Гармонические колебания — Гипермаркет знаний. Электромагнитные затухающие колебания. Если колебание описывать по закону синуса

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:

Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.

Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.

Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.

3.1. Механические затухающие колебания

Механическая система : пружинный маятник с учетом сил трения.

Силы, действующие на маятник :

Упругая сила . , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.

Сила сопротивления . Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак "минус" показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:

Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:

ma = F упр. + F сопр.

Учитывая, что и , запишем второй закон Ньютона в виде:

Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

Обозначим , где β – коэффициент затухания , , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Уравнение затухающих колебаний есть решение такого дифференциального уравнения:

В приложении 1 показано получение решения дифференциального уравнения затухающих колебаний методом замены переменных.

Частота затухающих колебаний :

(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).

Период затухающих колебаний :

Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .

Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Для механической системы пружинного маятника имеем:

, .

Амплитуда затухающих колебаний :

Для пружинного маятника .

Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.

При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.

Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 3.1 и 3.2.

Рисунок 3.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний

Рисунок 3.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний

3.2. Электромагнитные затухающие колебания

Электромагнитные затухающие колебания возникают в электромагнитной колебательной систему , называемой LCR – контур (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3.

Дифференциальное уравнение получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении (R) и конденсаторе (С) равна ЭДС индукции, развиваемой в цепи контура:

Падение напряжения:

На активном сопротивлении: , где I – сила тока в контуре;

На конденсаторе (С): , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора.

ЭДС, развиваемая в контуре – это ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, а следовательно, и магнитного потока сквозь ее сечение: (закон Фарадея).

Подставим значения U R , U C , в уравнение, отражающее закон Кирхгофа, получим:

Сила тока определяется как производная от заряда , тогда , и дифференциальное уравнение примет вид:

Обозначим , , получим в этих обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний в виде:

Решение дифференциального уравнения или уравнение колебаний для заряда на обкладках конденсатора имеет вид:

Амплитуда затухающих колебаний заряда имеет вид:

Частота затухающих колебаний в LCR – контуре:

Период затухающих электромагнитных колебаний:

Возьмем уравнение для заряда в виде , тогда уравнение для напряжения на обкладках конденсатора можно записать так
.

Величина называется амплитудой напряжения на конденсаторе .

Ток в контуре меняется со временем. Уравнение для силы тока в контуре можно получить, используя соотношение и векторную диаграмму.

Окончательное уравнение для силы тока таково:

где - начальная фаза.

Она не равна α, так как сила тока изменяется не по синусу, что дала бы производная от заряда, а по косинусу.

Энергия колебаний в контуре складывается из энергии электрического поля

и энергии магнитного поля

Полная энергия в любой момент времени:

где W 0 – полная энергия контура в момент времени t=0.

3.3. Характеристики затухающих колебаний

1. Коэффициент затухания β.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в "e " раз ("е" – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды А зат. (t) и А зат. (t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в "е" раз, называется временем релаксации .

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

2. Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период.

Мы хотим теперь немного рассказать о том, как ведут себя амплитуды вероятности во времени. Мы говорим «немного», потому что на самом деле поведение во времени с необходимостью включает в себя и поведение в пространстве. Значит, пожелав описать поведение со всей корректностью и детальностью, мы немедленно очутимся в весьма сложном положении. Перед нами возникает наша всегдашняя трудность - то ли изучать нечто строго логически, но абсолютно абстрактно, то ли не думать о строгости, а давать какое-то представление об истинном положении вещей, откладывая более тщательное исследование на позже. Сейчас, говоря о зависимости амплитуд от энергии, мы намерены избрать второй способ. Будет высказан ряд утверждений. При этом мы не будем стремиться к строгости, а просто расскажем вам о том, что было обнаружено, чтобы вы смогли почувствовать, как ведут себя амплитуды во времени. По мере хода нашего изложения точность описания будет возрастать, так что, пожалуйста, не нервничайте, видя, как фокусник будет извлекать откуда-то из воздуха разные вещи. Они и впрямь берутся из чего-то неосязаемого - из духа эксперимента и из воображения многих людей. Но проходить все стадии исторического развития предмета - дело очень долгое, кое-что придется просто пропустить. Можно было бы погрузиться в абстракции и все строго выводить (но вы вряд ли бы это поняли) или пройти через множество экспериментов, подтверждая ими каждое свое утверждение. Мы выберем что-то среднее.

