Странный аттрактор примеры. История теории хаоса. Регулярные и странные аттракторы

Архетип коллективного бессознательного - странный аттрактор

Итак, архетипы коллективного бессознательного являются двигателями политических процессов. Как пишет В. Одайник, «архетип - организующий принцип, стоящий за психологическими феноменами» Одайник В. Психология политики. Политические и социальные идеи Карла Густава Юнга. М.: Ювента, 1996. С.27..

В предыдущем разделе было приведено достаточно доводов в пользу того, что коллективное бессознательное вполне является нелинейной системой (средой). А в открытых нелинейных системах (средах) организующими принципами выступают аттракторы. Напомним, что аттрактор - это точка или множество в фазовом пространстве, к которым притягиваются все траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой также областью, или бассейном, притяжения. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Аттрактор обозначает активные устойчивые центры потенциальных путей эволюции системы, способные притягивать и организовывать окружающую среду.

Мы уже рассматривали, что существуют несколько типов (классов) аттракторов: точечные, периодические, квазипериодические (аттрактор тора) и странные. Попытаемся уточнить, какой из этих типов больше подходит для моделирования архетипов.

Обратимся еще раз к трактовке странного аттрактора применительно к социальной среде, предложенной Капустиным В.С. в работе «Введение в теорию социальной самоорганизации».

Явление аттрактора в социальной системе можно определить как такое будущее состояние изменяющейся системы, которого еще не знает настоящее, но прошлое уже там присутствует и распоряжается. Это означает, что в различных временных рядах нелинейности отдельные события прошлого могут опережать настоящее и подстерегать нас из будущего.

Любой акт деятельности всегда полифункционален и многозначен, но субъектом действия осознается только с точки зрения его цели, оставляя вне внимания иные проявления, каждое из которых существует в своей логике. Результаты, находящиеся за пределами осознания субъекта деятельности, как правило, не принадлежат ему, а значит, не интересны ему и не контролируются им (пространство эпифеноменов). Эпифеномен - явление, сопутствующее в качестве побочного продукта другим, фундаментальным явлениям, но не оказывающее на них прямого воздействия. Это самостоятельное пространство эпифеноменов можно сравнить с безбрежным морем бесчисленных смыслов: мудрец - рыбак в безбрежном море бытия, как рыб вылавливает смыслы. Каждый этнос, исходя из условий своего проживания и в соответствии с национальными особенностями мышления, кодирует смысл по-своему, что бы он был понятен, узнаваем, что бы его можно было передавать, т.е. декодировать при коммуникации, запустить в «эстафету поведения».

Аттрактор - это проявившийся из эвентуального будущего вектор последующих изменений, - это или мобилизующий и структурирующий образ будущего, или образ грядущей катастрофы, ускоряющий процессы распада. Понять аттрактор, значит, создать условия для прогнозирования развития, моделирования поведения и оптимального управления процессами. Бездумная, эгоистичная или коррумпированная власть может предлагать из своего настоящего любые векторы развития, но все они будут формальны. Аттрактор неумолимо «назначит» свой сценарий развития. Империи, державы, династии стремительно рушились, когда пространство эпифеноменов не транслировало или транслировало в социумы негативные образы будущего. Мировая практика показывает, что видение позитивного будущего - один из важнейших источников социальной энергии. Капустин В.С. Введение в теорию социальной самоорганизации: учебное пособие. Web: http://spkurdyumov.narod.ru/Kapustin12.htm

Пространство эпифеноменов это та же действительность, только нелинейно-целостно мыслимая. Там та же реальность действий (практик), только они не завершаются, как в мире феноменов с достижением ожидаемых результатов, которые, впрочем, всегда есть иллюзия достижения, а продолжают делиться, размножаться каждое мгновение и в каждой точке, разлетаясь в континуумы будущих альтернатив. Это не параллельный и даже не виртуальный мир, а инобытие нашего же мира, в котором обитают смыслы, обладающие свойством безвременности и бесконечности. В этом пространстве спрятана вечная тайна вневременного сопряжения практик, формирования будущих векторов движения социумов, там пишутся черновики бесчисленных сценариев для постановки их в мире феноменов.

Данные положения в первую очередь реализовались в психологии, речь идет о таком ее направлении, как трансперсональная психология, изучающая трансперсональные переживания и связанные с ними явления. Только здесь понятие эпифеноменов преобразовано в понятие коллективного бессознательного, социального бессознательного. Мифологические мотивы активно используются в политике и ПР, но не до конца и не всеми технологами осознается действительная мощь мифа, коллективного бессознательного, архетипа.

К.Г. Юнг неоднократно подчеркивал, что «Содержимое коллективного бессознательного, представленное архетипами, с которыми мы сталкиваемся при любом контакте с массовыми феноменами, всегда биполярно: оно имеет как положительную, так и отрицательную стороны. Любое проявление архетипа делает ситуацию критической, так что невозможно предвидеть ее развитие» Одайник В. Психология политики. Политические и социальные идеи Карла Густава Юнга. М.: Ювента, 1996. С.321.. Таким образом, прослеживаются явные параллели между архетипами и странными аттракторами. Странные аттракторы определяют хаотические режимы. Предсказать поведение траекторий хаотических систем на длительное время невозможно. Странные аттракторы в противоположность циклам или точечным аттракторам описывают движение, которое не станет периодическим (а значит предсказуемым), сколько бы мы ни ждали.

Академик Е.А. Файдыш выстраивает такую логическую цепочку: «Одной из особенностей архетипа является невозможность его однозначного описания или определения. Сколько бы мы не пытались выразить его в виде текста, он всегда будет несоизмеримо сложнее и глубже. Именно поэтому могут быть осознаны только отдельные «тени», проекции, но никогда - он весь целиком.

В недавнее время математиками были открыты объекты очень сходные с ними. Это фрактальные множества и странные аттракторы. Как архетип невозможно задать перечислением его элементов, также и фрактал. Каждый элемент архетипа обладает не меньшей сложностью, чем целое, то же можно сказать и о фрактале. И наконец - самоподобие. Каждый элемент несет и информацию о целом. Этим свойством обладают как архетип, так и фрактал. И еще одно интересное свойство. Фракталы обычно имеют дробную размерность, т.е. как бы находятся между разными пространственными измерениями. Как уже говорилось, об аналогичных свойствах архетипов догадывались в глубокой древности. Интересно, что даже геометрические образы, использовавшиеся для изображения архетипов в древности, очень напоминают фракталы. Это янтры и мандалы» Файдыш Е.А. Сверхсознание. М.: Прогресс, 1993. С. 62-63..

Таким образом, развертывание политической ситуации, особенно если речь идет о динамичных массовых процессах, часто объясняется и обеспечивается действием архетипической модели. Как было нами выяснено, в теории нелинейных динамических систем архетипам соответствуют странные (фрактальные) аттракторы. Следовательно, моделирование политических процессов, в том числе динамики общественного сознания и электорального поведения, «субъектом» самоорганизации которых выступает архетип, оптимально с использованием фрактальных объектов (странных аттракторов, фрактальных временных рядов). Эта аналогия намечает сближение обычно разнесенных синергетического и психологического подходов к пониманию, интерпретации политических процессов. Если политический процесс движим архетипическими силами (моделируемыми странными аттракторами), это означает, что до определенной степени (в математике - внутри области странного аттрактора) процесс иррационален, неподвластен логике, непредсказуем. То есть, иррациональность - имманентное свойство многих политических явлений. Однако иррациональность не означает полную неуправляемость, точнее, иррациональность подразумевает невозможность полной управляемости, невозможность предсказуемо навязывать свою волю, манипулировать человеком и обществом. Понимание сути иррационального политического процесса позволяет «подталкивать» его в некотором направлении, но не более того.

