Феноменологический алгоритм конструирования странных аттракторов. Объект как странный аттрактор. Инструменты теории хаоса

Исчерпывающей теории возникновения турбулентности в различных типах гидродинамических течений в настоящее время еще не существует. Был выдвинут, однако, ряд возможных сценариев процесса хаотизации движения, основанных главным образом на компьютерном исследовании модельных систем дифференциальных уравнений, и частично подтвержденных реальными гидродинамическими экспериментами. Дальнейшее изложение в этом и следующем параграфах имеет своей целью лишь дать представление об этих идеях, не входя в обсуждение соответствующих компьютерных и экспериментальных результатов. Отметим лишь, что экспериментальные данные относятся к гидродинамическим движениям в ограниченных объемах; именно такие движения мы и будем иметь в виду ниже.

Прежде всего сделаем следующее общее важное замечание. При анализе устойчивости периодического движения интересны лишь те мультипликаторы, которые по модулю близки к 1 - именно они при небольшом изменении R могут пересечь единичную окружность. Для течения вязкой жидкости число таких «опасных» мультипликаторов всегда конечно по следующей причине. Допускаемые уравнениями движения различные типы (моды) возмущений обладают разными пространственными масштабами (т. е. длинами расстояний, на которых существенно меняется скорость ).

Чем меньше масштаб движения, тем больше градиенты скорости в нем и тем сильнее оно тормозится вязкостью. Если расположить допустимые моды в порядке убывания их масштабов, то опасным может оказаться только некоторое конечное число первых из них; достаточно далекие в этом ряду заведомо окажутся сильно затухающими, т. е. им будут отвечать малые по модулю мультипликаторы. Это обстоятельство позволяет считать, что выяснение возможных типов потери устойчивости периодическим движением вязкой жидкости может производиться по существу так же, как и анализ устойчивости периодического движения диссипативной дискретной механической системы, описываемой конечным числом переменных (в гидродинамическом аспекте этими переменными могут, например, быть амплитуды компонент разложения поля скоростей в ряд Фурье по координатам). Соответственно этому становится конечномерным и пространство состояний.

С математической точки зрения речь идет об исследовании эволюции системы, описываемой уравнениями вида

где - вектор в пространстве величин описывающих систему; функция F зависит от параметра, изменение которого может приводить к изменению характера движения. Для диссипативной системы дивергенция вектора в х-пространстве отрицательна, чем выражается сокращение объемов х-пространства при движении:

Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодействия разных периодических движений. Явление синхронизации упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить квазипериодичность также и в направлении существенного усложнения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что при потере устойчивости периодическим движением возникает в дополнение к нему другое периодическое движение. Логически же это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства состояний, внутри которого располагаются траектории, соответствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ничего сказать нельзя.

Траектории могут стремиться к предельному циклу или к незамкнутой намотке на торе (соответственно образам периодического или квазипериодического движений), но могут вести себя и совершенно по-иному - сложно и запутанно. Именно эта возможность чрезвычайно существенна для понимания математической природы и выяснения механизма возникновения турбулентности.

Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые циклы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости.

Эта картина имеет еще и другой аспект - чувствительная зависимость течения от малого изменения начальных условий. Если движение устойчиво, то малая неточность в задании начальных условий приведет лишь к аналогичной неточности в определении конечного состояния. Если же движение неустойчиво, то исходная неточность со временем нарастает и дальнейшее состояние системы уже невозможно предвидеть (Н. С. Крылов, 1944; М. Вот, 1952).

Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать (Е. Lorenz, 1963); его принято называть стохастическим, или странным аттрактором.

На первый взгляд, требование о неустойчивости всех траекторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, чтобы все соседние траектории при к нему стремились, кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает разбегание траекторий. Это кажущееся противоречие устраняется если учесть, что траектории могут быть неустойчивыми по одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми (т. е. притягивающими) по другим.

В -мерном пространстве состояний траектории, принадлежащие странному аттрактору, не могут быть неустойчивы по всем (-направлениям (одно направление отвечает движению вдоль траектории), так как это означало бы непрерывный рост начального объема в пространстве состояний, что для диссипативной системы невозможно. Следовательно, по одним направлениям соседние траектории к траекториям аттрактора стремятся, а по другим - неустойчивым - от них уходят (рис. 19).

Такие траектории называют седловыми, и именно множество таких траекторий составляет странный аттрактор.

Странный аттрактор может появиться уже после нескольких бифуркаций возникновения новых периодов: даже сколь угодно малая нелинейность может разрушить квазипериодический режим (незамкнутая обмотка на торе), создав на торе странный аттрактор (D. Ruelle, F. Takens, 1971). Это, однако, не может произойти на второй (начиная с разрушения стационарного режима) бифуркации. При этой бифуркации появляется незамкнутая обмотка на двумерном торе. Учет малой нелинейности не разрушает тора, так что странный аттрактор должен был бы быть расположен на нем. Но на двумерной поверхности невозможно существование притягивающего множества неустойчивых траекторий. Дело в том, что траектории в пространстве состояний не могут пересекаться друг с другом (или сами с собой); это противоречило бы причинности поведения классических систем: состояние системы в каждый момент времени однозначно определяет ее поведение в следующие моменты. На двумерной поверхности невозможность пересечений настолько упорядочивает поток траекторий, что его хаотизация невозможна.

Но уже на третьей бифуркации возникновение странного аттрактора становится возможным (хотя и не обязательным!). Такой аттрактор, приходящий на смену трехчастотному квазипериодическому режиму, расположен на трехмерном торе (S. Newhouse, D. Ruelle, F. Takens, 1978).

Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна; неясны даже критерии, на которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при компьютерном решении модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, довольно далеких от реальных гидродинамических уравнений.

О структуре странного аттрактора можно, однако, высказать некоторые общие суждения, следующие уже из неустойчивости (седлового типа) траекторий и диссипативности системы.

Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению «стационарной» турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее - их следы) заполняют определенную площадь; проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом - сжимается; ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение - объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться - в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разбивается на систему вложенных друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев - поверхностей, на которых располагаются седловые траектории (своими притягивающими направлениями обращенные «наружу» аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом; каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого времени пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю.

