Найти линейную комбинацию векторов 2а 3в. Линейные комбинации. Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

ВЕКТОРЫ

Векторами называются математические объекты (a , b , c , …), для которых определено выполнение двух алгебраических операций:

· сложение двух векторов a + b = c

· умножение вектора на число a а = b .

Наиболее существенной особенностью этих операций является то, что в результате их выполнения всегда получается вектор того же типа, что и исходные векторы. Поэтому, имея некоторый исходный набор векторов, мы можем постепенно расширять его, т.е. получать все новые и новые векторы, применяя к уже имеющимся векторам операции сложения и умножения на число. В конце концов мы придем к такому множеству векторов, которое уже больше не будет расширяться, т.е. окажется замкнутым относительно указанных операций. Такое множество векторов называется векторным пространством .

Если при выполнении указанных операций выполняются дополнительные условия линейности :

a(a + b )= aa + ab

(a + b)a = aa + bb

то получающееся пространство называется линейным пространством (ЛП) или линейным векторным пространством (ЛВП). ЛВП может, наряду с группами симметрии, служить еще одним примером математических структур, представляющих собой замкнутые множества однотипных и упорядоченных определенным образом (с помощью алгебраических операций) объектов.

Линейные комбинации

Располагая операциями сложения векторов и умножения их на числа, можно построить и более сложную конструкцию типа:

aa + bb + gc + ..... = x

которая называется линейной комбинацией (ЛК) векторов a, b, c, . . . c коэффициентами a, b, g,. . . , соответственно.

Понятие ЛК позволяет сформулировать несколько общих правил:

· всякая ЛК любых векторов некоторого ЛП также является вектором того же самого ЛП;

· любой вектор некоторого ЛП может быть представлен в виде ЛК нескольких векторов того же самого ЛП;

· в любом ЛП существует такой выделенный набор векторов, называемый базисным набором (или просто базисом ), что все, без исключения, векторы этого ЛП могут быть представлены как линейные комбинации этих выделенных базисных векторов. На векторы, выбираемые в качестве базисных, накладывается одно важное условие: они должны быть линейно независимы между собой (не должны выражаться друг через друга, т.е.: x ≠ a × y ).

Эти правила дают возможность ввести специальный способ описания любого ЛП. Выберем базисный набор и разложим все интересующие нас векторы по этому базису (т.е. представим их в виде ЛК базисных векторов); тогда каждый вектор можно однозначно задать посредством набора коэффициентов ЛК, соответствующей данному вектору. Такие коэффициенты называются координатами вектора (по отношению к заданному базису). Подчеркнем, что координаты вектора - это обыкновенные числа, и координатное представление вектора позволяет описать его посредством только совокупности чисел, независимо от конкретного физического смысла, вкладываемого нами в понятие вектора.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть у нас имеется набор различных смесей двух чистых химических веществ: воды и спирта. Среди всех возможных смесей выделим две особых:

1) смесь S 1 , содержащая 100 % воды и 0 % спирта;

2) смесь S 2 , содержащая 0 % воды и 100 % спирта.

Ясно, что произвольную смесь можно представить в виде ЛК этих двух базисных смесей:

S = n 1 * S 1 + n 2 * S 2

и полностью охарактеризовать ее всего двумя числами-координатами: n 1 и n 2 . Другими словами, при заданном базисном наборе, мы можем установить эквивалентность произвольной химической смеси и набора чисел:

S ~ {n 1 , n 2 }.

Теперь достаточно заменить конкретное химическое слово "смесь" на абстрактный математический термин "вектор", чтобы получить модель ЛВП, описывающую множество смесей двух веществ.

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ : a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = - 2 .

Ответ: m = - 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Обозначим:

A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В таком случае:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Линейной комбинацией системы векторов

называется вектор

где a 1 , a 2 , ..., a n - произвольные числа.

Если все a i = 0, то линейная комбинация называется тривиальной . В этом случае, очевидно,

Определение 5.

Теорема 2 (Условия линейной зависимости).

Определение 6.

Из теоремы 3 следует, что если в пространстве задан базис то добавив к нему произвольный вектор , получим линейно зависимую систему векторов. В соответствии с теоремой 2 (1) , один из них (можно показать, что вектор ) можно представить в виде линейной комбинации остальных:

.

Определение 7.

