Виды последовательностей. Как вычислить пределы последовательностей? Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn}

Общий элемент последовательности является функцией от n.

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

{xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции :

1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т. е. mx1, mx2, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4) Частное последовательностей: https://pandia.ru/text/78/342/images/image002_181.gif" width="59" height="27 src=">

т. е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. ограниченной сверху

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу , если для любого n существует такое число М, что

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_113.gif" width="67" height="44 src=">.

Пусть при n > N верно https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_83.gif" width="41" height="41">. Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что https://pandia.ru/text/78/342/images/image011_52.gif" width="76" height="85 src=">

Запишем выражение:

А т. к. e - любое число, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image014_41.gif" width="61" height="27">.

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_33.gif" width="83" height="29"> , т. е. . Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a , то последовательность { xn } ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т. е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {xn}=https://pandia.ru/text/78/342/images/image021_30.gif" width="127" height="41 src=">

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}= https://pandia.ru/text/78/342/images/image023_24.gif" width="143" height="44 src=">, т. к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

Найдем . Найдем разность

Т. к. nÎN, то 1 – 4n <0, т. е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т. к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т. к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,

Отсюда a - e < xn < a + e

E < xn – a < e или ôxn - aô< e, т. е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

Число е.

Рассмотрим последовательность {xn} = .

Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

https://pandia.ru/text/78/342/images/image031_19.gif" width="633" height="93 src="> Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image033_17.gif" width="76" height="56">- монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т. е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image035_15.gif" width="83" height="49"> следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image037_13.gif" width="99" height="41 src=">

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image041_12.gif" width="152" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image043_11.gif" width="484" height="49">

Число е является основанием натурального логарифма.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image045_9.gif" width="202" height="188 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_9.gif" width="253 height=41" height="41">, где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.

Предел функции в точке.

y f(x)

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т. е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image051_7.gif" width="101" height="29 src="> называется пределом функции f(x) в точке х = а справа .

у

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

https://pandia.ru/text/78/342/images/image054_9.gif" width="89" height="29 src=">

Графически можно представить:

y y

Аналогично можно определить пределы https://pandia.ru/text/78/342/images/image065_7.gif" width="92" height="29"> для любого х

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие. https://pandia.ru/text/78/342/images/image070_5.gif" width="135" height="57"> при

Теорема 5. Если f (x )>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g (x ) £ f (x ) £ u (x ) вблизи точки х = а и https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_5.gif" width="53" height="29 src=">.

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï

Теорема 7. Если функция f (x ) имеет конечный предел при х ® а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т. е. , тогда

https://pandia.ru/text/78/342/images/image076_5.gif" width="96" height="27 src=">, т. е.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image078_6.gif" width="84" height="29">.

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т. к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f (x ) при х ® а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f (x ) = A + a (x ),

где a (х) – бесконечно малая при х ® а (a (х) ® 0 при х ® а).

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

https://pandia.ru/text/78/342/images/image080_5.gif" width="185" height="29">, тогда

https://pandia.ru/text/78/342/images/image083_5.gif" width="369" height="29 src=">

Теорема доказана.

Бесконечно большие функции и их связь с

бесконечно малыми.

Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а - число, равен бесконечности , если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D

Записывается https://pandia.ru/text/78/342/images/image085_4.gif" width="100" height="29 src=">

а если заменить на f(x)

Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если https://pandia.ru/text/78/342/images/image088_5.gif" width="100" height="44 src=">

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т. е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка , чем функция b.

Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка .

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми . Записывают a ~ b.

Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image093_5.gif" width="51" height="45 src="> конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой..gif" width="127" height="21">.gif" width="132" height="41">.gif" width="79" height="45 src=">

2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,

3) Если a ~ b, то b ~ a,

4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и или .

Следствие: а) если a ~ a1 и https://pandia.ru/text/78/342/images/image105_5.gif" width="101" height="45 src=">

б) если b ~ b1 и https://pandia.ru/text/78/342/images/image106_5.gif" width="101" height="45 src=">

Свойство 4 особенно важно на практике, т. к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image109_5.gif" width="83" height="44 src=">.

Так как 1 – cosx = при х®0, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image112_5.gif" width="159" height="41">

Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a..gif" width="256" height="44 src=">.

Некоторые замечательные пределы.

Первый замечательный предел. , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image117_5.gif" width="173" height="83 src=">

Пусть X {\displaystyle X} - это либо множество вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } , либо множество комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} } . Тогда последовательность { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} элементов множества X {\displaystyle X} называется числовой последовательностью .

