Не существует метода построения уравнения множественной регрессии. Методика построения множественного уравнения регрессии. Множественная и нелинейная

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … +a n x n + b + ε,

где y – результативный признак (зависимая, результирующая, эндогенная переменная);

n – число факторов, включенных в модель;

x 1 , x 2 , …, x n – признаки-факторы (регрессоры, объясняющие, предикторные, предопределенные, экзогенные переменные);

a 1 , a 2 , …, a n – коэффициенты регрессии;

b – свободный член регрессии;

ε - компонента, отражающая в модели влияние случайных факторов, из-за которых реальное значение показателя может отклоняться от теоретического (регрессионный остаток).

По своей природе результирующая переменная всегда случайна. Регрессионный остаток позволяет отразить в модели стохастическую, вероятностную природу экономических процессов. Кроме того, можно также сказать, что он отражает все прочие не учтенные в явном виде факторы, которые могут повлиять на результат.

В дальнейшем в этом разделе, рассматривая способы построения уравнения регрессии, случайную компоненту пока не будем учитывать, т.е. будем рассматривать только детерминированную часть результата.

Экономический смысл параметров регрессии. Коэффициенты и свободный член регрессии принято также называть параметрами регрессии, или параметрами модели.

Коэффициенты регрессии a 1 , a 2, … , a n , как видно из записи модели, представляют собой частные производные результата по отдельным признакам-факторам:

Они показывают, на сколько изменяется результативный признак при изменении соответствующего признака на единицу и неизменных значениях остальных признаков (например, в формуле (1.9) коэффициент a показывает, на сколько изменится спрос на продукт при изменении цены на единицу) . Поэтому иногда коэффициент линейной регрессии называют также предельной эффективностью фактора.

Знак коэффициента линейной регрессии всегда совпадает со знаком коэффициента корреляции, так как положительная корреляция означает, что результат растет с ростом фактора, а отрицательная – что с ростом фактора результат убывает.

Однако, сравнение коэффициентов регрессии при различных признаках-факторах между собой представляется затруднительным, поскольку различные факторы обычно имеют разные единицы измерения, характеризуются различными значениями средних и показателями вариации. Чтобы решить эту проблему, рассчитывают стандартизованные коэффициенты регрессии (см. далее). В отличие от стандартизованных коэффициентов регрессии коэффициенты регрессии a 1 , a 2, … , a n принято называть коэффициентами чистой регрессии .

Свободный член регрессии b показывает значение признака-результата при условии, что все признаки-факторы равны нулю. Если такая ситуация невозможна, свободный член может и не иметь экономического содержания.

Частные уравнения регрессии. На основе линейного уравнения множественной регрессии могут быть получены частные уравнения регрессии, в которых все факторы, кроме обычно одного, закреплены на своем среднем уровне. Такое частное уравнение регрессии устанавливает связь между результативным признаком и одним из признаков-факторов при условии, что остальные факторы приравнены к своим средним значениям. Система таких уравнений выглядит следующим образом:

Кроме того, можно построить частные уравнения регрессии и для нескольких независимых переменных, т.е. закрепить на среднем уровне все факторы, кроме нескольких.

На основе частных уравнений регрессии могут быть построены так называемые частные коэффициенты эластичности Э i , которые рассчитываются по формулам и показывают, на сколько процентов изменится результат при изменении фактора x i на 1%. Расчет этих коэффициентов позволяет оценить, какие факторы более сильно воздействуют на результативный признак. Таким образом, их тоже можно использовать при отборе факторов в регрессионную модель.

Стандартизованное уравнение регрессии [Лукин]. Перейдем от переменных модели y, x 1 , x 2 , …, x n к так называемым стандартизованным переменным по следующим формулам:

где - стандартизованные переменные;

α 1 , α 2 , …, α n – стандартизованные коэффициенты регрессии.

Для нахождения стандартизованных коэффициентов используют матрицу парных коэффициентов корреляции (1.6). Можно доказать, что для стандартизованных коэффициентов регрессии выполняется следующая система уравнений:

где α i – стандартизованные коэффициенты регрессии,

Парные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов.

Подставив в стандартизованное уравнение регрессии (1.16) вместо стандартизованных переменных формулы (1.15), можно вернуться к уравнению чистой регрессии.

Парную линейную регрессию еще иногда называют простой регрессией.

Формулы для нелинейных функций приведены для случая, когда имеется один признак-фактор, хотя эти функции можно использовать и в случае множественной регрессии.

Можно показать, что показательная и экспоненциальная функция – одно и то же. Действительно, пусть у = ab x = a(e ln b) x = ae x * ln b = aе bx , где
b = ln b.

Формула (1.17) получена из формулы (1.6) следующим образом: правые части уравнений получены путем перемножения стандартизованных коэффициентов на столбцы матрицы (1.6), начиная со второго столбца и второй строки. В левой части – первая строка матрицы (1.6). Аналогичный результат можно получить, если перемножать коэффициенты на строки, а в левой части оставить первый столбец.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Кафедра информатики и компьютерных технологий

Расчетно-графическое задание

Вариант 7

По дисциплине: Эконометрика

Тема: «построение уравнения множественной регрессии»

Выполнил: студент гр. ЭГ-13-2 _________ /Чакир А.Ю./

Проверил: доцент ____________ / Беляев В.В./

Санкт-Петербург

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: закрепить и углубить знания, полученные при изучении курса, в области построения моделей множественной регрессии.

ЗАДАНИЕ: изучить влияние факторов, определяющих цену строящегося жилья в Санкт-Петербурге.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Рис. 1 Фрагмент таблицы исходных данных

ТРЕБУЕТСЯ

1. Определить факторы, формирующие цену квартир в строящихся домах в Санкт-Петербурге.

