Отрицательный коэффициент регрессии показывает. Корреляция и регрессия. Множественное парное уравнение регрессии: оценка важности связи

1 0 Градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).

2 0 Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.

3 0 Модуль градиента равен наибольшей производной по направлениювданной точке поля:

Эти свойства дают инвариантную характеристику градиента. Они говорят о том, что вектор gradU указывает направление и величину наибольшего изменения скалярного поля в данной точке.

Замечание 2.1. Если функция U(x,y) есть функция двух переменных, то вектор

(2.3)

лежит в плоскости oxy.

Пусть U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) дифференцируемых в точке М 0 (x,y,z) функции. Тогда имеет место следующие равенства:

а) grad()= ; б) grad(UV)=VgradU+UgradV;

в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) grad = , V ;

д) gradU( = gradU, где , U=U() имеет производную по .

Пример 2.1. Дана функция U=x 2 +y 2 +z 2 . Определить градиент функции в точке М(-2;3;4).

Решение. Согласно формуле (2.2) имеем

.

Поверхностями уровня данного скалярного поля являются семейство сфер x 2 +y 2 +z 2 , вектор gradU=(-4;6;8) есть нормальный вектор плоскостей.

Пример 2.2. Найти градиент скалярного поля U=x-2y+3z.

Решение. Согласно формуле (2.2) имеем

Поверхностями уровня данного скалярного поля являются плоскости

x-2y+3z=С; вектор gradU=(1;-2;3) есть нормальный вектор плоскостей этого семейства.

Пример 2.3. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности U=x y в точке М(2;2;4).

Решение. Имеем:

Пример 2.4. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля U=x 2 +y 2 +z 2 .

Решение. Поверхности уровня данного скалярного Поля-сфера x 2 +y 2 +z 2 =С (С>0).

Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, так что

Определяет вектор нормали к поверхности уровня в точке М(x,y,z). Для единичного вектора нормали получаем выражение

, где

.

Пример 2.5. Найти градиент поля U= , где и постоянные векторы, r –радиус вектор точки.

Решение. Пусть

Тогда:
. По правилу дифференцирования определителя получаем

Следовательно,

Пример 2.6. Найти градиент расстояния , где P(x,y,z) - изучаемая точка поля, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) - некоторая фиксированная точка.

Решение. Имеем - единичный вектор направления .

Пример 2.7. Найти угол между градиентами функций в точке М 0 (1,1).

Решение. Находим градиенты данных функций в точке М 0 (1,1), имеем

; Угол между gradU и gradV в точке М 0 определяется из равенства

Отсюда =0.

Пример 2.8. Найти производную по направлению, радиус- вектор равен

(2.4)

Решение. Находим градиент этой функции:

Подставляя (2.5) в (2.4), получим

Пример 2.9. Найти в точке М 0 (1;1;1) направление наибольшего изменения скалярного поля U=xy+yz+xz и величину этого наибольшего изменения в этой точке.

Решение. Направление наибольшего изменения поля указывается вектором grad U(M). Находим его:

И, значит, . Это вектор определяет направление наибольшего возрастания данного поля в точке М 0 (1;1;1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна

.

Пример 3.1. Найти векторные линии векторного поля где -постоянный вектор.

Решение. Имеем так что

(3.3)

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на х, второй-на у, третий- на z и сложим почленно. Используя свойство пропорций, получим

Отсюда xdx+ydy+zdz=0, а значит

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Умножив теперь числитель и знаменатель первой дроби (3.3) на с 1 , второй –на с 2 , третий на с 3 и сложив почленно, получим

Откуда с 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

И, следовательно, с 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.

Искомые уравнения векторных линий

Эти уравнения показывают, что векторные линии получаются в результате пересечения сфер, имеющих общий центр в начале координат, с плоскостями, перпендикулярными вектору . Отсюда следует, что векторные линии являются окружностями, центры которых находятся на прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора с. Плоскости окружностей перпендикулярны указанной прямой.

Пример 3.2. Найти векторную линию поля проходящую через точку (1,0,0).

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий

отсюда имеем . Решая первое уравнение . Или если ввести параметр t, то будем иметь В этом случае уравнение принимает вид или dz=bdt, откуда z=bt+c 2 .

