительными). Его намного раньше А. Гурвица получил И.А. Вышнеградский.

Для АС 4-го порядка кроме положительности всех коэффициентов ХПАС должно выполняться неравенство . Видно, что неравенство Вышнеградского является составной частью критерия.

Для АС 5-го порядка условия Гурвица имеют вид:
,,
,
. Обратите внимание, что «вычисляемых» неравенств стало теперь два и одно из них - неравенство Вышнеградского, которое входит и во второе условие.

Для АС 6-го порядка аналитический вид неравенств Гурвица таков:

,
,

(первое «вычисляемое» неравенство),

(второе «вычисляемое» неравенство).

При использовании формул, вытекающих из критерия Гурвица для конкретных порядков АС, нужно обращать внимание на форму записи полинома и индексацию его коэффициентов – начиная с 4-го порядка, можно получить неверную оценку устойчивости.

Сложность аналитических выражений точных алгебраических критериев устойчивости привела к разработке простых достаточных критериев устойчивости (А.В. Липатова - Н.И. Соколова, В.С. Воронова и др.).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986. – 248 с.

2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под редакцией В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1978, 512 с.