2. Построить уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов в линейной форме. Оценить адекватность полученной модели. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции исходных переменных и проанализировать ее.

3. Построить модельв линейной форме методом включения. Определить, какие факторы значимо воздействуют на формирование цены квартиры в этой модели.

4. Построить графики остатков, выполнить визуальный анализ. Провести тестирование ошибок (остатков) уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гельфельда-Квандта.

5. Оценить автокорреляцию остатков с помощью статистики Дарбина-Уотсона.

6. Написать уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе, пояснить экономический смысл его параметров.

7. Вычислить средние частные коэффициенты эластичности для факторов, вошедших в модель. Пояснить их экономический смысл.

8. Пользуясь уравнением регрессии вычислить прогнозные значения стоимости объекта недвижимости, если значения значимых факторов равны, где и максимальное и минимальное значения факторов в таблице исходных данных. Вычислить точечный и интервальный прогноз.

ХОД РАБОТЫ

матрица корреляция уравнение регрессия

Предположим, что на стоимость строящего в Санкт-Петербурге жилья влияют все перечисленные в таблице факторы, т.е. общая и жилая площадь квартиры, площадь кухни, наличие балкона и число месяцев до окончания срока строительства. Наличие балкона - качественная характеристика, поэтому влияние этой характеристики на стоимость жилья учтем с помощью фиктивной переменной, которая будет принимать значение 0, если балкона нет и 1 - если балкон есть.

Введем следующие переменные:

y - цена квартиры, тыс.долл.

x1 - общая площадь квартиры (кв.м)

x2 - жилая площадь квартиры (кв.м)

x3 - площадь кухни (кв.м)

x4 - наличие балкона (1- есть, 0 - нет)

x5 - число месяцев до окончания срока строительства.

Пользуясь надстройкой «Анализ данных - Регрессия» построим уравнение регрессии.

Рис. 2 Регрессионная статистика

Получили уравнение

y=1,062+0,513 x1-0,04 x2+0,08 x3+0,514 x4-0,426 x5

Очевидно, что полученное уравнение противоречит практике, коэффициент при x2 отрицательный, то есть увеличение жилой площади уменьшает общую стоимость квартиры.

Проанализируем межфакторную корреляцию. Для получения матрицы парных линейных коэффициентов корреляции воспользуемся надстройкой «Анализ данных - Корреляция».

Рис. 3 Корреляционный анализ

Значения коэффициентов линейной парной корреляции высоки; , что говорит о взаимозависимости этих факторов, то есть о мультиколлинеарности.

Полученное уравнение множественной регрессии, включающее весь имеющийся набор факторов, не адекватно. Возможная причина - мультиколлинеарность факторов, квлюченных в модель.

Построение модели методом включения - это пошаговый отбор переменных.

На 1-м шаге (k=1) по наибольшему значению коэффициента корреляции с y найдем наиболее информативную переменную - это x1.

Так как при k=1 величина R2 совпадает с квадратом обычного (парного) коэффициента корреляции R2 = r2(y,x), из матрицы корреляций находим наибольший коэффициент детерминации для набора однофакторных регрессионных моделей:

Аналогичный результат можно получить последовательно строя уравнения регрессии для зависимостей y-xj с помощью табличной функции ЛИНЕЙН.

Рис. 4 Нахождение информативное переменной с помощью функции ЛИНЕЙН

Таким образом, в классе однофакторных регрессионных моделей наиболее информативным предиктором (предсказателем) является x1 - общая площадь квартиры. Включим эту переменную в выстраиваемую методом включения модель.

Вычислим скорректированный коэффициент детерминации:

где k-количество факторов.

2-й шаг (k=2). Среди всевозможных пар (х1 , хj), j = 2, 3, 4, 5, выбирается наиболее информативная пара:

Последовательно применяем табличную функцию ЛИНЕЙН к различным парам:

(х1 , х2) = 0.8684, (х1 , х3) = 0.8709,

(х1 , х4) = 0.8681, (х1 , х5) = 0.9147.

Очевидно, что наиболее информативной парой является (х1, х5), которая дает

С включением параметра х5 коэффициент детерминации вырос, следовательно, это правильное решение. Линейное уравнение с учетом факторов х1 и х5 имеет вид:

y (х1, х5) = 1,9787 + 0.4971 х1 - 0,4286 х5

Используя надстройку «Регрессия», проведем анализ значимости найденных коэффициентов.

Рис. 5 Фрагмент отчета регрессии по двум переменным

Столбец t-статистика содержит наблюдаемые значения t-критерия Стьюдента. Столбец «P-значение» используется для проверки гипотезы (о незначимости i-го коэффициента регрессии) с помощью критерия Стьюдента. Столбец содержит вероятности того, что в силу случайных причин принимает это или большее значение, хотя коэффициент регрессии bi =0. «P-значение» сравнивается с выбранным уровнем значимости б, если «P-значение» больше или равно б, то гипотеза подтверждается и коэффициент незначим, в противоположном случае коэффициент существенно отличен от 0, т.е. значим. Рассмотрев столбец «P-значение», приходим к выводу: два коэффициента при независимых переменных (х1 , х5) отличаются от нуля при уровне значимости = 0.05. Коэффициент «Y-пересечение» (1,9787) не значим, и его следует исключить из уравнения. Таким образом, уравнение фактически имеет вид:

3-й шаг (k = 3). Попытаемся добавить третью переменную в наше уравнение регрессии. Среди всевозможных троек (х1 , х5 , хj), j = 2, 3, 4, выбираем аналогично наиболее информативную: (х1, х5, х2), которая дает (3) = 0.9139, что меньше, чем (2) = 0.9147.

