Функции заданные неявно системой уравнений. Производная функции, заданной неявно
Дана система уравнений
или кратко F (x , y )=0 (1)
Определение. Система (1) определяет неявно заданную функцию y = f (x ) на D R n
,
если x D : F (x , f (x )) = 0.
Теорема (существование и единственность отображения, неявно заданного системой уравнений). Пусть
Тогда в некоторой окрестности U (x 0 ) существует единственная функция (отображение), определенная в этой окрестности y = f (x ), такая, что
x U (x 0 ) : F (x , f (x ))=0 и y 0 = f (x 0 ).
Эта функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 .
5.Вычисление производных неявных функций, заданных системой уравнений
Дана система
(1)
Будем предполагать, что выполнены условия теоремы существования и единственности неявной функции, заданной этой системой уравнений. Обозначим эту функцию y = f (x ) . Тогда в некоторой окрестности точки x 0 справедливы тождества
(F(x, f(x))=0) (2)
Дифференцируя эти тождества по x j получим
=0 (3)
Эти равенства можно записать в матричном виде
, (3)
или в развернутом виде
.
Отметим, что переход
от равенства F
(x
,
f
(x
))=0
к
,
соответствует
правилам дифференцирования для случая,
когда x
и y
являются точками одномерного пространства.
Матрица
по условию не вырождена, поэтому матричное
уравнение
имеет решение
. Таким образом можно найти частные
производные первого порядка неявных
функций.
Для нахождения дифференциалов обозначим
dy = ,dx = , дифференцируя равенства(2) получим
=0 ,
или в матричном виде
. (4)
В развернутом виде
.
Также как и в случае
частных производных, формула (4)
имеем такой же вид, как и для случая
одномерных пространств n
=1,
p
=1.
Решение
этого матричного уравнения запишется
в виде
.
Для нахождения частных производных
второго порядка нужно будет дифференцировать
тождества(3)
(для вычисления
дифференциалов второго порядка
дифференцировать нужно тождества (4)
). Таким
образом, получим
,
где через A
обозначены
слагаемые, не содержащие искомые
.
Матрицей коэффициентов
этой системы для определения производных
служит
матрица Якоби.
Аналогичную формулу можно получить для дифференциалов. В каждом из этих случаев будет получаться матричное уравнение с той же матрицей коэффициентов в системе уравнений для определения искомых производных или дифференциалов. То же самое будет происходить и при следующих дифференцированиях.
Пример 1. Найти ,,в точкеu =1, v =1.
Решение. Дифференцируем заданные равенства
(5)
Отметим, что по постановке задачи, независимыми переменными мы должны считать x , y . Тогда функциями будут z , u , v . Таким образом, систему (5) следует решать относительно неизвестных du , dv , dz . В матричном виде это выглядит следующим образом
.
Решим эту систему, используя правило Крамера. Определитель матрицы коэффициентов
, Третий «замещенный» определитель для dz будет равен (его вычисляем разложением по последнему столбцу)
, тогда
dz
=
,
и
,
.
Дифференцируем (5) еще раз (x , y – независимые переменные)
Матрица коэффициентов системы та же самая, третий определитель
Решая эту систему, получим выражение для d 2 z откуда можно будет найти нужную производную.
Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (1).
Пример. Найти и , если (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.
Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f (х,y) найдем частные производные
f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],
f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].
Отсюда, применяя формулу (1), получим:
.
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывай при этом, что у есть функция х:
.
2°. Случай нескольких независимых переменных . Аналогично, если уравнение F(х, у, z)=0 , где F(х, у, z ) - дифференцируемая функция переменных х, у и z , определяет z как функцию независимых переменных х и у и Fz(x, у, z)≠ 0, то частные производные этой неявно заданной функции, вообще говоря, могут быть найдены по формулам
. |
Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение F(х, у, z) = 0 , получим:
.
Отсюда можно определить dz, а следовательно, и .
Пример. Найти и , если x ² - 2 y ²+3 z ² - yz + y =0.
1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(х, у, z) , найдем частные производные F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y .
Применив формулы (2), получим:
2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:
2х dx -4 y dy +6 z dz - y dz - z dy + dy =0
Отсюда определяем dz , т. е. полный дифференциал неявной функции:
.
Сравнивая с формулой , видим, что
.
3°. Система неявных функций . Если система двух уравнений
определяет u и v как функции переменных х и у и якобиан
,
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений
|
Пример: Уравнения u+v=x+y, xu+yv=1 определяют u и v как функции х и у ; найти .
Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим:
.
Аналогичным образом найдем:
.
