Как найти частные производные онлайн. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Частные производные и полный дифференциал функции

Будем называть функцию y=f(x) ОГРАНИЧЕННОЙ СВЕРХУ (СНИЗУ) на множестве А из области определения D(f), если существует такое число M , что для любых x из этого множества выполняется условие

При помощи логических символов определение может быть записано в виде:

f (x) – ограничена сверху на множестве

(f (x) – ограничена снизу на множестве

Вводятся в рассмотрение и функции, ограниченные по модулю или просто ограниченные.

Будем называть функцию ОГРАНИЧЕННОЙ на множестве А из области определения , если существует положительное число M, что

На языке логических символов

f(x) – ограничена на множестве

Функция, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Мы знаем, что определения, данные через отрицание, малосодержательны. Чтобы сформулировать это утверждение как определение, воспользуемся свойствами кванторных операций (3.6) и (3.7). Тогда отрицание ограниченности функции на языке логических символов даст:

f(x) – ограничена на множестве

Полученный результат позволяет сформулировать следующее определение.

Функция называется НЕОГРАНИЧЕННОЙ на множестве А, принадлежащем области определения функции, если на этом множестве для любого положительного числа М найдется такое значение аргумента х, что значение все равно превзойдет величину М, то есть .

В качестве примера рассмотрим функцию

Она определена на всей действительной оси. Если взять отрезок [–2;1] (множество А), то на нем она будет ограничена и сверху, и снизу.

Действительно, чтобы показать ее ограниченность сверху, надо рассмотреть предикат

и показать, что найдется (существует) такое М, что для всех x, взятых на отрезке [–2;1], будет справедливо

Найти такое М не представляет труда. Можно считать М = 7, квантор существования предполагает отыскание хотя бы одного значения М. Наличие такого М и подтверждает тот факт, что функция на отрезке [–2;1] ограничена сверху.

Чтобы доказать ее ограниченность снизу, надо рассмотреть предикат

Значением М, обеспечивающим истинность данного предиката, является, например, М = –100.

Можно доказать, что функция будет ограничена и по модулю: для всех x из отрезка [–2;1] значения функции совпадают со значениями , поэтому в качестве М можно взять, к примеру, прежнее значение М = 7.

Покажем, что та же функция, но на промежутке , будет неограниченной, то есть

Чтобы показать, что такие x существуют, рассмотрим утверждение

Отыскивая искомые значения x среди положительных значений аргумента, получим

Это значит, что какое бы положительное Ммы ни брали, значения x, обеспечивающие выполнение неравенства

получаются из соотношения .

Рассматривая функцию на всей действительной оси, можно показать, что она неограничена по модулю.

Действительно, из неравенства

То есть, каким бы большим ни было положительное M, или обеспечат выполнение неравенства .

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ.

Функция имеет в точке с локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки, что для x ¹с из этой окрестности выполняется неравенство

особо, что точка экстремума может быть только внутренней точкой промежутка и f(x) в ней должна быть обязательно определена. Возможные случаи отсутствия экстремума изображены на рис. 8.8.

Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке иубывает (возрастает) на некотором промежутке , то точка с является точкой локального максимума (минимума).

Отсутствие максимума функции f(x) в точке с можно сформулировать так:

_______________________

f(x) имеет максимум в точке c

Это означает, что если точка c не есть точка локального максимума, то какой бы ни была окрестность, включающая в себя точку cкак внутреннюю, в ней найдется хотя бы одно значение x не равное c, при котором . Таким образом, если в точке c нет максимума, то в этой точке экстремума может не быть вообще или же это точка минимума (рис. 8.9).

Понятие экстремума дает сравнительную оценку значения функции в какой-либо точке по отношению к близлежащим. Подобное сравнение значений функций можно провести и для всех точек некоторого промежутка.

НАИБОЛЬШИМ (НАИМЕНЬШИМ) значением функции на множестве будем называть ее значение в точке из этого множества такое, что– при . Наибольшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка , а наименьшее – на его левом конце.

Чтобы определить наибольшее (наименьшее) значение функции, заданной на отрезке, надо среди всех значений ее максимумов (минимумов), а также значений, принимаемых на концах промежутка, выбрать наибольшее (наименьшее) число. Оно и будет наибольшим (наименьшим) значением функции. Это правило будет уточнено в дальнейшем.

Проблема отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на открытом промежутке не всегда решается достаточно легко. Например, функция

в интервале (рис. 8.11) их не имеет.

Убедимся, например, что эта функция не имеет наибольшего значения. В самом деле, учитывая монотонность функции , можно утверждать, что как бы близко мы ни задавали слева от единицы значения х, найдутся другие х, в которых значения функции будут больше ее значений во взятых фиксированных точках, но все же меньше единицы.

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$

$$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$

$$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$

Смешанная производная

$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$

$$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$

Примеры решений