Чему равен модуль градиента потенциала. Потенциал

Градиент потенциала

Градиент потенциала Е-grad

Градиент потенциала показывает как меняется потенциал за единицу времени. Градиент перпендикулярен функции и направлен в сторону возрастания функции. Следовательно, вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.

11. Дивергенция электрического поля. Отношение потока к объему V, из которого он вытекает, дает среднюю удельную мощность источников, заключенных в объеме V. В пределе при стремлении V к нулю, выражение даст удельную мощность источников в точке, которую называют дивергенцией вектора v (обозначается div v). Закон Гаусса в дифференциальной форме: .Величину являющуюся пределом отношения к ʌV, при ʌVà0 называют дивергенция поля E (div ). .- дивергенция-скалярная функция координат. Итак - теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. В точках где div >0 – (положительные заряды) источники поля, где - (отрицательные заряды) стоки. Линии выходят из источников и заканчиваются в стоках.

12. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях (момент сил, действующих на диполь; энергия диполя; результирующая сил) Если диполь поместить в однородное эликтрическое поле, образующие диполь заряды +q и –q окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил f1и f2. Эти силы образуют пару, плечо которой равно lsinα т.е. зависит от ориентации диполя относительно поля. Модуль каждой из сил равен qE. Умножив его на плечо, получим величину момента пары сил, действующих на диполь: M=qElsinα=pEsinα, где p- электрический момент диполя. В неоднородном поле силы, действующие на заряды диполя, неодинаковы по величине. При малых размерах диполя силы f1 и f2 можно считать коллинеарными таким образом резултирующая f1 и f2 сил, действующих на диполь будет отлична от нуля. В неоднородном поле на диполь кроме вращательного момента действует сила, под которой диполь будет либо втягиваться в область более сильного поля, либо выталкиваться из нее. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле W=-pEcosα=-pE. Любую систему зарядов можно представить как некий эквивалентный диполь

14. Диполь во внешнем электрическом поле. Электрический диполь с электрическим моментом во внешнем электростатическом поле . В этих условиях он испытывает действие силы , момента и приобретает потенциальную энергию . Рассмотрим диполь во внешнем неоднородном электрическом поле. Обозначим и - напряженность и потенциал в точке, где расположены + и – заряды диполя На диполь действует результирующая сила , - приращение вектора напряженности на отрезке длиной в направлении вектора . - т.к. отрезок мал, где левая часть представлена с точностью до величин второго порядка малости. Тогда . , и в проекции на какое-либо направление : .В однородном поле , так как .

15. Дискретное и непрерывное распределение электрических зарядов. Плотность электрических зарядов. Распределение заряда в пространстве может быть дискретным и непрерывным. При дискретном распределении заряд сконцентрирован в математической точке пространства. При непрерывном распределении различают линейное, поверхностное и объемное распределение заряда. При непрерывном распределении заряда вдоль линии вводится понятие линейной плотности зарядов , где dq – заряд малого участка линии длиной dl. При непрерывном распределении заряда по некоторой поверхности вводится понятие поверхностной плотности зарядов , где dq – заряд малого участка поверхности площадью dS. при непрерывном распределении заряда в каком-либо объеме вводится понятие объемной плотности зарядов , где dq –заряд малого участка объема dV.

16. Диэлектрики с неполярными молекулами в электрическом поле. Поляризованность диэлектрика. Зависимость поляризованности от напряженности поля, температуры. Неполярными диэлектриками называются диэлектрики молекулы которых построены столь симметрично, что в отсутствие внешнего электрического поля их дипольный момент равен нулю (N2, H2, CO2, ....). При внесении неполярного диэлектрика в электрическое поле, молекулы поляризуются, нарушается симметрия расположения их зарядов, и молекулы приобретают дипольный момент. Если поместить диэлектрик во внешнее электрическое поле, то он поляризуется, т. е. получит неравный нулю дипольный момент p V =∑p i , где p i - дипольный момент одной молекулы. Чтобы произвести количественное описание поляризации диэлектрика вводят векторную величину - поляризованность, которая определяется как дипольный момент единицы объема диэлектрика: . Поляризованность диэлектрика прямо пропорциональна напряженности электрического поля

17. Диэлектрики с полярными молекулами в электрическом поле. Зависимость поляризованности от напряженности поля, температуры. Полярными диэлектриками называются диэлектрики молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают некоторым дипольным моментом (SO2, H2O, NH3, ....). При внесении полярного диэлектрика в электрическое поле дипольные моменты молекул также будут изменяться, однако более важное значение будет иметь поворот осей молекул (дипольных моментов) по направлению электрического поля под действие момента сил . Поляризованность диэлектрика прямо пропорциональна напряженности электрического поля.