Можно сформулировать следующие гипотезы, расширяющие синергетическую теорию аттракторов:

1. Нахождение в зоне притяжения определенного аттрактора сопровождается совершенно определенными событиями, качественно характеризующими параметры состояния аттрактора.

2. Эти события с логической точки зрения могут быть никак не связаны между собой.

3. События, обязанные своим происхождением пребыванию человека в зоне некоторого аттрактора, несмотря на отсутствие логической каузальности, все-таки достаточно сильно коррелированы, то есть фрактальны. Когда мы говорили о фрактальных объектах, мы проводили аналогию с твердыми телами, в которых (в отличие от газа) молекулы жестко связаны между собой.

4. По мере приближения к аттрактору компоненты, характеризующие ключевые свойства аттрактора, усиливаются в происходящих с человеком событиях.

5. Человек регулярно попадает в точки (зоны) потери устойчивости. В этих точках эволюционирующие системы испытывают на себе влияние со стороны различных аттракторов той нелинейной среды, в которой они находятся. Об этом свидетельствуют происходящие в течение небольшого отрезка времени разноплановые (порожденные бассейнами разных аттракторов) события - упрощенно, радостные и грустные. В таких точках человек делает выбор, к какому аттрактору он двинется дальше. По всей видимости, выбор осуществляется посредством резонансного возбуждения структур, близких к одному из аттракторов.

6. Вероятно, существуют некоторый набор действий, позволяющий выйти из зоны притяжения неблагоприятного аттрактора.

Мы предполагаем, что эти закономерности применимы и в политической практике. Внимательно наблюдая за событиями, сопутствующими деятельности в политической сфере, можно постоянно получать информацию о том, в каком направлении движется ситуация и, возможно, предпринимать меры по ее корректировке; уловить еле заметное, но способное изменить всю картину, перестроиться на правильный аттрактор, то есть направить к лучшему из возможных вариантов, - остальное самоорганизуется. Таким образом, можно существенно повысить эффективность и снизить «издержки» политической жизни. Подчеркнем, что в отличие от традиционного мониторинга ситуации, здесь идет речь о более широком взгляде, когда мы принимаем во внимание не только события, объединенные логической цепочкой.

Констатируя кредо синергетики как новое мировидение, Е.Н. Князева, в частности, подчеркивает, что она «не только синтезирует фрагменты обыденного и отчасти научного дисциплинарно разбросанного знания, но даже связывает эпохи - древность с современностью, с современными достижениями науки - принципиально различные, восточный и западный способы мышления мировосприятия (от Востока она берет идею целостного мира, от Запада - традицию анализа, эксперимент)». Шалаев В.П. Синергетика человека, общества, природы: управленческий аспект: Учебное пособие. Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2000. С.26.

При этом мифологические мотивы, также воздействующие на политический расклад, вполне адекватно вписываются в синергетическое мировоззрение. То есть процессы, развивающиеся с использованием таких мотивов, подчинены закономерностям, обнаруженными синергетикой.

Эта глава имеет своей целью познакомить читателя с одной теорией, которая развивалась вне всякой связи с фрактальными множествами и все же оказалась буквально пронизана ими. Чаще всего ее называют «теорией странных аттракторов и хаотической (или стохастической) эволюции», однако в тексте главы вы, я надеюсь, найдете причины, побудившие меня дать этой теории новое имя (см. заголовок).

Для того чтобы попасть в настоящее эссе упомянутой теории, достаточно было всего лишь быть так или иначе связанной с фракталами; я же считаю оправданным посвятить ей целую главу. Первое оправдание (практическое): эта теория почти не требует какого бы то ни было особого представления, так как бóльшую часть ее основных положений можно рассматривать просто как новую интерпретацию выводов, полученных нами в главах 18 и 19.

Во-вторых, теория фрактальных аттракторов помогает – путем противопоставления – прояснить некоторые особенности фрактальной геометрии природы. В самом деле, моя работа связана, в основном, с формами, присутствующими в реальном пространстве, с формами, которые можно увидеть, пусть даже и в микроскоп; теория аттракторов же имеет дело исключительно с эволюцией во времени расположения неких точек в невидимом и абстрактном репрезентативном пространстве.

Особенно силен этот контраст оказывается в контексте турбулентности – моя первая большая тема (работу над ней я начал в 1964 г.), где я использовал ранние формы фрактальных методик и (вполне независимо от них) теорию странных аттракторов, которая вполне всерьез сочетается с изучением турбулентности в работе . До сих пор эти два подхода еще не пересеклись, но ждать осталось недолго.

Тем, кто интересуется социологией науки, несомненно, покажется занимательным следующий факт: в то время как мои прецедентные исследования, связывающие математических чудовищ с реальными физическими структурами, встречаются с ощутимым сопротивлением, чудовищные формы абстрактных аттракторов воспринимаются с завидной невозмутимостью.

Третий довод в пользу необходимости разговора о фрактальных аттракторах связан с тем, что соответствующие эволюции выглядят «хаотическими» или «стохастическими». Как станет ясно из глав 21 и 22, многие ученые сомневаются в уместности применения случайного в науке; теперь же появляется надежда на оправдание случайности с помощью фрактальных аттракторов.

И наконец, те читатели, кто несколько глав (или пару эссе) назад согласился с моим утверждением о том, что многие из природных проявлений могут быть описаны только с помощью неких множеств, считавшихся ранее патологическими, возможно, с нетерпением ожидают перехода от «как» к «почему». Думаю, приведенные ранее описания и демонстрации дают представление о том, как легко в некоторых случаях оказывается подсластить упомянутые в предыдущих главах геометрические пилюли, чтобы их легче было проглотить. Я же хочу привить читателю вкус именно к фракталам – независимо от того, насколько горьким кажется этот вкус большинству зрелых ученых. Кроме того, я искренне убежден (и еще вернусь к этому в главе 42), что псевдообъяснение посредством подслащивания просто-напросто неинтересно. Таким образом, важность объяснения, судя по всему, сильно преувеличена, и мы будем прибегать к нему лишь в тех случаях, когда имеющееся объяснение действительно интересно – как, например, в главе 11. Вдобавок ко всему, я подозреваю, что когда фрактальные аттракторы лягут в основу фрактальной геометрии видимых естественных форм, появится много новых более детальных и убедительных объяснений.

Так как преобразования с аттракторами нелинейны, наблюдаемые фракталы, скорее всего, окажутся не самоподобными. Это замечательно: мне кажется, что использование фрактального аналога прямой для описания феноменов, управляемых нелинейными уравнениями, выглядит несколько парадоксально. Масштабно-инвариантные фракталы, хорошо объясняющие естественные феномены, могут выступать лишь как локальные приближения нелинейных фракталов.

