Эквипотенциальные линии и поверхности поля. Определение расположения эквипотенциален и построение силовых линий электрических полей

Эквипотенциальная поверхность эквипотенциа́льная пове́рхность

поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал. Эквипотенциальная поверхность ортогональна силовым линиям поля. Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью.

ЭКВИПОТЕНЦИА́ЛЬНАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ, поверхность, во всех точках которой потенциал (см. ПОТЕНЦИАЛ (в физике)) электрического поля имеет одинаковое значение j= const. На плоскости эти поверхности представляют собой эквипотенциальные линии поля. Используются для графического изображения распределения потенциала.
Эквипотенциальные поверхности замкнуты и не пересекаются. Изображение эквипотенциальных поверхностей осуществляют таким образом, чтобы разности потенциалов между соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. В этом случае в тех участках, где линии эквипотенциальных поверхностей расположены гуще, больше напряженность поля.
Между двумя любыми точками на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю. Это означает, что вектор силы в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности (см. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ) электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности. Другими словами: эквипотенциальная поверхность ортогональна к силовым линиям (см. СИЛОВЫЕ ЛИНИИ) поля, а вектор напряженности электрического поля Е всегда перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и всегда направлен в сторону убывания потенциала. Работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю, так как?j = 0.
Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности. Поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной поверхностью.

Энциклопедический словарь . 2009 .

Смотреть что такое "эквипотенциальная поверхность" в других словарях:

Поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал. Эквипотенциальная Поверхность ортогональна к силовым линиям поля. Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью … Большой Энциклопедический словарь

Поверхность, все точки к рой имеют один и тот же потенциал. Напр., поверхность проводника в электростатике Э. п. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 … Физическая энциклопедия

эквипотенциальная поверхность - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN surface of equal potentialsequal energy surfaceequipotential… … Справочник технического переводчика

Эквипотенциальные поверхности электрического диполя (изображены тёмным их сечения плоскостью рисунка; цветом условно передано значение потенциала в разных точках наиболее высокие значения пурпурным и красным, н … Википедия

эквипотенциальная поверхность - vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. equipotential surface vok. Äquipotentialfläche, f rus. эквипотенциальная поверхность, f pranc. surface de potentiel constant, f; surface d’égal potentiel, f; surface… … Fizikos terminų žodynas

Поверхность равного потенциала, поверхность, все точки которой имеют один и тот же Потенциал. Например, поверхность проводника в электростатике Э. п. В силовом поле Силовые линии нормальны (перпендикулярны) к Э. п … Большая советская энциклопедия

- (от лат. aequus равный и потенциал) геом. место точек в поле, к рым соответствует одно и то же значение потенциала. Э. п. перпендикулярны силовым линиям. Эквипотенциальной является, напр., поверхность проводника, находящегося в электростатич.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Для более наглядного графического изображения полей, кроме линий напряжённости, используют поверхности равного потенциала или эквипотенциальные поверхности. Как следует из названия, эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция x, y, z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

Линии напряжённости поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Докажем это утверждение.

Пусть линия и силовая линия составляют некоторый угол (рис.1.5).

Переместим из точки 1 в точку 2 вдоль линии пробный заряд . При этом силы поля совершают работу:

. (1.5)

То есть работа перемещения пробного заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. Эту же работу можно определить и другим способом – как произведение заряда на модуль напряженности поля, действующего на пробный заряд, на величину перемещения и на косинус угла между вектором и вектором перемещения , т.е. косинус угла (см.рис.1.5):

.

Величина работы не зависит от способа её подсчёта, согласно (1.5) она равна нулю. Отсюда вытекает, что и, соответственно, , что и требовалось доказать.

Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено бесконечное множество. Условились, однако, проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряжённости поля. Действительно, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности.

На рис.1.6,а показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для поля точечного заряда. В соответствии с характером изменения эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. На рис.1.6,б изображены эквипотенциальные поверхности и линии напряжённости для поля диполя. Из рис.1.6 видно, что при одновременном использовании эквипотенциальных поверхностей и линий напряжённости картина поля получается особенно наглядной.

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности, очевидно, представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению напряжённости поля.

1.8. Связь между напряжённостью поля и потенциалом

(градиент потенциала)

Пусть имеется произвольное электростатическое поле. В этом поле проведём две эквипотенциальные поверхности таким образом, что они отличаются одна от другой потенциалом на величину dφ (рис. 1.7)

Вектор напряжённости направлен по нормали к поверхности . Направление нормали совпадает с направлением оси x. Ось x , проведённая из точки 1, пересекает поверхность в точке 2.

Отрезок dx представляет собой кратчайшее расстояние между точками 1 и 2. Работа, совершаемая при перемещении заряда вдоль этого отрезка:

С другой стороны, эту же работу можно записать как:

Приравнивая эти два выражения, получаем:

где символ частной производной подчёркивает, что дифференцирование производиться только по x . Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z , можем найти вектор :

, (1.7)

где – единичные векторы координатных осей x, y, z.

Вектор, определяемый выражением (1.7), называется градиентом скаляра φ . Для него наряду с обозначением применяется также обозначение . («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона

Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.

Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, проведенная таким образом, что касательная к ней в любой точке поля дает направление напряженности в этой точке.

Силовые линии замыкаются на положительных и отрицательных зарядах и не могут замыкаться сами на себя.

Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал ().

Если рассечь электростатическое поле секущей плоскостью, то в сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Эти следы называют эквипотенциальными линиями.

Эквипотенциальные линии являются замкнутыми сами на себя.

Силовые линии и эквипотенциальные линии пересекаются под прямым углом.

Р
ассмотрим эквипотенциальную поверхность:

(так как точки лежат на эквипотенциальной поверхности).

– скалярное произведение

Линии напряженности электростатического поля пронизывают эквипотенциальную поверхность под углом 90 0 , тогда угол между векторами
равен 90 градусам, а их скалярное произведение равно 0.

Уравнение эквипотенциальной линии

Рассмотрим силовую линию:

Н
апряженность электростатического поля направлена по касательной к силовой линии (см. определение силовой линии), также направлен и элемент пути, поэтому угол между этими двумя векторами равен нулю.

или

Уравнение силовой линии

Градиент потенциала

Градиент потенциала – это скорость возрастания потенциала в направлении кротчайшем между двумя точками.

Между двумя точками имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученное значение будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками.

Градиент потенциала показывает направление наибольшего возрастания потенциала, численно равен модулю напряженности и отрицательно направлен по отношению к нему.

В определении градиента существенны два положения:

Направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения была максимальной.

Направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает.

Для декартовой системы координат:

Скорость изменения потенциала в направлении оси Х, Y, Z:

;
;

Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их проекции. Проекция вектора напряженности на ось Х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси Х , взятой с обратным знаком. Аналогично для осей Y и Z .

;
;
.

В цилиндрической системе координат выражение градиента потенциала будет иметь следующий вид.