По математической терминологии, такие множества по одному из направлений относятся к категории канторовых. Именно канторовость структуры следует считать наиболее характерным свойством аттрактора и в более общем случае -мерного пространства состояний.

Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в другом пространстве - меньшей размерности.

Последнее определяется следующим образом. Разобьем все -мерное пространство на малые кубики с длиной ребра и объемом Пусть - минимальное число кубиков, совокупность которых полностью покрывает аттрактор. Определим размерность D аттрактора как предел

Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в -мерном пространстве: при малом в имеем (где V - постоянная), откуда видно, что можно рассматривать как число -мерных кубиков, покрывающих в -мерном пространстве объем V. Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной; именно такова она для канторовых множеств.

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение «вышло на странный аттрактор»), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем за большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента «объема» (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться - его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора.

Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний.

Другими словами, предполагаем, что индивидуальная траектория воспроизводит свойства аттрактора, если двигаться по ней бесконечно долгое время.

Пусть уравнение такой траектории, одно из решений уравнений (31,1). Рассмотрим деформацию «сферического» элемента объема при его перемещении вдоль этой траектории. Она определяется уравнениями (31,1), линеаризованными по разности отклонению траекторий, соседних с данной. Эти уравнения, написанные в компонентах, имеют вид

При сдвиге вдоль траектории элемент объема в одних направлениях сжимается, в других растягивается и сфера превращается в эллипсоид. По мере движения вдоль траектории как направления полуосей эллипсоида, так и их длины меняются; обозначим последние посредством где индекс s нумерует направления. Ляпуновскими характеристическими показателями называют предельные значения

Становится отрицательной. Дробная часть размерности находится из равенства

(F. Ledrappier, 1981). Поскольку при вычислении d учитываются лишь наименее устойчивые направления (отбрасываются наибольшие по абсолютной величине отрицательные показатели в конце их последовательности), то даваемая величиной DL оценка размерности есть, вообще говоря, оценка сверху. Эта оценка открывает, в принципе, путь для определения размерности аттрактора по экспериментальным измерениям временного хода пульсаций скорости в турбулентном потоке.

Странные аттракторы. Динамический хаос

1. Узел, фокус, предельный цикл – математические образы установившихся режимов

Аттракторы вида узел, фокус и предельный цикл являются математическими образами установившихся режимов в динамических системах.

Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы .

Это свойство позволяет предсказывать поведение таких систем, даже если начальные условия x 0 известны с некоторой погрешностью .

Объекты, получившие название странных аттракторов , открыты в начале 60-х американским метеорологом Э. Лоренцем при исследовании упрощенной математической модели физики атмосферы. Они описывают непериодические хаотические режимы в динамических системах вида

dx / dt = F ( x ), x ( t 0 ) = x 0 (1)

Странные аттракторы не обладают свойством устойчивости :

пусть  x 0 – любое малое отклонение в начале траектории, тогда

||x(t, x 0 ) – x(t, x 0 +  x 0 )||  e  t ||  x 0 ||,  > 0 . (2)

Отсюда следует, что при t  T будет теряться какая-либо информация о положении системы dx/dt = F(x) в фазовом пространстве . Такой вывод означает, что в классическом смысле задачи, связанные с изучением странных аттракторов, не корректны . В корректных задачах теоремы существования и единственности решений выполняются на конечном интервале 0  t  T . Необходимо, чтобы существовала некоторая величина  , которая гарантировала бы близость траекторий при 0  t   . Это условие фигурирует в ляпуновской теории устойчивости решений .

Для странного аттрактора такого условия нет.

Это не связано с несовершенством формализма обыкновенных дифференциальных уравнений. Причиной является физическое явление динамического хаоса.

Странные аттракторы являются математическим образом установившегося хаотического поведения в динамических системах.

Странные аттракторы существуют даже в сравнительно простых системах трех дифференциальных уравнений, в правые части которых входят только линейные и квадратичные члены.

1.1. «Странность» странных аттракторов связана с их чувствительностью к начальным данным.

Две близкие точки x 10 иx 20 , лежащие на аттракторе, отстоят одна от другой на расстояние d 0 . Со временем это расстояние меняется d t = | x 1t – x 2 t |.

Если аттрактор – особая точка, то d t = 0 .

Если аттрактор – предельный цикл , то d t – периодическая функция времени.

Если аттрактор – странный , то d t = e  t ,  > 0 .

Чтобы величина  характеризовала аттрактор, надо рассматривать бесконечно близкие траектории и среднюю скорость их разбегания на большом интервале времени .

(x 10 ,  ) = lim lim [(1/t) ln (d t /d 0 )] , . (3)

t  , d 0  0

 - вектор от x 10 до x 20

Выбирая различные точки х 10 и x 20 , можно получать разные числа  .

В 1968 г. В. Оселедец показал, что при весьма общих условиях почти все точки х 10 и x 20 в окрестности странного аттрактора в N -мерной динамической системе будут давать один и тот же набор ляпуновских показателей  1 ,  2 ,…  N .

 - характеризует изменение длины отрезка d t .= |x 1t – x 2 t |.

Изменение площади треугольника с вершинами х 1 t , х 2 t , х 3 t пропорционально

exp (  1 +  2 ) t .

 1 - характеризует изменение длины d 1 .= |x 1t – x 2 t | ,

 2 - изменение длины d 2 .= |x 2t – x 3 t | .

Изменение N -мерного объема пропорционально

exp (  1 +  2 +  N ) t .

N -мерный объем малого элемента в фазовом пространстве N -мерной диссипативной системы для аттракторов сокращается

 i < 0 .

1  i  N

Если аттрактор точка или цикл , то, наблюдая за системой достаточно долго, можно дать достоверный прогноз даже, если х t известен с некоторой ошибкой. Ведь d t не будет расти.

Положительные ляпуновские показатели и связанная с этим чувствительность к начальным данным заставляют по-иному смотреть на саму возможность предсказания явлений природы. У странного аттрактора через время  1/  две близкие вначале траектории с течением времени перестанут быть близкими .