Понятие аттрактора

Настоящая глава опирается, по большей части, на одно давнее и весьма основательно позабытое наблюдение Анри Пуанкаре: «орбиты» нелинейных динамических систем имеют свойство притягиваться к странным множествам, которые я определяю как нелинейные фракталы.

Рассмотрим для начала простейший аттрактор – точку. «Орбита», определяемая движением маленького шарика после помещения его в воронку, начинает с некоторой спиралевидной траектории, точная форма которой зависит от исходных положения и скорости шарика, однако, в конце концов, сходится к горловине воронки; если диаметр шарика превышает диаметр отверстия воронки, то он там и останется. Для нашего шарика начало горловины воронки является устойчивой точкой равновесия, или устойчивой неподвижной точкой. В рамках достаточно удобной альтернативной описательной терминологии (которую, естественно, не следует интерпретировать с антропоцентрических позиций) горловину воронки можно назвать притягивающей точкой, или аттрактором.

В физической системе устойчивыми и притягивающими могут быть также окружность или эллипс. Например, мы все полагаем (и даже пламенно надеемся – хотя никто из нас не проживет достаточно долго для того, чтобы это имело хот какое-то значение), что солнечная система устойчива, подразумевая, что если орбите Земли и суждено претерпеть какие- либо возмущения, то она, в конце концов «притянется» назад на свою теперешнюю колею.

В более общем виде, динамическую систему принято определять следующим образом: состояние системы в момент времени представляется точкой на прямой, в плоскости, либо в некотором более многомерном евклидовом «фазовом пространстве» , а ее эволюция между моментами и определяется правилами, в которые величина явным образом не входит. Любую точку в фазовом пространстве можно принять за начальное состояние при , а за ней последует орбита, определяемая функцией для всех .

Основное различие между такими системами заключается в геометрическом распределении значений при больших значениях . Принято говорить, что динамическая система имеет аттрактор, если существует некое правильное подмножество фазового пространства , обладающее следующим свойством: при почти любой начальной точке и достаточно большом точка оказывается в малой окрестности какой-либо точки, принадлежащей .

Понятие репеллера

Мы можем также поместить наш шарик в положение неустойчивого равновесия – например, на кончике карандаша. Если начальное положение не совпадает в точности с точкой равновесия, то шарик словно отталкивается прочь и достигает состояния устойчивого равновесия где-то в другом месте.

Множество всех положений неустойчивого равновесия (вместе с их предельными точками) называется отталкивающим множеством, или репеллером.

Во многих случаях аттракторы и репеллеры меняются местами при смене знаков в уравнениях. Имея дело с силой тяжести, достаточно изменить направление ее действия. Рассмотрим, например, в основном горизонтальную поверхность с прогибами в обоих направлениях. Предположим, что сила тяжести направлена вниз, поместим шарик на верхней стороне поверхности и обозначим притягивающий прогиб буквой , а отталкивающий – буквой . Если теперь поместить шарик на нижней стороне поверхности и предположить, что сила тяжести направлена вверх, то прогибы и поменяются местами. В этой главе такие обмены играют центральную роль.

Фрактальные аттракторы. «хаос»

Бóльшая часть элементарной механики имеет дело с динамическими системами, аттракторами которых являются точки, почти окружности и другие фигуры евклидовой геометрии. Однако в действительности такие фигуры представляют собой редкие исключения, и поведение большинства динамических систем несравнимо более сложно: их аттракторы и репеллеры имеют явную тенденцию к фрактальности. В нескольких следующих разделах описываются примеры систем с дискретным временем, .

Аттрактор-пыль. Коэффициент Фейгенбаума . Простейший пример можно получить с помощью возведения в квадрат (см. главу 19). В качестве вступления рассмотрим еще одно представление канторовой пыли : , , охватываемый интервал . Такое множество является пределом множества , определяемого как множество точек вида . При , каждая точка множества разделяется на две, а множество представляет собой результат бесконечного количества таких бифуркаций.

Согласно П. Грассбергеру (источник – препринт статьи), аттрактор отображения при вещественных аналогичен множеству , но с двумя различными коэффициентами подобия, одним из которых является коэффициент Фейгенбаума (см. ). После бесконечного количества бифуркаций этот аттрактор превращается во фрактальную пыль с размерностью .

«Хаос». Ни одна точка множества за конечный промежуток времени не посещается дважды. Многие авторы описывают эволюции на фрактальных аттракторах как «хаотические».

Самоаффинные деревья. Расположив множество в плоскости , получим дерево. Поскольку , это дерево асимптотически самоаффинно с остатком.

Комментарий. В идеале теории следовало бы сосредоточиться на интересных по своей сути и реалистичных (но простых) динамических системах, аттракторами которых являются подробно изученные фрактальные множества. Имеющаяся же литература по странным аттракторам – пусть даже она чрезвычайно значима – весьма далека от этого идеала. Рассматриваемые в ней фракталы, как правило, недостаточно хорошо изучены, очень немногие из них действительно интересны, а большинство никак нельзя считать решениями сколь бы то ни было мотивированных задач.

Поэтому я был вынужден самостоятельно изобретать «динамические системы», которые бы поставили новые вопросы – для того, чтобы получить на них давно известные и удобные ответы. Я придумывал задачи таким образом, чтобы их решениями стали знакомые фракталы. Больше всего меня удивляет то, что эти системы оказались еще и интересными.

Самоинверсные аттракторы

Согласно главе 18, множества в цепях Пуанкаре является как наименьшими самоинверсными, так и предельными множествами. Переформулируем последнее свойство: при произвольно выбранной начальной точке ее преобразования под действием последовательности инверсий подходят произвольно близко к каждой точке множества . Предположим теперь, что эта последовательность инверсий выбирается посредством отдельного процесса, независимого от настоящего и предыдущего положений точки . При довольно широком разбросе начальных условий всегда можно ожидать (и часто эти ожидания оправдываются), что результирующие последовательности положений будут притягиваться множеством . Таким образом, огромное количество публикаций по группам, порождаемым инверсиями, можно интерпретировать в терминах динамических систем.

Обращение «времени»

Дальнейшие поиски систем с интересными фрактальными аттракторами привели меня к системам, аттракторы которых геометрически стандартны, а вот репеллеры оказываются весьма занятными. Эти два множества легко можно поменять местами, тем самым пустив время вспять, при условии, что операции динамической системы допускают существование обратных операций (орбиты не сливаются и не пересекаются), так что, зная положение точки , можно определить все при . Однако данные конкретной системы, которые мы хотим обратить во времени, представляют собой особый случай. Их орбиты похожи на реки: в направлении вниз по склону их путь однозначно определен, вверх же по склону – каждая развилка требует особого решения.

Попытаемся, например, обратить - преобразование , с помощью которого мы получили канторову пыль в главе 19. При определены две различные обратные функции, и можно, пожалуй, условиться преобразовывать все в . Аналогичным образом, две различные обратные функции имеет отображение . В обоих случаях осмысленная инверсия предполагает выбор между двумя функциями. В других примерах возможных вариантов больше. Напомню: нам нужно, чтобы выбор между ними осуществлялся посредством отдельного процесса. Эти соображения приводят нас к обобщенным динамическим системам, которые и будут описаны в следующем разделе.