Рис. 6 Применение функции ЛИНЕЙН для нахождения третьего фактора

Следовательно, третью переменную в модель включать нецелесообразно, т.к. она понижает значение. Этот же результат получим, применив надстройку «Регрессия» Отметим, что коэффициент при x2 не значим при уровне значимости 0,05.

Рис. 7 Фрагмент отчета регрессии по трем переменным

Уравнение

y (х1, х5) = 0.4971 х1 - 0,4286 х5

адекватно описывает зависимость стоимости квартиры от влияющих на нее факторов, и может быть использовано для анализа и прогноза. Все коэффициенты при неизвестных в нем значимы.

Для применения метода наименьших квадратов требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичнной. Это значит, что для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.

Рассмотрим графики остатков для переменных x1 и x5, полученные при построении уравнения регрессии с помощью надстройки «Анализ данных - Регрессия» (рис.8).

Визуальный анализ остатков (ошибок аппроксимации) по графикам не может однозначно исключить наличие гетероскедастичности.

Рис. 8 Графики остатков

Нарушение гомоскедастичности может быть выявлено с помощью метода (теста) Гельфельда-Квандта. Предварительно все наблюдения упорядочим по одному из факторов, например, по х1.

Для применения теста Гельфельда-Квандта необходимо определить число исключаемых центральных наблюдений С. Из экспериментальных расчетов, проведенных авторами метода, рекомендовано при n=30 принимать C=8, а при n=60, - соответственно, С=16.

В задании при n= 69 было исключено 17 наблюдений (С=17). Тогда в каждой группе будет по 26 наблюдений

Рис. 9 Организация данных при использовании теста Гельфельда-Квандта (часть строк скрыта). Строки с 27 по 43 (#nn) исключены из рассмотрения

Для первой группы наблюдений строим уравнение линейной регрессии с помощью функции ЛИНЕЙН. Определяем остаточную сумму квадратов (S1) для первой группы (рис.10)

Рис. 10

Для второй группы наблюдений также строим уравнение линейной регрессии с помощью функции ЛИНЕЙН. Определяем остаточную сумму квадратов (S2) для этой группы (рис.11)

Рис. 11

Fкрит=FРАСПОБР(0.05;23;23)=2.01. Fнабл > Fкрит, следовательно, гипотеза о гомоскедастичности остатков отвергается. Значит, имеет место гетероскедастичность.

Для решения данной проблемы введем новую величину z равную стоимости квадратного метра общей площади квартиры.

Для первой группы наблюдений строим уравнение линейной регрессии с помощью функции ЛИНЕЙН. Определяем остаточную сумму квадратов (S1) для первой группы (рис.12)

Рис. 12 Результат работы функции ЛИНЕЙН для первой группы

Для второй группы наблюдений также строим уравнение линейной регрессии с помощью функции ЛИНЕЙН. Определяем остаточную сумму квадратов (S2) для этой группы (рис.13)

Рис. 13 Результат работы функции ЛИНЕЙН для второй группы

Fкрит=FРАСПОБР(0.05;23;23)=2.01. Fнабл < Fкрит, следовательно, гипотеза о гомоскедастичности остатков подтверждается.

Так как ошибки аппроксимации гомоскедастичны, применение МНК по данному условию корректно.

Для применения МНК требуется, чтобы значения остатков были распределены независимо друг от друга. Если это не так, то говорят, что остатки автокоррелированы.

Тестом на простейшую автокорреляцию ошибок (первого порядка) является тест Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson).

Рис. 14 Организация данных для вычисления статистики Дарбина-Уотсона в Excel (часть строк скрыта)

Вычислим значение статистики d по формуле:

По таблице для n = 26 и p=3 находим критические значения DU=1.67 и DL=1.55. Поскольку, остатки не коррелированы.

Так как значения остатков были распределены независимо друг от друга, применение МНК по данному условию корректно.

Рис. 15 Распределение остатков

Выведем уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Определим стандартизованные переменные:

Рис. 16 Отчет "Описательная статистика"

Для определения коэффициентов стандартизованного уравнения множественной регрессии можно использовать МНК или воспользоваться связью стандартизованных коэффициентов с полученными ранее коэффициентами множественной регрессии

Таким образом, уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

В силу того, что стандартизованные переменные центрированные и нормированы, стандартизованные коэффициенты можно сравнивать между собой, т.е. сравнивать факторы по силе воздействия. В нашем случае влияние первого фактора на результат более чем в четыре раза (0.95/0.21> 4) превышает влияние пятого фактора.

Рассчитаем средние частные коэффициенты эластичности, воспользовавшись результатами работы надстройки «Описательная статистика».

При изменении фактора х1 на один процент результат возрастет на 1.02%, при неизменных прочих параметрах. Аналогично, при изменении фактора х5 на один процент значение результирующего фактора уменьшится на 0.08%, при неизменных прочих параметрах.

По формуле найдем точки, в которых необходимо построить прогноз.

Вычислим точечный прогноз путем подстановки найденных значений в уравнение:

y (х1, х5) = 0.4971*117,39 - 0,4286 *19,2=50,129

Для получения интервальной оценки необходимо воспользоваться формулой:

где-стандартная ошибка групповой средней

Вектор значений факторов, определяющий точку, в которой строим прогноз;

Матрица, по которой было построено уравнение.

Стандартное отклонение остаточной дисперсии или стандартная ошибка уравнения регрессии.

Рис. 17 Результаты прогнозирования

Интервальной оценкой является доверительный интервал с надежностью 95% тыс.долл.

· Уравнение y (х1, х5) = 0.4971 х1 - 0,4286 х5 адекватно описывает зависимость стоимости квартиры от влияющих на нее факторов и может быть использовано для анализа и прогноза. Все коэффициенты в нем значимы.