18. Диэлектрики. Процесс поляризации диэлектриков. Смещение электрических зарядов вещ-ва под действием электрического поля называется поляризацией. Способность к поляризации – основное св-во диэлектриков. Поляризуемость диэлектрика бывает: электронная, ионная и ориентационная (дипольная). За меру поляризации принимается вектор поляризации (поляризуемость) , отношение дипольного электрического момента диэлектрика к его объему . Вектор поляризации – электрический момент единичного объема. , где n-концентрация молекул в единице объема - электрический момент одной силы взятый по нормали.

19. Диэлектрическая восприимчивость вещества. Гистерезис. Диэлектри́ческая восприи́мчивость (или поляризу́емость) вещества - физическая величина, мера способности вещества поляризоваться под действием электрического поля. Диэлектрическая восприимчивость - коэффициент линейной связи между поляризацией диэлектрика P и внешним электрическим полем E в достаточно малых полях: В системе СИ: где - электрическая постоянная; произведение называется в системе СИ абсолютной диэлектрической восприимчивостью. В случае вакуума У диэлектриков, как правило, диэлектрическая восприимчивость положительна. Диэлектрическая восприимчивость является безразмерной величиной. Гистере́зис - свойство систем, мгновенный отклик которых на приложенные к ним воздействия зависит в том числе и от их текущего состояния, а поведение системы на интервале времени во многом определяется её предысторией. Для гистерезиса характерно явление "насыщения", а также неодинаковость траекторий между крайними состояниями (отсюда наличие остроугольной петли на графиках).

20. Диэлектрическая проницаемость. безразмерная физическая величина, характеризующая свойства изолирующей (диэлектрической) среды. Связана с эффектом поляризации диэлектриков под действием электрического поля и, с характеризующей этот эффект, величиной диэлектрической восприимчивости среды. Величина ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в среде меньше, чем в вакууме. Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха и большинства других газов в нормальных условиях близка к единице, в силу их низкой плотности. Для большинства твёрдых или жидких диэлектриков, для статического поля относительная диэлектрическая проницаемость лежит в диапазоне от 2 до 8. Велики её значения для веществ с молекулами, обладающими большим электрическим диполем. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков является одним из основных параметров при разработке электрических конденсаторов. Использование материалов с высокой диэлектрической проницаемостью позволяют существенно снизить физические размеры конденсаторов. Ёмкость конденсаторов определяется: где ε r - диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками, ε о - электрическая постоянная, S - площадь обкладок конденсатора, d - расстояние между обкладками.

21 . Закон Кулона. Принцип суперпозиции.

З-н Кулона-сила взаимодействия 2 точечных неподвижных зарядов в пустоте пропорциональна величине каждого из зарядов. Обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющий эти заряды

где - сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; - величина зарядов; - радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами - ); - коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые - притягиваются).

То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей

22. Записать и сформулировать теорему Гаусса для вакуума. Что означает понятие “поток вектора напряженности”?

З-н Гаусса. Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду

“поток вектора напряженности”-полное число силовых линий проходящих через поверхность S через эту поверхность. поток вектора напряженности E через малую площадку dS есть скалярное произведение векторов E и dS

23. Интегральная зависимость между напряженностью и потенциалом электрического поля. Рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q : dA = q E dl , эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q : dA = - dW п = - q d , где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl . Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d или в декартовой системе координат

E x dx + E y dy + E z dz = -d , (1.8)

где E x , E y , E z - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.

E = - grad = -Ñ .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что

точки расположены бесконечно близко друг к другу и x1 – x2 = dx, равна Exdx. Та же работа равна ϕ 1 ϕ-2 = d ϕ . Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем

найти вектор Е:

где i, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала. Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал ϕ имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для

примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).

15. Расчет разности потенциалов двух точек электростатического поля:

а) поле точечного заряда, равномерно заряженной сферической поверхности;

б) поле равномерно заряженной бесконечной плоскости;

в) поле равномерно заряженной длинной нити (цилиндра).