Разложимые динамические системы

Потребуем, чтобы одна из координат состояния (назовем ее определяющим индексом и обозначим через ) эволюционировала независимо от состояния остальных координат (обозначим это состояние через ), при условии, что преобразование из состояния в состояние будет определяться как состояние , так и индексом . В тех примерах, которые я изучил наиболее подробно, конкретное преобразование выбирается из конечного набора, включающего в себя различных возможностей , причем выбирается в соответствие со значением некоторой целочисленной функции . Иными словами, я рассматривал динамику произведения - пространства на некоторое конечное индексное множество.

Вообще говоря, в примерах, стимулировавших это обобщение, последовательность либо действительно случайна, либо ведет себя так, словно является случайной. К рассмотрению случайности мы с вами приступим только в следующей главе, однако я не думаю, что это обстоятельство может нам помешать. Гораздо серьезнее другое: динамические системы представляет собой воплощенный образчик полностью детерминированного поведения, и поэтому просто не вправе допускать какую бы то ни было случайность! Мы, однако, можем ввести воздействие случайности, не постулируя ее явно – нам нужно лишь присвоить функции значение какого-нибудь в достаточной степени перемешивающего эргодического процесса. Возьмем, например, иррациональное число и сопоставим функции целую часть числа . Здесь стоило бы сделать еще несколько заявлений, принципиально не сложных, но весьма громоздких, так что я, пожалуй, от этого воздержусь.

Роль «странных» аттракторов

Сторонники «странных» аттракторов выдвигают в свою защиту следующие два соображения. . Поскольку динамические системы со стандартными аттракторами не в состоянии объяснить турбулентность, то, может быть, ее удастся объяснить с помощью систем с аттракторами, топологически более «странными». (это напоминает мое собственное рассуждение (см. главу 11) – высказанное, кстати, совершенно независимо от приведенного – о том, что если дифференциальное уравнение не имеет стандартных особенностей, следует попытать счастья с особенностями фрактальными. . Аттракторы до смешного простых систем – таких, как при вещественных и в интервале - действительно странны и во многих отношениях характерны для более сложных и более реалистичных систем. Таким образом, топологически странные аттракторы, вне всяких сомнений, являются, скорее, правилом, нежели исключением.

«Фрактальные» или «странные»?

Все известные «странные» аттракторы представляют собой фрактальные множества. Для многих «странных» аттракторов существуют оценки размерности . Во всех случаях . Следовательно, эти аттракторы суть не что иное, как фрактальные множества. Во многих случаях размерность «странно – аттракторных» фракталов служит мерой не иррегулярности, а того, как накладываются друг на друга гладкие кривые или поверхности – своего рода фрагментации (см. главу 13).

С. Смейл представлял свой знаменитый аттрактор, называемый соленоидом, дважды. Оригинальное определение было чисто топологическим (размерность при этом оставалась неопределенной), пересмотренный же вариант имеет метрический характер (см. , с. 57). Я, в свою очередь, предложил ввести в теорию странных аттракторов понятие размерности и оценил в значение отображения Энона , которая оказалась равной 1,26. Ожидается появление многих других статей в том же духе.

Обратное утверждение. Являются ли все фрактальные аттракторы странными – вопрос семантики. Все больше авторов согласны со мной в том, что аттрактор, как правило, можно считать странным, если он фрактален. Мне такое отношение представляется вполне здравым, если учесть, что слово «странный» выступает как синоним слов «чудовищный», «патологический» и других подобных эпитетов, которыми некогда награждали отдельные фрактальные множества.

Однако прилагательному «странный» иногда придается некий особый терминологический смысл настолько, надо сказать, особый, что аттрактор Зальцмана – Лоренца характеризуется не просто как «странный», но как «странно – странный». В этом свете «странность» аттрактора связывается главным образом с нестандартными топологическими свойствами, в то время как нестандартные фрактальные свойства просто сопутствуют им в качестве «нагрузки». Замкнутая кривая с двойными точками не является в этом смысле «странной», какой бы смятой она ни была: это значит, что большинство из исследованных мною фрактальных аттракторов нельзя считать странными.

При таком определении термина «странный» рассуждения в предыдущем разделе теряют всякую привлекательность. Однако если модифицировать понятие странности с тем, чтобы оно из топологического стало фрактальным, то эту привлекательность можно вернуть. Вот почему я считаю, что победы в споре достойны те, кто определяет «странное» как «фрактальное». А поскольку они и в самом деле побеждают, я не вижу большого смысла в сохранении термина, необходимость в котором исчезла в тот момент, когда я показал, что фракталы не более странны, чем, скажем, горы или береговые линии. Кроме того, не стану скрывать: к термину «странный» я испытываю какую-то личную неприязнь.

Рис. 282 и 283. Притяжение к фракталам

Приведенные здесь фигуры иллюстрируют длинные орбиты последовательных состояний двух разложимых динамических систем. Нагрудник фараона на рис. 283 представляет собой самоинверсное (см. главу 18) множество, основанное на четырех инверсиях, подобранных таким образом, чтобы предельное множество являлось совокупностью окружностей. Дракон Сан-Марко на рис. 282 – самоквадрируемое (см. главу 19) множество и основан на двух инверсиях отображения .

Определяющий индекс в этих случаях выбирается из четырех (или, соответственно, двух) возможностей с помощью псевдослучайного алгоритма, примененного 64 000 раз. Несколько первых точек на рисунке опущены.

Области в окрестностях точек заострения и самопересечения заполняются чрезвычайно медленно.

В физических системах, n-мерными могут быть, например, две или три координаты, для одного или нескольких физических объектов; в экономических системах они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы. Если развивающаяся переменная двух-или трехмерная, аттрактор динамического процесса можно представить геометрически в двух или трех измерениях, (как, например, на рисунке).

Если при различных начальных условиях все траектории в фазовом пространстве будут уходить в бесконечность, это будет говорить о том, что у такой системы нет устойчивого состояния.

В случае, когда все они закончатся в одной точке, т. е. система придет к конкретному состоянию, и большее с ней не будет происходить никаких изменений, то такая точка будет являться точкой устойчивого состояния. После выхода из этого состояния, под действием кратковременного возмущения, система всегда вернется в это же состояние.

В этом случае, все траектории заканчиваются в точке, то есть она как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Такая точка называется аттрактором (англ. to attract -"притягивать") типа «притягивающая точка ». Понятие аттрактор является обобщением понятия равновесия для сложных систем.

Аттрактор может быть точкой, конечным множеством точек, кривой, разнородностью, или даже сложным комплексом с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор . Если переменная является скаляром, аттрактор представляет собой подмножество вещественной числовой прямой. Описывая аттрактор в хаотических динамических системах, он является одним из достижений теории хаоса . Траектория динамической системы в аттракторе не удовлетворяет любым особым ограничениям для оставшихся на аттракторе исключениям, вперед и назад во времени. Траектория может быть периодической и хаотической. Если множество точек является периодическим или хаотичным, но поток в соседней области вдали от множества, набор не является аттрактором, но вместо этого называется отражателем (или репеллером ).

Таким образом, аттрактор - компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (периодическая траектория (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Динамическая система , как правило, описывается одним или более дифференциальным или разностным уравнением. Уравнения данной динамической системы указывают свое поведение в отношении любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, необходимо интегрировать уравнения либо через аналитические средства либо посредством итерации, часто с помощью компьютеров. Динамические системы в физическом мире, как правило, возникают в результате диссипативных систем: если бы не было в течение времени некоторой движущей силы, движение бы прекратилось. Рассеяние может исходить от внутреннего трения, термодинамических потерь или потери материала и других многих причин.