· Увеличение общей площади квартиры на 1 м2 приводит к увеличению стоимости квартиры на величину в среднем на 497$, отдаление срока сдачи на 1 месяц снижает стоимость квартиры на 428,6$. Влияние прочих факторов несущественно

· Влияние общей площади квартиры на ее стоимость более чем в четыре раза превышает влияние срока сдачи объекта на стоимость

· При изменении цены общей площади квартиры на 1% стоимость квартиры возрастет на 1.02%, при неизменных прочих параметрах. Аналогично, при изменении срока сдачи квартиры на один процент стоимость квартиры упадет на 0.08%, при неизменных прочих параметрах.

· Проверка корректности применения МНК показала, что ошибки аппроксимации (значения остатков) гомоскедастичны и распределены независимо друг от друга.

· Стоимость квартиры площадью 117,39 кв.м со сроком сдачи через 19.2 мес с вероятностью 95 % будет лежать в пределах тыс.долл.

Подобные документы

Построение обобщенной линейной модели множественной регрессии, ее суть; теорема Айткена. Понятие гетероскедастичности, ее обнаружение и методы смягчения проблемы: тест ранговой корреляции Спирмена, метод Голдфелда-Квандта, тесты Глейзера, Парка, Уайта.

контрольная работа , добавлен 28.07.2013


Описание классической линейной модели множественной регрессии. Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Оценка модели парной регрессии с наиболее значимым фактором. Графическое построение интервала прогноза.

курсовая работа , добавлен 17.01.2016


Построение линейной модели и уравнения регрессии зависимости цены на квартиры на вторичном рынке жилья в Москве в 2006 г. от влияющих факторов. Методика составления матрицы парных коэффициентов корреляции. Экономическая интерпретация модели регрессии.

лабораторная работа , добавлен 25.05.2009


Расчет параметров A и B уравнения линейной регрессии. Оценка полученной точности аппроксимации. Построение однофакторной регрессии. Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины. Тестирование ошибок уравнения множественной регрессии.

контрольная работа , добавлен 19.04.2013


Основы построения и тестирования адекватности экономических моделей множественной регрессии, проблема их спецификации и последствия ошибок. Методическое и информационное обеспечение множественной регрессии. Числовой пример модели множественной регрессии.

курсовая работа , добавлен 10.02.2014


Оценка корреляционной матрицы факторных признаков. Оценки собственных чисел матрицы парных коэффициентов корреляции. Анализ полученного уравнения регрессии, определение значимости уравнения и коэффициентов регрессии, их экономическая интерпретация.

контрольная работа , добавлен 29.06.2013


Определение параметров линейной регрессии и корреляции с использованием формул и табличного процессора MS Excel. Методика расчета показателей парной нелинейной регрессии и корреляции. Вычисление значений линейных коэффициентов множественной детерминации.

контрольная работа , добавлен 28.07.2012


Построение модели множественной линейной регрессии по заданным параметрам. Оценка качества модели по коэффициентам детерминации и множественной корреляции. Определение значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

контрольная работа , добавлен 01.12.2013


Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции и статистической значимости коэффициентов регрессии. Оценка статистической значимости параметров регрессионной модели с помощью t-критерия. Уравнение множественной регрессии со статистически факторами.

лабораторная работа , добавлен 05.12.2010


Расчет линейного коэффициента парной и частной корреляции. Статистическая значимость параметров регрессии и корреляции. Анализ корреляционного поля данных. Точность прогноза, расчет ошибки и доверительный интервал. Коэффициент множественной детерминации.

Лекция 3. Множественная регрессия

Условия применения метода и его ограничения

Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т.е. не удается обеспечить равенство всех прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии:

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Требования к факторам:

Должны быть количественно измеримы. Если необходимо, включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов).

Не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда

для зависимости

может привести к нежелательным последствиям, повлечь неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель, поэтому параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретированными.

Мультиколлинеарность

Специфическим для многофакторных систем является условие недопустимости слишком тесной связи между факторными признаками. Это условие часто именуется проблемой коллинеарности факторов. Коллинеарность означает достаточно тесную неслучайную линейную корреляцию одних факторов с другими. Часто рекомендуют исключить фактор, связанный с другим фактором при . Из двух тесно связанных друг с другом факторов рационально исключить фактор, слабее связанный с результативным признаком.

Более сложная методика требуется для нахождения и исключения фактора, не имеющего тесной связи с каким-либо отдельным фактором, но имеющего тесную многофакторную связь с комплексом остальных факторов. Это положение называют мультиколлинеарностью. Для ее измерения следует вычислить последовательно коэффициенты множественной корреляции (или детерминации) каждого фактора (в роли результата) со всеми прочими факторами (в роли объясняющих переменных). Обнаружив мультиколлинеарный фактор либо несколько таковых, следует рассмотреть возможность исключения наиболее зависимого от комплекса остальных фактора, если это не приведет к потере экономического смысла модели.

Коллинеарность и мультиколлинеарность факторов в экономических системах возникают неслучайно. В совокупности однородных предприятий или регионов, как правило, в силу законов экономики возникает параллельная вариация факторных признаков: те предприятия, которые имеют лучшие значения одних факторов, например, лучшие природные условия, одновременно имеют и более высокую фондо- и энерговооруженность, более высокую квалификацию персонала, лучшую технологию и т.п. Отсюда и неизбежная большая или меньшая коллинеарность всех факторов производства либо социально-экономических условий жизни.

Наличие в системе коллинеарности ухудшает математические качества модели, может привести к неустойчивости результативных параметров, резко меняющихся при небольшом изменении значений факторов.

Специфичной проблемой многофакторного анализа является вопрос о возможности замены фактора, по которому отсутствует информация, на другой фактор и последствия такой замены.