· Поле точечного заряда, равномерно заряженной сферической поверхности

напряженность поля сферы определяется формулой: (рис. 3.11). А т.к. , то

Если принять r1=r , а r2=∞, то потенциал вне сферической поверхности определяется выражением Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен , так как напряженность поля внутри сферической поверхности равна нулю.

Отсюда имеем

· Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости, найденная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, определяется по формуле , где σ – поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x 1 иx 2 от плоскости, равна
.

· Поле равномерно заряженной длинной нити (цилиндра)

С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что, т.к. , то (рис. 3.9)

(33)

где – линейная плотность заряда.

Тогда, т.к. , отсюда следует разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна:

.

(34)

На рисунке 3.6 изображена зависимость напряженности E и потенциала от r . (Здесь и далее E – изображена сплошной линией, а – пунктирной).

Рисунок 3.9

16. Электрический диполь. Полярные, неполярные и ионные диэлектрики. Сегнетоэлектрики.

Произведение заряда на расстояние между зарядами р=ql называется дипольным моментом . Для полного определения диполя нужно задать еще и ориентацию оси диполя в пространстве. В соответствии с этим дипольный момент следует рассматривать как вектор . Этому вектору приписывают направление от отрицательного заряда к положительному (рис.3.3). Если ввести радиус – вектор проведенный от –q к +q , то дипольный момент можно представить в виде:

Полярные диэлектрики (дипольные) - состоят из полярных молекул, обладающих электрическим моментом. В таких молекулах из-за их асимметричного строения центры масс положительных и отрицательных зарядов не совпадают. При замещении в неполярных полимерах некоторой части водородных атомов другими атомами или не углеводородными радикалами получаются полярные вещества. При определении полярности вещества по химической формуле следует учитывать пространственное строение молекул. К полярным диэлектрикам относятся феноло-формальдегидные и эпоксидные смолы, кремнийорганические соединения, хлорированные углеводороды и др.

Неполярные диэлектрики (нейтральные ) - состоят из неполярных молекул, у которых центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают. Следовательно неполярные молекулы не обладают электрическим моментом и их электрический момент p = q l = 0. Примером практически неполярных диэлектриков, применяемых в качестве электроизоляционных материалов, являются углеводороды, нефтяные электроизоляционные масла, полиэтилен, полистирол и др.

Примеры молекул неполярных и полярных веществ

Ионные соединения представляют собой твердые неорганические диэлектрики с ионным типом химической связи. Для этой группы соединений характерны, кроме электронной, ионная и электронно-релаксационная поляризации. Принято выделять группу диэлектриков с быстрыми видами поляризаций - электронной и ионной, и с замедленными видами поляризаций релаксационного типа, накладывающихся на электронную и ионную поляризацию. К первой группе, в которой наблюдаются только быстрые виды поляризаций, относятся кристаллические вещества с плотной упаковкой ионов. К ним относятся каменная соль, кварц, слюда, корунд, двуокись титана (рутил) и др. Ко второй группе, в которой кристаллические диэлектрики с неплотной упаковкой частиц в решетке имеют также и ионно - релаксационную поляризацию, относятся неорганические стекла, электротехнический фарфор, ситаллы, микалекс и др.

Сегнетоэл ектрики, кристаллические диэлектрики, обладающие в определённом интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий. Электрические свойства С. во многом подобны магнитным свойствам ферромагнетиков (отсюда название ферроэлектрики, принятое в зарубежной литературе). К числу наиболее исследованных и используемых на практике С. относятся титанат бария, сегнетова соль (давшая название всей группе кристаллов), триглицинсульфат, дигидрофосфат калия и др.

17. Поляризация диэлектриков (деформационная, ориентационная, ионная).

Поляризация диэлектриков - явление, связанное с ограниченным смещением связанных зарядов в диэлектрике или поворотом электрических диполей, обычно под воздействием внешнего электрического поля, иногда под действием других внешних сил или спонтанно.

Поляризацию диэлектриков характеризует вектор электрической поляризации. Физический смысл вектора электрической поляризации - это дипольный момент, отнесенный к единице объема диэлектрика. Иногда вектор поляризации коротко называют просто поляризацией.

· Вектор поляризации применим для описания макроскопического состояния поляризации не только обычных диэлектриков, но и сегнетоэлектриков, и, в принципе, любых сред, обладающих сходными свойствами. Он применим не только для описания индуцированной поляризации, но и спонтанной поляризации (у сегнетоэлектриков).

