Сферическая поверхность вращения. Поверхности и тела вращения. Поверхности вращения. К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении лю-

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор.определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали hэтой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h 4 .

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному

меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 105, б). Открытый тор называется еще кольцом.

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. 97, 98). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис. 104, б). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. 104, а), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходит через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

Поверхности вращения и ограничиваемые ими тела имеют весьма широкое применение во всех областях техники. В качестве примеров на рис. 8.11 показаны баллон электронно-лучевой трубки (а), сосуд Дьюара для хранения жидкого воздуха (б), центр токарного станка (в), коллектор электронов мощного электронно-лучевого прибора (г),

объемный сверхвысокочастотный резонатор электромагнитных колебаний (∂).

В зависимости от вида образующей поверхности вращения могут быть линейчатыми, нелинейчатыми или состоять из частей таких поверхностей.

Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии вокруг неподвижной прямой – оси поверхности. На чертежах ось изображают штрихпунктирной линией. Образующаяся линия может в общем случае иметь как криволинейные, так и прямолинейные участки. Поверхность вращения на чертеже можно задать образующей и положением оси. На рис. 8.12 изображена поверхность вращения, которая образована вращением образующей ABCD (ее фронтальная проекция А "В"CD") вокруг оси OO1 (фронтальная проекция О"О"), перпендикулярной плоскости π,. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно линия пересечения поверхности вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями. На виде сверху (рис. 8.12) показаны проекции окружностей, описываемых точками А, В, С, D, проходящие через проекции А", В",С, D". Наибольшую параллель из двух соседних с нею параллелей по обе стороны от нее называют экватором, аналогично наименьшую – горлом.

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридианальной, линию ее пересечения с поверхностью вращения – меридианом. Если ось поверхности параллельна плоскости проекций, то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной этой плоскости проекций, называют главным меридианом. На эту плоскость проекций главный меридиан проецируется без искажений. Так, если ось поверхности вращения параллельна плоскости π2, то главный меридиан проецируется на плоскость π 2 без искажений. Если ось поверхности вращении перпендикулярна плоскости π, то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности.

Наиболее удобным для выполнения изображений поверхностей вращения являются случаи, когда их оси перпендикулярны плоскости Jt1, плоскости π2 или плоскости π3.

Некоторые поверхности вращения являются частными случаями поверхностей, рассмотренных в § 8.1, например цилиндр вращения, конус вращения . Для цилиндра и конуса вращения меридианами являются прямые линии. Они параллельны оси и равноудалены от нее для цилиндра или пересекают ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси для конуса. Цилиндр и конус вращения – поверхности, бесконечные в направлении их образующих, поэтому на изображениях их ограничивают какими-либо линиями, например линиями пересечения этих поверхностей с плоскостями проекций или какими-либо из параллелей. Из стереометрии известно, что прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными оси поверхности. Меридиан такого цилиндра – прямоугольник, конуса – треугольник.

Такая поверхность вращения, как сфера , является ограниченной и может быть изображена на чертеже полностью. Экватор и меридианы сферы – равные между собой окружности. При ортогональном проецировании на все три плоскости проекций сфера проецируется в круги.

Тор . При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность, называемая тором. На рис. 8.13 приведены:

а – открытый тор или круговое кольцо; б – закрытый тор; в, г – самопересекающийся тор. Тор вида г называют также лимоновидным. На рис. 8.13 они изображены в положении, когда ось тора перпендикулярна плоскости проекций π1. В открытый и закрытый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.

В построениях на чертежах широко используют две системы круговых сечений тора: в плоскостях, перпендикулярных его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора. При этом в плоскостях, перпендикулярных оси тора, в свою очередь имеются два семейства окружностей – линий пересечения плоскостей с наружной поверхностью тора и линий пересечения плоскостей с внутренней поверхностью тора. У лимоновидного тора (рис. 8.13, г) имеется только первое семейство окружностей.

Точки на поверхности вращения. Положение точки на поверхности вращения определяют с помощью окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. В случае линейчатых поверхностей для этой цели возможно применение и прямолинейных образующих.