Следует по возможности найти другую переменную, значения которой известны и которая находится в достаточно тесной связи с отсутствующим фактором. Например, если нет данных по региону о средней заработной плате, то их можно заменить величиной валового регионального продукта на душу населения, имея в виду, что между этими экономическими признаками должна быть тесная (хотя и неизвестная точно) связь.

Важно учитывать, с какой целью строится модель. Если целью является только прогнозирование результативного признака, то замена фактора другой пременной при ее тесной связи с заменяемым фактором не приведет к существенным ошибкам. Но если целью модели являлось принятие менеджером решений о своей экономической политике, то замена управляемого фактора на тесно с ним связанный, однако неуправляемый заменяющий фактор лишает модель смысла, несмотря на высокую детерминацию.

Выбор типа многофакторной модели и факторных признаков

Связь результативного признака y с факторами x 1 , x 2 , …, x k выражается уравнением:

(22)

где a – свободный член уравнения;

k – число факторов;

j – номер фактора;

i – номер единицы совокупности;

b j – коэффициент условно-чистой регрессии при факторе x j , измеряющий изменение результата при изменении фактора на его единицу, и при постоянстве прочих факторов, входящих в модель;

ε i – случайная вариация y i , не объясненная моделью.

Модель в форме (22) является аддитивной. Это означает, что в основе модели лежит гипотеза о том, что каждый фактор что-то добавляет или что-то отнимает от значения результативного признака. Такая гипотеза о типе связи причин и следствия вполне отражает ряд экономических систем взаимосвязанных признаков. Например, если y – это урожайность сельскохозяйственной культуры, а x 1 , x 2 , …, x k – агротехнические факторы: дозы разных видов удобрений, число прополок, поливов, доля потерь при уборке, то действительно, каждый из этих факторов либо повышает, либо снижает величину урожайности, причем результат может существовать и без любых из перечисленных факторов.

Однако аддитивная модель пригодна не для любых связей в экономике. Если изучается такая связь как зависимость объема продукции предприятия y от занимаемой площади x 1 , числа работников x 2 , стоимости основных фондов x 3 (или всего капитала), то каждый из факторов является необходимым для существования результата, а не добавлением к нему. В таких ситуациях нужно исходить из гипотезы о мультипликативной форме модели:

(23)

Такая модель по ее первым создателям получила название «модель Кобба-Дугласа».

Возможна и смешанная форма модели, в которой одни факторы будут входить аддитивно, а другие мультипликативно.

При выборе факторных признаков следует исходить из следующих положений.

Факторы должны являться причинами, а результативный признак – их следствием. Недопустимо в число факторов включать признак, занимающий в реальной экономике место на «выходе» системы, т.е. зависимый от моделируемого. Например, строится модель себестоимости центнера зерна. Факторами взяты урожайность зерновых культур и трудоемкость центнера, но коэффициент детерминации невелик, модель плохая. Для ее «улучшения» в число факторов добавили рентабельность производства зерна. Коэффициент детерминации сразу подскочил до 0,88. Но модель не стала лучше, она стала бессмысленной, так как рентабельность зависит от себестоимости, а не наоборот.

Факторный признаки не должны быть составными частями результативного признака. В ту же модель себестоимости нельзя вводить факторами зарплату в расчете на центнер зерна, затраты на перевозку центнера зерна и т.п. связь целого с ее структурными частями следует анализировать не с помощью корреляционного анализа, а с помощью систем индексов.

Следует избегать дублирования факторов. Каждый реальный фактор должен быть представлен одним показателем. Например, трудовой фактор в модели объема продукции может быть представлен либо среднесписочным числом работников, либо затратами человеко-дней (человеко-часов) на производство продукции, но не обоими показателями. Дублирование факторов ведет к раздроблению влияния фактора, и он может оказаться ненадежным из-за такого раздробления.

Следует по возможности избегать факторов, тесно связанных с другими.

Следует включать факторы одного уровня иерархии, не следует включать и факторы вышележащего уровня и их субфакторы. Например, в модель себестоимости зерна включаем урожайность, трудоемкость, но не добавляем еще балл плодородия, дозу удобрений, энерговооруженность работников, т.е. субфакторы – причины, влияющие на урожайность и трудоемкость. Включение субфакторов тоже дублирование фактора.

Есть логика в таком построении модели, при котором все признаки отнесены на одну и ту же единицу совокупности, как результативный признак, так и факторы. Например, если моделируется объем продукции предприятия, то и факторы должны относиться к предприятию: число работников, площадь угодий, основные фонды и т.д. Если строится модель заработной платы работника, то и факторы должны относиться к работнику: его стаж, возраст, образование, разряд тарифной сетки (шкалы), энерговооруженность и т.д.

Действует принцип простоты модели. Если возможно построить хорошую модель с пятью факторами, то не следует гнаться за идеальной моделью с десятью факторами, обычно лишние факторы ухудшают модель.

Системы показателей многофакторной корреляции и регрессии

Рассмотрим данную систему показателей на примере связи урожайности зерновых культур в 51 агрофирме Орловской области. Первоначально были отобраны 8 факторных признаков, которые могут влиять на вариацию урожайности:

x 1 – размер посевной площади зерновых, га;

x 2 – удельный вес зерновых в общей площади, %;

x 3 – затраты на 1 га посева зерновых, тыс. руб./га;

x 4 – затраты труда на 1 га, чел.-ч;.

x 5 – уровень оплаты труда, руб./чел.-ч.;

x 6 – энергообеспеченность, л.с./100 га пашни;

x 7 – число комбайнов на 1000 га зерновых, шт.;

x 8 – число трактористов-машинистов на 100 га пашни, чел.