Поляризация - состояние диэлектрика, которое характеризуется наличием электрического дипольного момента у любого (или почти любого) элемента его объема.

Различают поляризацию, наведенную в диэлектрике под действием внешнего электрического поля, и спонтанную (самопроизвольную) поляризацию, которая возникает в сегнетоэлектриках в отсутствие внешнего поля. В некоторых случаях поляризация диэлектрика (сегнетоэлектрика) происходит под действием механических напряжений, сил трения или вследствие изменения температуры.

Поляризация не изменяет суммарного заряда в любом макроскопическом объеме внутри однородного диэлектрика. Однако она сопровождается появлением на его поверхности связанных электрических зарядов с некоторой поверхностной плотностью σ. Эти связанные заряды создают в диэлектрике дополнительное макроскопическое поле c напряжённостью , направленное против внешнего поля с напряжённостью . В результате напряжённость поля внутри диэлектрика будет выражаться равенством:

Деформационная - смещение электронных оболочек атомов под действием внешнего электрического поля. Самая быстрая поляризация (до 10 −15 с). Не связана с потерями.

Дипольная (Ориентационная) - протекает с потерями на преодоление сил связи и внутреннего трения. Связана с ориентацией диполей во внешнем электрическом поле.

Ионная - смещение узлов кристаллической структуры под действием внешнего электрического поля, причем смещение на величину, меньшую, чем величина постоянной решетки. Время протекания 10 −13 с, без потерь.

18. Поляризованность (вектор поляризации).

Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется под действием этого поля. Поляризацией диэлектрика называется процесс приобретения им отличного от нуля макроскопического дипольного момента.

Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, которая называется поляризованостью или вектором поляризации (P). Поляризованность определяется как электрический момент единицы объема диэлектрика,

где N - число молекул в объеме. Поляризованность P часто называют поляризацией, понимая под этим количественную меру этого процесса.

В диэлектриках различают следующие типы поляризации: электронную, ориентационную и решеточную (для ионных кристаллов).

19. Электростатическое поле в диэлектрике. Диэлектрическая восприимчивость. Диэлектрическая проницаемость.

Диэлектрики – электрически нейтральные вещества, состоящие из атомов и молекул, которые можно представить в виде системы электрических зарядов, локализованных на атомах и молекулах. Если в молекуле заменить систему положительных зарядов суммарным зарядом, расположенным в центре тяжести положительных зарядов, а систему отрицательных зарядов суммарным зарядом, расположенным в центре тяжести отрицательных зарядов, то мы можем представить молекулу в виде диполя.
В отсутствие внешнего электрического поля все диэлектрики делятся на три группы:

Помещение диэлектрика в электрическое поле вызывает его поляризацию – возникновение отличного от нуля результирующего дипольного момента p V .


где p i – дипольный момент одной молекулы. Для количественной оценки поляризации диэлектрика используют векторную величину – поляризованность Р

которая для большинства веществ линейно зависит от напряженности внешнего электрического поля

где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества . С увеличением напряженности внешнего поля и уменьшением температуры диэлектрическая восприимчивость возрастает.

Величина
называется электрическим смещением D (электрической индукцией ) и, поскольку вектор поляризации линейно зависит от напряженности внешнего поля, определяется выражением

где
– диэлектрическая проницаемость среды.

20. Электрическое смещение, его связь с поляризованностью.

Электрическое смещение.(Электрическая индукция) векторная величина, равная сумме вектора напряжённости электрического поля и вектора поляризации. .

Его связь с поляризованностью: Электрическое смещение-векторная величина, равная геометрической сумме напряженности электрического поля в рассматриваемой точке, умноженной на электрическую постоянную, и поляризованности в той же точке.

21. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.

(3)

т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности. В такой форме теорема Гаусса верна для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.

Для вакуума D n = ε 0 E n (ε=1), и поток вектора напряженности Е сквозь произвольно выбранную замкнутую поверхность равен

Так как источниками поля Е в среде являются как свободные, так и связанные заряды, то теорему Гаусса для поля Е в самом общем виде можно записать как

где ∑Q i и ∑Q sv - соответственно алгебраические суммы свободных и связанных зарядов, которые охватываются замкнутой поверхностью S. Но эта формула неприменима для описания поля Е в диэлектрике, поскольку она выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды, которые, в свою очередь, определяются им же. Это еще раз показывает целесообразность введения вектора электрического смещения.

