Обратное дпф. Дискретное преобразование фурье. дискретная свертка

Современную технику связи невозможно представить без спектрального анализа. Представление сигналов в частотной области необходимо как для анализа их характеристик, так и для анализа блоков и узлов приемопередатчиков систем радиосвязи. Для преобразования сигналов в частотную область применяется прямое преобразование Фурье. Обобщенная формула прямого преобразования Фурье записывается следующим образом:

Как видно из этой формулы для частотного анализа производится вычисление корреляционной зависимости между сигналом, представленным во временной области и комплексной экспонентой с заданной частотой. При этом по формуле Эйлера комплексная экспонента разлагается на реальную и мнимую часть:

Сигнал, представленный в частотной области можно снова перевести во временное представление при помощи обратного преобразования Фурье. Обобщенная формула обратного преобразования Фурье записывается следующим образом:

В формуле прямого преобразования Фурье используется интегрирование по времени от минус бесконечности до бесконечности. Естественно это является математической абстракцией. В реальных условиях мы можем провести интегрирование от данного момента времени, который мы можем обозначить за 0, до момента времени T. Формула прямого преобразования Фурье при этом будет преобразована к следующему виду:

В результате существенно меняются свойства преобразования Фурье . Спектр сигнала вместо непрерывной функции становится дискретным рядом значений . Теперь минимальной частотой и одновременно шагом частотных значений спектра сигнала становится:

Только функции sin и cos c частотами k/T будут взаимно ортогональны, а это является непременным условием преобразования Фурье. Набор первых функций разложения в ряд Фурье приведен на рисунке 1. При этом длительность функций совпадает с длительностью анализа T .

Теперь спектр сигнала будет выглядеть так, как это показано на рисунке 2.

В данном случае формула вычисления прямого преобразования Фурье (4) преобразуется к следующему виду:

Формула обратного преобразования Фурье для случая определения спектра на ограниченном отрезке времени будет выглядеть следующим образом:

Подобным образом можно определить формулу прямого преобразования Фурье для цифровых отсчетов сигнала. Учитывая, что вместо непрерывного сигнала используются его цифровые отсчеты, в выражении (6) интеграл заменяется на сумму. В данном случае длительность анализируемого сигнала определяется количеством цифровых отсчетов N . Преобразование Фурье для цифровых отсчетов сигнала называется дискретным преобразованием Фурье и записывается следующим образом:

Теперь рассмотрим как изменились свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ) по сравнению с прямым преобразованием Фурье на ограниченном интервале времени. Когда мы рассматривали дискретизацию аналогового сигнала, мы выяснили, что спектр входного сигнала должен быть ограничен по частоте. Это требование ограничивает количество дискретных составляющих спектра сигнала. Первоначально может показаться, что мы можем ограничить спектр сигнала частотой f д /2, что соответствует количеству частотных составляющих K = N /2 . Однако это не так. Несмотря на то, что спектр сигнала для действительных отсчетов сигнала для положительных частот и отрицательных частот симметричен относительно 0, отрицательные частоты могут потребоваться для некоторых алгоритмов работы со спектрами, например, для . Еще больше отличие получается при выполнении дискретного преобразования Фурье над комплексными отсчетами входного сигнала. В результате для полного описания спектра цифрового сигнала требуется N частотных отсчетов (k = 0, ..., N/2 ).

Преобразования Фурье

Многие сигналы удобно анализировать, раскладывая их на синусоиды (гармоники). Тому есть несколько причин. Например, подобным образом работает человеческое ухо. Оно раскладывает звук на отдельные колебания различных частот. Кроме того, можно показать, что синусоиды являются «собственными функциями» линейных систем (т.к. они проходят через линейные системы, не изменяя формы, а могут изменять лишь фазу и амплитуду). Еще одна причина в том, что теорема Котельникова формулируется в терминах спектра сигнала.

Преобразование Фурье (Fourier transform)– это разложение функций на синусоиды (далее косинусные функции мы тоже называем синусоидами, т.к. они отличаются от «настоящих» синусоид только фазой). Существует несколько видов преобразования Фурье.

1. Непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.

2. Периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный ряд Фурье.

3. Непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.

4. Периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье.

Компьютер способен работать только с ограниченным объемом данных, следовательно, реально он способен вычислять только последний вид преобразования Фурье. Рассмотрим его подробнее.