Первоначальное уравнение регрессии имеет вид:

Однако надежно отличными от нуля оказались только коэффициенты при x 3 (t -критерий равен 10,5) и при x 8 (t -критерий равен 2,72). Большую надежность, чем другие факторы имеет и x 5 .

После отсева ненадежных факторов, т.е. исключения их из уравнения, окончательное уравнение регрессии таково:

Таким образом, на различие урожайности в данных 51 агрофирмы сильнее всего и надежно повлияли различия между предприятиями в затратах на 1 га, в уровне оплаты труда и в обеспеченности квалифицированными работниками.

Каждый из коэффициентов, называемых коэффициентами чистой регрессии, интерпретируются как величина изменения урожайности при условии, что данный фактор изменяется на принятую единицу измерения, а два других фактора остаются постоянными на средних уровнях. Например, b 3 означает, что при увеличении затрат на 1 га зерновых и при неизменности оплаты труда и обеспеченности трактористами-машинистами урожайность в среднем увеличивалась в среднем на 4, 6 ц/га. Термин «условно чистая регрессия» означает, что влияние отдельного фактора очищено от сопутствующей вариации только тех факторов, которые входят в уравнение, но не очищено от возможной сопутствующей вариации других факторов.

Величина коэффициентов условно чистой регрессии зависит от принятых единиц измерения. Если бы фактор x 3 измерялся не в тысячах рублей на гектар, а в рублях на гектар, то коэффициент b 3 был бы равен 0,00461 руб./га. Следовательно, сравнивать между собой коэффициенты условно чистой регрессии нельзя. Чтобы получить сравнимые коэффициенты влияния вариации факторов на вариацию результата, следует избавиться от единиц измерения, привести к одной условной единице. Для этого можно применить два способа.

Первый способ называется стандартизацией. Этот термин возник из английского названия среднего квадратического отклонения (Standard deviation). Стандартизированные коэффициенты регрессии выражаются в долях или величинах, если они превышают единицу – в величинах σ y . Стандартизированные коэффициенты обозначают греческой буквой β и называют бета-коэффициентами. Их формула такая:

В нашем примере получаем:

β 3 = 0,772;

β 5 = 0,147;

β 8 = 0,223.

Интерпретация бета-коэффициентов такова: при изменении фактора x 3 на одно его среднее квадратическое отклонение от средней величины и при постоянстве других факторов результативный признак (урожайность) отклонится от своего среднего уровня на 0,772 его среднего квадратического отклонения. Так как все стандартизированные коэффициенты выражены в одинаковых единицах измерения, в σ y , они сравнимы между собой, и можно сделать вывод, что на вариацию урожайности сильнее всего повлияла в изучаемой совокупности предприятий вариация затрат на гектар посева.

Другой способ приведения коэффициентов регрессии к сравнимому виду – их преобразование в коэффициенты эластичности. Формула коэффициента эластичности ℓ j :

(25)

Интерпретируется коэффициент эластичности следующим образом: при изменении фактора x j на его среднюю величину и при постоянстве других входящих в уравнение факторов результативный признак в среднем изменится на ℓ j части его средней величины (или на ℓ j средних, если ℓ j >1, что бывает реже). Часто говорят, «изменится на ℓ j процентов на 1% изменения фактора».

В нашем примере имеем:

Коэффициенты эластичности так же выражены, как и β j , в одинаковых единицах и сравнимы между собой. Ими удобнее, чем β-коэффициентами, пользоваться в планировании и прогнозировании. Вряд ли менеджер станет планировать увеличение фактора, скажем, инвестиций на 0,6 сигмы. Обычно планируют изменение факторов, если они управляемы, на столько-то процентов от достигнутого уровня. Например, если планируем увеличить затраты на гектар зерновых на 10%, оплату труда на 30%, а обеспеченность квалифицированными трактористами-машинистами на 20%, то можно ожидать изменения урожайности на
, где k j – планируемые темпы прироста факторов.

Теперь рассмотрим систему показателей тесноты многофакторных связей. Прежде всего строится матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 1).

Таблица 1. Матрица парных коэффициентов корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции дает исходные данные для других показателей тесноты связи и для первичной проверки на коллинеарность. В данном случае все связи между факторами слабые, коллинеарность не испортит модель.

Важнейшим показателем тесноты связи в многофакторной системе является коэффициент множественной детерминации R 2 . Он измеряет общую тесноту связи вариации результативного признака y с вариацией всей системы входящих в модель факторов. Величина коэффициента множественной детерминации может быть вычислена несколькими способами.

1.Вычисление на основе матрицы парных коэффициентов корреляции

,

где Δ * - определитель матрицы;

, (26)

а Δ – определитель матрицы, не включающей первой строки Δ * и ее последнего столбца, т.е.:

При двух факторах получается упрощенная формула расчета:

(27)

Из (27) следует, что при независимости факторов друг от друга, т.е. , коэффициент множественной детерминации есть сумма парных коэффициентов детерминации.

Пользуясь формулой (27), можно вычислить три возможных двухфакторных коэффициента детерминации:

2.Вычисление на основе парных коэффициентов корреляции и β-коэффициентов:

В примере: R 2 =0,86·0,772+0,35·0,147+0,433·0,223=0,8119.

3.Вычисление как корреляционное отношение, т.е. отношение вариации результативного признака y , связанной с вариацией системы факторов, входящих в модель (в уравнение регрессии), ко всей, общей, вариации результативного признака:

. (30)

Числитель формулы (30) – это сумма квадратов отклонений индивидуальных расчетных значений результативного признака от его средней, а знаменатель – сумма квадратов фактических значений результативного признака от средней, для всех единиц совокупности.

