Тригонометрическая функция равная отношению синуса к косинусу. Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪.

При определении функции у = cos φ (для всех φ) заметим сначала, что cos φ = sin (π/2 - φ) для 0 ≤ φ ≤ π/2, которое следует непосредственно из определения тригонометрических функций sin φ и cos φ. Так как функция у = sin φ уже нами определена при всех φ, мы положим по определению, что это равенство и задает функцию у = cos φ при всех φ. Из этого определения нетрудно получить и график функции у = cos φ, которая, очевидно, будет четной и периодической, так как ее график получается из графика функции у = sin φ путем параллельного переноса влево на отрезок длиной π/2, как единого целого графика функции у = sin φ (рис. 5).

Простейший анализ (с помощью графика) показывает, что помимо отмеченной выше справедливы также следующие так называемые формулы приведения:

sin (φ + nπ) = ± sin φ, cos (φ + nπ) = ± соs φ,

sin (φ + nπ/2) = ± cos φ, cos (φ + nπ/2) = ∓ sin φ,

В формулах первой строки n может быть любым целым числом, причем верхний знак соответствует n = 2k, нижний знак - значению n = 2k + 1, а в формулах второй строки n может быть только нечетным числом, причем верхний знак берется при n = 4k + 1, а нижний - при n = 4k - 1, k - целое.

С помощью основных тригонометрических функций sin φ и cos φ можно определить другие тригонометрические функции - тангенс и котангенс:

tg φ = sin φ / cos φ,

ctg φ = cos φ / sin φ;

при этом тангенс определен только для таких значений φ, для которых cos φ ≠ 0, т. е. для φ ≠ π/2 + nπ, n = 0, ±1, + 2, ..., а функция котангенс - для таких φ, для которых sin φ ≠ 0, т.е. φ ≠ nπ, n = 0, ±1, ±2, .... Эти функции для острых углов могут быть также представлены геометрически направленными отрезками прямых (рис. 6):

tg φ = |AВ|, ctg φ = |CD|.

Подобно синусу и косинусу, функции тангенс и котангенс для острых углов могут рассматриваться как отношения катетов: противолежащего к прилежащему для тангенса и прилежащего к противолежащему для котангенса. Графики функций у = tg φ и у = ctg φ показаны на рис. 7 и 8; как видно, эти функции являются нечетными, периодическими и имеют в качестве периода числа nπ, n = +1, ±2, ....

Важнейшие тригонометрические формулы - формулы сложения:

sin (φ 1 ± φ 2) = sin φ 1 cos φ 2 ± cos φ 1 sin φ 2 ,

cos (φ 1 ± φ 2) = cos φ 1 cos φ 2 ∓ sin φ 1 sin φ 2 ,

tg(φ 1 ± φ 2) = (tg φ 1 ± tg φ 2)/(1 ∓ tg φ 1 tg φ 2)

знаки в левых и правых частях формул согласованы, т.е. верхнему знаку слева соответствует верхний знак справа. Из них, в частности, выводятся формулы для кратных аргументов:

sin 2φ = 2 sin φ cos φ,

cos 2φ = cos 2 φ - sin 2 φ,

tg 2 φ = 2tg φ (1 - tg 2 φ).

Сумму и разность тригонометрических функций можно представить в виде произведения тригонометрических функций (знаки в первой и четвертой формулах согласованы):

sin φ 1 sin φ 2 = 2sin ((φ 1 ± φ 2)/2) cos ((φ 1 ∓ φ 2)/2),

cos φ 1 + cos φ 2 = 2cos ((φ 1 + φ 2)/2) cos ((φ 1 - φ 2)/2),

cos φ 1 - cos φ 2 = -2sin ((φ 1 + φ 2)/2) sin ((φ 1 - φ 2)/2),

tg φ 1 ± tg φ 2 = sin (φ 1 ± φ 2)/(cos φ 1 cos φ 2).

Произведение тригонометрических функций выражается через сумму следующим образом:

sin φ 1 cos φ 2 = 1/2 ,

sin φ 1 sin φ 2 = 1/2 ,

cos φ 1 cos φ 2 = 1/2 .

Производные тригонометрических функций выражаются через тригонометрические функции (здесь и всюду в дальнейшем мы заменим переменную φ на х):

(sin х)" = cos х, (cos х)" = -sin х,

(tgx)" = 1/cos 2 x, (ctgx)"= -1/sin 2 x.

При интегрировании тригонометрических функций получаются тригонометрические функции или их логарифмы (0 < х < π/2, С - абсолютная постоянная):

∫sin x dx = -cos х + С, ∫cos x dx = sin x + С,

∫tg xdx = -ln cos x + C, ∫ctg x dx = ln sin x + С.

Основные тригонометрические функции u = cos х и v = sin х, как мы видели, связаны следующими соотношениями:

и" = -v, v" = u.

Дифференцируя вторично эти равенства, получаем:

и" = -v"= -u, v" = u"= -V.

Таким образом, функции u и v от переменной х могут рассматриваться как решения одного и того же (дифференциального) уравнения у" + у = 0.

Это уравнение, а точнее - его обобщение, содержащее положительную постоянную k 2 , у" + k 2 у = 0 (решениями которого, в частности, служат функции cos kx и sin kx), постоянно встречается при изучении колебаний, т.е. при изучении конструкций механизмов, совершающих или производящих колебательные движения.

Функция cos x может быть представлена в виде бесконечного ряда 1 - х 2 /2! + х 4 /4! - х 6 /6!.... Если взять несколько первых членов этого ряда, мы получим приближения функции cos x с помощью многочленов. На рис. 9 показано, как графики этих многочленов с ростом их степени все лучше приближают функцию cosx.

Название «синус» происходит от латинского sinus - «перегиб», «пазуха» - представляет собой перевод арабского слова «джива» («тетива лука»), которым обозначали синус индийские математики. Латинское слово tangens означает «касательная» (см. рис. 6; АВ-касательная к окружности). Названия «косинус» и «котангенс» представляют собой сокращения терминов complementi sinus, complementi tangens («синус дополнения», «тангенс дополнения»), выражающих тот факт, что cos φ и ctg φ равны соответственно синусу и тангенсу аргумента, дополнительного к φ до π/2: cos φ = sin (π/2 - φ), ctg φ = tg(π/2 - φ).