ДПФ вещественного сигнала

Пусть дискретный сигнал x имеет периодN точек. В этом случае его можно представить в виде конечного ряда (т.е. линейной комбинации) дискретных синусоид:

Эквивалентная запись (каждый косинус раскладываем на синус и косинус, но теперь – без фазы):

Рис. 6 . Базисные функции ряда Фурье для 8-точеченого дискретного сигнала. Слева – косинусы, справа – синусы. Частоты увеличиваются сверху вниз.

Базисные синусоиды имеют кратные частоты. Первый член ряда (k =0) – это константа, называемаяпостоянной составляющей (DC offset ) сигнала. Самая первая синусоида (k =1) имеет такую частоту, что ее период совпадает с периодом самого исходного сигнала. Самая высокочастотная составляющая (k =N /2) имеет такую частоту, что ее период равен двум отсчетам. КоэффициентыA k и

B k называютсяспектром сигнала (spectrum ). Они показывают амплитуды си-

нусоид, из которых состоит сигнал. Шаг по частоте между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называется частотным разрешением спектра.

На рис. 6 показаны синусоиды, по которым происходит разложение дискретного сигнала из 8 точек. Каждая из синусоид состоит из 8 точек, то есть является обычным дискретным сигналом. Непрерывные синусоиды показаны на рисунке для наглядности.

вить исходный сигнал, вычислив сумму ряда Фурье в каждой точке. Разложение сигнала на синусоиды (т.е. получение коэффициентов) называется прямым преобразованием Фурье . Обратный процесс – синтез сигнала по синусоидам – называетсяобратным преобразованием Фурье (inverse Fourier transform ).

Алгоритм обратного преобразования Фурье очевиден (он содержится в формуле ряда Фурье; для проведения синтеза нужно просто подставить в нее коэффициенты). Рассмотрим алгоритм прямого преобразования Фурье, т.е. нахождения коэффициентов A k иB k .

тогональным базисом в пространстве периодических дискретных сигналов с периодом N . Это значит, что для разложения по ней любого элемента пространства (сигнала) нужно посчитать скалярные произведения этого элемента со всеми функциями системы, и полученные коэффициенты нормировать. Тогда для исходного сигнала будет справедлива формула разложения по базису с коэффициентамиA k иB k .

Итак, коэффициенты A k иB k вычисляются как скалярные произведения (в не-

прерывном случае – интегралы от произведения функций, в дискретном случае

– суммы от произведения дискретных сигналов):

Мы рассмотрели две формы преобразования Фурье:

1) Преобразование Фурье в непрерывном времени с непрерывным изменением частоты

2) преобразование Фурье в дискретном времени с непрерывным изменением частоты.

Но в реальной ситуации временные последовательности всегда имеют конечную длительность. Кроме того, значительно большие возможности для обработки данных появляются, если использовать не аналоговые, а дискретные преобразователи Фурье, которые и частотные характеристики представляют в виде конечных числовых последовательностей. При этом возрастает как качество обработки информации, так и скорость ее обработки за счет того, что существуют эффективные способы вычисления таких преобразований в дискретном виде и, как следствие, возможность обработки массивов большего размера. Способ представления сигналов в виде конечных цифровых последовательностей, в результате обработки которых также получается некоторая конечная цифровая последовательность и составляет сущность цифровой обработки сигналов. Основой цифровой обработки сигналов является особая форма преобразования Фурье, называемая дискретным преобразованием Фурье (ДПФ ). Как увидим ниже ДПФ есть преобразование Фурье временной последовательности конечной длины, являющееся само по себе конечной последовательностью, а не непрерывной функцией, и соответствует равноудаленным по частотам выборкам преобразования Фурье сигнала. Кроме своей теоретической важности, ДПФ играет центральную роль при обработке сигналов вследствие существования эффективного алгоритма его вычисления, так называемого быстрого преобразования Фурье (БПФ ) .