Частными коэффициентами детерминации называются показатели, измеряющие, на какую долю уменьшается необъясненная вариация уже имеющимися в модели факторами при включении в модель данного фактора x m . Формула частного коэффициента детерминации такова:

В нашем примере:

Интерпретация такова: включение в модель фактора x 3 после x 5 и x 8 y на 74%; включение фактора x 5 после x 3 и x 8 уменьшает необъясненную вариацию y на 10%; включение фактора x 8 после x 3 и x 5 уменьшает необъясненную вариацию y на 20%.

Коэффициенты частной детерминации несравнимы между собой, так как это доли разных величин-знаменателей.

Извлекая корень квадратный из любого коэффициента детерминации, получают коэффициент соответствующей корреляции: множественной, парной или частной.

5. Включение в многофакторную модель неколичественных факторов

Неколичественными являются такие факторы аграрного производства, как природная зона, форма собственности предприятий, преобладающее производственное направление (отрасль) и другие. Предпочтительно не смешивать в исходной совокупности предприятия или регионы, различающиеся по этим качественным признакам. Но может возникнуть и необходимость построения модели с неоднородными единицами совокупности, например, если число единиц, однородных по качественному признаку, слишком мало для надежной связи. Иногда может быть поставлена цель измерения чистого влияния неколичественного фактора, например, формы собственности на результаты производства, а это требует включения качественного фактора в многофакторную модель.

В таких случаях качественные градации признака можно закодировать специальными переменными, часто называемыми «фиктивными» или «структурными» переменными. Они отражают неоднородность качественной структуры совокупности. Предположим, необходимо построить регрессионную модель рентабельности продукции предприятий, причем в регионе имеется 16 государственных предприятий, 28 частных, 13 кооперативной формы собственности.

Если игнорировать различия, связанные с формой собственности, то они или уйдут в остаточную вариацию, ухудшив модель рентабельности, либо в неизвестной пропорции станут смешиваться с влиянием тех или иных качественных факторов, искажая меру их влияния.

Необходимо для m неколичественных факторов или градаций такового фактора ввести m -1 структурную переменную, обозначим которую U j . Данные для расчета будут иметь следующий вид при m =3 (табл. 2).

Таблица 2. Исходные данные со структурными переменными

В результате решения будет получена модель вида:

где x k +1 соответствуют переменной U 1 , а x k +2 – переменной U 2 .

Перепишем модель в специальных обозначениях:

Значение коэффициентов при структурных переменных таково: коэффициент c 1 означает, что предприятия частной формы собственности при тех же значениях количественных факторов x 1 … x k имеют рентабельность на c 1 больше, чем государственные предприятия, которые приняты за базу сравнения (не имеют структурных переменных U 1 и U 2 ). Предприятия кооперативной формы собственности имеют рентабельность на c 2 большую, чем государственные. Величины c 1 и c 2 могут быть как положительными, так и отрицательными.

Вместо общей модели можно записать три частные модели для предприятий отдельных групп по формам собственности, присоединяя коэффициент при структурной переменной к свободному члену уравнения:

а) для предприятий государственного сектора

б) для предприятий частного сектора

в) для предприятий кооперативного сектора

6.Применение многофакторных регрессионных моделей для анализа деятельности предприятий и прогнозирования

Оценка деятельности на основе регрессионной модели в сравнении с простейшим приемом такой оценки – сравнением результата, достигнутого данным предприятием, со средним результатом по однородной совокупности – дает дополнительные преимущества.

Согласно нашему примеру, средняя урожайность по 51 агрофирме составила 22,9 ц/га зерна.

Агрофирма 1 получила 17,6 ц/га. Следовательно, эта фирма отстающая. Однако возникает вопрос: может быть и условия производства у этой фирме были хуже средних? Сравнение со средней по совокупности полностью игнорирует различие в «факторообеспеченности» предприятий, а на самом деле предприятия всегда находятся не в одинаковых условиях.

Оценка деятельности на основе регрессионной модели предполагает учет неравенства условий производства, например, плодородия почв, финансового положения, наличия квалифицированных кадров и другие. Полностью учесть различие в условиях производства между предприятиями невозможно, так как любая модель учитывает не все факторы вариации урожайности. Оценка на основе модели производится сравнением фактического результата (урожайности) с тем результатом, который был бы достигнут предприятием при фактически имеющихся факторах и средней по совокупности их эффективности, выраженной коэффициентами условно чистой регрессии. Рассмотрим результаты расчета урожайности двух фирм (табл. 3).

Таблица 3. Фактический и расчетный результат производства

Обе фирмы имеют худшие, чем в среднем в выборке, значения основных факторов x 3 и x 8 , а соответственно и значения расчетной урожайности ниже, чем средняя. Но при этом фирма 1 практически имеет ту же расчетную урожайность, что и фактически полученную. Нет основания считать эту фирму отстающей. Фирма 2 имеет фактическую урожайность ниже, чем расчетная по имеющимся факторам. Это означает, что либо у этой фирмы оказались хуже среднего неизвестные, не входящие в модель факторы, либо степень использования основных факторов – затрат на гектар и обеспеченность квалифицированными работниками ниже, чем в среднем.

Прогнозирование на основе регрессионной модели исходит из предположения, что факторы управляемы и могут принять то или иное плановое, ожидаемое значение, а прочие неизвестные условия сохранятся на среднем по совокупности уровне. Управляемость факторов не означает, что при прогнозе в модель можно подставлять любые их значения. Уравнение регрессии отражает те условия, которые существовали в совокупности, по данным которой уравнение получено. Если бы значения факторных признаков были в 2-3 раза более высокими, то нельзя утверждать, что коэффициенты условно чистой регрессии остались бы теми же.