Коэффициент регрессии - абсолютная величина, на которую в среднем изменяется величина одного признака при изменении другого связанного с ним признака на установленную единицу измерения. Определение регрессии. Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе — обратная). Модель линейной регрессии является часто используемой и наиболее изученной в эконометрике.

1.4. Ошибка аппроксимации.Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. Таким образом, коэффициенты регрессии ха­рактеризуют степень значимости отдельных факторов для повышения уровня результативного показателя.

Коэффициент регрессии

Рассмотрим теперь задачу 1 из заданий по анализу регрессии, приведенную на с. 300-301. Один из математических результатов теории линейной регрессии говорит, что оценка N, является несмещенной оценкой с минимальной дисперсией в классе всех линейных несмещенных оценок. Например, можно рассчитать число простудных заболеваний в среднем при определенных значениях среднемесячной температуры воздуха в осенне-зимний период.

Линия регрессии и уравнение регрессии

Сигма регрессии используется при построении шкалы регрессии, которая отражает отклонение величин результативного признака от среднего его значения, отложенного на линии регрессии. 1, х2, х3 и соответствующих им средних значений у1, у2 у3, а также наименьших (у - σrу/х)и наибольших (у + σrу/х) значений (у) построить шкалу регрессии. Вывод. Таким образом, шкала регрессии в пределах расчетных величин массы тела позволяет определить ее при любом другом значении роста или оценить индивидуальное развитие ребенка.

В матричной форме уравнение регрессии (УР) записывается в виде: Y=BX+U{\displaystyle Y=BX+U}, где U{\displaystyle U} - матрица ошибок. Статистическое использование слова «регрессия» исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия. И для выбросов, и для «влиятельных» наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется, и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным. Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Причины существования случайной ошибки: 1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных; 2. Агрегирование переменных. Система нормальных уравнений. В нашем примере связь прямая. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

Сравнение коэффициентов корреляции и регрессии

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов. Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.

Коэффициенты регрессии и их интерпретация

В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов. Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот.

Что такое регрессия?

2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).

Если проведена предвари­тельная стандартизация факторных показателей, то b0 равняется сред­нему значению результативного показателя в совокупности. Конкретные значения коэффициен­тов регрессии определяют по эмпирическим данным согласно методу наименьших квадратов (в результате решения систем нормальных урав­нений).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение). Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии. Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

При наличии корреляционной связи между факторными и результативными признаками врачам нередко приходится устанавливать, на какую величину может измениться значение одного признака при изменении другого на общепринятую или установленную самим исследователем единицу измерения.

Например, как изменится масса тела школьников 1-го класса (девочек или мальчиков), если рост их увеличится на 1 см. В этих целях применяется метод регрессионного анализа.

Наиболее часто метод регрессионного анализа применяется для разработки нормативных шкал и стандартов физического развития.

1. Определение регрессии . Регрессия - функция, позволяющая по средней величине одного признака определить среднюю величину другого признака, корреляционно связанного с первым.

   С этой целью применяется коэффициент регрессии и целый ряд других параметров. Например, можно рассчитать число простудных заболеваний в среднем при определенных значениях среднемесячной температуры воздуха в осенне-зимний период.

2. Определение коэффициента регрессии . Коэффициент регрессии - абсолютная величина, на которую в среднем изменяется величина одного признака при изменении другого связанного с ним признака на установленную единицу измерения.
3. Формула коэффициента регрессии . R у/х = r ху x (σ у / σ x)
   где R у/х - коэффициент регрессии;
   r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у;
   (σ у и σ x) - среднеквадратические отклонения признаков x и у.

   В нашем примере ;
   σ х = 4,6 (среднеквадратическое отклонение температуры воздуха в осенне-зимний период;
   σ у = 8,65 (среднеквадратическое отклонение числа инфекционно-простудных заболеваний).
   Таким образом, R у/х - коэффициент регрессии.
   R у/х = -0,96 х (4,6 / 8,65) = 1,8, т.е. при снижении среднемесячной температуры воздуха (x) на 1 градус среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) в осенне-зимний период будет изменяться на 1,8 случаев.