Рассеиваемая и движущая силы, как правило, сбалансированы, убивая начальные переходные процессы и урегулируют систему в ее типичном поведении. Подмножеством фазового пространства динамической системы, соответствующему типичному поведению является аттрактор, также известный как притягивающая секции или attractee. Инвариантные множества и предельные множества аналогичны концепции аттрактора. Инвариантное множество представляет собой набор, который развивается в себе под воздействием динамики. Аттракторы могут содержать инвариантные множества . Предельным множеством является множество точек, для которых существует некоторое начальное состояние, которое заканчивается сколь угодно близко к предельному множеству (т.е. в каждой точке множества) с течением времени к бесконечности. Аттракторы - предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами: при возможности иметь несколько точек системы сходящимся к предельным множествам, но разные точки, возмущенные немного от предельного множества не может на них воздействовать. Например, затухающей маятник имеет две инвариантные точки: точка х0 минимальной высоты и точка x1 максимальной высоты. Точка x0 также предельное множество, как траектории сходятся к ней; точка x1 не является предельным множеством. Из-за рассеивания точка х0 также аттрактор. Если не будет рассеивания, х0 не будет аттрактором.

Математическое определение

Пусть t представляют время и пусть f (т, )-функция, определяет динамику системы. То есть, если это n-мерные точки в фазовом пространстве, представляющих начальное состояние системы, то f (0, а) = а и, при положительном значении t, f (t, а) является результатом эволюции этого положения после t единиц времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство есть плоскость R2 с координатами (х, v), где х является положением частицы, v это ее скорость, а = (х, v), и эволюция задается

Аттрактор представляет собой подмножество фазового пространства и характеризуется следующими тремя условиями:

А вперед инвариантна относительно t: если есть элемент A и t (t, а) , для всех t > 0 .

Существует соседняя область А, называемая областью притяжения для А и обозначается B (A) , которая состоит из всех точек b, что " введите A в пределе t → ∞ " . Более формально, B (А) есть множество всех точек b в фазовом пространстве со следующим свойством:

Для любой открытой близлежащей области N А, есть положительная постоянная t,

Нет собственного подмножества имеющего первые два свойства.

Поскольку область притяжения содержит открытое множество, содержащее А, каждая точка, что достаточно близка к А притягивается к А. Определение аттрактора использует метрику на фазовом пространстве, но в результате понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства.

Существуют многие другие определения аттрактора в литературе. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительную меру, другие уменьшают силу требования, что B (А)- близлежащая область.

аттракция периодического-3 цикла и его область притяжения. Три самые темные точки являются точками 3-цикла, которые приводят к друг другу в последовательности, и итерации из любой точки в область притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости этой последовательности в трех точках.

Типы аттракторов

Аттракторы - части или подмножества фазового пространства динамической системы. До 1960-х годов, аттракторы не мыслились как простые геометрические подмножества фазового пространства, как точки, линии, поверхности и объемы. Более сложные аттракторы, которые не могут быть классифицированы как простых геометрические подмножества, такие как топологические множества, были известны в то время, но принимали их за хрупкие аномалии. Стивен Смейл смог показать, что его подкова (Подкова Смейла - предложенный Стивом Смейлом пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек (и хаотическую динамику), причём это свойство не разрушается при малых возмущениях системы) была надежной и, что его аттрактор был подобен структуре множества Кантора. Два простых аттрактора - фиксированная точка и предельный цикл. Аттракторы могут принимать множество других геометрических фигур (фазовые подмножества). Но когда эти множества (или движения в них) не могут быть легко описаны как простые комбинации (например пересечение и объединение) фундаментальных геометрических объектов (например, линий, поверхностей, шаров, тороидов, коллекторы), то аттрактор называется странным аттрактором.

Аттракторы классифицируют по:

1. Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
2. Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).
3. Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый»).

Предельным циклом является периодическая орбита системы, которая изолирована. Примеры включают маятник часов, схему настройки радио и сердцебиения во время отдыха. (Предельный цикл идеального маятника не пример аттрактора предельного цикла, потому что ее орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника, недалеко от любой точки периодической орбиты есть еще один момент, который принадлежит другой периодической орбите.

фазовый портрет Ван-дер-Поля: аттракция предельного цикла

Предельный тор

Может быть больше, чем одна частота периодической траектории системы через состояние предельного цикла. Например, в физике, одна частота может диктовать скорость, с которой планета вращается вокруг звезды в то время как вторая частота описывает колебания расстояния между этими двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную фракцию (т.е. они несоизмеримы), траектория больше не закрывается, а предельный цикл становится предельным тором. Этот вид аттрактора называется Nt -тор , если есть Nt - несоизмеримые частоты. Например вот 2-тор:

Временной ряд, соответствующий этому аттрактору - квазипериодический серия: дискретность проб сумм Nt- периодических функций (не обязательно синус волны) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не имеет строгую периодичность, но его спектр мощности еще состоит только из резких линий.

Странный аттрактор

Аттрактор называется странным , если он имеет фрактальную структуру . Это часто бывает, когда динамика на нем хаотична, но существуют также странные аттракторы, которые не хаотичны. Этот термин был придуман Дэвидом Рюэлем и Флорисом Такенсом, которые описали аттрактор, возникший в результате серии бифуркаций системы, описывающей поток жидкости. Странные аттракторы часто дифференцируемы в нескольких направлениях, но некоторые из них, такие как пыль Кантора, не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут быть найдены в присутствии шума, где они могут быть размещены для поддержки инвариантных случайных вероятностных мер типа Синай-Рюэля-Боуэна. Примеры странных аттракторов включают в себя , аттрактор Хенона , Rössler аттрактор , и аттрактор Лоренца .

Дважды прокрученный аттрактор

аттрактор Лоренца

Частные уравнения

Параболические уравнения в частных производных могут иметь конечномерные аттракторы. Диффузная часть уравнения гасит высокие частоты, а в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Гинзбурга-Ландау, Курамото-Сивашинского, и двумерные, вынужденные уравнения Навье-Стокса как известно, приводят к глобальным аттракторам конечной размерности. Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье-Стокса с периодическими граничными условиями, если оно имеет глобальный аттрактор, то это аттрактор будет конечных размеров.

С вычислительной точки зрения, аттракторы можно естественно рассматривать как самовозбуждающиеся аттракторы или скрытые аттракторы. Самовозбуждающиеся аттракторы могут быть локализованы численно при стандартных вычислительных процедурах, в которых после переходной последовательности, начинается траектория с точки на неустойчивом многообразии в малой области неустойчивого равновесия достигаемого аттрактором (как классических аттракторов в Ван дер Поля, Белоусова-Жаботинского, Лоренца и многих других динамических систем). В противоположность этому, область притяжения скрытого аттрактора не содержит области равновесия, поэтому скрытый аттрактор не может быть локализован с помощью стандартных вычислительных процедур.

Хаотичный скрытый аттрактор (зеленый домен) в системе Чуа. Траектории с начальными данными в окрестности двух точек (синий), как правило (красная стрелка) к бесконечности или, как правило (черная стрелка) к точке равновесия стабильного нуля (оранжевый).

Софтом , генерирующим странные аттрактору по праву можно считать Chaoscope , являющимся 3D –визуализатором странных аттракторов. Является бесплатной, работающих на платформе Windows.

Онлайн генератор странных аттракторов: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net

Странные аттракторы. Динамический хаос

1. Узел, фокус, предельный цикл – математические образы установившихся режимов

Аттракторы вида узел, фокус и предельный цикл являются математическими образами установившихся режимов в динамических системах.

Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы .

Это свойство позволяет предсказывать поведение таких систем, даже если начальные условия x 0 известны с некоторой погрешностью .

Объекты, получившие название странных аттракторов , открыты в начале 60-х американским метеорологом Э. Лоренцем при исследовании упрощенной математической модели физики атмосферы. Они описывают непериодические хаотические режимы в динамических системах вида

dx / dt = F ( x ), x ( t 0 ) = x 0 (1)

Странные аттракторы не обладают свойством устойчивости :

пусть  x 0 – любое малое отклонение в начале траектории, тогда

||x(t, x 0 ) – x(t, x 0 +  x 0 )||  e  t ||  x 0 ||,  > 0 . (2)

Отсюда следует, что при t  T будет теряться какая-либо информация о положении системы dx/dt = F(x) в фазовом пространстве . Такой вывод означает, что в классическом смысле задачи, связанные с изучением странных аттракторов, не корректны . В корректных задачах теоремы существования и единственности решений выполняются на конечном интервале 0  t  T . Необходимо, чтобы существовала некоторая величина  , которая гарантировала бы близость траекторий при 0  t   . Это условие фигурирует в ляпуновской теории устойчивости решений .

Для странного аттрактора такого условия нет.

Это не связано с несовершенством формализма обыкновенных дифференциальных уравнений. Причиной является физическое явление динамического хаоса.

Странные аттракторы являются математическим образом установившегося хаотического поведения в динамических системах.

Странные аттракторы существуют даже в сравнительно простых системах трех дифференциальных уравнений, в правые части которых входят только линейные и квадратичные члены.

1.1. «Странность» странных аттракторов связана с их чувствительностью к начальным данным.

Две близкие точки x 10 иx 20 , лежащие на аттракторе, отстоят одна от другой на расстояние d 0 . Со временем это расстояние меняется d t = | x 1t – x 2 t |.

Если аттрактор – особая точка, то d t = 0 .

Если аттрактор – предельный цикл , то d t – периодическая функция времени.

Если аттрактор – странный , то d t = e  t ,  > 0 .

Чтобы величина  характеризовала аттрактор, надо рассматривать бесконечно близкие траектории и среднюю скорость их разбегания на большом интервале времени .

(x 10 ,  ) = lim lim [(1/t) ln (d t /d 0 )] , . (3)

t  , d 0  0

 - вектор от x 10 до x 20

Выбирая различные точки х 10 и x 20 , можно получать разные числа  .

В 1968 г. В. Оселедец показал, что при весьма общих условиях почти все точки х 10 и x 20 в окрестности странного аттрактора в N -мерной динамической системе будут давать один и тот же набор ляпуновских показателей  1 ,  2 ,…  N .

 - характеризует изменение длины отрезка d t .= |x 1t – x 2 t |.

Изменение площади треугольника с вершинами х 1 t , х 2 t , х 3 t пропорционально

exp (  1 +  2 ) t .

 1 - характеризует изменение длины d 1 .= |x 1t – x 2 t | ,

 2 - изменение длины d 2 .= |x 2t – x 3 t | .

Изменение N -мерного объема пропорционально

exp (  1 +  2 +  N ) t .

N -мерный объем малого элемента в фазовом пространстве N -мерной диссипативной системы для аттракторов сокращается

 i < 0 .

1  i  N

Если аттрактор точка или цикл , то, наблюдая за системой достаточно долго, можно дать достоверный прогноз даже, если х t известен с некоторой ошибкой. Ведь d t не будет расти.

Положительные ляпуновские показатели и связанная с этим чувствительность к начальным данным заставляют по-иному смотреть на саму возможность предсказания явлений природы. У странного аттрактора через время  1/  две близкие вначале траектории с течением времени перестанут быть близкими .

Существуют фундаментальные ограничения на возможность прогнозов в нелинейных системах.

1.2. «Странность» хаотических аттракторов связана с их геометрическими свойствами. Часто эти объекты имеют сложную структуру, обладающую масштабной инвариантностью . В мелком масштабе они выглядят также, как в крупном.

Вычисление ляпуновских показателей в тех случаях, когда известна функция F (x ), достаточно просто осуществляется с помощью компьютера.

Система рассматривается в вариациях .

Пусть известна траектория x(t) . Рассмотрим близкую траекторию

x *( t ) = x ( t ) +  t .

Матрица A ( x ) = D ( F ( x ))/ D ( x ) – матрица системы (якобиан ), линеаризованной в окрестности траекторииx(t).

Если траектории x ( t ) и x *( t ) бесконечно близки, то членами, квадратичными по  (t) можно пренебречь. Отклонение x(t) от x*(t) определяется системой в вариациях для  (t):

(t) = A(x(t))  (t), (4)

 = lim ,  0 =  (t=0). (5)

t 

Определенный таким образом ляпуновский показатель  эквивалентен заданному выражением (3). Использование формул (4), (5) в расчетах более предпочтительно.

Чтобы определить старший ляпуновский показатель, наряду с исходным уравнением (1) считают систему в вариациях (4).

Чтобы решение  (t) не было слишком большим, через определенный интервал времени его перенормируют (делят на достаточно большое число). В соответствии с этим модифицируются формулы (4) и (5).

Перенормировка нужна, чтобы повысить точность определения показателей. Взяв наугад  (t=0) , обычно находят первый ляпуновский показатель  1 . Чтобы оценить k показателей  1 ,  2 ,  k , считают k систем в вариациях . Вычисляют k -мерный объем и пользуются соотношениями, аналогичными формуле (5).

Через определенное время приходится выполнять не только перенормировку, но и ортогонализацию , поскольку  1 ,  2 , …,  k , с течением времени стремятся повернуться вдоль  1 , соответствующего наибольшему ляпуновскиму показателю.

В настоящее время ляпуновкие показатели являются наиболее эффективно и просто вычисляемыми характеристиками динамического хаоса.

Показатели Ляпунова

Величины  i являются решениями алгебраического уравнения

det |a ij -  ij  i | = 0 (6)

 ij – символ Кронекера такой, что  ij = 0 , если i  j и  ij = 1 , если i=j .

 i – показатели Ляпунова.

Если ляпуновские показатели отрицательны, то все x i ( t ) убывают со временем, поэтому состояние устойчиво. Система после возмущающего воздействия стремится вернуться в стационарное состояние.

Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, состояние будет неустойчивым.

В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Устойчивость определяется знаком действительной части комплексного числа.

Если среди чисел Ляпунова имеются чисто мнимые или равные нулю, то стационарное состояние называется нейтральным. При отклонении от этого состояния не возникают ни отклоняющие, ни возвращающие силы.

2.1. Анализ неустойчивых движений. Определяется временная зависимость малых отклонений от заданной траектории. Числа Ляпунова при этом уже не постоянны , а зависят от времени.