Если векторы рассматриваются на плоскости, то базисом будет упорядоченная пара неколлинеарных векторов

и координатами вектора в этом базисе – пара чисел:

Замечание 3 . Можно показать, что при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно . Из этого, в частности, следует, что если векторы равны, то равны их соответствующие координаты, и наоборот .

Таким образом, если в пространстве задан базис, то каждому вектору пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (координаты вектора в этом базисе) и наоборот: каждой тройке чисел соответствует вектор.

На плоскости аналогичное соответствие устанавливается между векторами и парами чисел.

Теорема 4 (Линейные операции через координаты векторов).

Иными словами:

при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число ;

при сложении векторов складываются их соответствующие координаты .

Пример 1 . В некотором базисе векторы имеют координаты

Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они некомпланарны, следовательно (в соответствии с теоремой 3(2) ) линейно независимы.

По определению 5 это означает, что равенство

возможно только в случае, когда x = y = z = 0.

В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей  

Второй вариант предполагает ориентацию на один критерий. В качестве его может либо выбираться один из стандартных показателей , имеющих вполне понятную экономическую интерпретацию (например, один из коэффициентов ликвидности , коэффициент обеспеченности процентов и т.п.), либо этот критерий разрабатывается в виде некоторого искусственного показателя, обобщающего частные критерии. Для этого обобщенного критерия устанавливается пороговое значение, с которым и делается сравнение фактического значения критерия, рассчитанного для потенциального заемщика. Основная трудность в реализации этого подхода заключается в способе конструирования обобщенного показателя. Чаще всего он представляет собой линейную комбинацию частных критериев, каждый из которых включается в обобщающий показатель с некоторым весовым коэффициентом . Именно такой подход был использован Э. Альтманом при разработке Z-критерия для прогнозирования банкротства.  

Строка е называется линейной комбинацией строк е, е- ..., ет матрицы, если  

Понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов е, e2 . f ет аналогичны соответствующим понятиям для строк матрицы е, е2,..., ет (11.5).  

Как показано в , при ограниченных и выпуклых допустимых множествах (2.14) вектор х% 0, удовлетворяющий ограничению A xk bk, можно представить в виде выпуклой линейной комбинации конечного множества крайних точек  

Оптимизационная процедура расчета предельных значений элементов а и их линейных комбинаций в значительной мере лишена указанных недостатков.  

Очевидно, что точка (X1, д), полученная линейной комбинацией (А/, д) и (Л.", д"), также является решением системы (4.43), (4.44).  

В этом параграфе мы рассмотрим правила вычисления математического ожидания и дисперсии многомерной случайной величины , являющейся линейной комбинацией коррелированных случайных величин  

Следовательно, для линейной комбинации произвольного количества случайных величин получаем  

Рассмотрим случай, когда инвестирование проводится в несколько активов (портфель). Портфель является линейной комбинацией активов, каждый из которых имеет собственное математическое ожидание дохода и дисперсию дохода.  

В отличие от произвольной линейной комбинации случайных величин , веса активов подчиняются правилу нормирования  

В предыдущем параграфе было показано, что в случае, когда коэффициент корреляции между активами меньше 1, диверсификация портфеля может улучшить соотношение между ожидаемым доходом и ожидаемым риском. Это связано с тем, что ожидаемый доход портфеля является линейной комбинацией ожидаемых доходов по входящим в портфель активам, а дисперсия портфеля является квадратичной функцией от с.к.о. входящих в портфель активов.  

Поскольку дискриминантная функция зависит лишь от линейной комбинации входов, нейрон является линейным дискриминатором. В некоторых простейших ситуациях линейный дискриминатор - наилучший из возможных, а именно - в случае когда вероятности принадлежности входных векторов к классу k задаются гауссовыми распределениями  

Точнее - выходы сети Ойа являются линейными комбинациями первых Ш главных компонент . Чтобы получить в точности сами главные компоненты достаточно в правиле Ойа заменить суммирование по всем выходам на  

Векторы b, кроме того, образуют так называемый минимальный базис. А именно, это минимальное число векторов, с помощью линейной комбинации которых могут быть представлены все запоминаемые векторы  

Следующая систематическая процедура способна итеративно выделять наиболее значимые признаки, являющиеся линейными комбинациями входных переменных X = W X (подмножества входов является частным случаем линейной комбинации, т.е. формально можно найти лучшее решение, чем то, что доступно путем отбора наиболее значимых комбинаций входов).  