22. Проводники в электростатическом поле. Электростатическая индукция.

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действо­вать электростатическое поле, в результа­те чего они начнут перемещаться. Переме­щение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное рас­пределение зарядов, при котором электро­статическое поле внутри проводника обра­щается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. В самом деле, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Итак, напря­женность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Отсутствие поля внутри проводника означает, согласно, что потенциал во всех точках внутри проводника постоя­нен (φ= const), т.е. поверхность провод­ника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда жеследует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направ­лен по нормали к каждой точке его по­верхности. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющейЕ заряды начали бы по поверхности про­водника перемещаться, что, в свою оче­редь, противоречило бы равновесному рас­пределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности про­водника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса, согласно которой заряд Q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном про­извольной замкнутой поверхностью, равен

так как во всех точках внутри поверхности D= 0.

Найдем взаимосвязь между напряжен­ностьюЕ поля вблизи поверхности заря­женного проводника и поверхностной плотностью σзарядов на его поверхности. Для этого применим теорему Гаусса к бес­конечно малому цилиндру с основаниями ▲S, пересекающему границу проводник - диэлектрик. Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора Е (рис. 141). Поток вектора электрического смещения через внутрен­нюю часть цилиндрической поверхности равен нулю, так как внутри проводника (а следовательно, и ) равен нулю, поэтому поток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяет­ся только потоком сквозь наружное осно­вание цилиндра. Согласно теореме Гаусса, этот поток (D▲S) равен сумме за­рядов

(Q =σ▲S),охватываемых поверхностью: D▲S=σ▲S т.е.

Где диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность элек­тростатического поля у поверхности про­водника определяется поверхностной плотностью зарядов. Можно показать, что соотношение задает напряженность электростатического поля вблизи поверх­ности проводника любой формы.

Из рис. 142, б следует, что индуциро­ванные заряды появляются на проводнике вследствие смещения их под действием моля, т. е. σявляется поверхностной плот­ностью смещенных зарядов. По электрическое смещение D вблизи провод­ника численно равно поверхностной плот­ности смещенных зарядов. Поэтому вектор D получил название вектора электрическо­го смещения

Так как в состоянии равновесия внут­ри проводника заряды отсутствуют, то создание внутри него полости не повлияет на конфигурацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости поле будет отсутствовать. Если теперь этот проводник с полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т. е. полость полностью изолирована от влияния внешних электростатических по­лей. На этом основана электростатическая защита-экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника для защи­ты может быть использована густая ме­таллическая сетка, которая, кстати, явля­ется эффективной при наличии не только постоянных, но и переменных электриче­ских полей.

23. Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость конденсатора.

Электрическое поле, подобно гравитационному, является потенциальным. Т.е. работа, выполняемая электростатическими силами, не зависит от того, по какому маршруту заряд q перемещен в электрическом поле из точки 1 в точку 2. Эта работа равна разности потенциальных энергий, которыми обладает перемещаемый заряд в начальной и конечной точках поля:

А 1,2 = W 1 – W 2 . (7)

Можно показать, что потенциальная энергия заряда q прямо пропорциональна величине этого заряда. Поэтому в качестве энергетической характеристики электростатического поля используется отношение потенциальной энергии пробного заряда q 0 , помещенного в какую-либо точку поля, к величине этого заряда:

Эта величина представляет собой количество потенциальной энергии на единицу положительного заряда и называется потенциалом поля в заданной точке. [φ] = Дж / Кл = В (Вольт).

Если принять, что при удалении заряда q 0 в бесконечность (r→ ∞) его потенциальная энергия в поле заряда q обращается в нуль, то потенциал поля точечного заряда q на расстоянии r от него:

. (9)

Если поле создаётся системой точечных зарядов, то потенциал результирующего поля равен алгебраической (с учётом знаков) сумме потенциалов каждого из них:

. (10)

Из определения потенциала (8) и выражения (7) работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда из

точки 1 в точку 2, может быть представлена как:

Напряжённость как градиент потенциала

Найдем взаимосвязь между напряженностью Е электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом φ – энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению точечного, положительного заряда q вдоль произвольного направления х из точки 1 в бесконечно близкую к ней точку 2, х 2 – х 1 = dх , будет равна: А 1,2 = q· Е х ∙dх или через потенциал: А 1,2 = q(φ 1 – φ 2) = - q ·dφ. Откуда:

, (12)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус. Это означает, что направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями – поверхность, во всех точках которой потенциал φ имеет одно и то же значение. Для точечных зарядов в однородной среде, например, эти поверхности представляют собой сферы (рис.133а Трофимова, стр139).