Примеры

Операции над последовательностями

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x n) {\displaystyle (x_{n})} - это последовательность (x n k) {\displaystyle (x_{n_{k}})} , где (n k) {\displaystyle (n_{k})} - возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Предельная точка последовательности - это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом .

Предел последовательности

Предел последовательности - это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел - это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность , последовательность Коши ) - это последовательность элементов метрического пространства , в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Числовые последовательности представляют собой беско­нечные множества чисел. Примерами последовательностей мо­гут служить: последовательность всех членов бесконечной гео­метрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x 1 = 1, х 2 = 1,4, х 3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n -угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последова­тельности.

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., п,... поставлено в соответствие вещественное число x п, то множество вещественных чисел

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , … (2.1)

называется числовой последовательностью, или просто после­довательностью. .

Числа х 1 , x 2 , x 3 , ..., x п, ... будем называть элемента­ми, или членами последовательности (2.1), символ x п - об­щим элементом, или членом последовательности, а число п - его номером. Сокращенно последовательность (2.1) будем обо­значать символом {х п }. Например, символ {1/n } обозначает последовательность чисел

Иными словами, под последовательностью можно понимать бесконечное множество занумерованных элементов или мно­жество пар чисел (п, x п), в которых первое число принимает последовательные значения 1, 2, 3, ... . Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула x п = -1 + (-1) n определяет последовательность 0, 2, 0, 2,... .

Геометрически последовательность изображается на число­вой оси в виде последовательности точек, координаты кото­рых равны соответствующим членам последовательности. На рис. 2.1 изображена последовательность {х п } = {1/n } на чи­словой прямой.

Понятие сходящейся последовательности

Определение 2. Число а называется пределом последова­тельности {x n }, если для любого положительного числа ε су­ществует такой номер N , что при всех п > N выполняется неравенство

Последовательность, имеющая предел, называется сходя­щейся. Если последовательность имеет своим пределом число а , то это записывается так:

Последовательность, не имеющая предела, называется рас­ходящейся.

Определение 3. Последовательность, имеющая своим преде­лом число а = 0, называется бесконечно малой последователь­ностью.

Замечание 1. Пусть последовательность {х п } имеет своим пределом число а . Тогда последовательность {α n }= {x n - a } есть бесконечно малая, т.е. любой элемент x п сходящейся последовательности, имеющей предел а , можно представить в виде

где α n - элемент бесконечно малой последовательности {α n }.

Замечание 2. Неравенство (2.2) эквивалентно неравен­ствам (см. свойство 4 модуля числа из п. 1.5)

Это означает, что при п > N все элементы последователь­ности {x n } находятся в ε-окрестности точки а (рис. 2.2), причем номер N определяется по величине ε.

Интересно дать геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность представляет со­бой бесконечное множество чисел, то если она сходится, в лю­бой ε-окрестности точки а на числовой прямой находится бес­конечное число точек - элементов этой последовательности, тогда как вне ε-окрестности остается конечное число элемен­тов. Поэтому предел последовательности часто называют точ­кой сгущения.

Замечание 3. Неограниченная последовательность не имеет конечного предела. Однако она может иметь бесконеч­ный предел, что записывается в следующем виде:

Если при этом начиная с некоторого номера все члены по­следовательности положительны (отрицательны), то пишут

Если {x n } - бесконечно малая последовательность, то {1/x п } - бесконечно большая последовательность, имеющая бесконечный предел в смысле (2.3), и наоборот.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся последова­тельностей.

Пример 1. Показать, используя определение предела последовательности, что .

Решение. Возьмем любое число ε > 0. Так как

то чтобы выполнялось неравенство (2.2), достаточно решить неравенство 1 / (n + 1) < ε, откуда получаем n > (1 - ε) / ε. Доста­точно принять N = [(1 - ε)/ε] (целая часть числа (1 - ε)/ ε)* , чтобы неравенство |x п - 1| < ε выполнялосьпривсех п > N.

* Символ [a ] означает целую часть числа а , т.е. наибольшее целое число, не превосходящееа . Например, = 2, = 2, = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Пример 2. Показать, что последовательность {х п } = (-1) n , или -1, 1, -1, 1,... не имеет предела.