Одиночный электрон в пустом пространстве может при некоторых условиях обладать вполне определенной энергией. Например, если он покоится (т. е. не обладает ни перемещательным движением, ни импульсом, ни кинетической энергией), то у него есть энергия покоя. Объект посложнее, например атом, тоже может, покоясь, обладать определенной энергией, но он может оказаться и внутренне возбужденным - возбужденным до другого уровня энергии. (Механизм этого мы опишем позже.) Часто мы вправе считать, что атом в возбужденном состоянии обладает определенной энергией; впрочем, на самом деле это верно только приближенно. Атом не остается возбужденным навечно, потому что он всегда стремится разрядить свою энергию, взаимодействуя с электромагнитным полем. Так что всегда есть некоторая амплитуда того, что возникнет новое состояние - с атомом в низшем состоянии возбуждения и электромагнитным полем в высшем. Полная энергии системы и до, и после - одна и та же, но энергия атома уменьшается. Так что не очень точно говорить, что у возбужденного атома есть определенная энергия; но часто так говорить удобно и не очень неправильно.

[Кстати, почему все течет в одну сторону и не течет в другую? Отчего атом излучает свет? Ответ связан с энтропией. Когда энергия находится в электромагнитном поле, то перед ней открывается столько разных путей - столько разпых мест, куда она может попасть, - что, отыскивая условие равновесия, мы убеждаемся, что в самом вероятном положении поле оказывается возбужденным одним фотоном, а атом - невозбужденным. И фотону требуется немалое время, чтобы возвратиться и обнаружить, что он может возбудить атом обратно. Это полностью аналогично классической задаче: почему ускоряемый заряд излучает? Не потому, что он «хочет» утратить энергию, нет, ведь на самом-то деле, когда он излучает, энергия мира остается такой же, как и прежде. Просто излучение или поглощение всегда идет в направлении роста энтропии.]

Ядра тоже могут существовать на разных энергетических уровнях, и в том приближении, когда пренебрегают электромагнитными эффектами, мы вправе говорить, что ядро в возбужденном состоянии таким и остается. Хоть мы и знаем, что оно не останется таким навсегда, часто бывает полезно исходить из несколько идеализированного приближения, которое проще рассмотреть. К тому же в некоторых обстоятельствах - это узаконенное приближение. (Когда мы впервые вводили классические законы падения тел, мы не учитывали трения, а ведь почти не бывает так, чтобы трения вовсе не было.)

Кроме того, существуют еще «странные частицы» с различными массами. Но более массивные из них распадаются на более легкие, так что опять неправильно будет говорить, будто их энергия точно определена. Это было бы верно, если бы они сохранялись навечно. Так что когда мы приближенно считаем их обладающими определенной энергией, то забываем при этом, что они должны распасться. Но сейчас мы нарочно забудем про такие процессы, а после, со временем, выучимся принимать во внимание и их.

Пусть имеется атом (или электрон, или любая частица), обладающий в состоянии покоя определенной энергией . Под энергией мы подразумеваем массу всего этого, умноженную на . В массу входит любая внутренняя энергия; стало быть, масса возбужденного атома отличается от массы того же атома, но в основном состоянии. (Основное состояние означает состояние с наинизшей энергией.) Назовем «энергией покоя».

