Странные аттракторы. Инструменты теории хаоса. Введение и определение странных аттракторов

Эта глава имеет своей целью познакомить читателя с одной теорией, которая развивалась вне всякой связи с фрактальными множествами и все же оказалась буквально пронизана ими. Чаще всего ее называют «теорией странных аттракторов и хаотической (или стохастической) эволюции», однако в тексте главы вы, я надеюсь, найдете причины, побудившие меня дать этой теории новое имя (см. заголовок).

Для того чтобы попасть в настоящее эссе упомянутой теории, достаточно было всего лишь быть так или иначе связанной с фракталами; я же считаю оправданным посвятить ей целую главу. Первое оправдание (практическое): эта теория почти не требует какого бы то ни было особого представления, так как бóльшую часть ее основных положений можно рассматривать просто как новую интерпретацию выводов, полученных нами в главах 18 и 19.

Во-вторых, теория фрактальных аттракторов помогает – путем противопоставления – прояснить некоторые особенности фрактальной геометрии природы. В самом деле, моя работа связана, в основном, с формами, присутствующими в реальном пространстве, с формами, которые можно увидеть, пусть даже и в микроскоп; теория аттракторов же имеет дело исключительно с эволюцией во времени расположения неких точек в невидимом и абстрактном репрезентативном пространстве.

Особенно силен этот контраст оказывается в контексте турбулентности – моя первая большая тема (работу над ней я начал в 1964 г.), где я использовал ранние формы фрактальных методик и (вполне независимо от них) теорию странных аттракторов, которая вполне всерьез сочетается с изучением турбулентности в работе . До сих пор эти два подхода еще не пересеклись, но ждать осталось недолго.

Тем, кто интересуется социологией науки, несомненно, покажется занимательным следующий факт: в то время как мои прецедентные исследования, связывающие математических чудовищ с реальными физическими структурами, встречаются с ощутимым сопротивлением, чудовищные формы абстрактных аттракторов воспринимаются с завидной невозмутимостью.

Третий довод в пользу необходимости разговора о фрактальных аттракторах связан с тем, что соответствующие эволюции выглядят «хаотическими» или «стохастическими». Как станет ясно из глав 21 и 22, многие ученые сомневаются в уместности применения случайного в науке; теперь же появляется надежда на оправдание случайности с помощью фрактальных аттракторов.

И наконец, те читатели, кто несколько глав (или пару эссе) назад согласился с моим утверждением о том, что многие из природных проявлений могут быть описаны только с помощью неких множеств, считавшихся ранее патологическими, возможно, с нетерпением ожидают перехода от «как» к «почему». Думаю, приведенные ранее описания и демонстрации дают представление о том, как легко в некоторых случаях оказывается подсластить упомянутые в предыдущих главах геометрические пилюли, чтобы их легче было проглотить. Я же хочу привить читателю вкус именно к фракталам – независимо от того, насколько горьким кажется этот вкус большинству зрелых ученых. Кроме того, я искренне убежден (и еще вернусь к этому в главе 42), что псевдообъяснение посредством подслащивания просто-напросто неинтересно. Таким образом, важность объяснения, судя по всему, сильно преувеличена, и мы будем прибегать к нему лишь в тех случаях, когда имеющееся объяснение действительно интересно – как, например, в главе 11. Вдобавок ко всему, я подозреваю, что когда фрактальные аттракторы лягут в основу фрактальной геометрии видимых естественных форм, появится много новых более детальных и убедительных объяснений.

Так как преобразования с аттракторами нелинейны, наблюдаемые фракталы, скорее всего, окажутся не самоподобными. Это замечательно: мне кажется, что использование фрактального аналога прямой для описания феноменов, управляемых нелинейными уравнениями, выглядит несколько парадоксально. Масштабно-инвариантные фракталы, хорошо объясняющие естественные феномены, могут выступать лишь как локальные приближения нелинейных фракталов.

Понятие аттрактора

Настоящая глава опирается, по большей части, на одно давнее и весьма основательно позабытое наблюдение Анри Пуанкаре: «орбиты» нелинейных динамических систем имеют свойство притягиваться к странным множествам, которые я определяю как нелинейные фракталы.

Рассмотрим для начала простейший аттрактор – точку. «Орбита», определяемая движением маленького шарика после помещения его в воронку, начинает с некоторой спиралевидной траектории, точная форма которой зависит от исходных положения и скорости шарика, однако, в конце концов, сходится к горловине воронки; если диаметр шарика превышает диаметр отверстия воронки, то он там и останется. Для нашего шарика начало горловины воронки является устойчивой точкой равновесия, или устойчивой неподвижной точкой. В рамках достаточно удобной альтернативной описательной терминологии (которую, естественно, не следует интерпретировать с антропоцентрических позиций) горловину воронки можно назвать притягивающей точкой, или аттрактором.

