Дифференцирование табличных функций в эксель. Численное дифференцирование в Excel. Вычисление локальных экстремумов функции
Пусть задана функция двух переменных. Дадим аргументу приращение, а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение, которое называется частным приращением по переменной и обозначается:
Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу прираще-ние, получим частное приращение функции по переменной:
Величина называется полным прира-щениием функции в точке.
Определение 4. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: или, или.
Таким образом, по определению имеем:
Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной, считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается.
Пример 3. Найти частные производные функций:
Решение. а) Чтобы найти считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной:
Аналогично, считая постоянной величиной, находим:
Определение 5. Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. , формулу полного дифференциала можно записать в виде
Пример 4. Найти полный дифференциал функции.
Решение. Так как, то по формуле полного дифференциала находим
Частные производные высших порядков
Частные производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными.
Определение 6. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные. Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство.
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
Дифференцируя и по переменным х и y, получим
Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.
Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке.
Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует
Как вычислить производную функции?
Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных .
Правила дифференцирования
Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда
— правило дифференцирования произведения функций
— правило дифференцирования частного функций
0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — дифференцирование функции с переменным показателем степени
— правило дифференцирования сложной функции
— правило дифференцирования степенной функции
Производная функции онлайн
Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.
Определение. Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
Для практических примеров справедливо следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверять правильность нахождения частных производных первого порядка.
Примеры.
а) Найти частные производные второго порядка функции
Решение.
1.Считаем переменную y
2. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «икс», т.е. найдем вторую производную по «икс»:
3.Считаем переменную х константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:
4. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «игрек», т.е. найдем вторую производную по «игрек»:
5. Найдем смешанную производную «икс по игрек». Для этого первую производную по «икс» продифференцируем по «игрек».
5. Найдем смешанную производную «игрек по икс». Для этого первую производную по «игрек» продифференцируем по «икс».
б) Найти частные производные первого порядка функции Проверить, что Записать полный дифференциал первого порядка dz.
Решение.
1.Найдем частные производные первого порядка, применяя правила вычисления производной произведения, суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и табличные интегралы тригонометрических функций:
2. Найдем смешанные производные второго порядка:
3. Составим полный дифференциал первого порядка:
в)
Показать, что данная функция удовлетворяет уравнению 
Решение.
1.Найдем частную производную заданной функции по «икс»:
2. Умножим полученное выражение х 2 :
3. От полученной функции найдем частную производную по «икс»:
4. Найдем частную производную заданной функции по «игрек»:
5. Вычислим вторую производную по «игрек»:
6. Умножим полученную функцию на у 2 :
7. Вычтем из результата, полученного в п.5, результат п.6:
Что и требовалось показать.
Похожая информация:
- V3: {{101}} 04.07.14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (общее решение)
Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые мы будем называть вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Так, например, функция двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:
Функция трех переменных имеет девять частных производных второго порядка:
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных: частной производной порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной порядка той же функции.
Например, частная производная третьего порядка функции есть частная производная первого порядка по у от частной производной второго порядка
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.
Например, частные производные
являются смешанными частными производными функции двух переменных .
Пример. Найти смешанные частные производные второго порядка функции
Решение. Находим частные производные первого порядка
Затем находим смешанные частные производные второго порядка
Мы видим, что смешанные частные производные и отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, т. е. последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.
Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 ) - внутренняя точка области D .
Если в D присутствует такая окрестность UM 0 точки M 0 , что для всех точек
то точка M 0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M 0 ) - локальным максимумом.
А если же для всех точек
то точка M 0 называется точкой локального минимума функции z(x,y) . А само значение z(M 0 ) - локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y) . На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M 0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C 0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).
Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В ), которые находятся выше C 0 , но эти точки (например, В ) не являются "соседними" с точкой C 0 .
В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:
Аналогично определяется и глобальный минимум:
Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.
Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D . Точка M 0 (x 0 ;y 0 D - точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z" x и z" y , то
Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C 0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу .
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определение 1.12.
Если в точке M 0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y) .
Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).
Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D , которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M 0 (x 0 ,y 0 )D . Причем M 0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:
Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.
Пример 1.13.
Исследовать на экстремум:
Решение
1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):
то есть найдены четыре стационарные точки. 2.
по
теореме 1.4 в точке –
минимум.
Причём
по теореме 1.4 в точке
Максимум. Причём
Загрузка...