Для атома, находящегося в состоянии покоя, квантовомеханическая амплитуда обнаружить его в каком-то месте всюду одна и та же; от положения она не зависит. Это, разумеется, означает, что вероятность обнаружить атом в любом месте - одна и та же. Но это означает даже большее. Вероятность могла бы не зависеть от положения, а фаза амплитуды при этом могла бы еще меняться от точки к точке. Но для частицы в покое полная амплитуда всюду одинакова. Однако она зависит от времени. Для частицы в состоянии определенной энергии амплитуда обнаружить частицу в точке в момент равна

где - некоторая постоянная. Амплитуда пребывания в такой-то точке пространства для всех точек одинакова, но зато зависит от времени согласно (5.1). Мы просто допустим, что это правило верно всегда.

Можно, конечно, (5.1) записать и так:

а - масса покоя атомного состояния или частицы. Существуют три разных способа определения энергии: по частоте амплитуды, по энергии в классическом смысле или но инертной массе. Все они равноценны; это просто разные способы выражать одно и то же.

Вам может показаться, что странно представлять себе «частицу», обладающую одинаковыми амплитудами оказаться в пространстве где угодно. Ведь, помимо прочего, мы всегда представляем себе «частицу» как небольшой предмет, расположенный «где-то». Но не забудьте о принципе неопределенности. Если частица обладает определенной энергией, то и импульс у нее определенный. Если неопределенность в импульсе равна нулю, то соотношение неопределенностей говорит, что неопределенность в положении должна быть бесконечной; именно это мы и утверждаем, говоря, что существует одинаковая амплитуда обнаружить частицу во всех точках пространства.

Если внутренние части атома находятся в другом состоянии с другой полной энергией, тогда амплитуда меняется во времени по-другому. А если вы не знаете, в каком состоянии находится атом, то появится некоторая амплитуда пребывания в одном состоянии и некоторая амплитуда пребывания в другом, и у каждой из этих амплитуд будет своя частота. Между этими двумя разными компонентами появится интерференция наподобие биений, которые могут проявиться как переменная вероятность. Внутри атома будет что-то «назревать», даже если он будет «в покое» в том смысле, что его центр масс не будет двигаться. Если же атом обладает только одной определенной энергией, то амплитуда дается формулой (5.1) и квадрат модуля амплитуды от времени не зависит. Следовательно, вы видите, что если энергия какой-то вещи определена и если вы задаете «опрос о вероятности чего-то в этой вещи, то ответ от времени не зависит. Хотя сами амплитуды от времени зависят, но если энергия определенная, они изменяются как мнимая экспонента и абсолютное значение (модуль) их не меняется.

Вот почему мы часто говорим, что атом на определенном энергетическом уровне находится в стационарном состоянии. Если вы что-то внутри него измеряете, вы обнаруживаете, что ничего (по вероятности) во времени не меняется. Чтобы вероятность менялась во времени, должна быть интерференция двух амплитуд при двух разных частотах, а это означало бы, что неизвестно, какова энергия. У предмета были бы одна амплитуда пребывания в состоянии с одной энергией и другая амплитуда пребывания в состоянии с другой энергией. Так в квантовой механике описывается что-то, если поведение этого «чего-то» зависит от времени.

Если имеется случай, когда смешаны два различных состояния с разными энергиями, то амплитуды каждого из двух состояний меняются со временем согласно уравнению (5.2), скажем, как

И если имеется комбинация этих двух состояний, то появится интерференция. Но заметьте, что добавление к обеим энергиям одной и той же константы ничего не меняет. Если кто-то другой пользовался другой шкалой энергий, на которой все энергии сдвинуты на константу (скажем, на ), то амплитуды оказаться в этих двух состояниях, с его точки зрения, были бы