В физической системе устойчивыми и притягивающими могут быть также окружность или эллипс. Например, мы все полагаем (и даже пламенно надеемся – хотя никто из нас не проживет достаточно долго для того, чтобы это имело хот какое-то значение), что солнечная система устойчива, подразумевая, что если орбите Земли и суждено претерпеть какие- либо возмущения, то она, в конце концов «притянется» назад на свою теперешнюю колею.

В более общем виде, динамическую систему принято определять следующим образом: состояние системы в момент времени представляется точкой на прямой, в плоскости, либо в некотором более многомерном евклидовом «фазовом пространстве» , а ее эволюция между моментами и определяется правилами, в которые величина явным образом не входит. Любую точку в фазовом пространстве можно принять за начальное состояние при , а за ней последует орбита, определяемая функцией для всех .

Основное различие между такими системами заключается в геометрическом распределении значений при больших значениях . Принято говорить, что динамическая система имеет аттрактор, если существует некое правильное подмножество фазового пространства , обладающее следующим свойством: при почти любой начальной точке и достаточно большом точка оказывается в малой окрестности какой-либо точки, принадлежащей .

Понятие репеллера

Мы можем также поместить наш шарик в положение неустойчивого равновесия – например, на кончике карандаша. Если начальное положение не совпадает в точности с точкой равновесия, то шарик словно отталкивается прочь и достигает состояния устойчивого равновесия где-то в другом месте.

Множество всех положений неустойчивого равновесия (вместе с их предельными точками) называется отталкивающим множеством, или репеллером.

Во многих случаях аттракторы и репеллеры меняются местами при смене знаков в уравнениях. Имея дело с силой тяжести, достаточно изменить направление ее действия. Рассмотрим, например, в основном горизонтальную поверхность с прогибами в обоих направлениях. Предположим, что сила тяжести направлена вниз, поместим шарик на верхней стороне поверхности и обозначим притягивающий прогиб буквой , а отталкивающий – буквой . Если теперь поместить шарик на нижней стороне поверхности и предположить, что сила тяжести направлена вверх, то прогибы и поменяются местами. В этой главе такие обмены играют центральную роль.

Фрактальные аттракторы. «хаос»

Бóльшая часть элементарной механики имеет дело с динамическими системами, аттракторами которых являются точки, почти окружности и другие фигуры евклидовой геометрии. Однако в действительности такие фигуры представляют собой редкие исключения, и поведение большинства динамических систем несравнимо более сложно: их аттракторы и репеллеры имеют явную тенденцию к фрактальности. В нескольких следующих разделах описываются примеры систем с дискретным временем, .

Аттрактор-пыль. Коэффициент Фейгенбаума . Простейший пример можно получить с помощью возведения в квадрат (см. главу 19). В качестве вступления рассмотрим еще одно представление канторовой пыли : , , охватываемый интервал . Такое множество является пределом множества , определяемого как множество точек вида . При , каждая точка множества разделяется на две, а множество представляет собой результат бесконечного количества таких бифуркаций.

Согласно П. Грассбергеру (источник – препринт статьи), аттрактор отображения при вещественных аналогичен множеству , но с двумя различными коэффициентами подобия, одним из которых является коэффициент Фейгенбаума (см. ). После бесконечного количества бифуркаций этот аттрактор превращается во фрактальную пыль с размерностью .

«Хаос». Ни одна точка множества за конечный промежуток времени не посещается дважды. Многие авторы описывают эволюции на фрактальных аттракторах как «хаотические».

Самоаффинные деревья. Расположив множество в плоскости , получим дерево. Поскольку , это дерево асимптотически самоаффинно с остатком.

Комментарий. В идеале теории следовало бы сосредоточиться на интересных по своей сути и реалистичных (но простых) динамических системах, аттракторами которых являются подробно изученные фрактальные множества. Имеющаяся же литература по странным аттракторам – пусть даже она чрезвычайно значима – весьма далека от этого идеала. Рассматриваемые в ней фракталы, как правило, недостаточно хорошо изучены, очень немногие из них действительно интересны, а большинство никак нельзя считать решениями сколь бы то ни было мотивированных задач.

Поэтому я был вынужден самостоятельно изобретать «динамические системы», которые бы поставили новые вопросы – для того, чтобы получить на них давно известные и удобные ответы. Я придумывал задачи таким образом, чтобы их решениями стали знакомые фракталы. Больше всего меня удивляет то, что эти системы оказались еще и интересными.

Самоинверсные аттракторы

Согласно главе 18, множества в цепях Пуанкаре является как наименьшими самоинверсными, так и предельными множествами. Переформулируем последнее свойство: при произвольно выбранной начальной точке ее преобразования под действием последовательности инверсий подходят произвольно близко к каждой точке множества . Предположим теперь, что эта последовательность инверсий выбирается посредством отдельного процесса, независимого от настоящего и предыдущего положений точки . При довольно широком разбросе начальных условий всегда можно ожидать (и часто эти ожидания оправдываются), что результирующие последовательности положений будут притягиваться множеством . Таким образом, огромное количество публикаций по группам, порождаемым инверсиями, можно интерпретировать в терминах динамических систем.