Введем ДПФ, основываясь на преобразовании Фурье в дискретном времени (2). Поскольку теперь мы имеем дело с конечной последовательностью (длиной N), то положим, что временная последовательность x(n)=0 при n<0 и при n>N-1. Как будет видно из дальнейшего, дискретизация частотного интервала, т.е. вычисление Фурье-образа только в кратных значениях частот приведет также к периодическому продолжению исходной временной последовательности по оси времени. Чтобы опять избежать наложения, пользуясь аналогией с временной дискретизацией, дискретизуем ось частот с интервалом, где NT -полный временной интервал задания исходной функции. Тогда значение частоты на k-ом частотном отсчете, а k изменяется от 0 до N-1(т.к. , согласно теореме дискретизации). Таким образом, число отсчетов по частоте равно также N.

Если это сделано, то преобразование Фурье (2) примет вид:

• 7.2 Ортогональность системы комплексных экспонент на множестве равноотстоящих точек.

Чтобы перейти от прямого преобразования Фурье к обратному,

докажем ортогональность комплексных экспонент

(или что тоже самое, систем синусов и косинусов) на множестве равноотстоящих N точек.

Обозначая разность n-n’ за m , получим в правой части (4) геометрическую прогрессию со знаменателем, при этом отметим очевидное равенство. Находя по известной формуле сумму этой геометрической прогрессии, получим

При этом мы использовали тот факт, что

в случае m=0,±N, ±2N,....

Как будет показано ниже, эти значения и приводят к эффекту наложения или подмены частот, появляющемуся при равномерной дискретизации функции.

Отметим, что приведенная система экспонент ортогональна на системе любых отсчитанных подряд N точек, независимо от выбора начальной. Действительно, взяв за начальную точку с индексом -l делая замену переменной суммирования k’=k+l, получим:

т.к. , а при остальных k значение суммы равно нулю.

7.3 Обратное дискретное преобразование Фурье

Перейдем к получению обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) .

Умножим обе части выражения ДПФ (3) на и просуммируем по k от 0 до N-1.

При этом мы учли, что поскольку суммирование по k ведется в пределах от 0 до N-1, то, согласно (5) сумма будет отлична от нуля только при n-n’=0 т.е. при n=n’. Переобозначив n’ на n и выразив из (6) x(n) , получим выражение для ОДПФ, которое совместно с выражением (3) для ДПФ дает дискретную форму преобразования Фурье:

Т.к. при выборе постоянных множителей у прямого и обратного преобразований Фурье должно соблюдаться условие постоянства их произведения, то для упрощения записи отбросим множитель T у прямого и 1/T у обратного преобразования, что приведет к следующей форме ДПФ:

Введя для комплексной экспоненты обозначение, дискретное преобразование Фурье представим в виде:

Последняя форма будет выглядеть еще проще в матричном представлении:

где элементами матрицы T являются комплексные экспоненты, а матрицы Т’ .

Очевидна связь между матрицами T и Т’:

Выпишем для примера матрицы прямого и обратного преобразования Фурье для одно, двух, трех, четырехточечных последовательностей.

Сделаем несколько важных замечаний относительно дискретного преобразования Фурье.

• 1. Поскольку система экспонент ортогональна на дискретном множестве N точек, независимо от выбора начальной точки этого множества, то начальное значение индексов суммирования в (7) и (9) могут быть любыми, лишь бы разность между начальными и конечными значениями была равна N.
• 2. Последовательности x(n) и X(k), определяемые формулами 7 или 9, вне множества 0....N-1 являются N-периодическими, т.е.

где р-любое число, n и k -целое в промежутке от 0 до N-1. Это свойство является следствием N-периодичности экспонент (8): Так, например, для ОДПФ получим

3. Согласно предыдущему замечанию, X(-k)=X(n-k).

Действительно,

Т.е. X(-1)=X(N-1);X(-2)=X(N-2) и т.д.

Таким образом, второй половине преобразования Фурье, т.е. значениям X(k) при k>N/2 соответствуют отрицательные частоты.

Чтобы увидеть непрерывный аналог преобразования Фурье, рассчитанного дискретным способом, когда n и k изменяются от 0 до N-1, нужно “ разрезать” дискретный образ Фурье в точке N/2 и часть X(k), соответствующую k>N/2 поставить перед первой половиной. При этом чтобы перейти к реальным значениям частот при формировании оси частот нужно умножать частотный отсчет k на величину частотного интервала в герцах. Таким образом, значение частоты на k-ом отсчете равно.

то x 3 (n)~X 3 (k), где X 3 (k)=X 1 (k)+X 2 (k).