Существуют фундаментальные ограничения на возможность прогнозов в нелинейных системах.

1.2. «Странность» хаотических аттракторов связана с их геометрическими свойствами. Часто эти объекты имеют сложную структуру, обладающую масштабной инвариантностью . В мелком масштабе они выглядят также, как в крупном.

Вычисление ляпуновских показателей в тех случаях, когда известна функция F (x ), достаточно просто осуществляется с помощью компьютера.

Система рассматривается в вариациях .

Пусть известна траектория x(t) . Рассмотрим близкую траекторию

x *( t ) = x ( t ) +  t .

Матрица A ( x ) = D ( F ( x ))/ D ( x ) – матрица системы (якобиан ), линеаризованной в окрестности траекторииx(t).

Если траектории x ( t ) и x *( t ) бесконечно близки, то членами, квадратичными по  (t) можно пренебречь. Отклонение x(t) от x*(t) определяется системой в вариациях для  (t):

(t) = A(x(t))  (t), (4)

 = lim ,  0 =  (t=0). (5)

t 

Определенный таким образом ляпуновский показатель  эквивалентен заданному выражением (3). Использование формул (4), (5) в расчетах более предпочтительно.

Чтобы определить старший ляпуновский показатель, наряду с исходным уравнением (1) считают систему в вариациях (4).

Чтобы решение  (t) не было слишком большим, через определенный интервал времени его перенормируют (делят на достаточно большое число). В соответствии с этим модифицируются формулы (4) и (5).

Перенормировка нужна, чтобы повысить точность определения показателей. Взяв наугад  (t=0) , обычно находят первый ляпуновский показатель  1 . Чтобы оценить k показателей  1 ,  2 ,  k , считают k систем в вариациях . Вычисляют k -мерный объем и пользуются соотношениями, аналогичными формуле (5).

Через определенное время приходится выполнять не только перенормировку, но и ортогонализацию , поскольку  1 ,  2 , …,  k , с течением времени стремятся повернуться вдоль  1 , соответствующего наибольшему ляпуновскиму показателю.

В настоящее время ляпуновкие показатели являются наиболее эффективно и просто вычисляемыми характеристиками динамического хаоса.

Показатели Ляпунова

Величины  i являются решениями алгебраического уравнения

det |a ij -  ij  i | = 0 (6)

 ij – символ Кронекера такой, что  ij = 0 , если i  j и  ij = 1 , если i=j .

 i – показатели Ляпунова.

Если ляпуновские показатели отрицательны, то все x i ( t ) убывают со временем, поэтому состояние устойчиво. Система после возмущающего воздействия стремится вернуться в стационарное состояние.

Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, состояние будет неустойчивым.

В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Устойчивость определяется знаком действительной части комплексного числа.

Если среди чисел Ляпунова имеются чисто мнимые или равные нулю, то стационарное состояние называется нейтральным. При отклонении от этого состояния не возникают ни отклоняющие, ни возвращающие силы.

2.1. Анализ неустойчивых движений. Определяется временная зависимость малых отклонений от заданной траектории. Числа Ляпунова при этом уже не постоянны , а зависят от времени.

Траектория неустойчива, если среди ляпуновских показателей имеются такие, вещественные части которых положительны в достаточно большом интервале времени  t таком, что  t  ( t ) >> 1 .

Показатели Ляпунова играют большую роль в теории устойчивости движения. Они являются характеристическими или собственными числами системы .

Они не зависят от начальных условий . Устойчивость (или неустойчивость) является внутренним свойством исследуемой системы , а не результатом внешнего воздействия на систему.

Проявляется устойчивость (неустойчивость) только при малых внешних возмущениях .

Эта особенность привела к важным метологическим последствиям . Сейчас приходится пересматривать и подвергать ревизии некоторые, казалось бы установившиеся в физике понятия.

2. Хаотические непериодические режимы динамических систем. Странные аттракторы

Странный аттрактор

Слово «странный» оправдывают два свойства аттрактора:

Необычность его геометрической структуры :

Она не может быть представлена в виде геометрических элементов целой размерности. Размерность странного аттрактора – дробная.

Странный аттрактор – это притягивающая область для траекторий из окрестных областей, динамически неустойчивых внутри странного аттрактора .

Странный аттрактор существует только в диссипативных системах размерности n≥3 .

Синай Я.Г. (1996): Пять свойств, в некотором смысле усиливающих друг друга, следует называть статистическими:

Существование конечной инвариантной меры:

Эргодичность;

Перемешивание;

справедливость ЦПТ;

экспоненциальное убывание корреляций.

В случае конечного числа стационарных точек и конечного числа предельных циклов может иметь место лишь первое (или первое и второе) из указанных свойств.

Стохастические аттракторы (Синай Я.Г. (1976)): Предельная динамическая система обладает сильными стохастическим свойствами6 для нее имеют место, по крайней мере, три из указанных выше свойств.

Аттрактор А называется стохастическим, если для любого начального распределения P 0 с плотность p 0 на X, сконцентрированного в некоторой окрестности аттрактора А, его сдвиги при t  сходятся к некоторому инвариантному распределению P на А, не зависящему от P 0 ; п редельное распределение обладает перемешиванием, то есть автокорреляции стремятся к 0 при t  .

Еще более сильными статистическими свойствами обладает гиперболический аттрактор А. Движение на таком А и в его окрестности обладает экспоненциальной неустойчивостью, является странным, его размерность может быть дробной.

С точки зрения теории вероятностей динамическая система, возникающая на таком А , изоморфна цепи Маркова.

2.3. Абсолютно изолированные системы. Это понятие можно ввести (и то далеко не всегда) как предел неизолированной системы при стремлении к нулю величины внешнего воздействия .

Для устойчивых систем такой предел существует, и, следовательно, понятие изолированной системы остается в силе. Для неустойчивых систем такого предела, вообще говоря, нет.