Обращение «времени»

Дальнейшие поиски систем с интересными фрактальными аттракторами привели меня к системам, аттракторы которых геометрически стандартны, а вот репеллеры оказываются весьма занятными. Эти два множества легко можно поменять местами, тем самым пустив время вспять, при условии, что операции динамической системы допускают существование обратных операций (орбиты не сливаются и не пересекаются), так что, зная положение точки , можно определить все при . Однако данные конкретной системы, которые мы хотим обратить во времени, представляют собой особый случай. Их орбиты похожи на реки: в направлении вниз по склону их путь однозначно определен, вверх же по склону – каждая развилка требует особого решения.

Попытаемся, например, обратить - преобразование , с помощью которого мы получили канторову пыль в главе 19. При определены две различные обратные функции, и можно, пожалуй, условиться преобразовывать все в . Аналогичным образом, две различные обратные функции имеет отображение . В обоих случаях осмысленная инверсия предполагает выбор между двумя функциями. В других примерах возможных вариантов больше. Напомню: нам нужно, чтобы выбор между ними осуществлялся посредством отдельного процесса. Эти соображения приводят нас к обобщенным динамическим системам, которые и будут описаны в следующем разделе.

Разложимые динамические системы

Потребуем, чтобы одна из координат состояния (назовем ее определяющим индексом и обозначим через ) эволюционировала независимо от состояния остальных координат (обозначим это состояние через ), при условии, что преобразование из состояния в состояние будет определяться как состояние , так и индексом . В тех примерах, которые я изучил наиболее подробно, конкретное преобразование выбирается из конечного набора, включающего в себя различных возможностей , причем выбирается в соответствие со значением некоторой целочисленной функции . Иными словами, я рассматривал динамику произведения - пространства на некоторое конечное индексное множество.

Вообще говоря, в примерах, стимулировавших это обобщение, последовательность либо действительно случайна, либо ведет себя так, словно является случайной. К рассмотрению случайности мы с вами приступим только в следующей главе, однако я не думаю, что это обстоятельство может нам помешать. Гораздо серьезнее другое: динамические системы представляет собой воплощенный образчик полностью детерминированного поведения, и поэтому просто не вправе допускать какую бы то ни было случайность! Мы, однако, можем ввести воздействие случайности, не постулируя ее явно – нам нужно лишь присвоить функции значение какого-нибудь в достаточной степени перемешивающего эргодического процесса. Возьмем, например, иррациональное число и сопоставим функции целую часть числа . Здесь стоило бы сделать еще несколько заявлений, принципиально не сложных, но весьма громоздких, так что я, пожалуй, от этого воздержусь.

Роль «странных» аттракторов

Сторонники «странных» аттракторов выдвигают в свою защиту следующие два соображения. . Поскольку динамические системы со стандартными аттракторами не в состоянии объяснить турбулентность, то, может быть, ее удастся объяснить с помощью систем с аттракторами, топологически более «странными». (это напоминает мое собственное рассуждение (см. главу 11) – высказанное, кстати, совершенно независимо от приведенного – о том, что если дифференциальное уравнение не имеет стандартных особенностей, следует попытать счастья с особенностями фрактальными. . Аттракторы до смешного простых систем – таких, как при вещественных и в интервале - действительно странны и во многих отношениях характерны для более сложных и более реалистичных систем. Таким образом, топологически странные аттракторы, вне всяких сомнений, являются, скорее, правилом, нежели исключением.

«Фрактальные» или «странные»?

Все известные «странные» аттракторы представляют собой фрактальные множества. Для многих «странных» аттракторов существуют оценки размерности . Во всех случаях . Следовательно, эти аттракторы суть не что иное, как фрактальные множества. Во многих случаях размерность «странно – аттракторных» фракталов служит мерой не иррегулярности, а того, как накладываются друг на друга гладкие кривые или поверхности – своего рода фрагментации (см. главу 13).

С. Смейл представлял свой знаменитый аттрактор, называемый соленоидом, дважды. Оригинальное определение было чисто топологическим (размерность при этом оставалась неопределенной), пересмотренный же вариант имеет метрический характер (см. , с. 57). Я, в свою очередь, предложил ввести в теорию странных аттракторов понятие размерности и оценил в значение отображения Энона , которая оказалась равной 1,26. Ожидается появление многих других статей в том же духе.

Обратное утверждение. Являются ли все фрактальные аттракторы странными – вопрос семантики. Все больше авторов согласны со мной в том, что аттрактор, как правило, можно считать странным, если он фрактален. Мне такое отношение представляется вполне здравым, если учесть, что слово «странный» выступает как синоним слов «чудовищный», «патологический» и других подобных эпитетов, которыми некогда награждали отдельные фрактальные множества.