4. Уравнение регрессии . у = М у + R y/x (х - М x)
   где у - средняя величина признака, которую следует определять при изменении средней величины другого признака (х);
   х - известная средняя величина другого признака;
   R y/x - коэффициент регрессии;
   М х, М у - известные средние величины признаков x и у.

   Например, среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) можно определить без специальных измерений при любом среднем значении среднемесячной температуры воздуха (х). Так, если х = - 9°, R у/х = 1,8 заболеваний, М х = -7°, М у = 20 заболеваний, то у = 20 + 1,8 х (9-7) = 20 + 3,6 = 23,6 заболеваний.
   Данное уравнение применяется в случае прямолинейной связи между двумя признаками (х и у).

5. Назначение уравнения регрессии . Уравнение регрессии используется для построения линии регрессии. Последняя позволяет без специальных измерений определить любую среднюю величину (у) одного признака, если меняется величина (х) другого признака. По этим данным строится график - линия регрессии , по которой можно определить среднее число простудных заболеваний при любом значении среднемесячной температуры в пределах между расчетными значениями числа простудных заболеваний.
6. Сигма регрессии (формула) .
   где σ Rу/х - сигма (среднеквадратическое отклонение) регрессии;
   σ у - среднеквадратическое отклонение признака у;
   r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у.

   Так, если σ у - среднеквадратическое отклонение числа простудных заболеваний = 8,65; r ху - коэффициент корреляции между числом простудных заболеваний (у) и среднемесячной температурой воздуха в осенне-зимний период (х) равен - 0,96, то

   

7. Назначение сигмы регрессии . Дает характеристику меры разнообразия результативного признака (у).

   Например, характеризует разнообразие числа простудных заболеваний при определенном значении среднемесячной температуры воздуха в осеннне-зимний период. Так, среднее число простудных заболеваний при температуре воздуха х 1 = -6° может колебаться в пределах от 15,78 заболеваний до 20,62 заболеваний.
   При х 2 = -9° среднее число простудных заболеваний может колебаться в пределах от 21,18 заболеваний до 26,02 заболеваний и т.д.

   Сигма регрессии используется при построении шкалы регрессии, которая отражает отклонение величин результативного признака от среднего его значения, отложенного на линии регрессии.

8. Данные, необходимые для расчета и графического изображения шкалы регрессии
   • коэффициент регрессии - R у/х;
   • уравнение регрессии - у = М у + R у/х (х-М x);
   • сигма регрессии - σ Rx/y
9. Последовательность расчетов и графического изображения шкалы регрессии .
   • определить коэффициент регрессии по формуле (см. п. 3). Например, следует определить, насколько в среднем будет меняться масса тела (в определенном возрасте в зависимости от пола), если средний рост изменится на 1 см.
   • по формуле уравнения регрессии (см п. 4) определить, какой будет в среднем, например, масса тела (у, у 2 , у 3 ...)* для определеного значения роста (х, х 2 , х 3 ...).
     ________________
     * Величину "у" следует рассчитывать не менее чем для трех известных значений "х".

     При этом средние значения массы тела и роста (М х, и М у) для определенного возраста и пола известны

   • вычислить сигму регрессии, зная соответствующие величины σ у и r ху и подставляя их значения в формулу (см. п. 6).
   • на основании известных значений х 1 , х 2 , х 3 и соответствующих им средних значений у 1 , у 2 у 3 , а также наименьших (у - σ rу/х)и наибольших (у + σ rу/х) значений (у) построить шкалу регрессии.

     Для графического изображения шкалы регрессии на графике сначала отмечаются значения х, х 2 , х 3 (ось ординат), т.е. строится линия регрессии, например зависимости массы тела (у) от роста (х).

     Затем в соответствующих точках у 1 , y 2 , y 3 отмечаются числовые значения сигмы регрессии, т.е. на графике находят наименьшее и наибольшее значения у 1 , y 2 , y 3 .