Поэтому рекомендуется при прогнозировании по уравнению регрессии не выходить за пределы реально наблюдаемых значений факторов в совокупности или выходить за эти границы не более чем на 10-15% средних величин. Не менее важным требованием при прогнозировании является требование о соблюдении системности прогнозируемых значений факторов. Необходимо учитывать знак и тесноту связи между факторами. Например, если прогнозируется повысить степень обеспеченности квалифицированными работниками, то нельзя оставить без изменения, тем более снижать, прогнозируемую величину уровня оплаты труда. Планируя рост энерговооруженности, необходимо примерно в той же пропорции увеличить и фондовооруженность.

Ориентируясь на указанные в таблице 3 значения факторов, предположим, что прогнозируя урожайность, планируем затраты на гектар (x 3 ) на уровне 3 тыс. руб., наличие трактористов-машинистов на 100 га пашни 0,8; оплату часа труда в размере 20 руб. в час. Подставляя эти значения в регрессионную модель получим точечный прогноз урожайности зерновых культур:

Точечный прогноз представляет собой математическое ожидание (среднюю) возможных с разной вероятностью значений прогнозируемого признака. Необходимо дополнить точечный прогноз расчетом доверительных границ с достаточно большой вероятностью. Для этого следует использовать величину средней квадратической ошибки аппроксимации, которая вычисляется по формуле:

(33)

Числитель подкоренного выражения – это остаточная, не объясненная моделью сумма квадратов отклонений результативного признака, а знаменатель – число степеней свободы остаточной вариации. В нашем примере остаточная сумма квадратов отклонений равна 814,3. Имеем:

Следовательно, с надежностью 0,95 прогнозируемая урожайность составит 25,4±4,16·2, или от 17,8 до 33,72 ц/га. Все эти расчеты относятся к прогнозам урожайности для отдельных агрофирм. Если речь идет о средней урожайности по совокупности 51 агрофирмы, то средняя ошибка средней арифметической величины равна среднему квадратическому отклонению, деленному на корень квадратный из объема выборки n , т.е. составит:

Интерпретация этого значения ошибки прогноза средней величины такова: если обеспечить 51 агрофирму факторами x 3 , x 5 , x 8 на уровнях соответственно 3, 20, 0,8, то будет получена средняя по совокупности урожайность 25,4±0,583 ц/га. С вероятностью 0,95 средняя по совокупности ожидаемая урожайность составит 25,4±0,583·2, или от 23,7 до 27,1 ц/га.

Эконометрической корреляционно-регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков изучаемой совокупности является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака в совокупности, обладает высоким значением коэффициента детерминации (не ниже 0,5), надежными и правильно интерпретируемыми в соответствии (по знаку и по порядку величины) с теорией изучаемой системы коэффициентами регрессии, и в силу данных свойств пригодное для оценки деятельности единиц совокупности и для прогнозирования.

Множественной регрессии (2)Реферат >> Маркетинг

Вводя их в модель, т.е, построить уравнение множественной регрессии . Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса...

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора можно найти следующие показатели:

• уравнение множественной регрессии, матрица парных коэффициентов корреляции, средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии;
• множественный коэффициент детерминации, доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения результативного признака;

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), количество переменных x нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример нахождения уравнения множественной регрессии и корреляции). Если данных много, можно вставить их из MS Excel . Для этого укажите количество переменных x нажмите Вставить из Excel ().

При вычислении параметров уравнения множественной регрессии используется матричный метод . Для множественной регрессии с двумя переменными (m = 2), можно воспользоваться методом решения системы уравнений .

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, который в свою очередь включает 2 круга вопросов: отбор факторов и выбор уравнения регрессии .

Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:

1. теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;
2. количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции). Научно обоснованное решение задач подобного вида также осуществляется с помощью дисперсионного анализа - однофакторного , если проверяется существенность влияния того или иного фактора на рассматриваемый признак, или многофакторного в случае изучения влияния на него комбинации факторов.

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
2. Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).
3. Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность - тесная линейная связь между факторами.

Пример . Постройте регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными (множественная регрессия). Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.
Решение .
К исходной матрице X добавим единичный столбец, получив новую матрицу X

Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Если же этим влиянием пренебречь нельзя, то в этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии

где – зависимая переменная (результативный признак),– независимые, или объясняющие, переменные (признаки-факторы).

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

2.1. Спецификация модели. Отбор факторов при построении уравнения множественной регрессии

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.

Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором
факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации
, который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии
факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как
с соответствующей остаточной дисперсией.

При дополнительном включении в регрессию
фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:

и
.

Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор
не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если
. Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Пусть, например, при изучении зависимости
матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

Таблица 2.1

Очевидно, что факторы идублируют друг друга. В анализ целесообразно включить фактор, а не, хотя корреляцияс результатомслабее, чем корреляция факторас
, но зато значительно слабее межфакторная корреляция
. Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включаются факторы,.

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:

Затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл.

Оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы
были бы равны нулю. Так, для уравнения, включающего три объясняющих переменных

матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель, равный единице:

.

Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю:

.

Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели одного или нескольких факторов. Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.

Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если
, то возможно построение следующего совмещенного уравнения:

Рассматриваемое уравнение включает взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов). Возможно включение в модель и взаимодействий более высокого порядка, если будет доказана их статистическая значимость по
-критерию Фишера, но, как правило, взаимодействия третьего и более высоких порядков оказываются статистически незначимыми.

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответственно к разным методикам. В зависимости от того, какая методика построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на ЭВМ.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:

Метод исключения – отсев факторов из полного его набора.

Метод включения – дополнительное введение фактора.

Шаговый регрессионный анализ – исключение ранее введенного фактора.

При отборе факторов также рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6–7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной дисперсии очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а
-критерий меньше табличного значения.