Применение параллели и прямолинейной образующей для построения проекций точек, принадлежащих данной поверхности вращения, показано на рис. 8.12. Если дана проекция М", то проводят фронтальную проекцию параллели, а затем радиусом проводят окружность – горизонтальную проекцию параллели – и на ней находят проекцию M". M ", то следовало бы провести радиусом

окружность, по точке F" построить F" и провести – фронтальную проекцию параллели и на ней в проекционной связи отметить точку М". Если дана проекция N" на линейчатом (коническом) участке поверхности вращения, то проводят фронтальную проекцию D"G" очерковой образующей и через проекцию N" фронтальную проекцию G "К" образующей на поверхности конуса. Затем на горизонтальной проекции G"K" этой образующей строят проекцию N". Если бы была задана горизонтальная проекция N", то следовало бы провести через нее горизонтальную проекцию G "K" образующей, по проекциям К " и G" (построение ее было рассмотрено выше) построить фронтальную проекцию G "К" и на ней в проекционной связи отметить проекцию N".

На рис. 8.14 показано построение проекций точки К, принадлежащей поверхности тора. Стрелками указано построение горизонтальной проекции К " по заданной фронтальной проекции К ". Если задана горизонтальная проекция, то построение выполняют в обратном порядке.

На рис. 8.15 показано построение по заданной фронтальной проекции M" точки на поверхности сферы ее горизонтальной M" и профильной M проекций. Проекция M" построена с помощью окружности – параллели, проходящей через M". Ее радиус – ОТ. Проекция M"" построена с помощью окружности, плоскость которой па

раллельна профильной плоскости проекций, проходящей через проекцию М". Ее радиус – О ""2

Построение проекций линий на поверхностях вращения может быть выполнено также с помощью окружностей – параллелей, проходящих через точки, принадлежащие этой линии.

На рис. 8.16 показано построение горизонтальной проекции А "В" линии, заданной фронтальной проекцией А "В" на поверхности вращения, состоящей из частей поверхностей сферы, тора, конической. Для более точного вычерчивания горизонтальной проекции линии продолжим ее фронтальную проекцию вверх и вниз и отметим проекции 6" и 5 " крайних точек. Горизонтальные проекции 6 ", Г,3",4",5" построены с помощью линий связи. Проекции В", 2", 7", 8", А " построены с помощью параллелей, фронтальные проекции которых проходят через проекции /?",2", 7", 8", А "этихточек. Количество и расположение промежуточных точек выбирают исходя из формы линии и требуемой точности построения. Горизонтальная проекция линии состоит из участков: В"–Г – части эллипса, 3 "8 "А "4 части другого эллипса, 1 "2"7"3"– кривой четвертого порядка (проекция кривой на поверхности тора).

\[{\Large{\text{Цилиндр}}}\]

Рассмотрим окружность \(C\) с центром \(O\) радиуса \(R\) на плоскости \(\alpha\) . Через каждую точку окружности \(C\) проведем прямую перпендикулярно плоскости \(\alpha\) . Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью .
Сами прямые называются образующими данной поверхности.

Проведем теперь через некоторую точку некоторой образующей плоскость \(\beta\parallel \alpha\) . Множество точек, по которым образующие пересекут плоскость \(\beta\) , образует окружность \(C"\) , равную окружности \(C\) .
Часть пространства, ограниченная двумя кругами \(K\) и \(K"\) с границами \(C\) и \(C"\) соответственно, а также частью цилиндрической поверхности, заключенной между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) , называется цилиндром .

Круги \(K\) и \(K"\) называются основаниями цилиндра; отрезки образующих, заключенных между плоскостями, – образующими цилиндра; часть цилиндрической поверхности, образованная ими, - боковой поверхностью цилиндра. Отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра равен образующей цилиндра и равен высоте цилиндра (\(l=h\) ).

Теорема

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \

где \(R\) – радиус основания цилиндра, \(h\) – высота (образующая).