Если последовательности x 1 (n) и x 2 (n) имеют разную длину, соответственно N 1 и N 2 , то длина N 3 =max(N 1 ,N 2).

Последовательность меньшей длительности следует дополнить нулями.

• 2. Свойство сдвига.
• 2.1 Сдвиг во временной области.

Если x(n)~X(k) , то x(n-h)~W -kh X(k)

Доказательство:

Используя определение прямого ДПФ в виде (9б) и делая замену переменной суммирования n-h =r или n=r+h, получим:

2.2 Сдвиг в частотной области.

Если x(n)~X(k) , то x(n)W nf ~ X(k-f)

Доказательство этого свойства, аналогичное предыдущему, основано на определении ОДПФ (7б) или (9б).

3. Свойство комплексной сопряженности

Если x(n), где n=0,1,2,..N-1- п

оследовательность действитель- *

ных чисел,а N-четное,и x(n)~X(k) , то X(N/2+r)=X (N/2-r), где

Доказательство:

1) Коэффициенты ДПФ последовательности 8-ми действительных чисел соответственно равны X(0)=5, X(1)=i, X(2)=1+i,X(3)=2+3i,X(4)=2.

Найти значения коэффициентов X(k), k=5,6,7.

Ответ: Согласно свойству (3) X(5)=2+3i,X(6)=1+i,X(7)=i.

2) Показать, что ДПФ N-точечной последовательности

{x(n)}={А,А,...А} есть последовательность N-точечная последовательность {X(k)}={NА,0,0...)}.

Согласно определению прямого ДПФ (7а) и свойству ортогональности экспонент (4)

7.5Теорема Парсеваля. Спектр мощности

Теорема Парсеваля для конечной временной последовательности имеет вид:

Величину

мы назвали спектром мощности.

В силу свойства 3 комплексной сопряженности, спектр мощности будет симметричным относительно k=N/2. Т.к. значения N/2

соответствуют отрицательным частотам, не имеющим физического смысла, то весь смысл спектра мощности как вклада в общую мощность конкретных частот, содержится в первой половине спектра,

соответствующего положительным частотам, т.е. значениям 0

Важной особенностью спектра мощности является ее инвариантность к сдвигам N-периодической временной последовательности x(n).

Действительно, т.к. согласно свойству сдвига 2.1 x(n-h) ~ W -kh X(k), то

C помощью спектра мощности определяется амплитудный спектр:

Амплитудный спектр также инвариантен к сдвигам временной последовательности x(n) т.к.

p(k) как и Р(k) симметрична относительно k=N/2.

Т.к. образ Фурье X(k) даже для действительной последовательности есть комплексная величина, то чтобы сохранить всю информацию об исходной временной последовательности, наряду с амплитудным спектром нужно вычислить фазовый спектр, который определяется следующим образом:

где I(k) и R(k) - действительная и мнимая части X(k).

Согласно свойству 3 комплексной сопряженности R(N/2+r)=R(N/2-r), a I(N/2+r)=-I(N/2-r). Поэтому фазовый спектр оказывается нечетной Функцией относительно k=N/2 т.е. Ф(N/2+r)=-Ф(N/2-r).

Из (14), а также из выражения для ДПФ (7а-9а) следует фундаментальное свойство фазового спектра, заключающееся в инвариантности его относительно умножения на константу.

Если известны амплитудный (13) и фазовый (14) спектры сигнала, позволяющие совместно рассчитать образ Фурье

то с помощью ОДПФ (7б-9б) можно восстановить исходный сигнал.

7.6 Дискретная свертка .

Определим свертку двух дискретных последовательностей

x(n) и y(n), каждая длины N ка

к следующую сумму

При этом может оказаться, что аргумент n-r будет вне пределов . В зависимости от того, как определим в этом случае значение x(n-r) или y(n-r) получим разные типы сверток: циклическую и линейную.

Если такие значения находятся из свойства N-периодичности (цикличности) последовательностей x(n) и y(n), то полученная свертка называется циклической.