Однако прилагательному «странный» иногда придается некий особый терминологический смысл настолько, надо сказать, особый, что аттрактор Зальцмана – Лоренца характеризуется не просто как «странный», но как «странно – странный». В этом свете «странность» аттрактора связывается главным образом с нестандартными топологическими свойствами, в то время как нестандартные фрактальные свойства просто сопутствуют им в качестве «нагрузки». Замкнутая кривая с двойными точками не является в этом смысле «странной», какой бы смятой она ни была: это значит, что большинство из исследованных мною фрактальных аттракторов нельзя считать странными.

При таком определении термина «странный» рассуждения в предыдущем разделе теряют всякую привлекательность. Однако если модифицировать понятие странности с тем, чтобы оно из топологического стало фрактальным, то эту привлекательность можно вернуть. Вот почему я считаю, что победы в споре достойны те, кто определяет «странное» как «фрактальное». А поскольку они и в самом деле побеждают, я не вижу большого смысла в сохранении термина, необходимость в котором исчезла в тот момент, когда я показал, что фракталы не более странны, чем, скажем, горы или береговые линии. Кроме того, не стану скрывать: к термину «странный» я испытываю какую-то личную неприязнь.

Рис. 282 и 283. Притяжение к фракталам

Приведенные здесь фигуры иллюстрируют длинные орбиты последовательных состояний двух разложимых динамических систем. Нагрудник фараона на рис. 283 представляет собой самоинверсное (см. главу 18) множество, основанное на четырех инверсиях, подобранных таким образом, чтобы предельное множество являлось совокупностью окружностей. Дракон Сан-Марко на рис. 282 – самоквадрируемое (см. главу 19) множество и основан на двух инверсиях отображения .

Определяющий индекс в этих случаях выбирается из четырех (или, соответственно, двух) возможностей с помощью псевдослучайного алгоритма, примененного 64 000 раз. Несколько первых точек на рисунке опущены.

Области в окрестностях точек заострения и самопересечения заполняются чрезвычайно медленно.

Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка — с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка.

Например, дым от сигарет сначала поднимается в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными. Еще один пример хаотичности в природе — лист с любого дерева . Можно утверждать, что вы найдете много похожих листов, например дуба, однако ни одной пары одинаковых писем. Разница определена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).

Теория хаоса

Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью Вселенной, способствующие проявлению ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала.

Первое отвечает левому полушарию мозга, а второе — правому. Левое полушарие отвечает за сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если …, то …». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.

Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.

История теории хаоса

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако настоящий научное развитие эта теория получил во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B . Mandelbrot).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды.

К работе Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас . Лаплас заявил, что «… если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в или прошлом в будущем ».

Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации о всех частицы во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас полагал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре . В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение того же Вселенной в последующий момент.

Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам нужно, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами.

Но это не всегда так может случиться, что малые различия в начальных условиях вызывают очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, развивающийся по воле случая ».

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности .

Этот принцип объясняют, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

Инструменты теории хаоса

Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы.

Аттрактор (от англ. To attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве в конце длительного времени.

То есть аттрактор — это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.

Простейшим типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.

Следующим типом аттрактора является предельный цикл, имеющий вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.

Третий тип аттрактора — тор. На рисунке 1 тор показан в верхнем правом углу.

Рисунок 1 — Основные типы аттракторов

Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно прогнозировать его. И хотя пребывание системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Аттрактора Лоренца

Первым хаотической аттрактором стал аттрактора Лоренца.

Рисунок 2 — Хаотический аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы — три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет псевдослучайных (хаотическим) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения — разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциального накопления ошибок и соответственно их стохастическом разногласия.

Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расхождение двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расхождение (говорят также, составление и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При восхождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости — возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расхождения хаотического аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука — способностью устанавливать связи между причинами и следствиями — в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.

Здесь же необходимо отметить, что скорость сходимости-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Притягивающее неустойчивых траекторийв фазовом пространстве диссипативной динамической системы. С. а.,в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривойили поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна(см. Фракталы). Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D.Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенныев окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, Бифуркация, Предельный цикл). ТраекторииС. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания, поддерживаемыев диссипативной системе за счёт энергии внеш. источника. С. а. характернылишь для автоколебат. систем, фазового пространства к-рых большедвух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система- трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа(1).