Решение. Действительно, какое бы число мы ни предпо­ложили в качестве предела: 1 или -1, при ε < 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x п : все элементы с нечетными номерами рав­ны -1, элементы с четными номерами равны 1.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Приведем основные свойства сходящихся последовательнос­тей, которые в курсе высшей математики сформулированы в виде теорем.

1. Если все элементы бесконечно малой последователь­ности {х п } равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {х п } и {у п } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последо­вательностей {x п } и {y п }.

5. Произведение сходящихся последовательностей {х п } и {у п } есть сходящаяся последовательность, предел ко­торой равен произведению пределов последовательностей {х п } и {у п }.

6. Частное двух сходящихся последовательностей {х п } и {у п } при условии, что предел последовательности {у п } отличен от нуля, есть сходящаяся последователь­ность, предел которой равен частному пределов после­довательностей {х п } и {y п }.

7. Если элементы сходящейся последовательности {х n } удовлетворяют неравенству x п ≥ b (х п ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последова­тельности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последователь­ность.

Рассмотрим применение этих свойств на примерах.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При n числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает сущест­вование конечных пределов последовательностей. Преобразу­ем данную последовательность, разделив числитель и знаме­натель на n 2 . Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно на­ходим

Пример 4. x п } = при п .

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, и потому снача­ла необходимо выполнить соответствующие преобразования. Поделив числитель и знаменатель на n , получаем

Поскольку в числителе стоит произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность,то в силу свойства 8 окончательно получаем

Пример 5. Найти предел последовательности {х п } = при п .

Решение. Здесь применить непосредственно теорему о пределе суммы (разности) последовательностей нельзя, так как не существует конечных пределов слагаемых в формуле для {х п }. Умножим и разделим формулу для {х n } на сопряженное выражение :

Число е

Рассмотрим последовательность {х п }, общий член которой выражается формулой

В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает и имеет предел. Этот предел называют числом е . Следовательно, по определе­нию

Число е играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точнос­тью. Отметим здесь, что число е является иррациональным; его приближенное значение равно е = 2,7182818... .

3. Предел числовой последовательности

3.1. Понятие числовой последовательности и функции натурального аргумента

Определение 3.1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x1, x2, x3, ... }.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение {xn }.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c ×{xn } – это последовательность с элементами {c × xn }, то есть

c ×{x1, x2, x3, ... }={c × x1, c × x2, c × x3 , ... }.

2. Сложение и вычитание последовательностей.

{xn }±{yn }={xn ± yn },

или, более подробно,

{x1, x2, x3, ... }±{y1, y2, y3, ... }={x1 ± y1, x2 ± y2, x3 ± y3, ... }.

3. Умножение последовательностей.

{xn }×{yn }={xn × yn }.

4. Деление последовательностей.

{xn }/{yn }={xn/yn }.

Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹ 0.

Определение 3.2. Последовательность {xn } называется ограниченной сверху, если https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height="25 src=">.Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

3.2. Предел последовательности. Бесконечно большая последовательность

Определение 3.3. Число a называется пределом последовательности {xn } при n стремящимся к бесконечности, если

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33">, если .

Говорят, что , если .

Определение 3.4. Последовательность {xn } называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

3.3. Бесконечно малая последовательность.

Определение 3.5. Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если , то есть если .

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Если {xn } – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N , определена последовательность {1/xn }, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn } – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn } есть бесконечно большая последовательность.

3.4. Сходящиеся последовательности.

Определение 3.6. Если существует конечный предел https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Если , то .

3.5. Предельный переход в неравенствах.

Теорема 3.1. Если, начиная с некоторого N , все xn ³ b , то .

Следствие. Если, начиная с некоторого N , все xn ³ yn , то .

Замечание . Заметьте, что если, начиная с некоторого N , все xn > b , то , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.

Теорема 3.2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N , выполнены следующие свойства

1..gif" width="163" height="33 src=">,

то существует .

3.6. Предел монотонной последовательности.

Определение 3.7. Последовательность {xn } называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ³ xn .

Последовательность {xn } называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn .

xn ­.

Определение 3.8. Последовательность {xn } называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 £ xn .

Последовательность {xn } называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn .

Оба этих случая объединяют символом xn ¯.

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {xn } монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn } (inf{xn }).

2 Если последовательность {xn } монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ (-¥).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Она называется подпоследовательностью последовательности {xn }.

Теорема 3.3. Если последовательность {xn } сходится и ее предел равен a , то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если {xn } – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано - Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов – Признак сходимости Больцано-Коши.

Для того, чтобы у последовательности {xn } существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.