Действительно, предел величины x(t) =  e  t (где  > 0 ) при  0 и t  зависит от порядка стремления аргументов к своим пределам . Формально величину  (она отражает меру внешних воздействий) и время t можно считать независимыми. При сравнительно небольших отрезках времени фактор e  t возрастает столь сильно. что компенсировать его уменьшением  - задача абсурдная. Экспоненциальная зависимость e  t настолько сильна, что конкурировать с ней практически невозможно. Поэтому для неустойчивых систем понятие «абсолютно изолированная система» теряет смысл. Можно говорить только об относительно изолированной системе.

2.4. Бесконечно малое и бесконечно большое. В связи с явлением неустойчивости возникает необходимость пересмотреть такие понятия как «бесконечно малое» и «бесконечно большое».

При небольших отрезках времени, когда отклонения малы, а возмущением можно пренебречь, динамическим расчетам можно доверять даже в случае их неустойчивости .

Условиями доверия являются: t  1/ Re  и  x( t ) << 1 . Время t  1/ Re  называется интервалом предсказуемости (или горизонтом прогнозирования) . При больших отрезках времени ( Re  t = 100  1000) отклонение  x( t ) станет большим при любых реальных возмущениях . Чтобы пренебречь возмущениями, необходимо изолировать систему с точностью до  x 0  e –1000 , что невозможно. При этом неважно, в каких единицах измеряются значения  x 0 и x( t ).

Любые физические величины (длины, массы, временные интервалы, числа частиц и т.д.) в нашем мире ограничены, т.е. выражаются числами в интервале от (10 -100 до10 +100 ) . Большие (или меньшие) числа могут появиться лишь в результате расчета, в котором фигурируют экспоненциальная или же более мощная функция. В связи с этим Эдваром Каснером было введено понятие «гугол» - столь большое число (более 10 +100 ) , которое не может соответствовать никакой физической величине.

Возмущение является физической величиной. Поэтому начальное отклонение не может быть меньше 10 -100 , тогда как Re  t может стать более 100 .

Обратный “гугол”, формальнор являющийся конечной величиной, реально рассматривается как величина бесконечно малая .

Вопрос, как ведет себя функция внутри интервала порядка, соизмеримого с обратным «гуголом», лишен смысла . Функцию на таком интервале следует заменить числом (средним по интервалу), поскольку более детальное ее поведение принципиально не наблюдаемо. Это утверждение играет важную практическую роль.

2.5. Причина . В теории динамических систем под причиной обычно понимают начальные условия или импульсные внешние воздействия, которые приводят к определенному результату – следствию .

Словосочетание «вскрыть причинно-следственные связи» означает «понять динамику промежуточных процессов».

Предполагается, что причины и следствия соизмеримы . Для устойчивых или нейтральных процессов это всегда имеет место.

В неустойчивых системах ситуация принципиально иная: очень малая величина приводит к следствию, несоизмеримому по масштабам с причиной. В таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не малое начальное воздействие.

Хаотические системы характеризуются временным горизонтом , который определяется временем Ляпунова (1/  ) , выполняющего роль внутреннего масштаба времени хаотических систем .

В течение этого времени сохраняет смысл выражение «две одинаковые (одни и те же) системы» . Чтобы увеличить интервал времени, в течение которого можно предсказывать траекторию, необходимо увеличивать точность , с которой задано начальное состояние , то есть сузить класс систем, называемых «одними и теми же». Чтобы увеличить в 10 раз время Ляпунова, необходимо увеличить точность задания начального состояния в e 10 раз.

Временной горизонт хаотической системы порождает принципиальное различие между «теперь» и «потом» .

Эволюция за пределами ляпуновского времени не допускает индивидуального описания , выражается только в терминах вероятностного описания, одного и того же для всех систем, характеризуемых одним и тем же хаотическим аттрактором, каким бы ни было их начальное условие.

Это – определение хаоса через отрицание возможности предсказания индивидуального поведения при любом уровне нашего знания.

Для хаотических систем законы природы необходимо формулировать в терминах эволюции распределений вероятности, а не в терминах индивидуальных траекторий.

Современные странные аттракторы (фрактальные и не фрактальные) служат великолепной иллюстрацией разнообразнейшего поведения диссипативных систем. Благодаря им меняется наш подход к миру природы. Он становится менее обобщающим и более разведывающим.

2.6. Вероятность . В устойчивых динамических системах понятие «Вероятность» не употребляется и, более того, не имеет смысла . В неустойчивых системах, напротив, достоверные предсказания не имеют смысла и можно говорить лишь о вероятности того или иного результата .

2.7. Неустойчивость . Явление, которое возникает в рамках динамических уравнений, но приводит к тому, что они (уравнения) перестают быть полными. Неустойчивость можно установить (найти числа Ляпунова), но предсказать результат процесса при этом невозможно.

Понятие «Неустойчивость» существенно расширяет и изменяет аксиоматику динамических систем . Ярким следствием этого свойства является «динамический хаос» .

Существует класс динамических систем, в которых хаотический режим возникает в некоторых областях фазового пространства . Такие области называют странными аттракторами.

Фазовые траектории входят в эти области (отсюда и термин «аттрактор»), но не выходят из них, запутываются внутри (отсюда термин «странный»).

Странные аттракторы можно рассматривать как стационарные состояния, но не стянутые к одной точке, а размазанные по области фазового пространства. В природе такие системы распространены гораздо шире. Чем можно было бы предположить.

3. Фракталы

Объекты с дробной размерностью.

Странные аттракторы характеризуются не целыми, а дробными размерностями . Они являются фрактальными объектами 1 . Такие объекты не могут быть ни точками, ни линиями, ни поверхностями, ни вообще топологическими многообразиями.

Размерность характеризует геометрический объект числом переменных, которые необходимо задать, чтобы указать местоположение одной из точек объекта.

Точка на линии – одно число. Точка на плоскости – два. Точка в объеме – три и т. д. Существуют, более абстрактные, способы определения размерности.

Геометрический объект можно характеризовать минимальным числом «клеток», необходимых для покрытия объекта. Число d , определяющее размерность, появляется как показатель степени в соотношении, связывающем число N «клеток» и их размер u .