При этом говорят, что индекс n-i понимается по модулю N, что как раз и означает, если i-n=k+pN, то x(i-n)=x(k),y(i-n)=y(k). Чтобы отметить этот факт, аргумент n-i заключают в двойные скобки, помечая их одновременно нижним индексом N:

Следующий рисунок иллюстрирует сущность циклической свертки,

Рис.1 Циклическая свертка. Члены последовательности y(i) располагаются в обратном порядке по отношению к x(i) порядке, причем напротив y(i) располагается x(0). Одно значение h(i) получается суммированием всех попарных произведений противостоящих значений.

Отметим еще один важный факт, касающийся дискретной циклической свертки.

В силу N-периодичности последовательностей x(n) и y(n) и свертка их будет также периодична с периодом N. Действительно

Отметим, что если свертываемые последовательности имеют разную длину, то более короткую следует дополнить нулями до длины более длинной, и результирующая свертка будет иметь ту же длину.

Если положить, что вне пределов 0....N-1 последовательности x(n) и y(n) равны нулю, и, следовательно x(i-n) и y(i-n) равны нулю при отрицательных значениях

То полученная форма свертки называется линейной.

На рис.2 иллюстрируется, как вычисляется линейная свертка.

Рис.2 Линейная свертка. Индексы последовательности y(i) возрастают в направлении убывания индексов последовательности x(i). Одно значение h(i) получается суммированием всех попарных произведений пересекающихся противостоящих значений.

При этом, в отличие от циклической, можно производить свертку последовательностей различной длины. Длина линейной свертки будет равна N 1 +N 2 -1.

Действительно, для вычисления n-го элемента линейной свертки находятся произведения элементов сворачиваемых последовательностей, сумма индексов которых равна n. Поэтому минимальный индекс линейной свертки равен 0, а максимальный - N 1 -1+N 2 -1=N 1 +N 2 -2 и количество элементов N 1 +N 2 +1.

Вычисление линейной свертки последовательностей длины N 1 и N 2 можно свести к вычислению циклической свертки, если дополнить обе последовательности до длины N 1 +N 2 -1 добавлением нулей.

Пример 1: Вычислить линейную свертку последовательностей

{x(n)}={1 2 3 4} и {y(n)}={5 4 3 2 1 }. Ответ:

Пример 2: Вычислить циклическую свертку последовательностей:

{x(n)}={1,2,-1,3} и {y(n)}={-1,1,4,1}.

h(0)=x(i)y(-i)=x(0)y(0)+x(1)y(-1)+x(2)y(-2)+x(3)y(-3)= x(0)y(0)+x(1)y(3)+x(2)y(2)+

h(1)=x(i)y(1-i)=x(0)y(1)+x(1)y(0)+x(2)y(-1)+x(3)y(-2)= x(0)y(1)+x(1)y(0)+x(2)y(3)

h(2)= x(r)y(2-r) = x(0)y(2)+x(1)y(1)+x(2)y(0)+ x(3)y(-1) = x(0)y(2)+x(1)y(1)+x(2)y(0)+ x(3)y(3) = 10

h(3)= x(r)y(3-r) = x(0)y(3)+x(1)y(2)+x(2)y(1)+ x(3)y(0) =

При этом учтено, что согласно свойству периодичности

4-х точечной последовательности y(n) с периодом N=4, y(-l)=y(4-l).

Пример 3: Вычислить циклическую и линейную свертки последовательностей:

{x(n)}={1,1,1,1} и {y(n)}={1,1,1,1}.

Теорема 1 .

x(n)*y(n)~X(k)Y(k). (14)

Другими словами, свертка временных последовательностей x(n) и

y(n) длины N эквивалентна умножению их образов ДПФ.

Доказательство:

Используя определение прямого ДПФ (9a), дискретной свертки (12) и

свойства сдвига ДПФ 2.1, получим:

Теорема 2.

x(n)~X(k) , y(n)~Y(k), где n,k=0,1,.....N-1.

x(n)y(n)~X(k)*Y(k). (15)

Доказательство:

При этом мы воспользовались определением прямого и обратного ДПФ (7-9),

свойством ортогональности комплексных экспонент на системе равноотстоящих точек (4), а также определением свертки.

7 .8 Двумерное дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье можно обобщить на случай многих измерений, причем наиболее полезным оказывается обобщение на случай двух измерений, поскольку оно широко применяется при обработке изображений.

Двумерное ДПФ определяется следующим образом:

Массив данных образует матрицу размером,т.е.