2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных: du + dv = dx + dy , x du + u dx + y dv + v dy =0.
Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv , получим:
4°. Параметрическое задание функции . Если функция г переменных х и у задана параметрически уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и
,
то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений
Зная дифференциал dz=p dx+q dy , находим частные производные и .
Пример. Функция z аргументов х и у задана уравнениями x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v ).
Найти и .
Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:
Из первых двух уравнений определим du и dv :
.
Подставим в третье уравнение найденные значения du и dv :
.
2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти:
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у :
Из первой системы найдем: .
Из второй системы найдем: .
Подставляя выражения и в формулу (5), получим:
Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через другие производные по правилам дифференцирования сложной функции.
1°. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.
,
полагая .
у по х через производные от у по t . Имеем:
,
.
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя х через , получим:
Пример. Преобразовать уравнение
,
приняв за аргумент у , а за функцию х.
Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у.
.
Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:
,
или, окончательно,
.
Пример . Преобразовать уравнение
перейдя к полярным координатам
x=r cos φ, y=r cos φ. |
Решение. Рассматривая r как функцию φ , из формул (1) получим:
dх = соsφ dr – r sinφ d φ, dy=sinφ+r cosφ dφ,
Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1)
.
И пусть это уравнение, при некотором значении ,
имеет единственное решение .
Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке ,
причем
.
Тогда, при этом значении ,
существует производная ,
которая определяется по формуле:
(2)
.
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3)
:
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и ,
то
(4)
;
.
Формула доказана.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4)
.
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1)
.
Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения :
.
По формуле производной суммы :
.
Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5)
.
Подставив сюда производную ,
получим значение производной второго порядка в неявном виде.
Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.
Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1)
.
Решение по формуле 2
Находим производную по формуле (2):
(2)
.
Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .
Находим производную по ,
считая постоянной.
;
;
;
.
Находим производную по переменной ,
считая переменную постоянной.
;
;
;
.
По формуле (2) находим:
.
Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), .
Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).
Применяем :
.
Применяем формулу производной дроби :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1)
;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.
Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.
Ответ
Пример 2
Найти производную второго порядка от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1)
.
Решение
Дифференцируем исходное уравнение, по переменной ,
считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что .
Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2)
.
Находим производную первого порядка:
(П2.3)
.
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :
;
.
Отсюда находим производную второго порядка.
Ответ
Пример 3
Найти производную третьего порядка при от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1)
.
Решение
Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2)
;
Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3)
.
Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4)
.
Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно y:
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производные f"x и f"y определены и непрерывны в некоторой окрестности UM0 точки M0(x0y0). Кроме того, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестности UM0 неявную функцию y= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале D с центром в точке x0, причем y(x0)=y0.
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D:
то- есть имеет место тождество по
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области V пространства Oxyz выполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:
Пример 1.12. Считая, что уравнение
неявно задаёт функцию
найти z"x, z"y.
поэтому согласно (1.37) получаем ответ.
11.Использование частных производных в геометрии.
12.Экстремумы функции двух переменных.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).
Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.
Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).
Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).
На рисунке 210: N1 - точка максимума, а N2 - точка минимума функции z=ƒ(x;у).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ"x(х0;у0)=0, ƒ"y(х0;у0)=0.
Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ"(х0) = 0, т. е. ƒ"x(х0;y0)=0.
Аналогично можно показать, что ƒ"y(х0;у0) = 0.
Геометрически равенства ƒ"x(х0;у0)=0 и ƒ"y(х0;у0)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функцияимеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f"x=0, f"y=0, называется стационарной точкой функ ции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z"x=у и z"y - х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f""xx(x0;y0), В=ƒ""xy(х0;у0), С=ƒ""уy(х0;у0). Обозначим
1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
ЗАДАЧИ
1.
Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции . Решение. Первым шагом является нахождение обрасти определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим к производной функции: Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x = 0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале. Таким образом, и . В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы. Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов. Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2] .
2.
Примеры .
Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x 2 .
Найдем y "" и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y " = –2x , y "" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.
y = e x . Так как y "" = e x > 0 при любых x , то кривая всюду вогнута.
y = x 3 . Так как y "" = 6x , то y "" < 0 при x < 0 и y "" > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.
3.
4. Дана функция z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j и точка А(3,2). Найти dz/dl (я так понял производная функции по направлению вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Найдем частные производные: z(по х)=2x+5 z(по y)=-2y+4 Найдем значения производных в точке А(3,2): z(по х)(3,2)=2*3+5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Откуда, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0^2)=11 Производная функции z по направлению вектора l: dz/dl=z(по х)*cosa+z(по у)*cosb, a,b-углы вектора l с осями координат. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.