Рассмотрим пример «канторовского множества»:

Возьмем единичный отрезок. Разделим его на три равные части и удалим среднюю треть. Повторим ту же операцию с каждой оставшейся частью, и т д. бесконечно много раз. Возникнет бесконечное множество «микроотрезков» , которые уже невозможно охарактеризовать их длинами .

Изначально мы имели отрезок единичной длины. После первого шага – два отрезка длиной 1/3 . После второго шага – четыре отрезка длиной 1/9 , после третьего шага – восемь отрезков длиной 1/27 . После n - го шага – 2 n длиной 1/3 n . После счетного множества шагов из единичного отрезка будет удалено

1/3 + 2(1/9) + 4(1/27) + .. = 1 , то есть вся длина.

Размерность d канторовского множества при N  и u  0 определяется соотношением 2 n = (3 n ) d , откуда d = log2/log3  0,63 . Канторовскому множеству, которое уже невозможно мыслить как совокупность одномерных отрезков , соответствует дробная размерность, заключенная между 0 (размерность точки) и 1 (размерность линии).

Фрактальные объекты дают возможность по-новому взглянуть на удивительный мир форм, существующих в природе. Большинство этих форм не являются правильными геометрическими объектами, но могут быть охарактеризованы дробными размерностями.

Например, облако является не объемным телом или поверхностью, а некоторым промежуточным геометрическим объектом с размерностью, заключенной между 2 и 3.

Открытие аттракторов с фрактальными размерностями позволяет по-новому увидеть поведение объектов во времени .

Фрактальный аттрактор обладает необычайно тонкой структурой, которая выражает очень сложное поведение во времени.

Понятие аттрактора (особая точка, предельный цикл) - синоним устойчивости и воспроизводимости (выхода «на то же самое») при любых начальных условиях.

Какова размерность странных аттракторов?

«Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям»». Объясните.

Аттракторы с фрактальными размерностями порождают типы поведения, которые невозможно ни предсказать, ни воспроизвести. В любой области странного аттрактора, сколь бы мала она ни была, обнаруживается одна и та же сложная структура. Малейшее различие в начальных условиях или малейшее возмущение не затухает, а усиливается аттрактором. Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям» .

1 Термин «фрактал» введен Бенуа Мандельбротом (Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. – San francisco: W.H. Freeman, 1982.)

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Притягивающее неустойчивых траекторийв фазовом пространстве диссипативной динамической системы. С. а.,в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривойили поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна(см. Фракталы). Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D.Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенныев окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, Бифуркация, Предельный цикл). ТраекторииС. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания, поддерживаемыев диссипативной системе за счёт энергии внеш. источника. С. а. характернылишь для автоколебат. систем, фазового пространства к-рых большедвух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система- трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа(1).

Системы с периодич. автоколебаниями, матем. образом к-рых является предельныйцикл, удаётся исследовать достаточно полно с помощью методов качественнойтеории дифференц. ур-ний. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определении (предсказании) характеристики свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительнодаже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, Пример . Подобно тому, как генератор Ван-дер-Поля является простейшими канонич. примером системы, демонстрирующей периодич. , схема, 2а и определяющая несколько усложнённый генераторВан-дер-Поля, может служить одним из простейших примеров генераторов стохастич. б. Пока I в контуре и на сетке . малы, туннельный диод не оказывает существ. влияния на вконтуре, и они, как и в обычном ламповом генераторе, нарастают. При этомчерез туннельный диод течёт ток I , а напряжение на нём определяетсяветвью характеристики I(V). Когда же ток I достигает значения I т, происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстротапереключения связана с малостью ёмкости С 1) - скачкомустанавливается напряжение V m . Затем ток через туннельныйдиод уменьшается и происходит его обратное переключение с участка на . Врезультате двух переключений туннельный диод почти полностью поглощаетпоступившую в контур энергию и колебания начинают снова нарастать. (Прирассмотрении работы схемы характеристику лампы можно считать линейной;это оправдано тем, что в интересующем нас режиме колебания ограничиваютсянелинейной характеристикой туннельного диода.) Т. о., генерируемый U(t )представляет собой последовательность цугов нарастающих колебаний;окончание каждого цуга характеризуется скачком напряжения V(t).

Рис. 2. Принципиальная схема (а) простого генератора шума- генератораВан-дер-Поля, в сеточный контур которого добавлен туннельный диод. Вольт-ампернаяхарактеристика (б) нелинейного элемента - туннельного диода.

Для количественного описания работы схемы исходные ур-ния

преобразуют к безразмерному виду:

где x = I/I m , z= V/V m ,

- нормированнаяхарактеристика диода. Здесь - малый параметр Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3)

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) при

можно разбить на быстрые переключения диода (прямые х = const, у = const) и медленные, при к-рых напряжение на диоде «следит» затоком; соответствующие траектории лежат на поверхностях А и В[х = f(z ), f"(z) >0 ], отвечающих участкам и характеристикиДиода.

Система имеет одно неустойчивое [при ] состояние равновесия х = у = z = 0 типа седло. Траектории, лежащиена поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и вконце концов достигают края поверхности А. Здесь происходит срывточки, отображающей на фазовой траектории состояние системы (т. н. изображающейточки) по линии быстрых движений на В. Пройдя по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадаетв окрестность равновесия - начинается новый цуг нарастающих колебаний. Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-ниям (1), при кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис.5. Линейный участок I с коэф. угла наклона, большим единицы, описываетраскручивание траектории на поверхности медленных движений А, соответствующейнарастанию колебаний в контуре. Участок II описывает этап возвращения траекторий, А на поверхность В, обратно на А (см. рис. 3). Все траектории, лежащие вне основания обозначенногопунктиром квадрата, входят в него при асимптотически больших значенияхвремени, т. е. область D - поглощающая и содержит аттрактор. Всетраектории внутри этой области неустойчивы, т. е. аттрактор является странным. свойства стохастичности движений (как показывают численные исследования)сохраняются.

Рис. 4. Спектр мощности сигнала, генерируемого схемой, представленнойна рис. 2а, и осциллограмма этого сигнала.

Рис. 5. График функции f(x), описывающей динамику схемы рис. 2 при .

Фрактальная размерность. Все разнообразие статистич. свойств случайногосигнала, порождаемого динамич. системой со С. а., может быть описано, еслиизвестно вероятности состояний системы. Однако получить (ииспользовать) это для конкретных систем со С. а., чрезвычайносложно (хотя бы потому, что распределения инвариантной вероятностноймеры всегда сингулярна). Это одна из причин, по к-рой для описания С. а.

где , нек-рый фиксированный параметр,- число n -мерных шаров диаметра ,покрывающих С. а. динамич. системы с n -мерным фазовым пространством.

Определённая согласно ур-нию (2) размерность с не может, очевидно, n, но может быть меньше п (n -мерные шарымогут оказаться почти пустыми). Для «обычных» множеств ур-ние (2) даёточевидные результаты. Так, для множества из k точек ,; дляотрезка длины L прямой лилии ,;для куска площади S двумерной поверхности ,и т. д. Неравенство размерности целому числу соответствует сложному геом. 2,6).

С физ. точки зрения, осн. «достоинство» фрактальной размерности С. а. и числом степеней свободы га имеет вид:

Бифуркации странных аттракторов. Пути рождения стохастич. предельный цикл, к-рый может родиться лишь несколькими типичнымиспособами, так и С. а. обладают сравнительно небольшим числом наиб. типичныхвозможностей возникновения .

Сценарий Фейгенбаума - цепочка бифуркаций удвоения периода устойчивогопредельного цикла. Если при изменении управляющего параметра периодич. n -мерном фазовом пространствеповедение траекторий отображения Пуанкаре в окрестности претерпевающегобифуркацию удвоения периода предельного цикла определяется ф-цией, напр.,f(x), график к-рой похож на параболу. Эта ф-ция описывает связьмежду координатами в направлении собств. подпространства оператора линеаризацииотображения Пуанкаре, отвечающего мультипликатору (-1) (j + 1)-гои j-го пересечений траекторией системы секущей Пуанкаре: x j+1 = f(x j). Возникшему устойчивому предельному циклуудвоенного периода отвечает двупериодич. отображения f .При дальнейшем изменении параметра бифуркации удвоения периода бесконечноповторяются, а бифуркац. значения, напр.,накапливаются к критич. точке , отвечающей возникновению С. а. В соответствии со сценарием Фейгенбаумаимеет место универсальный (не зависящий от конкретной системы) закон

где = 4,6692... - универсальная константа Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность).

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбуханиеаттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума.

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра(скажем,)через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушениерегулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной(регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Этакартина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, время сохраняют характер своего поведения, т. движение, близкое к периодическому. С течением времени они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой(также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазовогопространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива(т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траекториичерез нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельногоцикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратрисаседлового цикла была вложена в достаточно сложнымгеом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась»,содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то естьпереходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попаданияв окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная , Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаютсятакже переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических(в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкостьи разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии .

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются всистемах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, скорость разбегания траекторий вдоль этих направлений. Стохастич. вязкость).Такая диссипация лишает мелкомасштабные возбуждения среды самостоятельности, Турбулентность).

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Архетип коллективного бессознательного - странный аттрактор

Итак, архетипы коллективного бессознательного являются двигателями политических процессов. Как пишет В. Одайник, «архетип - организующий принцип, стоящий за психологическими феноменами» Одайник В. Психология политики. Политические и социальные идеи Карла Густава Юнга. М.: Ювента, 1996. С.27..

В предыдущем разделе было приведено достаточно доводов в пользу того, что коллективное бессознательное вполне является нелинейной системой (средой). А в открытых нелинейных системах (средах) организующими принципами выступают аттракторы. Напомним, что аттрактор - это точка или множество в фазовом пространстве, к которым притягиваются все траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой также областью, или бассейном, притяжения. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Аттрактор обозначает активные устойчивые центры потенциальных путей эволюции системы, способные притягивать и организовывать окружающую среду.

Мы уже рассматривали, что существуют несколько типов (классов) аттракторов: точечные, периодические, квазипериодические (аттрактор тора) и странные. Попытаемся уточнить, какой из этих типов больше подходит для моделирования архетипов.

Обратимся еще раз к трактовке странного аттрактора применительно к социальной среде, предложенной Капустиным В.С. в работе «Введение в теорию социальной самоорганизации».

Явление аттрактора в социальной системе можно определить как такое будущее состояние изменяющейся системы, которого еще не знает настоящее, но прошлое уже там присутствует и распоряжается. Это означает, что в различных временных рядах нелинейности отдельные события прошлого могут опережать настоящее и подстерегать нас из будущего.

Любой акт деятельности всегда полифункционален и многозначен, но субъектом действия осознается только с точки зрения его цели, оставляя вне внимания иные проявления, каждое из которых существует в своей логике. Результаты, находящиеся за пределами осознания субъекта деятельности, как правило, не принадлежат ему, а значит, не интересны ему и не контролируются им (пространство эпифеноменов). Эпифеномен - явление, сопутствующее в качестве побочного продукта другим, фундаментальным явлениям, но не оказывающее на них прямого воздействия. Это самостоятельное пространство эпифеноменов можно сравнить с безбрежным морем бесчисленных смыслов: мудрец - рыбак в безбрежном море бытия, как рыб вылавливает смыслы. Каждый этнос, исходя из условий своего проживания и в соответствии с национальными особенностями мышления, кодирует смысл по-своему, что бы он был понятен, узнаваем, что бы его можно было передавать, т.е. декодировать при коммуникации, запустить в «эстафету поведения».

Аттрактор - это проявившийся из эвентуального будущего вектор последующих изменений, - это или мобилизующий и структурирующий образ будущего, или образ грядущей катастрофы, ускоряющий процессы распада. Понять аттрактор, значит, создать условия для прогнозирования развития, моделирования поведения и оптимального управления процессами. Бездумная, эгоистичная или коррумпированная власть может предлагать из своего настоящего любые векторы развития, но все они будут формальны. Аттрактор неумолимо «назначит» свой сценарий развития. Империи, державы, династии стремительно рушились, когда пространство эпифеноменов не транслировало или транслировало в социумы негативные образы будущего. Мировая практика показывает, что видение позитивного будущего - один из важнейших источников социальной энергии. Капустин В.С. Введение в теорию социальной самоорганизации: учебное пособие. Web: http://spkurdyumov.narod.ru/Kapustin12.htm

Пространство эпифеноменов это та же действительность, только нелинейно-целостно мыслимая. Там та же реальность действий (практик), только они не завершаются, как в мире феноменов с достижением ожидаемых результатов, которые, впрочем, всегда есть иллюзия достижения, а продолжают делиться, размножаться каждое мгновение и в каждой точке, разлетаясь в континуумы будущих альтернатив. Это не параллельный и даже не виртуальный мир, а инобытие нашего же мира, в котором обитают смыслы, обладающие свойством безвременности и бесконечности. В этом пространстве спрятана вечная тайна вневременного сопряжения практик, формирования будущих векторов движения социумов, там пишутся черновики бесчисленных сценариев для постановки их в мире феноменов.

Данные положения в первую очередь реализовались в психологии, речь идет о таком ее направлении, как трансперсональная психология, изучающая трансперсональные переживания и связанные с ними явления. Только здесь понятие эпифеноменов преобразовано в понятие коллективного бессознательного, социального бессознательного. Мифологические мотивы активно используются в политике и ПР, но не до конца и не всеми технологами осознается действительная мощь мифа, коллективного бессознательного, архетипа.

К.Г. Юнг неоднократно подчеркивал, что «Содержимое коллективного бессознательного, представленное архетипами, с которыми мы сталкиваемся при любом контакте с массовыми феноменами, всегда биполярно: оно имеет как положительную, так и отрицательную стороны. Любое проявление архетипа делает ситуацию критической, так что невозможно предвидеть ее развитие» Одайник В. Психология политики. Политические и социальные идеи Карла Густава Юнга. М.: Ювента, 1996. С.321.. Таким образом, прослеживаются явные параллели между архетипами и странными аттракторами. Странные аттракторы определяют хаотические режимы. Предсказать поведение траекторий хаотических систем на длительное время невозможно. Странные аттракторы в противоположность циклам или точечным аттракторам описывают движение, которое не станет периодическим (а значит предсказуемым), сколько бы мы ни ждали.

Академик Е.А. Файдыш выстраивает такую логическую цепочку: «Одной из особенностей архетипа является невозможность его однозначного описания или определения. Сколько бы мы не пытались выразить его в виде текста, он всегда будет несоизмеримо сложнее и глубже. Именно поэтому могут быть осознаны только отдельные «тени», проекции, но никогда - он весь целиком.

В недавнее время математиками были открыты объекты очень сходные с ними. Это фрактальные множества и странные аттракторы. Как архетип невозможно задать перечислением его элементов, также и фрактал. Каждый элемент архетипа обладает не меньшей сложностью, чем целое, то же можно сказать и о фрактале. И наконец - самоподобие. Каждый элемент несет и информацию о целом. Этим свойством обладают как архетип, так и фрактал. И еще одно интересное свойство. Фракталы обычно имеют дробную размерность, т.е. как бы находятся между разными пространственными измерениями. Как уже говорилось, об аналогичных свойствах архетипов догадывались в глубокой древности. Интересно, что даже геометрические образы, использовавшиеся для изображения архетипов в древности, очень напоминают фракталы. Это янтры и мандалы» Файдыш Е.А. Сверхсознание. М.: Прогресс, 1993. С. 62-63..

Таким образом, развертывание политической ситуации, особенно если речь идет о динамичных массовых процессах, часто объясняется и обеспечивается действием архетипической модели. Как было нами выяснено, в теории нелинейных динамических систем архетипам соответствуют странные (фрактальные) аттракторы. Следовательно, моделирование политических процессов, в том числе динамики общественного сознания и электорального поведения, «субъектом» самоорганизации которых выступает архетип, оптимально с использованием фрактальных объектов (странных аттракторов, фрактальных временных рядов). Эта аналогия намечает сближение обычно разнесенных синергетического и психологического подходов к пониманию, интерпретации политических процессов. Если политический процесс движим архетипическими силами (моделируемыми странными аттракторами), это означает, что до определенной степени (в математике - внутри области странного аттрактора) процесс иррационален, неподвластен логике, непредсказуем. То есть, иррациональность - имманентное свойство многих политических явлений. Однако иррациональность не означает полную неуправляемость, точнее, иррациональность подразумевает невозможность полной управляемости, невозможность предсказуемо навязывать свою волю, манипулировать человеком и обществом. Понимание сути иррационального политического процесса позволяет «подталкивать» его в некотором направлении, но не более того.

Можно сформулировать следующие гипотезы, расширяющие синергетическую теорию аттракторов:

1. Нахождение в зоне притяжения определенного аттрактора сопровождается совершенно определенными событиями, качественно характеризующими параметры состояния аттрактора.

2. Эти события с логической точки зрения могут быть никак не связаны между собой.

3. События, обязанные своим происхождением пребыванию человека в зоне некоторого аттрактора, несмотря на отсутствие логической каузальности, все-таки достаточно сильно коррелированы, то есть фрактальны. Когда мы говорили о фрактальных объектах, мы проводили аналогию с твердыми телами, в которых (в отличие от газа) молекулы жестко связаны между собой.

4. По мере приближения к аттрактору компоненты, характеризующие ключевые свойства аттрактора, усиливаются в происходящих с человеком событиях.

5. Человек регулярно попадает в точки (зоны) потери устойчивости. В этих точках эволюционирующие системы испытывают на себе влияние со стороны различных аттракторов той нелинейной среды, в которой они находятся. Об этом свидетельствуют происходящие в течение небольшого отрезка времени разноплановые (порожденные бассейнами разных аттракторов) события - упрощенно, радостные и грустные. В таких точках человек делает выбор, к какому аттрактору он двинется дальше. По всей видимости, выбор осуществляется посредством резонансного возбуждения структур, близких к одному из аттракторов.

6. Вероятно, существуют некоторый набор действий, позволяющий выйти из зоны притяжения неблагоприятного аттрактора.

Мы предполагаем, что эти закономерности применимы и в политической практике. Внимательно наблюдая за событиями, сопутствующими деятельности в политической сфере, можно постоянно получать информацию о том, в каком направлении движется ситуация и, возможно, предпринимать меры по ее корректировке; уловить еле заметное, но способное изменить всю картину, перестроиться на правильный аттрактор, то есть направить к лучшему из возможных вариантов, - остальное самоорганизуется. Таким образом, можно существенно повысить эффективность и снизить «издержки» политической жизни. Подчеркнем, что в отличие от традиционного мониторинга ситуации, здесь идет речь о более широком взгляде, когда мы принимаем во внимание не только события, объединенные логической цепочкой.

Констатируя кредо синергетики как новое мировидение, Е.Н. Князева, в частности, подчеркивает, что она «не только синтезирует фрагменты обыденного и отчасти научного дисциплинарно разбросанного знания, но даже связывает эпохи - древность с современностью, с современными достижениями науки - принципиально различные, восточный и западный способы мышления мировосприятия (от Востока она берет идею целостного мира, от Запада - традицию анализа, эксперимент)». Шалаев В.П. Синергетика человека, общества, природы: управленческий аспект: Учебное пособие. Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2000. С.26.

При этом мифологические мотивы, также воздействующие на политический расклад, вполне адекватно вписываются в синергетическое мировоззрение. То есть процессы, развивающиеся с использованием таких мотивов, подчинены закономерностям, обнаруженными синергетикой.

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР - притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы . С. а., в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривой или поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна (см. Фракталы ).Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D. Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенные в окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, к-рые неустойчивы по одним и устойчивы (притягивающи) по др. направлениям (т. е. являются седловыми; см. также Бифуркация, Предельный цикл) . Траектории С. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания ,поддерживаемые в за счёт энергии внеш. источника. С. а. характерны лишь для автоколебат. систем, размерность фазового пространства к-рых больше двух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система - трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа (1) .

Родившемуся С. а. при фиксированном отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интервалами содержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2 m -периодические (относительно отображения f ), неустойчивые предельные циклы, начиная с нек-рого m 0 и меньше. При увеличении параметра скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он «разбухает», последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2 т+1 , 2 т , ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору, уменьшается, а их длины увеличиваются. Возникает как бы обратный каскад последоват. упрощений аттрактора. Рис. 6 иллюстрирует этот процесс для двух последних бифуркаций. На рис. 6а «лента» аттрактора совершает 4 оборота, после бифуркации она становится двухоборотной и затем, после следующей бифуркации, замыкается на себя всего через один оборот, предварительно перекрутившись (6б и 6в).

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбухание аттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума .

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра (скажем,) через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушение регулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной (регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Эта картина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, определяющих бифуркации (предельные циклы, седловых периодич. траекторий и пр.). В момент бифуркации сливаются и исчезают отвечающий автоколебаниям устойчивый предельный цикл и седловая периодич. траектория. При малой надкритичности все траектории, стремившиеся ранее к устойчивому предельному циклу, долгое время сохраняют характер своего поведения, т. е. демонстрируют движение, близкое к периодическому. С течением времени они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой (также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазового пространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива (т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траектории через нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельного цикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратриса седлового цикла была вложена в фазовое пространство достаточно сложным геом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась», содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то есть переходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попадания в окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная фаза, предшествующая новому, «турбулентному», всплеску и т. д.

Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаются также переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических (в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкость и разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии .

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются в системах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, объясняющих существование многомерных С. а., выделяются следующие: 1) в многомерном фазовом пространстве в докритич. ситуации существуют непритягивающее стохастич. множество и маломерный С. а. В момент бифуркации маломерный аттрактор перестаёт быть таковым, а бывшее непритягивающим стохастич. множество высокой размерности вливается в возникший жёстким образом (скачком) многомерный аттрактор; 2) при изменении параметров в аттракторе происходит постепенная непрерывная перестройка его структуры, при к-рой размерность аттрактора монотонно увеличивается. Здесь можно выделить два случая: а) при изменении параметра в аттракторе рождаются седловые траектории со всё большим числом неустойчивых направлений; б) число неустойчивых направлений сохраняется, но возрастает скорость разбегания траекторий вдоль этих направлений. Стохастич. автоколебания распределённых систем (с бесконечномерным фазовым пространством) имеют много общего с движением динамических диссипативных систем, описываемых системами конечного числа обыкновенных дифференц. ур-ний. Связь эта объясняется действием высокочастотной диссипации (в гидродинамике, напр., это - вязкость). Такая диссипация лишает мелкомасштабные возбуждения среды самостоятельности, в результате чего описывающие их движение ф-ции начинают алгебраически зависеть от соответствующих ф-ций, отвечающих крупномасштабным возбуждениям. Т. о., реально движение бесконечномерной системы описывается траекториями, лежащими на конечномерном (хотя, возможно, высокой размерности) С. а. Неупорядоченное течение в области перехода к турбулентности также представляет собой движение на С. а. (см. Турбулентность ).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984; 2) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая , пер. с англ., М., 1984; 3) Афраймович В. С., Рейман А. М., Размерность и энтропия в многомерных системах, в кн.: Нелинейные волны. Динамика и эволюция, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, М., 1989; 4) Шустер Г., Детерминированный хаос. Введение, пер. с англ., М., 1988; 5) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Гидродинамика, 4 изд., М., 1988; 6) Афраймович В. С., Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов, в кн.: Нелинейные волны. Структуры и бифуркации, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, М., 1987; 7) Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, под ред. X. Суинни, Дж. Голлаба, пер. с англ., М., 1984; 8) Рабинович М. И., Сущик М. М., Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости, «УФН», 1990, т. 160, с. 3. В. С. Афраймович, М. И. Рабинович .