В ходе анализа для характеристики различных аспектов финансовогс состояния применяются как. абсолютные показатели , так и финансовые коэффициенты , представляющие собой относительные показатели финансового состояния . Последние рассчитываются в виде отношений абсолютных показателей финансового состояния или их линейных комбинаций. Согласно классификации одного из основателей балансоведени Н.А.Блатова, относительные показатели финансового состояния подразделяются на коэффициенты распределения и применяются в тех случаях, когда требуется определить, какую часть тот или иной

Лекция 6.

Векторы …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , … , среди которых по крайней мере одно, не равное нулю, такие, что

Сумма произведений чисел на векторы , т.е. вектор

называется линейной комбинацией векторов .

Если вектор представлен в виде линейной комбинации векторов , то говорят также, что вектор разложен по векторам .

Данное выше определение линейной зависимости векторов , эквивалентно такому: векторы линейно зависимы, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложить по остальным).

Теорема 1. Для того чтобы два вектора и были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство необходимости. Дано: векторы и линейно зависимы. Требуется доказать, что они коллинеарны. Так как векторы и линейно зависимы, то существуют числа и , не равные нулю одновременно, и такие, что

Пусть, например, ; тогда

отсюда следует, что векторы и коллинеарны.

Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что они линейно зависимы.

Если , то имеет место равенство , а это означает, что векторы и линейно зависимы .

Если же , то полагая , находим , или ; значит векторы и линейно зависимы.

Три вектора называются компланарными, если, будучи отложены от одной точки, оказываются лежащими в одной плоскости.

Теорема 2. Для того, чтобы три вектора , , были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Дано: векторы , , линейно зависимы. Требуются доказать, что они компланарны.

Так как векторы , , линейно зависимы, то существуют числа , , , среди которых есть хотя бы одно ; такие, что

Пусть, например, ; тогда

Векторы и коллинеарны соответственно векторам и ; поэтому сумма таких векторов, т.е. вектор будет компланарен с векторами и .

Доказательство достаточности. Дано: векторы , , компланарны. Требуется доказать, что эти векторы линейно зависимы.

Если векторы и коллинеарны, то они линейно зависимы (теорема 1 настоящего параграфа), т.е. найдутся числа и , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что , но тогда и , т.е. векторы , , линейно зависимы.

Пусть векторы и неколлинеарны. Отложим векторы , и от одной и той же точки О :

Так как векторы , , компланарны, то точки О , лежат в одной плоскости. Спроектируем точку на прямую параллельно прямой ; пусть Р – эта проекция. Тогда и так как

то, полагая

то есть векторы , , - линейно зависимы.

Теорема 3. Всякие четыре вектора , , , в пространстве линейно зависимы.

Доказательство. Предложим, то векторы , , некомпланарны. Отложим все векторы , , , от одной и той же точки О :

Пусть Р – проекция точки на плоскость параллельно прямой , а - проекция точки Р на прямую параллельно прямой . Тогда .

Векторы соответственно коллинеарны векторам , и . Полагая ; ; получим ; ;

и, следовательно:

т.е. векторы , , , линейно зависимы.

Теорема 4. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.

Докажем теорему для случая, когда векторы заданы своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве.

Доказательство необходимости. Дано: векторы ; и коллинеарны. Требуется доказать, что их координаты пропорциональны.

Так как , то полагая , получим , т.е.

Доказательство достаточности. Дано: координаты векторов

пропорциональны. Требуется доказать, что эти векторы коллинеарны.

Пусть ; то есть , или , и, значит, векторы и коллинеарны.

Теорема 5. Для того, чтобы два вектора и , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат на плоскости

или относительно общей декартовой системы координат в пространстве

были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы

(в случае плоскости),

(в случае пространства).

Докажем теорему для случая, когда векторы и заданы своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве.

Доказательство необходимости. Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что выполнены соотношения

Если векторы и ненулевые и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, а потому эти равенства выполнены (определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю). Если или (или ==0), то это равенство очевидно.

Доказательство достаточности. Дано, что эти соотношения выполнены. Требуется доказать, что векторы и коллинеарны.

Если (т.е. =0), то векторы и коллинеарны (т.к. нулевой вектор коллинеарен любому вектору). Пусть хотя бы одно из чисел не равно нулю, например . Положим ; тогда и из соотношения или (раскрывая определитель) , находим, , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда выполнены соотношения

Следствие 3. Точки , , , , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы ; ; компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда .