Комплексные числа найти корни уравнения. Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами. Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

Для построения формулы Симпсона предварительно рассмотрим такую задачу: вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = Ax 2 + Bx + C, слева прямой х = - h, справа прямой x = h и снизу отрезком [-h; h]. Пусть парабола проходит через три точки (рис.8): D(-h; y 0) E(0; y 1) и F(h; y 2), причем х 2 - х 1 = х 1 - х 0 = h. Следовательно,

x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2h.

Тогда площадь S равна интегралу:

Выразим эту площадь через h, y 0 , y 1 и y 2 . Для этого вычислим коэффициенты параболы А, В, С. Из условия, что парабола проходит через точки D, E и F, имеем:

Решая эту систему, получаем: C = y 1 ; A =

Подставляя эти значения А и С в (3), получаем искомую площадь

Перейдем теперь к выводу формулы Симпсона для вычисления интеграла

Для этого отрезок интегрирования разобьем на 2n равных частей длиной

В точках деления (рис.4).а = х 0 , х 1 , х 2 , ...,х 2n-2 , x 2n-1 , x 2n = b,

Вчисляем значения подынтегральной функции f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , де y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

На отрезке подынтегральную функцию заменяем параболой, проходящей через точки (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) и (x 2 ; y 2), и для вычисления приближенного значения интеграла от х 0 до х 2 воспользуемся формулой (4). Тогда (на рис. 4 заштрихованная площадь):

Аналогично находим:

................................................

Сложив полученные равенства, имеем:

Формула (5) называется обобщенной формулой Симпсона или формулой парабол , так как при ее выводе график подынтегральной функции на частичном отрезке длины 2h заменяется дугой параболы.

Задание на работу:

1. По указанию преподавателя или в соответствии с вариантом из Таблицы 4 заданий (см. Приложение) взять условия – подынтегральную функцию, пределы интегрирования.

2. Составить блок-схему программы и программу, которая должна:

Запросить точность вычисления определенного интеграла, нижний и верхний пределы интегрирования;

Вычислить заданный интеграл методами: для вариантов 1,4,7, 10… - правых, для вариантов 2,5,8,… - средних; для вариантов 2,5,8,… - левых прямоугольников. Вывести количество разбиений диапазона интегрирования, при котором достигнута заданная точность вычисления;

Вычислить заданный интеграл методом трапеций (для четных вариантов) и методом Симпсона (для нечетных вариантов).

Вывести количество разбиений диапазона интегрирования, при котором достигнута заданная точность вычисления;

Вывести значения контрольной функции для заданного значения аргумента и сравнить с вычисленными значениями интеграла. Сделать выводы.

Контрольные вопросы

1. Что такое определенный интеграл?

2. Почему наряду с аналитическими методами используются численные методы вычисления определенных интегралов.

3. В чем заключается сущность основных численных методов вычисления определенных интегралов.

4. Влияние количества разбиений на точность вычисления определенного интеграла численными методами.

5. Как вычислить интеграл любым методом с заданной точностью?

В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(x j , f (x j )), где j = i -1; i -0.5; i , то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(10.14)

Проведя интегрирование, получим:

(10.15)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке
[a, b ] формула Симпсона примет вид

(10.16)

Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.

Рис. 10.4. Метод Симпсона

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:

(10.17)

Тогда формула Симпсона примет вид

(10.18)

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:

, (10.19)

где h·n = b - a , . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O (h 4 ).

Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.

10.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло

Рассматриваемые ранее методы называются детерминированными , то есть лишенными элемента случайности.

Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла

(10.20)

При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b ] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

(10.21)

(10.22)

Здесь γ i - случайное число, равномерно распределенное на интервале
. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.

На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).

Рис. 10.6. Интегрирование методом Монте-Карло (2-й случай)

Как видно на рис. 2.6, интегральная кривая лежит в единичном квадрате, и если мы сумеем получать пары случайных чисел, равномерно распределенных на интервале , то полученные значения (γ 1, γ 2) можно интерпретировать как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что
. Здесь S – число пар точек, попавших под кривую, а N – общее число пар чисел.

Пример 2.1. Вычислить следующий интеграл:

Поставленная задача была решена различными методами. Полученные результаты сведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Замечание. Выбор табличного интеграла позволил нам сравнить погрешность каждого метода и выяснить влияние числа разбиений на точность вычислений.

11 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

(1710-1761).

Рассмотрим отрезок . Пусть известны значения вещественной функции f(x) в точках a, (a+b)/2, b. Существует единственный полином 2-й степени p 2 (x ) , график которого проходит через точки (a, f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2), (b, f(b)). Формулой Симпсона называется интеграл от этого полинома на отрезке :

Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Погрешность при интегрировании по отрезку [a ,b ] с шагом h определяется по формуле:

где - максимум четвёртой производной функции.

Так же, при невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвертой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

где - максимум третьей производной функции.

Ссылки

• Костомаров Д. П., Фаворский А. П. «Вводные лекции по численным методам»

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Метод Рунге - Куттa
• Метод Фибоначчи поиска экстремума

Смотреть что такое "Метод Симпсона" в других словарях:

Формула Симпсона - Суть метода аппроксимация функции f (x) (синий график) квадратичным полиномом P (x) (красный) Формула Симпсона (также … Википедия

РОМБЕРГА МЕТОД - п р а в и л о Р о м б е р г а, метод вычисления определенного интеграла, основанный на Ричардсона экстраполяции. Пусть вычисляется значение I нек рого функционала, при этом вычисляемое приближенное значение Т(h)зависит от параметра h, так что в… … Математическая энциклопедия

Численное интегрирование - (историческое название: (численная) квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла. Численное… … Википедия

Квадратурные формулы

Квадратурная формула - Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

Прямоугольников формула - Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

Формула прямоугольников - Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

Формула трапеций - Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

РОДЫ - РОДЫ. Содержание: I. Определение понятия. Изменения в организме во время Р. Причины наступления Р..................... 109 II. Клиническое течение физиологических Р. . 132 Ш. Механика Р. ................. 152 IV. Ведение Р.................. 169 V … Большая медицинская энциклопедия

Интегральное исчисление - раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей… … Большая советская энциклопедия