Системы с периодич. автоколебаниями, матем. образом к-рых является предельныйцикл, удаётся исследовать достаточно полно с помощью методов качественнойтеории дифференц. ур-ний. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определении (предсказании) характеристики свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительнодаже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, Пример . Подобно тому, как генератор Ван-дер-Поля является простейшими канонич. примером системы, демонстрирующей периодич. , схема, 2а и определяющая несколько усложнённый генераторВан-дер-Поля, может служить одним из простейших примеров генераторов стохастич. б. Пока I в контуре и на сетке . малы, туннельный диод не оказывает существ. влияния на вконтуре, и они, как и в обычном ламповом генераторе, нарастают. При этомчерез туннельный диод течёт ток I , а напряжение на нём определяетсяветвью характеристики I(V). Когда же ток I достигает значения I т, происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстротапереключения связана с малостью ёмкости С 1) - скачкомустанавливается напряжение V m . Затем ток через туннельныйдиод уменьшается и происходит его обратное переключение с участка на . Врезультате двух переключений туннельный диод почти полностью поглощаетпоступившую в контур энергию и колебания начинают снова нарастать. (Прирассмотрении работы схемы характеристику лампы можно считать линейной;это оправдано тем, что в интересующем нас режиме колебания ограничиваютсянелинейной характеристикой туннельного диода.) Т. о., генерируемый U(t )представляет собой последовательность цугов нарастающих колебаний;окончание каждого цуга характеризуется скачком напряжения V(t).

Рис. 2. Принципиальная схема (а) простого генератора шума- генератораВан-дер-Поля, в сеточный контур которого добавлен туннельный диод. Вольт-ампернаяхарактеристика (б) нелинейного элемента - туннельного диода.

Для количественного описания работы схемы исходные ур-ния

преобразуют к безразмерному виду:

где x = I/I m , z= V/V m ,

- нормированнаяхарактеристика диода. Здесь - малый параметр Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3)

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) при

можно разбить на быстрые переключения диода (прямые х = const, у = const) и медленные, при к-рых напряжение на диоде «следит» затоком; соответствующие траектории лежат на поверхностях А и В[х = f(z ), f"(z) >0 ], отвечающих участкам и характеристикиДиода.

Система имеет одно неустойчивое [при ] состояние равновесия х = у = z = 0 типа седло. Траектории, лежащиена поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и вконце концов достигают края поверхности А. Здесь происходит срывточки, отображающей на фазовой траектории состояние системы (т. н. изображающейточки) по линии быстрых движений на В. Пройдя по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадаетв окрестность равновесия - начинается новый цуг нарастающих колебаний. Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-ниям (1), при кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис.5. Линейный участок I с коэф. угла наклона, большим единицы, описываетраскручивание траектории на поверхности медленных движений А, соответствующейнарастанию колебаний в контуре. Участок II описывает этап возвращения траекторий, А на поверхность В, обратно на А (см. рис. 3). Все траектории, лежащие вне основания обозначенногопунктиром квадрата, входят в него при асимптотически больших значенияхвремени, т. е. область D - поглощающая и содержит аттрактор. Всетраектории внутри этой области неустойчивы, т. е. аттрактор является странным. свойства стохастичности движений (как показывают численные исследования)сохраняются.

Рис. 4. Спектр мощности сигнала, генерируемого схемой, представленнойна рис. 2а, и осциллограмма этого сигнала.

Рис. 5. График функции f(x), описывающей динамику схемы рис. 2 при .

Фрактальная размерность. Все разнообразие статистич. свойств случайногосигнала, порождаемого динамич. системой со С. а., может быть описано, еслиизвестно вероятности состояний системы. Однако получить (ииспользовать) это для конкретных систем со С. а., чрезвычайносложно (хотя бы потому, что распределения инвариантной вероятностноймеры всегда сингулярна). Это одна из причин, по к-рой для описания С. а.

где , нек-рый фиксированный параметр,- число n -мерных шаров диаметра ,покрывающих С. а. динамич. системы с n -мерным фазовым пространством.

Определённая согласно ур-нию (2) размерность с не может, очевидно, n, но может быть меньше п (n -мерные шарымогут оказаться почти пустыми). Для «обычных» множеств ур-ние (2) даёточевидные результаты. Так, для множества из k точек ,; дляотрезка длины L прямой лилии ,;для куска площади S двумерной поверхности ,и т. д. Неравенство размерности целому числу соответствует сложному геом. 2,6).

С физ. точки зрения, осн. «достоинство» фрактальной размерности С. а. и числом степеней свободы га имеет вид:

Бифуркации странных аттракторов. Пути рождения стохастич. предельный цикл, к-рый может родиться лишь несколькими типичнымиспособами, так и С. а. обладают сравнительно небольшим числом наиб. типичныхвозможностей возникновения .

Сценарий Фейгенбаума - цепочка бифуркаций удвоения периода устойчивогопредельного цикла. Если при изменении управляющего параметра периодич. n -мерном фазовом пространствеповедение траекторий отображения Пуанкаре в окрестности претерпевающегобифуркацию удвоения периода предельного цикла определяется ф-цией, напр.,f(x), график к-рой похож на параболу. Эта ф-ция описывает связьмежду координатами в направлении собств. подпространства оператора линеаризацииотображения Пуанкаре, отвечающего мультипликатору (-1) (j + 1)-гои j-го пересечений траекторией системы секущей Пуанкаре: x j+1 = f(x j). Возникшему устойчивому предельному циклуудвоенного периода отвечает двупериодич. отображения f .При дальнейшем изменении параметра бифуркации удвоения периода бесконечноповторяются, а бифуркац. значения, напр.,накапливаются к критич. точке , отвечающей возникновению С. а. В соответствии со сценарием Фейгенбаумаимеет место универсальный (не зависящий от конкретной системы) закон

где = 4,6692... - универсальная константа Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность).

Родившемуся С. а. при фиксированном отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интерваламисодержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2 m -периодические(относительно отображения f ), неустойчивые предельные циклы, начинаяс нек-рого m 0 и меньше. При увеличении параметра скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он «разбухает»,последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2 т+1 ,2 т , ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору,

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбуханиеаттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума.

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра(скажем,)через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушениерегулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной(регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Этакартина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, время сохраняют характер своего поведения, т. движение, близкое к периодическому. С течением времени они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой(также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазовогопространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива(т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траекториичерез нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельногоцикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратрисаседлового цикла была вложена в достаточно сложнымгеом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась»,содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то естьпереходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попаданияв окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная , Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаютсятакже переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических(в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкостьи разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии .

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются всистемах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, скорость разбегания траекторий вдоль этих направлений. Стохастич. вязкость).Такая диссипация лишает мелкомасштабные возбуждения среды самостоятельности, Турбулентность).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теориюколебаний и волн, М., 1984; 2) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная истохастическая , пер. с англ., М., 1984; 3) Афраймович В. С., РейманА. М., Размерность и в многомерных системах, в кн.: Нелинейныеволны. Динамика и эволюция, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, хаос. Введение, пер. с англ.,М., 1988; 5) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Гидродинамика, 4 изд., М., 1988;6) Афраймович В. С., Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов, в кн.:Нелинейные . Структуры и бифуркации, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, В. С. Афраймович, М.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

(к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую - вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую - в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество .

Классификация [ | ]

Аттракторы классифицируют по:

Также, есть известные «именные» примеры аттракторов: Лоренца , Плыкина , соленоид Смейла-Вильямса , гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).

Свойства и связанные определения [ | ]

При всех определениях аттрактор полагается замкнутым и (полностью) инвариантным множеством.

С понятием аттрактора также тесно связано понятие меры Синая-Рюэлля-Боуэна : инвариантной меры на нём, к которой стремятся временные средние типичной (в смысле меры Лебега) начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера существует не всегда (что иллюстрирует, в частности, пример Боуэна).

Виды формализации определения [ | ]

Поскольку всё фазовое пространство в любом случае сохраняется динамикой, формальное определение аттрактора можно давать, исходя из философии, что «аттрактор это наименьшее множество, к которому всё стремится» - иными словами, выкидывая из фазового пространства всё, что может быть выкинуто.

Максимальный аттрактор [ | ]

Пусть для динамической системы задана область U {\displaystyle U} , которая переводится строго внутрь себя динамикой:

Тогда максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:

То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также его применяют в уравнениях с частными производными .

У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно - скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания - то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

Аттрактор Милнора [ | ]

По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами - это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Неблуждающее множество [ | ]

Точка x динамической системы называется блуждающей , если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:

Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический аттрактор [ | ]

Статистический аттрактор A s t a t {\displaystyle A_{stat}} , в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} для почти любой (в смысле меры Лебега) точки x {\displaystyle x} выполнено

Минимальный аттрактор [ | ]

Минимальный аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество A m i n {\displaystyle A_{min}} , в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} выполнено

Примеры несовпадений [ | ]

Локальность, минимальность и глобальность [ | ]

Регулярные и странные аттракторы [ | ]

Регулярные аттракторы [ | ]

Притягивающая неподвижная точка [ | ]

(пример: маятник с трением)

Странные аттракторы [ | ]

(примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, соленоид Смейла-Вильямса; комментарий про эффект бабочки и про динамический хаос.)

Странный аттрактор - это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы . В отличие от аттрактора, не является многообразием , то есть не является кривой или поверхностью. Структура странного аттрактора фрактальна . Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция .

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической : прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом , отличая его от стохастического хаоса , возникающего в. Это явление также называют эффектом бабочки , подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты, в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время. Но на самом деле взмах крыла бабочки обыкновенно не создает торнадо, так как на практике наблюдается такая тенденция, что такие маленькие колебания в среднем не меняют динамики таких сложных систем как атмосфера планеты, и сам Лоренц по этому поводу говорил: «Но в целом, я утверждаю, что в течение лет незначительные потрясения ни увеличивают, ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы. Всё, что они могут сделать - это изменить порядок, в котором происходят эти явления.» И это, пожалуй, важная и удивительная вещь, без которой было бы трудно, а то и вообще невозможно изучать хаотическую динамику (динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы).

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца .

Именные примеры [ | ]

Аттрактор Лоренца [ | ]

Система дифференциальных уравнений, создающих аттрактор Лоренца, имеет вид:

Соленоид Смейла-Вильямса [ | ]

Соленоид Смейла-Вильямса - пример обратимой динамической системы , аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории , и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория .

Аттрактор Плыкина [ | ]

В физических системах, n-мерными могут быть, например, две или три координаты, для одного или нескольких физических объектов; в экономических системах они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы. Если развивающаяся переменная двух-или трехмерная, аттрактор динамического процесса можно представить геометрически в двух или трех измерениях, (как, например, на рисунке).

Если при различных начальных условиях все траектории в фазовом пространстве будут уходить в бесконечность, это будет говорить о том, что у такой системы нет устойчивого состояния.

В случае, когда все они закончатся в одной точке, т. е. система придет к конкретному состоянию, и большее с ней не будет происходить никаких изменений, то такая точка будет являться точкой устойчивого состояния. После выхода из этого состояния, под действием кратковременного возмущения, система всегда вернется в это же состояние.

В этом случае, все траектории заканчиваются в точке, то есть она как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Такая точка называется аттрактором (англ. to attract -"притягивать") типа «притягивающая точка ». Понятие аттрактор является обобщением понятия равновесия для сложных систем.

Аттрактор может быть точкой, конечным множеством точек, кривой, разнородностью, или даже сложным комплексом с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор . Если переменная является скаляром, аттрактор представляет собой подмножество вещественной числовой прямой. Описывая аттрактор в хаотических динамических системах, он является одним из достижений теории хаоса . Траектория динамической системы в аттракторе не удовлетворяет любым особым ограничениям для оставшихся на аттракторе исключениям, вперед и назад во времени. Траектория может быть периодической и хаотической. Если множество точек является периодическим или хаотичным, но поток в соседней области вдали от множества, набор не является аттрактором, но вместо этого называется отражателем (или репеллером ).

Таким образом, аттрактор - компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (периодическая траектория (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Динамическая система , как правило, описывается одним или более дифференциальным или разностным уравнением. Уравнения данной динамической системы указывают свое поведение в отношении любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, необходимо интегрировать уравнения либо через аналитические средства либо посредством итерации, часто с помощью компьютеров. Динамические системы в физическом мире, как правило, возникают в результате диссипативных систем: если бы не было в течение времени некоторой движущей силы, движение бы прекратилось. Рассеяние может исходить от внутреннего трения, термодинамических потерь или потери материала и других многих причин.

Рассеиваемая и движущая силы, как правило, сбалансированы, убивая начальные переходные процессы и урегулируют систему в ее типичном поведении. Подмножеством фазового пространства динамической системы, соответствующему типичному поведению является аттрактор, также известный как притягивающая секции или attractee. Инвариантные множества и предельные множества аналогичны концепции аттрактора. Инвариантное множество представляет собой набор, который развивается в себе под воздействием динамики. Аттракторы могут содержать инвариантные множества . Предельным множеством является множество точек, для которых существует некоторое начальное состояние, которое заканчивается сколь угодно близко к предельному множеству (т.е. в каждой точке множества) с течением времени к бесконечности. Аттракторы - предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами: при возможности иметь несколько точек системы сходящимся к предельным множествам, но разные точки, возмущенные немного от предельного множества не может на них воздействовать. Например, затухающей маятник имеет две инвариантные точки: точка х0 минимальной высоты и точка x1 максимальной высоты. Точка x0 также предельное множество, как траектории сходятся к ней; точка x1 не является предельным множеством. Из-за рассеивания точка х0 также аттрактор. Если не будет рассеивания, х0 не будет аттрактором.

Математическое определение

Пусть t представляют время и пусть f (т, )-функция, определяет динамику системы. То есть, если это n-мерные точки в фазовом пространстве, представляющих начальное состояние системы, то f (0, а) = а и, при положительном значении t, f (t, а) является результатом эволюции этого положения после t единиц времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство есть плоскость R2 с координатами (х, v), где х является положением частицы, v это ее скорость, а = (х, v), и эволюция задается

Аттрактор представляет собой подмножество фазового пространства и характеризуется следующими тремя условиями:

А вперед инвариантна относительно t: если есть элемент A и t (t, а) , для всех t > 0 .

Существует соседняя область А, называемая областью притяжения для А и обозначается B (A) , которая состоит из всех точек b, что " введите A в пределе t → ∞ " . Более формально, B (А) есть множество всех точек b в фазовом пространстве со следующим свойством:

Для любой открытой близлежащей области N А, есть положительная постоянная t,

Нет собственного подмножества имеющего первые два свойства.

Поскольку область притяжения содержит открытое множество, содержащее А, каждая точка, что достаточно близка к А притягивается к А. Определение аттрактора использует метрику на фазовом пространстве, но в результате понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства.

Существуют многие другие определения аттрактора в литературе. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительную меру, другие уменьшают силу требования, что B (А)- близлежащая область.