Все его амплитуды оказались бы умноженными на один и тот же множитель , и во все линейные комбинации, во все интерференции потел бы тот же множитель. Вычисляя для определения вероятностей модули, он пришел бы к тем же ответам. Выбор начала отсчета на нашей шкале энергий ничего не меняет; энергию можно отсчитывать от любого нуля. В релятивистских задачах приятнее измерять энергию так, чтобы в нее входила масса покоя, но для многих других не релятивистских целей часто лучше вычесть из всех появляющихся энергий стандартную величину. Например, в случае атома обычно бывает удобно вычесть энергию , где - масса отдельных его частей, ядра и электронов, отличающаяся, конечно, от массы самого атома. В других задачах полезно бывает вычесть из всех энергии число , где - масса всего атома в основном состоянии; тогда остающаяся энергия есть просто энергия возбуждения атома. Значит, норой мы имеем право сдвигать наш нуль энергии очень и очень сильно, я это все равно ничего не меняет (при условии, что все энергии в данном частном расчете сдвинуты на одно и то же число). На этом мы расстанемся с покоящимися частицами.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A - это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T - это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний - это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными . Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические , затухающие , нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Вынужденные колебания

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом .

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор - это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других - вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 - разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила , скорость и ускорение , тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению , зависимость v(t) - это первая производная x(t). А зависимость a(t) - это вторая производная x(t).

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими .

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F C направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Уравнение затухающих колебаний.

ω - частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово-рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А 0 и φ 0 - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

τ - время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень-шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Пусть

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1)

Дифференциальное уравнение вынуж-денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Тогда

Подставим в (2):

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,

Это комплексное число удобно представить в виде

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ - по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

где

(3)

(4)

Слагаемое Х о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи-ческой системы, называется резонансом .

Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой . Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

ω рез = ω 0 .

При ω→0 все кривые приходят к значению - статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе. См. §59 т.1 Савельев И.В.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

В данной методической разработке колебания и волны – чрезвычайно обширная область физических явлений. Колебания (в механических и электромагнитных системах), волны (упругие и электромагнитные) - это учебный материал, который необходим для изучения специальных технических дисциплин в электротехническом ВУЗе.

Изучение колебаний начинается с изучения механических колебаний в различных механических колебательных системах. Использование электромеханических аналогий позволяет изучать электромагнитные колебания с точки зрения общих признаков колебаний, объединяя поведение механических и электромагнитных систем. Затем рассматриваются колебания связанных систем. Методически правильно и удобно начать изучение колебательных процессов с довольно простых систем с небольшим числом степеней свободы, а затем перейти к системам с бесконечно большим числом степеней свободы, какими являются волны.

Волны на воде, сейсмические, звуковые, световые, радиоволны – это далеко не все волновые процессы в природе. Главная цель данной разработки – ознакомление студентов с основными идеями, общими для всех волновых явлений, т.е. и для электромагнитных, и для упругих волн.

Некоторые вопросы прикладного характера или вопросы, связанные с уточнением применяемого математического аппарата, вынесены в приложения.

В конце работы приведен список литературных источников, из которых - учебники, рекомендованные для ВУЗов, – дополнительная литература по разделу “Колебания и волны”, – справочники, – методические разработки кафедры.

КОЛЕБАНИЯ.

1. Колебательными процессами (колебаниями) называются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими , если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом . Математически это записывается так:
.

2. В зависимости от физической природы и механизма возбуждения колебаний различают:

- механические колебания (колебания маятников, струн, балок, частей машин и механизмов, качка кораблей, волнение моря, колебания давления при распространении звука в газе, жидкости, твердом теле и т.д.);

Электромагнитные колебания (переменный ток, колебания тока, заряда, векторов E и H в колебательных контурах и т.д.);

- электромеханические колебания (колебания мембран телефонов, диффузоров электродинамических громкоговорителей и т.д.).

3. Колебательные движения отличаются от других видов движений. Они характеризуются некоторыми общими признаками. На языке теории колебаний различия между колебательным движением тела и процессами в колебательных электромагнитных контурах исчезают, если подходить к ним с точки зрения общих принципов. Такой подход называется электромеханическими аналогиями.

4. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой .

Колебания, которые возникают вследствие какого-либо начального отклонения системы от ее устойчивого равновесия, называются собственными колебаниями .

Колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия, называются вынужденными колебаниями .

5. Общие признаки и понятия, единые для различных колебательных систем, следующие:

дифференциальное уравнение (его вид одинаков для любых колеблющихся систем);
уравнение колебаний;
амплитуда;
частота или период колебаний;
фаза;
начальная фаза.

Рассмотрим колебания в механической и электромагнитной системах, выделяя именно перечисленные выше признаки.

Глава 1. СОБСТВЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

§1.1. Механические гармонические колебания.

1. В качестве механической колебательной системы, на примере которой мы будем рассматривать колебания, выбираем пружинный маятник : маленькое тело (материальная точка) массой m подвешено на пружине с жесткостью k (Рисунок 2).

Ненагруженная пружина имела длину l 0 . Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести . Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника . Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

Знак минус означает, что направление силы F упр. и направление смещения х противоположны. F упр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости от того, в какую сторону от положения равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы (чем больше смещение, тем больше F упр.).

Рисунок 1.1 – Положения пружинного маятника за время одного периода колебаний.

Если система совершает колебания под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе без внешних воздействий и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями .

Отсутствие затухания колебаний характерно для идеальной колебательной системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

2. Дифференциальное уравнение , соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона ma = F .

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени
,
а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как , получим

или
.

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

Величина , обозначим ее , получим

3. Решением дифференциального уравнения такого вида являются уравнения:

или

Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение х пружинного маятника в любой момент времени.

Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими .

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет , т.е. .
В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде .

4. В уравнении колебаний:

А – амплитуда смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

х – смещение маятника, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

α – начальная фаза определяет положение маятника в начальный момент времени (t = 0).

Периодом T называется наименьший интервал времени, за который система возвращается в исходное положение. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единиц времени.

Для пружинного маятника частота и период собственных колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:

5. Зная уравнение смещения пружинного маятника, получим подобные уравнения для других физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний, если уравнение смещения пружинного маятника задано в виде .

Скорость колебаний маятника есть первая производная по времени от смещения:

Величина Аω 0 называется амплитудой скорости . Амплитуда – величина положительная (по определению).

Ускорение маятника:

Величина Аω 0 2 – амплитуда ускорения. И смещение, и ускорение маятника изменяются по закону косинуса, но отличаются, кроме амплитуды, еще и знаком. Направление ускорения совпадает с направлением упругой силы.

6. Так как собственные колебания в идеальной системе происходят без внешних воздействий, то колебательная система является замкнутой и для нее выполняется закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия пружинного маятника равна:

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием упругой силы, равна:

Кинетическая энергия пружинного маятника равна

Полная энергия колебаний пружинного маятника равна

Частота изменений кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты изменения смещения, скорости и ускорения. Соответственно период изменения этих видов энергии .

Графики физических величин в зависимости от времени представлены на Рисунке 1.2 в пределах двух периодов колебаний (начальная фаза взята равной нулю α = 0).

Рисунок 1.2 – Графики смещения (х), скорости (v), ускорения (а) в зависимости от времени t

§1.2. Зависимость амплитуды и начальной фазы колебаний от начальных условий.

Решения дифференциального уравнения колебаний определены с точностью до постоянной величины, поэтому таких решений бесчисленное множество. Выбор решения для данной конкретной колебательной системы можно сделать, если задать ее поведение в начальный момент времени, то есть начальные условия. Например, если просто отклонить маятник, растянув пружину, а затем спокойно отпустить его, или отклонить, а затем подтолкнуть маятник, то движения маятника будут различными. Рассмотрим зависимость параметров колебательной системы от начальных условий.

Пусть при t = 0 смещение системы от положения равновесия равно х 0 , а начальная скорость v 0 . Гармоническое колебание описывается уравнением .

При t = 0 имеем два уравнения:

, .

Возведя в квадрат оба уравнения и сложив их, получим уравнение для амплитуды:

Поделив одно уравнение на другое, получим соотношение для начальной фазы:

Таким образом, и амплитуда, и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий колебательной системы.

§1.3. Свободные гармонические колебания в LC-контуре.

1. Электромагнитный контур состоит из плоского конденсатора емкостью С и катушки индуктивности (соленоида) с индуктивностью L. Такой контур называется идеальным контуром с распределенными параметрами . Конденсатор зарядили, на одной пластине заряд +q, на другой (–q). Рассмотрим процессы в LC – контуре за время T, называемое периодом колебаний.

Момент времени t = 0. Конденсатор заряжен, ключ “К” разомкнут, ток в контуре не идет:
I = 0, ,

Ключ замкнут, по цепи идет ток разрядки до тех пор, пока не выровняются потенциалы обкладок конденсатора. При

Когда конденсатор разрядится, ток разрядки прекратится. Магнитное поле в катушке индуктивности, не поддерживаемое током, начнет уменьшаться. Уменьшение магнитного поля вызовет уменьшение магнитного потока сквозь площадь катушки, возникнет ЭДС индукции. По цепи контура пойдет индукционный ток того же направления, что и ток разрядки (правило Ленца). Это приведет к перезарядке конденсатора. При

Направление тока разрядки в контуре изменится. Ток разрядки будет идти по цепи до выравнивания потенциалов на обкладках конденсатора.

При

При t = T система вернется в исходное положение.

В рассмотренном LC – контуре происходит превращение энергии из одного вида в другой и обратно, полная энергия контура - величина постоянная .

Периодические изменения вектора напряженности Е электрического поля и вектора магнитной индукции В магнитного поля в закрытом колебательном LC – контуре называется электромагнитными колебаниями .

2. Используем 2-й закон Кирхгофа для получения дифференциального уравнения электромагнитных колебаний.

Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма падений напряжений на всех его участках равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (2-ой закон Кирхгофа).

Падение напряжения на обкладках конденсатора в LC – контуре равно

Где q – величина заряда на обкладках, С – емкость конденсатора. ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, определяется формулой: (закон Фарадея для самоиндукции).

Второй закон Кирхгофа для LC – контура имеет вид:

По определению сила тока равна первой производной по времени от заряда , тогда .

Преобразуем уравнение 2-ого закона Кирхгофа, получим

Обозначим , получим окончательно уравнение вида:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решениями которого являются уравнения:

И дифференциальное уравнение для электромагнитных колебаний, и его решения подобны тем, которые получены для механической системы (пружинного маятника).

Величины, входящие в уравнения электромагнитных колебаний, имеют следующий смысл:

q 0 – амплитуда заряда – максимальный заряд конденсатора;

q – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая заряд конденсатора в любой момент времени t;

α – начальная фаза определяет заряд конденсатора в начальный момент времени (t = 0).

Циклической частотой периодических колебаний в LC – контуре является величина .

Период колебаний равен (формула Томсона ).

Определим зависимость силы тока, ЭДС и энергии колебаний от времени в LC – контуре. Уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора возьмем в виде:

Сила тока в контуре определяется соотношением:

Величину называют амплитудой силы тока.

Уравнение для ЭДС имеет вид:

Величина – амплитуда ЭДС .

Электрическая и магнитная энергия изменяется согласно уравнениям:

Полная энергия колебаний в LC - контуре не зависит от времени (закон сохранения энергии).

Графики зависимостей от времени t физических величин, характеризующих электромагнитных колебаний в LC – контуре, аналогичны графикам для механических колебаний (см. Рисунок 1.2).

Если заряд на обкладках изменяется по закону , т.е. начальная фаза α = 0, то его график такой же как график смещения.

Напряжение между обкладками конденсатора изменяется по тому же закону, что и заряд конденсатора, только амплитуда напряжения будет другой .

Изменение силы тока аналогично изменению скорости тела при механических незатухающих колебаниях. W эл. изменяется как W пот. , а W магн. - как W кин. .

§1.4. Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма.

Решение многих вопросов в теории колебаний значительно упрощается, если использовать графический метод изображения гармонических колебаний в виде векторов на плоскости. Такое изображение называется векторной диаграммой колебаний (Рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Векторная диаграмма гармонического колебаний .

Последовательность построения векторной диаграммы колебания, заданного уравнением , такова:

Тогда в любой момент времени угол вектора А с осью Х равен . Соответственно проекция конца вектора А на ось Х будет совершать колебания по закону , а сама проекция вектора А в любой момент времени будет равна смещению х колеблющейся точки от положения равновесия. Если начальная фаза колебаний , то в начальный момент времени вектор А откладываем из точки О вдоль направления оси Х.

Глава 2. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту. Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали. Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.

Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

§2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления.

1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний)

можно провести с помощью метода векторных диаграмм (Рисунок 9) вместо сложения двух уравнений.

На Рисунке 2.1 показаны векторы амплитуд А 1 (t) и А 2 (t) складываемых колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний соответственно равны и . Сложение колебаний сводится к определению . Воспользуемся тем фактом, что на векторной диаграмме сумма проекций складываемых векторов равна проекции векторной суммы этих векторов.

Результирующему колебанию соответствует на векторной диаграмме вектор амплитуды и фаза .

Рисунок 2.1 – Сложение сонаправленных колебаний.

Величина вектора А (t) может быть найдена по теореме косинусов:

Фаза результирующего колебания задается формулой:

Если частоты складываемых колебаний ω 1 и ω 2 не равны, то и фаза φ(t), и амплитуда А (t) результирующего колебания будут изменяться с течением времени. Складываемые колебания называются некогерентными в этом случае.

2. Два гармонических колебания x 1 и x 2 называются когерентными , если разность их фаз не зависит от времени:

Но так как , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты .

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:

Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А 1 и А 2 на координатные оси ОХ и ОУ (см. Рисунок 9):

Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием .

3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.

Если , где n – любое целое неотрицательное число

(n = 0, 1, 2…), то минимальной . Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе . При результирующая амплитуда равна нулю .

Если , то , т.е. результирующая амплитуда будет максимальной . В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе , т.е. были синфазны . Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы , то .

4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами .

Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот много меньше и ω 1 , и ω 2 . Условие близости складываемых частот записывается соотношениями .

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k 1 и k 2 .

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид:

, .

Результирующее колебание описывается уравнением:

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой , другая – с частотой , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω 1 или ω 2). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями . Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости х рез. при биениях показан на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τ б, называемый периодом биений (см. Рисунок 12). Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

Величина - период биений.

Величина есть период результирующего колебания (Рисунок 2.4).

§2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.

Рисунок 2.3

Складываемые колебания имеют вид:

Частоты колебаний определяются как , , где , -коэффициенты жесткости пружин.

2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами , что соответствует условию (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:

Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:

Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.

а) Если , где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:

(Рисунок 2.3 а).


Рисунок 2.3.а	Рисунок 2.3 б

б) Если (n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:

(Рисунок 2.3б).

В обоих случаях (а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω 0 , амплитуда определяется соотношением:

Угол, который прямая (траектория) составляет с осью ОХ, можно найти из уравнения:

(знак “плюс” – случай а, знак “минус” – случай б).

Результатом сложения взаимно перпендикулярных колебаний (случай а и б) является колебание, которое называется линейно поляризованным .

в) Если (n = 0, 1, 2 …), то уравнение траектории результирующего движения примет вид:

Это уравнение эллипса, его оси совпадают с осями координат ОХ и ОУ, а размеры его полуосей равны и (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4

Точка в результате участия в двух взаимно перпендикулярных колебаниях описывает эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний .

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами .

Складываются взаимно перпендикулярные колебания, частоты которых не равны , но , , где a и b – целые числа.