Теорема

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей обоих оснований \

Теорема

Объем цилиндра вычисляется по формуле \

\[{\Large{\text{Конус}}}\]

Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и на ней окружность \(C\) с центром \(O\) и радиусом \(R\) . Через точку \(O\) проведем прямую, перпендикулярную плоскости \(\alpha\) . Отметим на этой прямой некоторую точку \(P\) . Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через точку \(P\) и каждую точку окружности \(C\) , называется конической поверхностью , а эти прямые – образующими конической поверхности. Часть пространства, ограниченная кругом с границей \(C\) и отрезками образующих, заключенными между точкой \(P\) и точкой на окружности, называется конусом . Отрезки \(PA\) , где \(A\in \text{окр. } C\) , называются образующими конуса ; точка \(P\) – вершина конуса; круг с границей \(C\) – основание конуса; отрезок \(PO\) – высота конуса.

Замечание

Заметим, что у конуса высота и образующая не равны друг другу, как было в случае с цилиндром.

Теорема

Площадь боковой поверхности конуса равна \

где \(R\) – радиус основания конуса, \(l\) – образующая.

Теорема

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей основания \

Теорема

Объем конуса вычисляется по формуле \

Замечание

Заметим, что цилиндр в каком-то смысле является призмой, только в основании находится не многоугольник (как у призмы), а круг.
Формула объема цилиндра такая же, как и формула объема призмы: произведение площади основания на высоту.

Аналогично конус в каком-то смысле является пирамидой. Поэтому формула объема конуса такая же, как и у пирамиды: треть площади основания на высоту.

\[{\Large{\text{Сфера и шар}}}\]

Рассмотрим множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки \(O\) на расстояние \(R\) . Это множество называется сферой с центром в точке \(O\) радиуса \(R\) .
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется диаметром сферы.

Сфера вместе со своей внутренностью называется шаром .

Теорема

Площадь сферы вычисляется по формуле \

Теорема

Объем шара вычисляется по формуле \

Определение

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.
Пусть плоскость пересекла шар по кругу \(K\) с центром в точке \(Q\) . Соединим точки \(O\) (центр шара) и \(Q\) и продлим этот отрезок до пересечения со сферой – получим радиус \(OP\) . Тогда отрезок \(QP\) называется высотой сегмента.

Теорема

Пусть \(R\) – радиус шара, \(h\) – высота сегмента, то объем шарового сегмента равен \

Определение

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими этот шар. Круги, по которым плоскости пересекают шар, называются основаниями шарового слоя, отрезок, соединяющий центры оснований – высотой шарового слоя.
Две оставшиеся части шара являются в этом случае шаровыми сегментами.

Объем шарового слоя равен разности объема шара и объемов шаровых сегментов с высотами \(AP\) и \(BT\) .

Прямая АВ называется образующей, линия MN - направляющей, а точка S - вершиной конической поверхности.
1. Конус.
Конусом называют тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, - основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса (фиг.295,а).

Конус называется прямым круговым, если его основание - круг, а высота проходит через центр основания. Такой конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника SAO вокруг катета SO , как оси. При этом гипотенуза SA описывает боковую поверхность, а катет АО - основание конуса (фиг.295,б).
Если ось вращения прямого кругового конуса параллельна плоскости проекций, то проекция конуса на эту плоскость является треугольником (равнобедренным или равносторонним), основание которого будет равно диаметру основания конуса, а стороны - образующей конуса.
Если ось вращения конуса перпендикулярна плоскости проекций, то проекция конуса на эту плоскость будет кругом, равным натуральной величине основания конуса. В этом случае образующие на проекции не изображаются.
2. Изображение прямого кругового конуса (фиг.296).

Дано: основание конуса, расположенного на плоскости П 1
I. Комплексный чертеж
I, а. Проектируем основание конуса - круг, расположенный в плоскости П 1 , и вершину конуса - точку S , расположенную в пространстве на вертикальной прямой, проходящей через центр основания. Высота точки S равна высоте конуса. Горизонтальная проекция этой точки находится в центре окружности - горизонтальной проекции основания.
I, б. Проектируем боковую поверхность конуса. Для этого достаточно спроектировать на плоскость П 2 контурные образующие, для чего соединяем прямыми фронтальные проекции вершины S 2 с проекциями крайних точек основания и получаем проекции контурных образующих, а в целом - фронтальную проекцию данного конуса - равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса, а высота треугольника - высоте конуса.
На горизонтальной проекции боковой поверхности конуса дана горизонтальная проекция А 1 точки А , требуется найти ее фронтальную проекцию. Для этого на горизонтальной проекции конуса через точку А 1 проводим окружность - горизонтальную проекцию параллели, затем находим ее фронтальную проекцию и при помощи вертикальной линии связи (направление которой на чертеже показано стрелкой) находим фронтальную проекцию A 2 точки A .

I. в. Эту задачу можно решить и при помощи образующей. На фронтальной проекции боковой поверхности конуса дана фронтальная проекция В 2 точки В . Из точки S 2 через точку В 2 проводим прямую S 2 М 2 - проекцию образующей конуса, затем находим ее горизонтальную проекцию S 1 М 1 и на ней при помощи вертикальной линии связи определяем место горизонтальной проекции точки В .
II. Развертка поверхности прямого кругового конуса - плоская фигура, составленная из сектора и окружности, диаметр которой равен диаметру окружности основания. Радиусом сек-гора является образующая конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса. Угол сектора можно определить по формуле (a =360°R ÷ L) где R - радиус окружности основания конуса; L - образующая конуса. При построении развертки следует придерживаться следующего порядка:
а) определить угол а сектора;
б) построить развертку боковой поверхности конуса - сектор ;
в) пристроить к любой точке, дуги сектора основание конуса - круг .
Перенос точки В на развертку боковой поверхности конуса осуществляется при помощи размеров С 1 М 1 и R 2 , взятых с (фиг.296, I , в).

III. Наглядное изображение конуса в аксонометрии (изометрия и диметрия).
III, а. Изображаем основание конуса - овал по данному условию. Через центр основания проводим ось z" и на ней от точки О" откладываем высоту конуса О"S" , получаем его вершину S" .
III, б. Изображаем контурные образующие. Из точки S" проводим прямые, касательные к овалу, получаем изображение конуса. Невидимую часть основания (половину овала) изображаем штриховыми линиями.
Определение точки А на боковой поверхности осуществляем при помощи нанесения на поверхность конуса параллели, диаметр параллели берем с горизонтальной проекции (фиг.296, I, б), а ее центр О 2 определяем размером H 1 , с фронтальной проекции (фиг.296, I, б). Место точки А на параллели определяется пересечением вспомогательной прямой, проведенной на расстоянии k параллельно оси у" с параллелью.
Определение точки В на боковой поверхности конуса осуществляется:
а) нанесением на коническую поверхность образующей S"M" при помощи размеров h и f ;
б) нахождением вторичной проекции В 1 точки В при помощи размера i/2 ;
в) проведением вспомогательной прямой из точки В" 1 параллельно оси вращения S"O" . Пересечение вспомогательной прямой с образующей конуса определяют место точки В" .
Определить места точек А и В на боковой поверхности конуса можно и при помощи координат.
ТОР
Тело, полученное от вращения окружности (эта окружность называется образующей) вокруг оси, расположенной в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, называется ТОРОМ . Если ось вращения. не пересекает окружность, то тор называют кольцом (фиг.297). Изображение кольца (фиг.298).

1. Комплексный чертеж
I, а. Дано: ось кольца перпендикулярна плоскости П 1 (диаметр D образующей окружности кольца и диаметр D ц окружности центров образующих окружностей (фиг.298,а).
I, б. Горизонтальная проекция кольца выявится двумя концентрическими окружностями (фиг.298,б) диаметр большей равен D ц + D ; диаметр меньшей Dц - D . Фронтальная проекция выявится двумя образующими окружностями, сопряженными прямыми.
Заметим, что внутренние половины окружностей необходимо изобразить штриховыми линиями, как невидимые.
I, в. Дано: горизонтальные проекции параллелей и на них проекции двух точек: точки А (A 1 ) на малой параллели; точки В (B 2 ) на большой (фиг.298,в). Требуется найти их фронтальные проекции. Для этого сначала надо найти фронтальные проекции параллелей, а затем при помощи вертикальных линий связи определить на них места фронтальных проекций А 2 и В 2 .
II. Наглядное изображение кольца в изометрии и диметрии.
II, а. Изооражаем место центров сфер - окружность (D" ц ), расположенную в горизонтальной плоскости.
II, б. Изображаем контур поверхности кольца при помощи вспомогательных сфер, для чего проводим ряд окружностей диаметром D - контуров сфер, центры которых расположены на окружности центров. Затем к окружностям проводим плавную касательную, выявляя очерк кольца.
ШАР
Тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром, а поверхность, образуемая при этом окружностью, называется шаровой или сферой. Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной и той же точки, называемой центром. Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом, а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара (фиг.299).
Всякая проекция шара является кругом, очерками проекций на плоскость П 1 является проекция экватора, на плоскость П 2 и П 3 являются проекции меридианов.
Изображение шара (фиг.300). Дано: одной точкой поверхности шар касается плоскости П 1 .
I. Комплексный чертеж
I, а. Проектируем экватор шара - окружность, лежащую в горизонтальной плоскости, горизонтальная проекция - это окружность, диаметр которой равен диаметру шара. Фронтальная проекция - прямая (обычно на чертеже не изображается).
Проектируем главный меридиан - окружность, лежащую в фронтальной плоскости; фронтальной проекцией является окружность, по условию касательная оси х 12 ; диаметр окружности равен диаметру шара, горизонтальная проекция прямая (обычно на чертеже не изображаемая).
В результате получим проекции шара.
I, б. На поверхности шара дана фронтальная проекция А 2 точки А , требуется найти ее горизонтальную проекцию.
Для этого через точку А 2 проведем прямую параллельно оси - фронтальную проекцию параллели, затем находим ее горизонтальную проекцию и при помощи вертикальной линии связи (направление которой на чертеже показано стрелкой) определяем место горизонтальной проекции А 1 точки А . Развертка поверхности шара. Развертка может быть построена только приближенно, так как шаровая поверхность (сфера) принадлежит к поверхностям неразвертывающимся.
Построение развертки будем выполнять методом долей (существуют и другие методы).
I, в. Для этого фронтальную проекцию главного меридиана - окружность - делим на 12 равных чаетей, каждая часть деления будет равна 1 / 12 п D (т.е. 1 / 12 меридиана). Через точки деления 1 , 2 и 3 проводим прямые, параллельные оси x 12 - проекции параллелей, и находим их горизонтальные проекции - окружности. D П1 - первая параллель; D П2 - вторая параллель и D Э - экватор. Затем горизонтальную проекцию экватора - окружность D Э - делим на 12 равных частей, каждая часть деления будет равна (1 / 12 П D Э) (т.е. 1 / 12 экватора); через каждое деление экватора проводим меридиональные плоскости, которые разделяют поверхность шара, а следовательно, и каждую параллель на 12 долей; получим части параллелей 1 / 12 П D П1 и 1 / 12 П D П2
II. Построение одной доли. Проводим прямую O 1 O 2 , равную ( П D M ÷ 2 ) и от точки О 1 откладываем три раза части, равные ( П D M ÷ 12 ), и через каждую часть проводим прямые, перпендикулярные к O 1 O 2 , на которых откладываем отрезки: (3 - 3 = П D Э ÷ 12); (2 - 2 = П D П2 ÷ 12) ; (2 - 2 = П D П1 ÷ 12) , как показано на чертеже. Соединив плавной кривой последовательно точки 3 - 2 - 1 - 0 1 - 1 - 2 - 3 , получим половину очертания доли. Построив вторую половину, получим одну долю, т.е. 1/12 часть приближенной развертки поверхности шара. Для получения полной развертки поверхности шара следует построить 12 долей.
III. Наглядное изображение шара в изометрии .
III, а. Изображаем экватор шдра как аксонометрическую проекцию окружности, лежащую в горизонтальной плоскости.
III, б. Точку О" принимаем за центр, проводим окружность (касательную к овалу), получаем изометрическую проекцию шара. Диаметр окружности равен длине овала.
Определение места точки А на шаровой поверхности можно осуществить при помощи параллели. Изображаем на поверхности шара параллель, пользуясь размерами h и D П место точки на параллели определяем с помощью прямой, проведенной параллельно оси у" на расстоянии k .
Определить точку А на шаровой поверхности можно при помощи координат.
Упражнение
Пример 1.
а) Выполнить комплексные чертежи геометрических тел согласно примерам А, Б и В по данным размерам (

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором . Экватор определяет горизонтальный очерк поверхности, если i ⊥ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами . Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом ; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка А на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а).

Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. , ). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис.). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. ), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходят через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. ) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.