аттракция периодического-3 цикла и его область притяжения. Три самые темные точки являются точками 3-цикла, которые приводят к друг другу в последовательности, и итерации из любой точки в область притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости этой последовательности в трех точках.

Типы аттракторов

Аттракторы - части или подмножества фазового пространства динамической системы. До 1960-х годов, аттракторы не мыслились как простые геометрические подмножества фазового пространства, как точки, линии, поверхности и объемы. Более сложные аттракторы, которые не могут быть классифицированы как простых геометрические подмножества, такие как топологические множества, были известны в то время, но принимали их за хрупкие аномалии. Стивен Смейл смог показать, что его подкова (Подкова Смейла - предложенный Стивом Смейлом пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек (и хаотическую динамику), причём это свойство не разрушается при малых возмущениях системы) была надежной и, что его аттрактор был подобен структуре множества Кантора. Два простых аттрактора - фиксированная точка и предельный цикл. Аттракторы могут принимать множество других геометрических фигур (фазовые подмножества). Но когда эти множества (или движения в них) не могут быть легко описаны как простые комбинации (например пересечение и объединение) фундаментальных геометрических объектов (например, линий, поверхностей, шаров, тороидов, коллекторы), то аттрактор называется странным аттрактором.

Аттракторы классифицируют по:

1. Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
2. Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).
3. Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый»).

Предельным циклом является периодическая орбита системы, которая изолирована. Примеры включают маятник часов, схему настройки радио и сердцебиения во время отдыха. (Предельный цикл идеального маятника не пример аттрактора предельного цикла, потому что ее орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника, недалеко от любой точки периодической орбиты есть еще один момент, который принадлежит другой периодической орбите.

фазовый портрет Ван-дер-Поля: аттракция предельного цикла

Предельный тор

Может быть больше, чем одна частота периодической траектории системы через состояние предельного цикла. Например, в физике, одна частота может диктовать скорость, с которой планета вращается вокруг звезды в то время как вторая частота описывает колебания расстояния между этими двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную фракцию (т.е. они несоизмеримы), траектория больше не закрывается, а предельный цикл становится предельным тором. Этот вид аттрактора называется Nt -тор , если есть Nt - несоизмеримые частоты. Например вот 2-тор:

Временной ряд, соответствующий этому аттрактору - квазипериодический серия: дискретность проб сумм Nt- периодических функций (не обязательно синус волны) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не имеет строгую периодичность, но его спектр мощности еще состоит только из резких линий.

Странный аттрактор

Аттрактор называется странным , если он имеет фрактальную структуру . Это часто бывает, когда динамика на нем хаотична, но существуют также странные аттракторы, которые не хаотичны. Этот термин был придуман Дэвидом Рюэлем и Флорисом Такенсом, которые описали аттрактор, возникший в результате серии бифуркаций системы, описывающей поток жидкости. Странные аттракторы часто дифференцируемы в нескольких направлениях, но некоторые из них, такие как пыль Кантора, не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут быть найдены в присутствии шума, где они могут быть размещены для поддержки инвариантных случайных вероятностных мер типа Синай-Рюэля-Боуэна. Примеры странных аттракторов включают в себя , аттрактор Хенона , Rössler аттрактор , и аттрактор Лоренца .

Дважды прокрученный аттрактор

аттрактор Лоренца

Частные уравнения

Параболические уравнения в частных производных могут иметь конечномерные аттракторы. Диффузная часть уравнения гасит высокие частоты, а в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Гинзбурга-Ландау, Курамото-Сивашинского, и двумерные, вынужденные уравнения Навье-Стокса как известно, приводят к глобальным аттракторам конечной размерности. Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье-Стокса с периодическими граничными условиями, если оно имеет глобальный аттрактор, то это аттрактор будет конечных размеров.

С вычислительной точки зрения, аттракторы можно естественно рассматривать как самовозбуждающиеся аттракторы или скрытые аттракторы. Самовозбуждающиеся аттракторы могут быть локализованы численно при стандартных вычислительных процедурах, в которых после переходной последовательности, начинается траектория с точки на неустойчивом многообразии в малой области неустойчивого равновесия достигаемого аттрактором (как классических аттракторов в Ван дер Поля, Белоусова-Жаботинского, Лоренца и многих других динамических систем). В противоположность этому, область притяжения скрытого аттрактора не содержит области равновесия, поэтому скрытый аттрактор не может быть локализован с помощью стандартных вычислительных процедур.

Хаотичный скрытый аттрактор (зеленый домен) в системе Чуа. Траектории с начальными данными в окрестности двух точек (синий), как правило (красная стрелка) к бесконечности или, как правило (черная стрелка) к точке равновесия стабильного нуля (оранжевый).

Софтом , генерирующим странные аттрактору по праву можно считать Chaoscope , являющимся 3D –визуализатором странных аттракторов. Является бесплатной, работающих на платформе Windows.

Онлайн генератор странных аттракторов: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net