Траектория неустойчива, если среди ляпуновских показателей имеются такие, вещественные части которых положительны в достаточно большом интервале времени  t таком, что  t  ( t ) >> 1 .

Показатели Ляпунова играют большую роль в теории устойчивости движения. Они являются характеристическими или собственными числами системы .

Они не зависят от начальных условий . Устойчивость (или неустойчивость) является внутренним свойством исследуемой системы , а не результатом внешнего воздействия на систему.

Проявляется устойчивость (неустойчивость) только при малых внешних возмущениях .

Эта особенность привела к важным метологическим последствиям . Сейчас приходится пересматривать и подвергать ревизии некоторые, казалось бы установившиеся в физике понятия.

2. Хаотические непериодические режимы динамических систем. Странные аттракторы

Странный аттрактор

Слово «странный» оправдывают два свойства аттрактора:

Необычность его геометрической структуры :

Она не может быть представлена в виде геометрических элементов целой размерности. Размерность странного аттрактора – дробная.

Странный аттрактор – это притягивающая область для траекторий из окрестных областей, динамически неустойчивых внутри странного аттрактора .

Странный аттрактор существует только в диссипативных системах размерности n≥3 .

Синай Я.Г. (1996): Пять свойств, в некотором смысле усиливающих друг друга, следует называть статистическими:

Существование конечной инвариантной меры:

Эргодичность;

Перемешивание;

справедливость ЦПТ;

экспоненциальное убывание корреляций.

В случае конечного числа стационарных точек и конечного числа предельных циклов может иметь место лишь первое (или первое и второе) из указанных свойств.

Стохастические аттракторы (Синай Я.Г. (1976)): Предельная динамическая система обладает сильными стохастическим свойствами6 для нее имеют место, по крайней мере, три из указанных выше свойств.

Аттрактор А называется стохастическим, если для любого начального распределения P 0 с плотность p 0 на X, сконцентрированного в некоторой окрестности аттрактора А, его сдвиги при t  сходятся к некоторому инвариантному распределению P на А, не зависящему от P 0 ; п редельное распределение обладает перемешиванием, то есть автокорреляции стремятся к 0 при t  .

Еще более сильными статистическими свойствами обладает гиперболический аттрактор А. Движение на таком А и в его окрестности обладает экспоненциальной неустойчивостью, является странным, его размерность может быть дробной.

С точки зрения теории вероятностей динамическая система, возникающая на таком А , изоморфна цепи Маркова.

2.3. Абсолютно изолированные системы. Это понятие можно ввести (и то далеко не всегда) как предел неизолированной системы при стремлении к нулю величины внешнего воздействия .

Для устойчивых систем такой предел существует, и, следовательно, понятие изолированной системы остается в силе. Для неустойчивых систем такого предела, вообще говоря, нет.

Действительно, предел величины x(t) =  e  t (где  > 0 ) при  0 и t  зависит от порядка стремления аргументов к своим пределам . Формально величину  (она отражает меру внешних воздействий) и время t можно считать независимыми. При сравнительно небольших отрезках времени фактор e  t возрастает столь сильно. что компенсировать его уменьшением  - задача абсурдная. Экспоненциальная зависимость e  t настолько сильна, что конкурировать с ней практически невозможно. Поэтому для неустойчивых систем понятие «абсолютно изолированная система» теряет смысл. Можно говорить только об относительно изолированной системе.

2.4. Бесконечно малое и бесконечно большое. В связи с явлением неустойчивости возникает необходимость пересмотреть такие понятия как «бесконечно малое» и «бесконечно большое».

При небольших отрезках времени, когда отклонения малы, а возмущением можно пренебречь, динамическим расчетам можно доверять даже в случае их неустойчивости .

Условиями доверия являются: t  1/ Re  и  x( t ) << 1 . Время t  1/ Re  называется интервалом предсказуемости (или горизонтом прогнозирования) . При больших отрезках времени ( Re  t = 100  1000) отклонение  x( t ) станет большим при любых реальных возмущениях . Чтобы пренебречь возмущениями, необходимо изолировать систему с точностью до  x 0  e –1000 , что невозможно. При этом неважно, в каких единицах измеряются значения  x 0 и x( t ).

Любые физические величины (длины, массы, временные интервалы, числа частиц и т.д.) в нашем мире ограничены, т.е. выражаются числами в интервале от (10 -100 до10 +100 ) . Большие (или меньшие) числа могут появиться лишь в результате расчета, в котором фигурируют экспоненциальная или же более мощная функция. В связи с этим Эдваром Каснером было введено понятие «гугол» - столь большое число (более 10 +100 ) , которое не может соответствовать никакой физической величине.

Возмущение является физической величиной. Поэтому начальное отклонение не может быть меньше 10 -100 , тогда как Re  t может стать более 100 .

Обратный “гугол”, формальнор являющийся конечной величиной, реально рассматривается как величина бесконечно малая .

Вопрос, как ведет себя функция внутри интервала порядка, соизмеримого с обратным «гуголом», лишен смысла . Функцию на таком интервале следует заменить числом (средним по интервалу), поскольку более детальное ее поведение принципиально не наблюдаемо. Это утверждение играет важную практическую роль.

2.5. Причина . В теории динамических систем под причиной обычно понимают начальные условия или импульсные внешние воздействия, которые приводят к определенному результату – следствию .

Словосочетание «вскрыть причинно-следственные связи» означает «понять динамику промежуточных процессов».

Предполагается, что причины и следствия соизмеримы . Для устойчивых или нейтральных процессов это всегда имеет место.

В неустойчивых системах ситуация принципиально иная: очень малая величина приводит к следствию, несоизмеримому по масштабам с причиной. В таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не малое начальное воздействие.

Хаотические системы характеризуются временным горизонтом , который определяется временем Ляпунова (1/  ) , выполняющего роль внутреннего масштаба времени хаотических систем .

В течение этого времени сохраняет смысл выражение «две одинаковые (одни и те же) системы» . Чтобы увеличить интервал времени, в течение которого можно предсказывать траекторию, необходимо увеличивать точность , с которой задано начальное состояние , то есть сузить класс систем, называемых «одними и теми же». Чтобы увеличить в 10 раз время Ляпунова, необходимо увеличить точность задания начального состояния в e 10 раз.

Временной горизонт хаотической системы порождает принципиальное различие между «теперь» и «потом» .

Эволюция за пределами ляпуновского времени не допускает индивидуального описания , выражается только в терминах вероятностного описания, одного и того же для всех систем, характеризуемых одним и тем же хаотическим аттрактором, каким бы ни было их начальное условие.

Это – определение хаоса через отрицание возможности предсказания индивидуального поведения при любом уровне нашего знания.

Для хаотических систем законы природы необходимо формулировать в терминах эволюции распределений вероятности, а не в терминах индивидуальных траекторий.

Современные странные аттракторы (фрактальные и не фрактальные) служат великолепной иллюстрацией разнообразнейшего поведения диссипативных систем. Благодаря им меняется наш подход к миру природы. Он становится менее обобщающим и более разведывающим.

2.6. Вероятность . В устойчивых динамических системах понятие «Вероятность» не употребляется и, более того, не имеет смысла . В неустойчивых системах, напротив, достоверные предсказания не имеют смысла и можно говорить лишь о вероятности того или иного результата .