Для любой точки поля линии напряженности всегда направлены по нормали к эквипотенциальным поверхностям. (рис.133б Трофимова, стр139).

Э л е к т р и ч е с к и й д и п о л ь

Электрический диполь – система двух равных по величине разноименных точечных зарядов +q и -q, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя . Вектор , направленный от отрицательного заряда к положительному и равный по модулю расстоянию между ними, называетсяплечом диполя . Вектор ,

, (13)

называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом .

Определим потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке M на расстоянии r от середины диполя. Потенциал поля в точке М:

Учитывая, что l ‹‹ r, r + ≈ r - = r и r - – r + ≈ l cos(π-θ), окончательно для φ получим:

. (15)

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля диполя
. Вывод формулы для модуля напряженности поля диполя более сложен. Запишем эту формулу без вывода:

(16)

Понятие градиента потенциала позволяет рассчитать составляющие E x , E y , E z вектора электрического поля в каждой точке пространства по значениям поля потенциала.

Как функция координат потенциал U(x,y,z) является полем скалярной величины U . В этом поле имеются поверхности, на которых значения потенциала U не меняются, т.е. являются постоянными величинами. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Так как между отдельными точками эквипотенциальной поверхности нет разности потенциалов, то очевидно работа сил поля при перемещении зарядов вдоль такой поверхности будет равна нулю. Это означает, что проекции сил поля на эту поверхность будут равны нулю. Следовательно, в каждой точке эквипотенциальной поверхности силовые линии электростатического поля расположены по отношению к ней перпендикулярно, рис. 3.3.

а) б)

Рис. 3.3. Эквипотенциальные поверхности (a), к определению градиента и
производной по направлению (б)

Градиентом потенциала в точке А(x,y,z) назовем производную функции U по линии, направленной в точке А вдоль вектора нормали :

Градиент потенциала – это вектор, направленный в каждой точке перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, т.е. в направлении вектора напряженности поля .

По абсолютной величине градиент потенциала равен скорости изменения потенциала в направлении . Из рис. 3.3 видно, что

.

. (3.9)

Функцию называют производной по направлению.

Из этого выражения видно, что производная по любому направлению, отличному от направления нормали, меньше по абсолютному значению производной по направлению нормали. Таким образом, градиент – это векторная величина, которая соответствует направлению наиболее быстрого изменению потенциала. Производная в направлении нормали имеет наибольшее значение. Это хорошо видно на рис. 3.3 б, где показана бесконечно малая окрестность точки А. В этой окрестности эквипотенциальные поверхности и практически параллельны и изменения потенциала на интервалах и одинаковы. Следовательно,

Найдем теперь производные потенциала в точке А по направлению каждой из координатных осей x, y и z :

, ,

.

Видно, что эти производные являются проекциями градиента (как векторной величины) по оси x, y, z , т.е.

, , .

По абсолютной величине

. (3.11)

На основании формул (3.2 -3.4)

. (3.12)

Таким образом, установлен очень важный факт, заключающийся в том, что напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком. Расписывая это выражение по координатам, находим, что

. (3.14)

На основании (3.2), учитывая, что , получим:

С учетом (3.12) также получим:

, (3.16)

. (3.17)

Последнее уравнение называют уравнением Пуассона. В развернутом виде

. (3.18)

Если в исследуемом объеме отсутствуют заряды, то

, (3.19)

. (3.20)

Это уравнение называют уравнением Лапласа.

Полученные уравнения позволяют решить следующую очень важную задачу. Как, зная распределение зарядов в некоторой области определить напряженности полей E x , E y , E z в каждой точке пространства с координатами x, y, z . Из анализа выражения (3.15) следует, что решить непосредственно уравнение

относительно трех неизвестных E x , E y , E z нельзя.