Рассмотрим в выражении (16) внутреннюю сумму, которая определяется как

Из этого выражения следует, что правая часть представляет собой ДПФ каждого столбца данных . Поэтому введем обозначение

Коэффициенты в (20) можно записать в форме матрицы размером

В результате подстановки (20) в (16) имеем

Это означает, что коэффициенты получаются путем вычисления ДПФ каждой строки матрицы , определенной выражением (21).

В результате получается множество из коэффициентов, которые могут быть записаны в виде матрицы

Из этих рассуждений следует, что двумерное ДПФ можно рассматривать как кратное использование одномерного ДПФ.

Из предыдущего раздела о дискретизации непрерывных сигналов следует, что реальные сигналы могут быть описаны выборками как в спектральной, так и во временной области. И дискретный спектр, и дискретный сигнал полностью описывают исходный непрерывный (континуальный) сигнал. Однако чтобы найти дискретный спектр по заданному дискретному сигналу, надо проделать трудоемкие расчеты: сначала по дискретному сигналу восстановить непрерывный сигнал, затем с помощью преобразования Фурье найти непрерывный спектр, затем его дискретизировать. Аналогичную процедуру необходимо проделать для обратного преобразования. Непосредственный переход от дискретного сигнала к дискретному спектру и наоборот возможен с использованием дискретного преобразования Фурье.

Рассмотрим непрерывный сигнал конечной длительности с числом степеней свободы, равным Для этого сигнала можно записать разложение в ряд Котельникова:

С помощью обычного преобразования Фурье найдем спектр этого сигнала:

Непосредственное вычисление интеграла в этой формуле - процедура трудоемкая. Однако это нетрудно сделать другим способом.

Рассмотрим спектр который определяется выражением

Применив к нему обратное преобразование Фурье, получим, что ему соответствует временная функция

Очевидно, справедливо и обратное соотношение

Применяя теорему о запаздывании, можно записать

Подставляя (3.2) в (3.1), получим окончательное выражение для спектра

Чтобы перейти к дискретному преобразованию Фурье, значения спектра в выражении (3.3) нужно вычислять не для всех значений частоты, а для дискретных (выборочных):

В результате получим окончательную формулу для дискретного преобразования Фурье

Свойства дискретного преобразования Фурье во многом аналогичны свойствам обычного преобразования Фурье. Отметим только одно специфическое свойство, которое

можно назвать периодичностью дискретного преобразования Фурье.

Рассмотрим значение определяемое формулой (3.4) для где целое число:

Таким образом, дискретное преобразование Фурье является периодической функцией частоты с периодом, равным Это свойство аналогично свойству периодичности спектра дискретизированных сигналов, которое рассматривалось в гл. 2.

Перейдем теперь к выводу обратного дискретного преобразования Фурье, позволяющего определять выборки сигнала по выборкам спектра. Для этого воспользуемся обычным обратным преобразованием Фурье

Спектральную плотность сигнала запишем в виде ряда Котельникова

и подставим в интеграл обратного преобразования Фурье

Интеграл в выражении аналогичен вычисленному ранее интегралу (3.2). Пользуясь этой аналогией, запишем

Подставляя (3.6) в (3.5), получим выражение для временной функции

Полагая в соотношении получим формулу для определения значений дискретного сигнала т. е. приходим к обратному дискретному преобразованию Фурье

где А принимает значения от 0 до

Иногда для удобства записи, используя свойство периодичности дискретного преобразования Фурье, изменяют пределы суммирования в выражении (3.8) и обратное дискретное преобразование Фурье записывают в виде

Для иллюстрации применим дискретное преобразование Фурье к дискретизированному треугольному импульсу (рис. описываемому пятью выборочными значениями

Подставим это выражение дискретного сигнала в формулу дискретного преобразования Фурье (3.4)

Для сравнения найдем спектральную плотность исходного треугольного импульса:

Легко видеть, что дискретный спектр (3.11) неточно описывает спектральную плотность треугольного импульса (3.12). Значения несколько отличаются от соответствующих значений спектра треугольного импульса (рис. 3.1, б).

Теперь подставим дискретные значения спектра (3.11) в выражение для обратного дискретного преобразования Фурье (3.8):

Несмотря на отличие значений дискретного спектра от значений непрерывного, полученный результат полностью совпадает с формулой исходного дискретного сигнала (3.11).

Рассмотренный пример показывает, что дискретное преобразование Фурье не всегда точно описывает спектр исходного непрерывного сигнала, подобно тому, как

Рис. 3.1. Дискретное преобразование Фурье дискретизированного треугольного импульса

дискретизированный сигнал не всегда точно описывает исходный непрерывный сигнал. Однако связь между дискретным сигналом и его дискретным преобразованием Фурье всегда носит взаимно однозначный характер и формулу прямого и обратного преобразований Фурье являются строгими при любом числе дискретных значений. Поэтому аппарат дискретных преобразований Фурье имеет самостоятельное значение и может быть применен к любым числовым последовательностям.

В этом случае формулы дискретного преобразования Фурье должны быть несколько изменены, так как для абстрактной числовой последовательности значения интервала дискретизации и длительности сигнала не имеют смысла. Поэтому коэффициент перед суммой в формуле (3.4) опускают, заменяют на отсчетные значения сигнала и спектра обозначают через и формулу дискретного преобразования Фурье записывают в виде

При этом обратное дискретное преобразование Фурье имеет вид

Значения вычисленные по формуле (3.14), отличаются от выборочных значений спектра непрерывного колебания в раз. Для определения выборочных значений надо значения вычисленные по формуле (3.14), умножить на величину интервала дискретизации по времени :

Покажем, что преобразования (3.14), (3.15) являются взаимно обратными. Для этого возьмем произвольную числовую последовательность с помощью дискретного преобразования Фурье (3.14) найдем последовательность и применим к ней обратное дискретное преобразование

Фурье (3.15). Получившуюся при этом последовательность обозначим

Поменяем порядок суммирования и несколько преобразуем это выражение:

Внутренняя сумма выражения (3,16) равна нулю, если и равна если Следовательно, при т. е. числовые последовательности совпадают друг с другом. Таким образом, при последовательном применении к любой числовой последовательности прямого и обратного дискретного преобразования Фурье получают в результате ту же последовательность.

Проиллюстрируем это положение простейшими примерами.

1. Рассмотрим простейший дискретный сигнал, состоящий из одного отсчетного значения, равного а. Подставляя эту простейшую последовательность в формулу дискретного преобразования Фурье (3.14), получим Таким образом, дискретное преобразование Фурье отдельного числового значения равно этому же значению.

Другое важное применение дискретного преобразования Фурье - вычисление сигнала на выходе фильтра с заданной частотной характеристикой. Если задан входной сигнал то для него можно вычислить дискретное преобразование Фурье Если теперь умножим на частотную характеристику фильтра, то получим дискретное преобразование Фурье выходного сигнала: После этого с помощью обратного дискретного преобразования Фурье можно найти сигнал на выходе фильтра.

Если входной сигнал имеет большую длительность, его обработку с помощью дискретного преобразования Фурье можно производить по частям. Для этого берут первые N отсчетов входного сигнала, вычисляют их дискретное преобразование Фурье и после умножения на частотную характеристику фильтра с помощью обратного дискретного преобразования Фурье вычисляют первые N отсчетов выходного сигнала. После этого аналогичным путем обрабатывают следующие N отсчетов входного сигнала и т. д. Для повышения точности обработки сигнала обрабатываемые серии отсчетов могут частично перекрываться.

Преимуществом такого метода обработки сигналов является отсутствие каких-либо ограничений на вид частотной характеристики фильтра. Например, частотная характеристика может быть идеальной прямоугольной формы, что невозможно реализовать с помощью обычных фильтров.

Обработку сигналов с помощью дискретного преобразования Фурье нельзя назвать цифровой фильтрацией в полном смысле слова. Обычные цифровые фильтры, работающие в реальном масштабе времени, производят обработку сигнала непрерывно по мере его поступления, а вычисление выходного сигнала с помощью дискретного преобразования Фурье может быть произведено лишь после того, как станет известным полностью входной сигнал или хотя бы первая серия из N его отсчетов. Поэтому при использовании дискретного преобразования Фурье выходной сигнал может быть получен только с некоторым

запаздыванием по отношению к входному сигналу. Однако в ряде практических применений такое запаздывание выходного сигнала не играет существенной роли, и тогда обработка сигналов с использованием дискретного преобразования Фурье оказывается целесообразной.