Формула остроградского грина примеры решения. Интеграл по замкнутому контуру, формула грина, примеры. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Направление полного ускорения определим по тангенсу угла α, который полное ускорение образует с нормальным ускорением (рис. 52). Получим

В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О 1 ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указанных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рассмотрим качение без скольжения колеса вагона по рельсу. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движение точки на ободе колеса является составным или сложным.

Введем следующие определения:

Переносным движением точки называется ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы координат .

Переносная скорость и переносное ускорение точки обозначается индексом е : , .

Переносной скоростью (ускорением ) точки М в данный момент времени называют вектор, равный скорости (ускорению ) той точки m подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент движущая точка М (рис. 8.1).

Проведем радиус-вектор начала координат (рис. 8.1). Из рисунка видно, что

Чтобы найти переносную скорость точки в заданный момент времени необходимо продифференцировать радиус-вектор при условии, что координаты точки x, y, z не изменяются в данный момент времени:

Переносное ускорение соответственно равно

Таким образом для определения переносной скорости и переносного ускорения в данный момент времени необходимо мысленно остановить в этот момент времени относительное движение точки, определить точку m тела, неизменно связанного с подвижной системой координат, где находится в остановленный момент точка М , и вычислить скорость и ускорение точки m тела, совершающего переносное движение относительно неподвижной системы координат.

Сложным движением точки называется такое ее движение, при котором она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой системе отсчета, принятой за неподвижную. Например, можно считать, что пассажир, идущий по вагону движущегося поезда, совершает сложное движение по отношению к полотну дороги, состоящее из движения пассажира по отношению к вагону (подвижная система отсчета ) и движения пассажира вместе с вагоном по отношению к полотну дороги (неподвижная система отсчета ).

Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением точки . Скорость и ускорение этого движения называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .

Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки .

Переносной скоростью ипереносным ускорением точкиназывают скорость и ускорение той, жестко связанной с подвижной системой координат точки, с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка, и обозначают и .

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным или сложным . Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютнойскоростью и абсолютным ускорением и обозначают и .

В приведенном выше примере движение пассажира относительно вагона будет относительным, а скорость – относительной скоростью пассажира; движение вагона по отношению к полотну дороги будет для пассажира переносным движением, а скорость вагона, в котором находится пассажир, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение пассажира по отношению к полотну будет его абсолютным движением, а скорость – абсолютной скоростью.

§ 21. Определение скорости точки при сложном

движении

Пусть имеется неподвижная система отсчета по отношению к которой движется подвижная система отсчета . Относительно подвижной системы координат движется точка (рис. 2.26). Уравнение движения точки , находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом

где - радиус-вектор точки , определяющий ее положение относительно

неподвижной системы отсчета ;

Радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной

системы координат ;

Радиус-вектор рассматриваемой точки , определяющий ее

положение относительно подвижной системы координат.

Пустькоординаты точки в подвижных осях. Тогда

, (2.68)

где - единичные векторы, направленные вдоль подвижных осей . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), получим:

При относительном движении координаты изменяются с течением времени. Чтобы найти скорость относительного движения, нужно продифференцировать радиус-вектор по времени, учитывая его изменение только за счет относительного движения, то есть только за счет изменения координат , а подвижную систему координат предполагать при этом неподвижной, то есть вектора считать не зависящими от времени. Дифференцируя равенство (2.68) по времени с учетом сделанных оговорок, получим относительную скорость.

Общая постановка задачи об относительном движении такова: движение точки определяется наблюдателями, связанными с двумя различными координатными системами (системами отсчета), причем эти системы движутся заданным образом друг по отношению к другу. Каждый наблюдатель определяет кинематические элементы движения: траекторию, скорость и ускорение в своей системе отсчета. Ставится задача: зная движение одной системы отсчета по отношению к другой, найти связь между кинематическими элементами движения точки по отношению к каждой системе в отдельности. Предположим, что движение точки М в пространстве рассматривается в двух движущихся друг по отношению к другу системах координат: Oxyz , и

(рис.41). В зависимости от содержания стоящей перед нами задачи одну из этих систем Oxyz примем за основную и назовем абсолютной системой и все кинематические элементы его абсолютными. Другую систему

назовем относительной и соответственно движение по отношению к этой системе, а также его кинематические элементы относительными. Термины «абсолютный» и «относительный» имеют здесь условное значение; при рассмотрении движений может оказаться целесообразным то одну, то другую систему принимать за абсолютную. Элементы абсолютного движения будем обозначать подстрочным индексом «а », а относительного - индексом «r ».

Введем понятие переносного движения, элементы которого будем обозначать подстрочным индексом «е ». Переносным движением точки будем называть движение (по отношению к абсолютной системе) того пункта относительной системы, через который в рассматриваемый момент времени проходит движущаяся точка. Понятие переносного движения нуждается в пояснении. Необходимо четко различать точку, абсолютное и относительное движение которой рассматривается, от той, неизменно связанной с относительной системой точки, через которую в данный момент проходит движущаяся точка. Обычно та и другая точка обозначены одной буквой М , так как рисунок не передает движения; на самом деле это две различные точки, движущиеся друг по отношению к другу.

Остановимся на двух иллюстрациях понятия переносного движения. Если человек идет по движущейся платформе, то можно рассматривать, во-первых, «абсолютное» движение человека по отношению к земле, во-вторых, «относительное» его движение по платформе. Переносным движением при этом будет являться движение по отношению к земле того места платформы, по которому проходит в данный момент человек.