Периоды колебаний вдоль осей ОХ и ОУ соответственно равны и . Отношение периодов .

Траектория точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях с кратными частотами, - замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу.

Глава 3. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.

Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.

§3.1. Механические затухающие колебания.

Механическая система: пружинный маятник с учетом сил трения.

Силы, действующие на маятник:

Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.

Сила сопротивления. Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:

Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:

ma = F упр. + F сопр.

Учитывая, что и , запишем второй закон Ньютона в виде:

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Уравнение затухающих колебаний есть решение такого дифференциального уравнения:

Частота затухающих колебаний:

(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).

Период затухающих колебаний:

Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Для механической системы пружинного маятника имеем:

, .

Амплитуда затухающих колебаний:

Для пружинного маятника .

Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 3.1 и 3.2.

Рисунок 3.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний.

Рисунок 3.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний

§3.2. Электромагнитные затухающие колебания.

Рисунок 3.3.

Дифференциальное уравнение получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении (R) и конденсаторе (С) равна ЭДС индукции, развиваемой в цепи контура:

Падение напряжения:

На активном сопротивлении: , где I – сила тока в контуре;

На конденсаторе (С): , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора.

Подставим значения U R , U C , в уравнение, отражающее закон Кирхгофа, получим:

Сила тока определяется как производная от заряда , тогда , и дифференциальное уравнение примет вид:

Обозначим , , получим в этих обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний в виде:

Амплитуда затухающих колебаний заряда имеет вид:

Частота затухающих колебаний в LCR – контуре:

Период затухающих электромагнитных колебаний:

Величина называется амплитудой напряжения на конденсаторе .

Окончательное уравнение для силы тока таково:

где - начальная фаза.

Она не равна α, так как сила тока изменяется не по синусу, что дала бы производная от заряда, а по косинусу.

Энергия колебаний в контуре складывается из энергии электрического поля

и энергии магнитного поля

Полная энергия в любой момент времени:

где W 0 – полная энергия контура в момент времени t=0.

§3.3. Характеристики затухающих колебаний.

1. Коэффициент затухания β.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды А зат. (t) и А зат. (t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

где А зат. (t) и А зат. (t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).

3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

где N e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Так, добротность электромагнитной системы LCR – контура при малом затухании колебаний равна , а добротность пружинного маятника - .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе.

4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшает-ся, а период увеличивается. При ω 0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ω зат. = 0, а Т зат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.

При ω 0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими . Для пружинного маятника условие ω 0 = β запишется так:, откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:

Для LCR – контура условие позволяет вычислить критическое сопротивление контура , при котором колебания потеряют свою периодичность:

Глава 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

До сих пор мы изучали процессы в механических системах под действием сил, развивающихся в самих системах. Каково будет поведение колебательных систем, к которым тем или иным способом приложена внешняя сила? Для электромагнитного контура аналогичная ситуация возникнет, если в цепь контура включить внешний источник ЭДС.

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила или внешняя ЭДС изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы или ЭДС источника. Такие колебания называются вынужденными .

Рассматривая свободные колебания в механической и электромагнитной системах, мы убедились в полной аналогии законов колебаний. Такое же сходство наблюдали для механических и электромагнитных затухающих колебаний. Следует ожидать аналогии законов в механической и электромагнитной системах и при вынужденных колебаниях.

§4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний.

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая ) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Обозначим (β – коэффициент затухания ), (ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

Где .

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 22), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Решение - это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

где А ампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ 0 –сдвиг фаз , т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда А ампл. , и сдвиг фаз φ 0 зависят от параметров системы (β, ω 0) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен .

График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – График вынужденных колебаний.

2.Электромагнитные вынужденные колебания .

Электромагнитная система, в которой развиваются вынужденные колебания, - это LCR – контур с включенным в него внешним источником. Рассмотрим случай, когда ЭДС источника изменяется по гармоническому закону.