10. Практическое использование шкалы регрессии . Разрабатываются нормативные шкалы и стандарты, в частности по физическому развитию. По стандартной шкале можно дать индивидуальную оценку развития детей. При этом физическое развитие оценивается как гармоничное, если, например, при определенном росте масса тела ребенка находится в пределах одной сигмы регрессии к средней расчетной единице массы тела - (у) для данного роста (x) (у ± 1 σ Ry/x).

    Физическое развитие считается дисгармоничным по массе тела, если масса тела ребенка для определенного роста находится в пределах второй сигмы регрессии: (у ± 2 σ Ry/x)

    Физическое развитие будет резко дисгармоничным как за счет избыточной, так и за счет недостаточной массы тела, если масса тела для определенного роста находится в пределах третьей сигмы регрессии (у ± 3 σ Ry/x).

По результатам статистического исследования физического развития мальчиков 5 лет известно, что их средний рост (х) равен 109 см, а средняя масса тела (у) равна 19 кг. Коэффициент корреляции между ростом и массой тела составляет +0,9, средние квадратические отклонения представлены в таблице.

Требуется:

• рассчитать коэффициент регрессии;
• по уравнению регрессии определить, какой будет ожидаемая масса тела мальчиков 5 лет при росте, равном х1 = 100 см, х2 = 110 см, х3= 120 см;
• рассчитать сигму регрессии, построить шкалу регрессии, результаты ее решения представить графически;
• сделать соответствующие выводы.

Условие задачи и результаты ее решения представлены в сводной таблице.

Таблица 1

Решение .

Вывод. Таким образом, шкала регрессии в пределах расчетных величин массы тела позволяет определить ее при любом другом значении роста или оценить индивидуальное развитие ребенка. Для этого следует восстановить перпендикуляр к линии регрессии.

1. Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 464 с.
2. Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. - 512 с.
3. Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. - М.: Медицина, 2003. - 368 с.
4. Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). - СПб, 1998. -528 с.
5. Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) - Москва, 2000. - 432 с.
6. С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. - М., Практика, 1998. - 459 с.

Основы анализа данных.

Типичной задачей, возникающей на практике, является определение зависимостей или связей между переменными. В реальной жизни переменные связаны друг с другом . Например, в маркетинге количество денег, вложенных в рекламу, влияет на объемы продаж; в медицинских исследованиях доза лекарственного препарата влияет на эффект; в текстильном производстве качество окрашивания ткани зависит от температуры, влажности и др. параметров; в металлургии качество стали зависит от специальных до­бавок и т.д. Найти зависимости в данных и использовать их в своих целях - задача ана­лиза данных.

Предположим, вы наблюдаете значения пары переменных X и Y и хотите найти за­висимость между ними. Например:

X - количество посетителей интернет магазина, Y - объем продаж;

X - диагональ плазменной панели, Y - цена;

X - цена покупки акции, Y- цена продажи;

X - стоимость алюминия на Лондонской бирже, Y – объемы продаж;

X - количеством прорывов на нефтепроводах, Y - величина потерь;

X - «возраст» самолета, Y - расходы на его ремонт;

X - торговая площадь, Y - оборот магазина;

X - доход, Y - потребление и т. д.

Переменная X обычно носит название независимой переменной (англ. independent variable), переменная Y называется зависимой переменной (англ. dependent variable). Иногда переменную X называют предиктором, переменную Y - откликом.

Мы хотим определить именно зависимость от X или предсказать, какими будут значения Y при данных значениях X. В данном случае мы наблюдаем значения X и соответствую­щие им значения Y. Задача состоит в том, чтобы построить модель, позволяющую по значениям X, отличным от наблюдаемых, определить Y. В статистике подобные задачи решаются в рамках регрессионного анализа.

Существуют различные регрессионные модели , определяемые выбором функции f(x 1 ,x 2 ,…,x m):

1) Простая линейная регрессия

2) Множественная регрессия

3) Полиномиальная регрессия

Коэффициенты называются параметрами регрессии.

Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.

Последовательность этапов регрессионного анализа

1. Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.

2. Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.

3. Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.

4. Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).

5. Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)

6. Оценка точности регрессионного анализа.

7. Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.

8. Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.

При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации. Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных. Решение задачи классификации осуществляется таким образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, - к другому классу.

Основные задачи регрессионного анализа: установление формы зависимости, определение функции регрессии, оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Линейная регрессия

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

Или . (1.1)

x - называется независимой переменной или предиктором.