2.7. Неустойчивость . Явление, которое возникает в рамках динамических уравнений, но приводит к тому, что они (уравнения) перестают быть полными. Неустойчивость можно установить (найти числа Ляпунова), но предсказать результат процесса при этом невозможно.

Понятие «Неустойчивость» существенно расширяет и изменяет аксиоматику динамических систем . Ярким следствием этого свойства является «динамический хаос» .

Существует класс динамических систем, в которых хаотический режим возникает в некоторых областях фазового пространства . Такие области называют странными аттракторами.

Фазовые траектории входят в эти области (отсюда и термин «аттрактор»), но не выходят из них, запутываются внутри (отсюда термин «странный»).

Странные аттракторы можно рассматривать как стационарные состояния, но не стянутые к одной точке, а размазанные по области фазового пространства. В природе такие системы распространены гораздо шире. Чем можно было бы предположить.

3. Фракталы

Объекты с дробной размерностью.

Странные аттракторы характеризуются не целыми, а дробными размерностями . Они являются фрактальными объектами 1 . Такие объекты не могут быть ни точками, ни линиями, ни поверхностями, ни вообще топологическими многообразиями.

Размерность характеризует геометрический объект числом переменных, которые необходимо задать, чтобы указать местоположение одной из точек объекта.

Точка на линии – одно число. Точка на плоскости – два. Точка в объеме – три и т. д. Существуют, более абстрактные, способы определения размерности.

Геометрический объект можно характеризовать минимальным числом «клеток», необходимых для покрытия объекта. Число d , определяющее размерность, появляется как показатель степени в соотношении, связывающем число N «клеток» и их размер u .

Рассмотрим пример «канторовского множества»:

Возьмем единичный отрезок. Разделим его на три равные части и удалим среднюю треть. Повторим ту же операцию с каждой оставшейся частью, и т д. бесконечно много раз. Возникнет бесконечное множество «микроотрезков» , которые уже невозможно охарактеризовать их длинами .

Изначально мы имели отрезок единичной длины. После первого шага – два отрезка длиной 1/3 . После второго шага – четыре отрезка длиной 1/9 , после третьего шага – восемь отрезков длиной 1/27 . После n - го шага – 2 n длиной 1/3 n . После счетного множества шагов из единичного отрезка будет удалено

1/3 + 2(1/9) + 4(1/27) + .. = 1 , то есть вся длина.

Размерность d канторовского множества при N  и u  0 определяется соотношением 2 n = (3 n ) d , откуда d = log2/log3  0,63 . Канторовскому множеству, которое уже невозможно мыслить как совокупность одномерных отрезков , соответствует дробная размерность, заключенная между 0 (размерность точки) и 1 (размерность линии).

Фрактальные объекты дают возможность по-новому взглянуть на удивительный мир форм, существующих в природе. Большинство этих форм не являются правильными геометрическими объектами, но могут быть охарактеризованы дробными размерностями.

Например, облако является не объемным телом или поверхностью, а некоторым промежуточным геометрическим объектом с размерностью, заключенной между 2 и 3.

Открытие аттракторов с фрактальными размерностями позволяет по-новому увидеть поведение объектов во времени .

Фрактальный аттрактор обладает необычайно тонкой структурой, которая выражает очень сложное поведение во времени.

Понятие аттрактора (особая точка, предельный цикл) - синоним устойчивости и воспроизводимости (выхода «на то же самое») при любых начальных условиях.

Какова размерность странных аттракторов?

«Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям»». Объясните.

Аттракторы с фрактальными размерностями порождают типы поведения, которые невозможно ни предсказать, ни воспроизвести. В любой области странного аттрактора, сколь бы мала она ни была, обнаруживается одна и та же сложная структура. Малейшее различие в начальных условиях или малейшее возмущение не затухает, а усиливается аттрактором. Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям» .

1 Термин «фрактал» введен Бенуа Мандельбротом (Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. – San francisco: W.H. Freeman, 1982.)

(к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую - вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую - в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество .

Классификация [ | ]

Аттракторы классифицируют по:

Также, есть известные «именные» примеры аттракторов: Лоренца , Плыкина , соленоид Смейла-Вильямса , гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).

Свойства и связанные определения [ | ]

При всех определениях аттрактор полагается замкнутым и (полностью) инвариантным множеством.

С понятием аттрактора также тесно связано понятие меры Синая-Рюэлля-Боуэна : инвариантной меры на нём, к которой стремятся временные средние типичной (в смысле меры Лебега) начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера существует не всегда (что иллюстрирует, в частности, пример Боуэна).

Виды формализации определения [ | ]

Поскольку всё фазовое пространство в любом случае сохраняется динамикой, формальное определение аттрактора можно давать, исходя из философии, что «аттрактор это наименьшее множество, к которому всё стремится» - иными словами, выкидывая из фазового пространства всё, что может быть выкинуто.

Максимальный аттрактор [ | ]

Пусть для динамической системы задана область U {\displaystyle U} , которая переводится строго внутрь себя динамикой:

Тогда максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:

То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также его применяют в уравнениях с частными производными .

У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно - скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания - то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

Аттрактор Милнора [ | ]

По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами - это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Неблуждающее множество [ | ]

Точка x динамической системы называется блуждающей , если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:

Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический аттрактор [ | ]

Статистический аттрактор A s t a t {\displaystyle A_{stat}} , в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} для почти любой (в смысле меры Лебега) точки x {\displaystyle x} выполнено

Минимальный аттрактор [ | ]

Минимальный аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество A m i n {\displaystyle A_{min}} , в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} выполнено

Примеры несовпадений [ | ]

Локальность, минимальность и глобальность [ | ]

Регулярные и странные аттракторы [ | ]

Регулярные аттракторы [ | ]

Притягивающая неподвижная точка [ | ]

(пример: маятник с трением)

Странные аттракторы [ | ]

(примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, соленоид Смейла-Вильямса; комментарий про эффект бабочки и про динамический хаос.)

Странный аттрактор - это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы . В отличие от аттрактора, не является многообразием , то есть не является кривой или поверхностью. Структура странного аттрактора фрактальна . Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция .

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической : прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом , отличая его от стохастического хаоса , возникающего в. Это явление также называют эффектом бабочки , подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты, в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время. Но на самом деле взмах крыла бабочки обыкновенно не создает торнадо, так как на практике наблюдается такая тенденция, что такие маленькие колебания в среднем не меняют динамики таких сложных систем как атмосфера планеты, и сам Лоренц по этому поводу говорил: «Но в целом, я утверждаю, что в течение лет незначительные потрясения ни увеличивают, ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы. Всё, что они могут сделать - это изменить порядок, в котором происходят эти явления.» И это, пожалуй, важная и удивительная вещь, без которой было бы трудно, а то и вообще невозможно изучать хаотическую динамику (динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы).

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца .

Именные примеры [ | ]

Аттрактор Лоренца [ | ]

Система дифференциальных уравнений, создающих аттрактор Лоренца, имеет вид:

Соленоид Смейла-Вильямса [ | ]

Соленоид Смейла-Вильямса - пример обратимой динамической системы , аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории , и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория .

Аттрактор Плыкина [ | ]