Однако можно решить дифференциальные уравнения в частных производных Пуассона относительно одной неизвестной – потенциала U , а затем найти составляющие поля из уравнения (3.12). Что касается уравнения Лапласа, то, казалось бы, что при отсутствии зарядов его нет смысла рассматривать. Однако его решения очень важны тогда, когда можно задать граничные условия. В этом случае оно дает единственное решение для свободного пространства, если заданы значения полей на некоторой границе.

).
Рис. 1.16 :
Работа при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2 равна E x d x . Та же работа равна ϕ 1 − ϕ 2 = − d ϕ . Приравнивая оба выражения, получим d ϕ = − e x d x . Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z . В результате находим все три компоненты вектора E → :

Можно дать инвариантное определение градиента, которое будет верно в произвольной криволинейной системе координат. Градиент функции ϕ (r →) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания функции, а его длина равна производной функции в том же направлении. Чтобы пояснить смысл такого определения, проведем из произвольной точки r → в каком-либо направлении единичный вектор s → . Проекция вектора A → ≡ grad ϕ на это направление есть A s = s → ⋅ A → = s → ⋅ grad ϕ . Но та же величина равна производной A s = ∂ ϕ ∕ ∂ s функции ϕ по направлению s → . В этом легко убедиться, проведя координатную ось в направлении вектора s → и повторив рассуждения начала параграфа. Таким образом,

∂ ϕ ∂ s = s → ⋅ grad ϕ .

Производная функции в каком-либо направлении равна проекции градиента этой функции на то же направление. Ясно, что эта производная максимальна, когда это направление совпадает с направлением градиента.

▸ Задача 8.1

Вычислить ковариантные и контравариантные компоненты толя точечного заряда в произвольной криволинейной системе координат. Выразить физические компоненты толя точечного заряда в произвольной ортогональной системе координат через коэффициенты Ламэ.

Решение: Пусть x j — контравариантные координаты. Ковариантые компоненты E j = − ∂ ϕ ∕ ∂ x j вектора E → в этой системе координат находим по формуле

E j = − ∂ ∂ x j q r = q r 2 ∂ r ∂ x j .

Контравариантные компоненты E j находим по формуле

E j = g j k E k ,

гдепо паре повторяющихся индексов подразумевается суммирование. Напомним, что

G j k = ∂ r → ∂ x j ⋅ ∂ r → ∂ x k

есть метрический тензор, через который выражается элемент длины:

(d r →) 2 = g j k d x j d x k .

Тензор g j k является обратным к нему:

G j k g k l = δ l j .

В ортогональной системе координат элемент длины выражается через коэффициенты Ламэ:

(d r →) 2 = (h 1 d x 1) 2 + (h 2 d x 2) 2 + (h 3 d x 3) 2 ,

а метрический тензор диагонален:

G j k = h 1 2 0 0 0 h 2 2 0 0 0 h 3 2 .

Обратный ему тензор также диагонален:

G j k = (g j k) − 1 = 1 ∕ h 1 2 0 0 0 1 ∕ h 2 2 0 0 0 1 ∕ h 3 2 .

Физические компоненты векторов определены в ортогональной системе координат, как среднее геометрическое произведения ковариантных и контравариантных компонент:

E h 1 = E 1 E 1 = E 1 ∕ h 1 , E h 2 = E 2 E 2 = E 2 ∕ h 2 , E h 3 = E 3 E 3 = E 3 ∕ h 3 . ▸ Задача 8.2

Записать толе точечного заряда в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение: В сферической системе координат (r , θ , α) с центром в месте нахождения заряда отлична от нуля только первая ковариантная компонента вектора поля: E 1 = q ∕ r 2 , так как ϕ = q ∕ r не зависит от θ и α . Из всех коэффициентов Ламэ ( h 1 = 1 , h 2 = r , h 3 = r sin θ ) именно h 1 равен 1, поэтому ковариантная, контравариантная и физическая компоненты все равны друг другу: E 1 = E 1 = E r = q ∕ r 2 .

В цилиндрической системе координат (ρ , α , z) также с центром в месте нахождения заряда имеем: h 1 = 1 , h 2 = ρ , h 3 = 1 , r = ρ 2 + z 2 . Дифференцируя ϕ = q ∕ r , вычисляем ковариантные компоненты поля, и затем вновь приходим к выводу, что соответствующие ковариантная, контравариантная и физическая компоненты все равны: E ρ = (q ∕ r 2) (ρ ∕ r) , E α = 0 , E z = (q ∕ r 2) (z ∕ r) .