Y – зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x , т.е. это «предсказанное значение y »

· a – свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y , когда x=0 (Рис.1).

· b – угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.

· a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b .

· e - ненаблюдаемые случайные величины со средним 0, или их еще называют ошибками наблюдений, предполагается что ошибки не коррелированы между собой.

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора х иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х . На графике теоретические значения представляют линию регрессии.

В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой.

Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи.

Важным этапом регрессионного анализа является определение типа функции, с помощью которой характеризуется зависимость между признаками. Главным основанием для выбора вида уравнения должен служить содержательный анализ природы изучаемой зависимости, ее механизма.

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов (МНК) . При применении МНК для нахождения такой функции, которая наилучшим образом соответствует эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений (остаток) эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y – предсказанный y , Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

После несложных преобразований получим систему нормальных уравнений способа наименьших квадратов для определения величины параметров a и b уравнения прямолинейной корреляционной связи по эмпирическим данным:

. (1.2)

Решая данную систему уравнений относительно b , получим следующую формулу для определения этого параметра:

(1.3)

Где и - средние значения y, x.

Значение параметра а получим, разделив обе части первого уравнения в данной системе на n :

Параметр b в уравнении называют коэффициентом регрессии. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной зависимости коэффициент регрессии – отрицательный.

Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

Коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака y при изменении факторного признака х на единицу, геометрический коэффициент регрессии представляет собой наклон прямой линии, изображающей уравнение корреляционной зависимости, относительно оси х (для уравнения ).

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Количественной характеристикой степени линейной зависимости между случайными величинами X и Y является коэффициент корреляции r ( Показатель тесноты связи между двумя признаками) .

Коэффициент корреляции:

где x - значение факторного признака;

y - значение результативного признака;

n - число пар данных.

Рис.3 - Варианты расположения «облака» точек

Если коэффициент корреляции r=1 , то между X и Y имеет место функциональная линейная зависимость, все точки (x i ,y i) будут лежать на прямой.

Если коэффициент корреляции r=0 (r~0) , то говорят, что X и Y некоррелированы, т.е. между ними нет линейной зависимости.

Связь между признаками (по шкале Чеддока) может быть сильной, средней и слабой. Тесноту связи определяют по величине коэффициента корреляции, который может принимать значения от -1 до +1 включительно . Критерии оценки тесноты связи показаны на рис. 1.

Рис. 4. Количественные критерии оценки тесноты связи

Любая зависимость между переменными обладает двумя важными свойствами: величиной и надежностью. Чем сильнее зависимость между двумя переменными, тем больше величина зависимости и тем легче предсказать значение одной переменной по значению другой переменной. Величину зависимости легче измерить, чем надежность.

Надежность зависимости не менее важна, чем ее величина. Это свойство связано с представительностью исследуемой выборки. Надежность зависимости характеризует, насколько вероятно, что эта зависимость будет снова найдена на других данных.

С ростом величины зависимости переменных ее надежность обычно возрастает.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации , обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Коэффициент детерминации измеряет долю раз­броса относительно среднего значения, которую «объясняет» построенная регрессия. Коэффициент детерминации лежит в пределах от 0 до 1. Чем ближе коэффициент детер­минации к 1, тем лучше регрессия «объясняет» зависимость в данных, значение близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели. Коэффициент де­терминации может максимально приближаться к 1, если все предикторы различны.

Разность представляет собой процент дисперсии, который нельзя объяснить регрессией.

Множественная регрессия

Множественная регрессия применяется в ситуациях, когда из множества факторов, влияющих на результативный признак, нельзя выделить один доминирующий фактор и необходимо учитывать влияние нескольких факторов. Например, объем выпуска продукции определяется величиной основных и оборотных средств, численностью персонала, уровнем менеджмента и т. д., уровень спроса зависит не только от цены, но и от имеющихся у населения денежных средств.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с несколькими факторами и определить при этом влияние каждого фактора в отдельности, а также их совместное воздействие на изучаемый показатель.

Множественной регрессией называют уравнение связи с несколькими независимыми переменными: