Трехмерные аттракторы лоренца. Хаотическая динамика. Программы, моделирующие поведение системы Лоренца

В 1961 году метеоролог и математик Эдвард Лоренц, скончавшийся 16 апреля 2008 года, ввел в созданную им компьютерную модель погоды данные, округлив их не до шестого, а до третьего знака после запятой. В результате был сформулирован эффект бабочки, открыт один из странных аттракторов, обнаружена непредсказуемость поведения многих детерминированных систем и, в конечном итоге, создана теория хаоса.

Вопрос: мыслим ли такой демон хотя бы теоретически? Успехи науки Нового времени наводили на мысль, что да: орбиты планет были рассчитаны, появления комет – предсказаны, случайные события – описаны теорией вероятности.

В дальнейшем, однако, демон Лапласа подвергся жесткой критике. После развития квантовой механики и открытия принципа неопределенности Гейзенберга (нельзя точно измерить одновременно скорость и координаты частицы) стало понятно, что квантовые системы демону неподвластны: в них есть принципиальная непредсказуемость.

Впоследствии также отмечалось, что существование демона противоречило бы законам термодинамики, что ему в принципе не хватило бы для знаний и вычислений информационных мощностей, даже используй он все ресурсы Вселенной.

Однако демон не сдал позиции полностью. В самом деле, представим себе полностью детерминированную (предопределенную, лишенную случайности) систему (классическую, без квантовых эффектов). Если мы знаем все законы, управляющие ее поведением (будь они сколь угодно сложны), знаем все необходимые параметры и обладаем необходимыми вычислительными мощностями (то есть под рукой есть демон Лапласа – читай: суперкомпьютер), то уж для такой-то системы мы сможем полностью предсказать поведение?

Есть одна оговорка. Все наши измерения будут содержать какую-нибудь ошибку. Переменные, хранящиеся в памяти компьютера, будут иметь ограниченную точность. То есть придется пользоваться приблизительными данными. Ну и ладно: нам не нужна бесконечная точность, вполне достаточно приблизительных предсказаний. Исходные данные содержат ошибку в пятом знаке? Ошибка предсказания в пятом знаке нас вполне устроит.

Итак, можно ли, например, предсказывать погоду? Хотя бы примерно? Хотя бы на каком-то ограниченном участке, но на более-менее приличный срок?

В его распоряжении находилась вычислительная машина Royal McBee. В 1960 году Лоренц создал упрощенную модель погоды. Модель представляла собой набор чисел, описывавший значение нескольких переменных (температуры, атмосферного давления, скорости ветра) в данный момент времени. Лоренц выбрал двенадцать уравнений, описывавших связь между этими переменными. Значение переменных в следующий момент времени зависело от их значения в предыдущий момент и рассчитывалось по этим уравнениям. Таким образом, модель была полностью детерминирована.

Коллеги Лоренца от модели пришли в восторг. Машине скармливались несколько чисел, она начинала выдавать ряды чисел (впоследствии Лоренц научил ее рисовать несложные графики), описывающие погоду в некотором воображаемом мире. Числа не повторялись – они порой почти повторялись, система как будто воспроизводила старое свое состояние, но не полностью, циклов не возникало. Словом, искусственная погода была плохо предсказуема, причем характер этой непредсказуемости (апериодичность) был примерно такой же, какой и у погоды за окном. Студенты и преподаватели заключали пари, пытаясь угадать, каким будет состояние модели в следующий момент.

Зимой 1961 года Лоренц решил подробнее изучить уже построенный машиной график изменения одной из переменных. В качестве начальных данных он ввел значения переменных из середины графика и вышел отдохнуть. Машина должна была бы точно воспроизвести вторую половину графика и продолжить строить его дальше. Однако вернувшись, Лоренц обнаружил совершенно другой график. Если в начале он еще более-менее повторял первый, то к концу не имел с ним ничего общего.

Расхождение двух графиков погоды, берущих начало из одной точки. Распечатка Лоренца 1961 года, воспроизведенная в книге Джеймса Глейка "Хаос: Создание новой науки" (СПб., "Амфора", 2001).

Получалось, что модель, из которой полностью устранена случайность, при одних и тех же начальных значениях выдает совершенно разные результаты. Машина не сломалась и считала все правильно, Лоренц не опечатался при вводе данных.

Разгадка нашлась довольно быстро: в памяти машины значения переменных хранились с точностью до шести знаков после запятой (...,506217), а на распечатку выдавалось только три (...,506). Лоренц, разумеется, ввел округленные значения, резонно предположив, что такой точности вполне достаточно.

Оказалось, что нет. "...овалились маленькие костяшки домино... большие костяшки... огромные костяшки, соединенные цепью неисчислимых лет, составляющих Время", – написал в 1952 году в знаменитом рассказе "И грянул гром" Рэй Брэдбери. Примерно это же произошло в модели Лоренца. Система оказалась исключительно чувствительной к малейшим воздействиям на нее.

Откуда в детерминированной системе хаос и непредсказуемость? От сильной чувствительности к начальным условиям. Малейшее воздействие, от которого невозможно избавиться – округление переменной (если это теоретическая модель), ошибка измерения (если это исследование реальной системы) – и система ведет себя совершенно по-другому.

Лоренц приводил наглядный пример: если погода действительно относится к классу настолько чувствительных систем (разумеется, не все системы такие), то взмах крыльев чайки может вызвать заметные изменения погоды. Впоследствии чайка была заменена бабочкой, а в 1972 году появилась работа "Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?".

Так родился знаменитый термин "эффект бабочки", отсылавший и к рассказу Брэдбери и, удивительным образом, к следующему открытию Лоренца – странному аттрактору, названному в его честь.

Лоренц построил похожую, но более простую модель из трех уравнений с тремя переменными. Модель описывала конвекцию в газе и жидкости, а также поведение несложного механического устройства – водяного колеса Лоренца (см. иллюстрацию). Под напором воды, наполняющей емкости (и вытекающей из них сквозь небольшие отверстия), колесо ведет себя удивительно сложным образом: замедляет вращение, ускоряет его, начинает вращаться в другую сторону, останавливается – в общем, как и положено уважающей себя хаотической системе.

Уравнения выглядели следующим образом
dx/dt = s(y - x)
dy/dt = x(r - z) - y
dz/dt = xy - bz
s=10, r=28, b=8/3. Можно брать и другие значения параметров, однако не при всех система будет демонстрировать хаотическое поведение.

Для наглядного отображения поведения системы Лоренц использовал не обычный временной график, а фазовый портрет. Три числа, описывающие состояние системы, обозначали координаты точки в трехмерном пространстве. С каждым шагом на фазовом портрете появлялась новая точка.

Если бы система рано или поздно приходила к полной устойчивости, добавление точек рано или поздно должно было полностью остановиться. Если бы она приходила к периодическим колебаниям, линия из точек образовала бы кольцо. Наконец, если в поведении системы не было бы вообще никаких закономерностей, на фазовом портрете могло бы появиться что угодно.

Результат оказался совершенно неожиданным. Объект, который появился на портрете (см. главную иллюстрацию), располагался в определенных границах, не пересекая их. Он обладал определенной структурой – напоминал два крыла бабочки – но в ее пределах был совершенно неупорядочен. Он не прекращал "развиваться": ни одна новая точка не совпадала с предыдущей, фазовый портрет можно было строить бесконечно. Переход от одного из крыльев к другому соответствовал началу вращения колеса в другую сторону.

Такие объекты – странные аттракторы – сыграли большую роль во фрактальной геометрии и теории хаоса. "Крылья бабочки" получили название "аттрактор Лоренца".

Эффект бабочки: фазовые портреты для трех моментов времени. Желтая и синяя линия представляют собой траектории, соответствующие начальным наборам данных, в которых значения x отличались на 10 -5 . Сначала линии почти совпадают (желтая закрывает с

Второй шок – в этом хаосе, оказывается, спрятан порядок. Неожиданный, странный, плохо понятный, представляющий собой "тонкую структуру, таящуюся в беспорядочном потоке информации" (Дж. Глейк), но тем более интересный. Аттрактор Лоренца не решает проблемы предсказания, но уже само его существование достойно изучения.

Поисками подобных проявлений порядка в хаосе и занимается сравнительно молодая наука – теория хаоса. Она возникла не мгновенно и не имеет одного создателя. Ее основы были заложены в работах Пуанкаре, Колмогорова, Арнольда, Ляпунова, Ландау, Смэйла, Мандельброта, Фейгенбаума и десятков других талантливых ученых, либо увидевших то, что до них никто не видел, либо сумевших описать то, что увидели другие.

Одним же из ключевых моментов (далеко не сразу, кстати, оцененным по достоинству) в ее возникновении считается день, когда Эдвард Нортон Лоренц, любитель погоды и упорный искатель странного, ввел в свою модель значения переменных, округленные до трех знаков после запятой.

И все траектории из некоторой окрестности texvc стремятся к Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): t\to\infty (отсюда название).

Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах Лоренца , исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{cases} \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end{cases}

при следующих значениях параметров: σ=10, r =28, b =8/3, x(0)=1, y(0)=0, z(0)=0. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b , но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

• конвекция в замкнутой петле;
• вращение водяного колеса;
• модель одномодового лазера ;
• диссипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.

Исходная гидродинамическая система уравнений:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{cases} \frac { \partial \vec v }{\partial t} + \left(\vec v \nabla \right) \vec v = -\frac {\nabla p}{\rho} + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g \\ \frac { \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho \vec v \right) = 0 \\ \frac { \partial T }{\partial t} + \nabla \cdot \left(T \vec v \right) = \chi \nabla ^2 T \\ \rho = \rho_0 \left(1 - \gamma \left(T - T_0 \right) \right) \end{cases},

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \vec v - скорость течения, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T - температура жидкости, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_0 - температура верхней границы (на нижней поддерживается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_0 + \Delta T ), Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \rho - плотность, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p - давление, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \vec g - сила тяжести, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \gamma,\ \chi,\ \nu - соответственно коэффициент теплового расширения , коэффициент температуропроводности и кинематической вязкости .

В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска . Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник .

Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.

• Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное число Рэлея , σ - число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
• Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
• Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
• Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в резонаторе лазера, y - поляризация , z - инверсия населённостей энергетических уровней , b и σ - отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность накачки .

Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.

Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.

Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r , так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран , построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.

• r load(draw)$ draw3d(point_size=0.01, points_joined=true, point_type=filled_circle,points(x,y,z))$
  Напишите отзыв о статье "Аттрактор Лоренца"Примечания Литература
  • Кузнецов С. П. , Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // - М.: Физматлит, 2001.
  • Saltzman B . Finite amplitude free convection as an initial value problem. // Journal of the atmospheric science, № 7, 1962 - p. 329-341.
  • Лоренц Э . Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. - М., 1981. - С. 88-116.
  См. также Отрывок, характеризующий Аттрактор Лоренца– Ну, конечно же, об этом упоминалось, Изидора! Да и не только упоминалось... Лучшие художники когда-то рисовали картины, изображая Магдалину, гордо ждущую своего наследника. Только мало что от этого осталось, к сожалению. Церковь не могла допустить такого «скандала», так как это никак не вписывалось в создаваемую ею «историю»... Но кое-что всё же осталось до сих пор, видимо по недосмотру или невнимательности власть имущих, Думающих Тёмных...

  – Как же они могли допустить такое? Я всегда думала, что Думающие Тёмные достаточно умны и осторожны? Это ведь могло помочь людям увидеть ложь, преподносимую им «святыми» отцами церкви. Разве не так?
  – Задумался ли кто-то, Изидора?.. – Я грустно покачала головой. – Вот видишь... Люди не доставляют им слишком большого беспокойства...
  – Можешь ли ты показать мне, как она учила, Север?..
  Я, как дитя, спешила задавать вопросы, перескакивая с темы на тему, желая увидеть и узнать как можно больше за отпущенное мне, уже почти полностью истёкшее, время...
  И тут я снова увидела Магдалину... Вокруг неё сидели люди. Они были разного возраста – молодые и старые, все без исключения длинноволосые, одетые в простые тёмно-синие одежды. Магдалина же была в белом, с распущенными по плечам волосами, покрывавшими её чудесным золотым плащом. Помещение, в котором все они в тот момент находились, напоминало произведение сумасшедшего архитектора, воплотившего в застывшем камне свою самую потрясающую мечту...

  Как я потом узнала, пещера и вправду называется – Кафедральная (Сathedral) и существует до сих пор.
  Пещеры Лонгрив (Longrives), Languedoc

  Это была пещера, похожая на величественный кафедральный собор... который, по странной прихоти, зачем-то построила там природа. Высота этого «собора» достигала невероятных размеров, уносясь прямо «в небо» удивительными, «плачущими» каменными сосульками, которые, где-то наверху слившись в чудотворный узор, снова падали вниз, зависая прямо над головами сидящих... Природного освещения в пещере, естественно, не было. Также не горели и свечи, и не просачивался, как обычно, в щели слабый дневной свет. Но несмотря на это, по всему необычному «залу» мягко разливалось приятное и равномерное золотистое сияние, приходившее неизвестно откуда и позволявшее свободно общаться и даже читать...
  Сидящие вокруг Магдалины люди очень сосредоточенно и внимательно наблюдали за вытянутыми вперёд руками Магдалины. Вдруг между её ладонями начало появляться яркое золотое свечение, которое, всё уплотняясь, начало сгущаться в огромный голубоватый шар, который на глазах упрочнялся, пока не стал похожим на... планету!..
  – Север, что это?.. – удивлённо прошептала я. – Это ведь наша Земля, не так ли?
  Но он лишь дружески улыбнулся, не отвечая и ничего не объясняя. А я продолжала завороженно смотреть на удивительную женщину, в руках которой так просто и легко «рождались» планеты!.. Я никогда не видела Землю со стороны, лишь на рисунках, но почему-то была абсолютно уверена, что это была именно она. А в это время уже появилась вторая планета, потом ещё одна... и ещё... Они кружились вокруг Магдалины, будто волшебные, а она спокойно, с улыбкой что-то объясняла собравшимся, вроде бы совершенно не уставая и не обращая внимания на удивлённые лица, будто говорила о чём-то обычном и каждодневном. Я поняла – она учила их астрономии!.. За которую даже в моё время не «гладили» по голове, и за которую можно было ещё всё так же легко угодить прямиком в костёр... А Магдалина играючи учила этому уже тогда – долгих пятьсот лет тому назад!!!
  Видение исчезло. А я, совершенно ошеломлённая, никак не могла очнуться, чтобы задать Северу свой следующий вопрос...
  – Кто были эти люди, Север? Они выглядят одинаково и странно... Их как бы объединяет общая энергетическая волна. И одежда у них одинаковая, будто у монахов. Кто они?..
  – О, это знаменитые Катары, Изидора, или как их ещё называют – чистые. Люди дали им это название за строгость их нравов, чистоту их взглядов и честность их помыслов. Сами же катары называли себя «детьми» или «Рыцарями Магдалины»... коими в реальности они и являлись. Этот народ был по-настоящему СОЗДАН ею, чтобы после (когда её уже не будет) он нёс людям Свет и Знание, противопоставляя это ложному учению «святейшей» церкви. Они были самыми верными и самыми талантливыми учениками Магдалины. Удивительный и чистый народ – они несли миру ЕЁ учение, посвящая этому свои жизни. Они становились магами и алхимиками, волшебниками и учёными, врачами и философами... Им подчинялись тайны мироздания, они стали хранителями мудрости Радомира – сокровенных Знаний наших далёких предков, наших Богов... А ещё, все они несли в своём сердце негаснущую любовь к их «прекрасной Даме»... Золотой Марии... их Светлой и загадочной Магдалине... Катары свято хранили в своих сердцах истинную историю прерванной жизни Радомира, и клялись сохранить его жену и детей, чего бы им это ни стоило... За что, позже, два столетия спустя, все до одного поплатились жизнью... Это по-настоящему великая и очень печальная история, Изидора. Я не уверен, нужно ли тебе её слушать.
  – Но я хочу узнать о них, Север!.. Скажи, откуда же они появились, все одарённые? Не из долины ли Магов, случаем?
  – Ну, конечно же, Изидора, ведь это было их домом! И именно туда вернулась Магдалина. Но было бы неправильно отдавать должное лишь одарённым. Ведь даже простые крестьяне учились у Катаров чтению и письменности. Многие из них наизусть знали поэтов, как бы дико сейчас для тебя это не звучало. Это была настоящая Страна Мечты. Страна Света, Знания и Веры, создаваемая Магдалиной. И эта Вера распространялась на удивление быстро, привлекая в свои ряды тысячи новых «катар», которые так же яро готовы были защищать даримое им Знание, как и дарившую его Золотую Марию... Учение Магдалины ураганом проносилось по странам, не оставляя в стороне ни одного думающего человека. В ряды Катар вступали аристократы и учёные, художники и пастухи, землепашцы и короли. Те, кто имели, легко отдавали катарской «церкви» свои богатства и земли, чтобы укрепилась её великая мощь, и чтобы по всей Земле разнёсся Свет её Души.
  – Прости, что прерву, Север, но разве у Катар тоже была своя церковь?.. Разве их учение также являлось религией?
  – Понятие «церковь» очень разнообразно, Изидора. Это не была та церковь, как понимаем её мы. Церковью катаров была сама Магдалина и её Духовный Храм. То бишь – Храм Света и Знания, как и Храм Радомира, рыцарями которого вначале были Тамплиеры (Тамплиерами Рыцарей Храма назвал король Иерусалима Болдуин II. Temple – по-французски – Храм.) У них не было определённого здания, в которое люди приходили бы молиться. Церковь катар находилась у них в душе. Но в ней всё же имелись свои апостолы (или, как их называли – Совершенные), первым из которых, конечно же, была Магдалина. Совершенными же были люди, достигшие самых высших ступеней Знания, и посвятившие себя абсолютному служению ему. Они непрерывно совершенствовали свой Дух, почти отказываясь от физической пищи и физической любви. Совершенные служили людям, уча их своему знанию, леча нуждающихся и защищая своих подопечных от цепких и опасных лап католической церкви. Они были удивительными и самоотверженными людьми, готовыми до последнего защищать своё Знание и Веру, и давшую им это Магдалину. Жаль, что почти не осталось дневников катар. Всё, что у нас осталось – это записи Радомира и Магдалины, но они не дают нам точных событий последних трагичных дней мужественного и светлого катарского народа, так как происходили эти события уже спустя две сотни лет после гибели Иисуса и Магдалины.
  – Скажи, Север, как же погибла Золотая Мария? У кого хватило столь чёрного духу, чтобы поднять свою грязную руку на эту чудесную женщину?..
  – Церковь, Изидора... К сожалению, всё та же церковь!.. Она взбесилась, видя в лице катар опаснейшего врага, постепенно и очень уверенно занимавшего её «святое» место. И осознавая своё скорое крушение, уже не успокаивалась более, пытаясь любым способом уничтожить Магдалину, справедливо считая её основным виновником «преступного» учения и надеясь, что без своей Путеводной Звезды катары исчезнут, не имея ни вождя, ни Веры. Церковь не понимала, насколько сильно и глубоко было Учение и Знание катар. Что это была не слепая «вера», а образ их жизни, суть того, ДЛЯ ЧЕГО они жили. И поэтому, как бы ни старались «святые» отцы привлечь на свою сторону катар, в Чистой Стране Окситании не нашлось даже пяди земли для лживой и преступной христианской церкви...
  – Получается, подобное творил не только Караффа?!.. Неужели же такое было всегда, Север?..
  Меня объял настоящий ужас, когда я представила всю глобальную картину предательств, лжи и убийств, которые свершала, пытаясь выжить, «святая» и «всепрощающая» христианская вера!..
  – Как же такое возможно?! Как вы могли наблюдать и не вмешиваться? Как вы могли с этим жить, не сходя с ума, Север?!!
  Он ничего не ответил, хорошо понимая, что это всего лишь «крик души» возмущённого человека. Да и я ведь прекрасно знала его ответ... Потому мы какое-то время молчали, как заблудшие в темноте, одинокие души...
  – Так как же всё-таки погибла Золотая Мария? Можешь ли ты рассказать мне об этом? – не выдержав затянувшейся паузы, снова спросила я.
  Север печально кивнул, показывая, что понял...
  – После того, как учение Магдалины заняло большую половину тогдашней Европы, Папа Урбан II решил, что дальнейшее промедление будет смерти подобно для его любимой «святейшей» церкви. Хорошенько продумав свой дьявольский план, он, не откладывая, послал в Окситанию двух верных «выкормышей» Рима, которых, как «друзей» катар, знала Магдалина. И опять же, как это слишком часто бывало, чудесные, светлые люди стали жертвами своей чистоты и чести... Магдалина приняла их в свои дружеские объятия, щедро предоставляя им еду и крышу. И хотя горькая судьба научила её быть не слишком доверчивым человеком, подозревать любого было невозможно, иначе её жизнь и её Учение потеряли бы всякий смысл. Она всё ещё верила в ДОБРО, несмотря ни на что...

  До настоящего момента мы изучали фракталы, которые являются статическими фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.

  Достаточно скоро стало ясно, что многие хаотические динамические системы, описыващие феномены окружащего нас мира, устроены очень сложно и не могут быть в полной мере представлены традиционными методами математического анализа. По-видимому, нет никакой возможности получить математические выражения для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные ряды или специальные функции.

  Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере.

  Рис. 6.1. Аттрактор Лоренца

  Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:

  

  В дальнейших расчетах параметры постоянны и принимают значения

  Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени.

  

  Рис. 6.2. Результаты численного эксперимента Лоренца

  Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (см. рис. 6.1, 6.2).

  Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий - основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долго статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в опубликованной в 1979 году .

  Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в настоящем тексте не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать наиболее простые модели хаотической динамики. Это означает, что мы ограничимся изучением только дискретных динамических систем, а не непрерывных типа странного аттрактора Лоренца, описанного выше. Но не расстраивайтесь. Обнаружение хаотической динамики в поведении дискретных динамических систем столь же неожиданно, как и в непрерывном случае. Многие известные и эффектные графические примеры соответсвуют именно дискретным системам. В числе их можно упомянуть знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа.

  
  

  Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка - с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимается в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными. Еще один пример хаотичности в природе - лист с любого дерева . Можно утверждать, что вы найдете много похожих листов, например дуба, однако ни одной пары одинаковых писем. Разница определена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).

  Теория хаоса Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью Вселенной, способствующие проявлению ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое отвечает левому полушарию мозга, а второе - правому. Левое полушарие отвечает за сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если..., то...». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга. Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем. История теории хаоса Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако настоящий научное развитие эта теория получил во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B . Mandelbrot). Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. К работе Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок. Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас . Лаплас заявил, что «... если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в или прошлом в будущем ». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации о всех частицы во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас полагал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего. Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре . В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение того же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам нужно, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так может случиться, что малые различия в начальных условиях вызывают очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, развивающийся по воле случая ». В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности . Этот принцип объясняют, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно. Инструменты теории хаоса Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы. Аттрактор (от англ. To attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве в конце длительного времени. То есть аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. Простейшим типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку. Следующим типом аттрактора является предельный цикл, имеющий вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой. Третий тип аттрактора - тор. На рисунке 1 тор показан в верхнем правом углу.
  Рисунок 1 - Основные типы аттракторов Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора. Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно прогнозировать его. И хотя пребывание системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы. Аттрактора Лоренца Первым хаотической аттрактором стал аттрактора Лоренца.
  Рисунок 2 - Хаотический аттрактор Лоренца Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет псевдослучайных (хаотическим) образом. Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциального накопления ошибок и соответственно их стохастическом разногласия. Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расхождение двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов. Сходимость-расхождение (говорят также, составление и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При восхождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации. В результате постоянной сходимости-расхождения хаотического аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука - способностью устанавливать связи между причинами и следствиями - в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет. Здесь же необходимо отметить, что скорость сходимости-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора. Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимости-расходимость траекторий разных систем, что случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.

  Изв. вузов «ПНД», т. 15, № 1, 2007 УДК 517.9

  АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ

  А.М. Мухамедов

  В рамках ранее предложенной модели хаотической динамики сплошной среды получена реализация трехмерного режима пульсаций скорости течения, отвечающего аттрактору типа Лоренца. Решение представляет собой набор структур, определяющих геометрию редуцированного к трехмерному случаю расслоенного многообразия, образованного пульсациями скоростей течения среды. Сама динамика аттрактора Лоренца проявляется в виде временной зависимости пульсаций скоростей вдоль линий тока среднего течения.

  Как известно, один из классических примеров детерминированного хаоса -аттрактор Лоренца - открытый в результате гидродинамических исследований прикладного характера, все еще не получил адекватного воспроизведения в формализме существующей турбулентной механики. В работах автора была высказана гипотеза о том, что классическое гидродинамическое решение этой задачи не может быть получено в принципе, и предложено обоснование такого вывода. В его основе лежало понимание того, что аттракторные модели хаотической динамики затрагивают мезоскопический уровень движения сплошной среды, и что в классических уравнениях Навье - Стокса этот уровень не представлен. Отсюда следовало предложение расширить варианты решения проблемы аттрактора Лоренца за счет явного включения в математический формализм гидродинамики дополнительных мезоструктур, выводящих аппарат этой теории за рамки классических операций с уравнениями Навье - Стокса.

  В настоящее время аттракторные режимы динамики сплошных сред конструируются в рамках моделей, представляющих собой далеко уходящие абстракции движения сплошной среды, почти не использующие представления о механических взаимодействиях частиц среды друг с другом . В одних случаях эти абстракции отображают свойства операторов эволюционного типа, действующих в иерархии вложенных друг в друга гильбертовых пространств. В других случаях они отображают динамику конечномерных систем, воспроизводящих изменения состояний среды, но при этом каждое из состояний актуально представлено всего лишь точкой соответствующего фазового многообразия. Подобное моделирование не отвечает прикладному назначению гидромеханики, требующему воспроизведения всех существенных структур непосредственно, то есть в пространстве, занятом сплошной средой. Если учесть аргументы теоретических и экспериментальных данных в пользу

  существования такого представления , то воспроизведение аттракторов в контексте динамики пространственно-временных характеристик среды представляется настоятельной необходимостью.

  В данной работе строится аттрактор Лоренца в рамках предложенной в модели турбулентной динамики. Согласно этой модели, фазовыми пространствами турбулентных режимов являются расслоения струй пульсаций гидродинамических величин. Геометрия пульсационных расслоений предполагается априори произвольной, определяемой моделируемыми особенностями соответствующих хаотических режимов. Основным объектом моделирования является хаотическая структура, представляющая собой комплекс неустойчивых траекторий движения точек среды. Предполагается, что каждому установившемуся турбулентному режиму отвечает вполне определенная хаотическая структура. В траектории хаотической структуры отождествлялись с множеством интегральных кривых неинтегрируемого (неголономного) распределения типа Пфаффа, заданного на расслоении пульсаций динамических переменных.

  Характерной чертой предложенной модели является способ Лагранжа описания движения среды, не сводящийся, в общем случае, к описанию движения в переменных Эйлера. При этом оказалось, что описание Лагранжа замечательно приспособлено для отображения динамики систем со странными аттракторами. Вместо жестких ограничений парадигмы Эйлера описание Лагранжа накладывает гораздо более мягкие условия, служащие для определения геометрических объектов соответствующих неголономных распределений. Такое изменение акцента моделирования позволяет воспроизводить разнообразные аттракторы в динамике пучков частиц континуальных сред.

  1. Зададимся уравнениями динамики пульсаций трехмодового режима

  (уг + 4 (х,у!)(хк = Аг{х,у^)(И {1,3,к = 1,2,3), (1)

  где хк и уг образуют наборы пространственных и динамических координат расслоения пульсаций, а объекты шгк{х,у^)(хк и Аг{х,у^)М определяют собой характер межмодовых взаимодействий режима. Можно рассматривать эти объекты и само уравнение (1) как правила образования производных от динамических координат по пространственным координатам и времени, определяемых реальной турбулентной эволюцией. Инвариантный геометрический смысл этих объектов состоит в том, что в расслоении пульсаций они определяют объект внутренней связности и вертикальное векторное поле, соответственно.

  Предположим, что введенные выше динамические координаты имеют смысл пульсаций скорости течения среды, то есть актуальная скорость среды может быть разложена на поле скоростей среднего течения и пульсации по формуле

  иг{х,у)= и0 {х)+ уг. (2)

  Уравнения баланса массы и импульса примем в форме стандартного уравнения неразрывности и уравнения Навье - Стокса

  Чр + уДи. (4)

  Данная система уравнений еще не полна, так как в уравнение (4) входит давление, являющееся термодинамической переменной, динамика которой, в общем случае, выходит за рамки кинематики. Для описания пульсаций давления требуются новые динамические координаты, что увеличивает число необходимых степеней свободы для описания соответствующего турбулентного режима движения. Введем новую динамическую переменную, имеющую смысл пульсаций давления, то есть примем

  p(x,y)= po(x)+ y4. (5)

  Таким образом, первоначальный набор требуемых динамических координат для отображения движения сплошной среды является четырехмерным.

  Возможность редукции к трехмерной системе с динамикой, аналогичной динамике системы Лоренца, заключается в том, что в уравнение (4) давление входит в виде градиента. Отсюда следует, что редукция к трехмерной динамике пульсаций скоростей может быть выполнена, если входящий в уравнение (4) градиент давления будет содержать только первые три динамические координаты. Для этого достаточно потребовать, чтобы в уравнениях динамики для четвертой координаты

  dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

  коэффициенты форм связности w4(x,yj)dxk зависели только лишь от первых трех динамических координат. Заметим, что трехмерный режим может оказаться неустойчивым с точки зрения более полного описания, включающего в себя рассмотрение всех возбуждаемых степеней свободы. Тем не менее, мы ограничимся моделированием именно этой априори возможной динамики.

  Рассмотрим условия, накладываемые уравнениями баланса (3), (4) на выражения неизвестных величин wk(x,yj)dxk и Ai(x,yj)dt, входящих в динамическое уравнение (1). Для этого подставим (2) и (5) в (3) и (4), и воспользуемся уравнениями (1) и (6). Для упрощения возникающих выражений будем считать пространственные координаты xk декартовыми. В этом случае можно не различать верхние и нижние индексы, поднимая и опуская их по мере необходимости записи ковариантных выражений. Тогда получим следующие уравнения для коэффициентов уравнения (1)

  dkuk - wj = 0, (7)

  Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)

  где введено обозначение Dj = dj - wk^y.

  Для дальнейшего конкретизируем постановку задачи. Будем рассматривать режим, среднее поле скоростей которого описывает течение простого сдвига

  uk = Ax3à\. (9)

  Кроме того, сделаем предположения и в отношении геометрии расслоенного пространства пульсаций. Будем считать связность расслоения линейной функцией по динамическим координатам, то есть w^ = waj (x)yj (а = 1,..., 4). В этом случае из уравнения (8) сразу следует, что второй объект приобретает полиномиальную по динамическим координатам структуру. А именно, вертикальное векторное поле становится многочленом второго порядка по динамическим координатам, то есть

  Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.

  Таким образом, неизвестными функциями, определяющими уравнение динамики пульсаций рассматриваемого трехмодового режима, являются коэффициенты юак(х), Аг0{х), Агк{х) и А3к{х), для определения которых имеем уравнения (3) и (4). Заметим при этом, что уравнение (4) по существу сводится к определению коэффициентов вертикального векторного поля, тогда как выбор коэффициентов связности ограничивает только лишь уравнение неразрывности (3). Это уравнение оставляет значительный произвол в определении коэффициентов связности, оставляя тем самым широту моделирования пространственной структуры динамики пульсаций, согласованных с выбранным средним течением.

  2. Рассмотрим возможность получения в данной задаче аттрактора типа Лоренца. С этой целью, прежде всего, обсудим разложение актуальных значений скорости на среднюю скорость и пульсации около среднего.

  По смыслу пульсаций их временное среднее должно быть равным нулю, то есть

  (у)т - 0. (10)

  Вместе с тем, пульсации определяются как отклонения актуальных значений скорости от осредненного значения. Если среднее течение считать заданным, то отмеченное обстоятельство не позволяет выбирать в качестве модельного уравнения хаоса произвольную систему уравнений с хаотической динамикой. Для того чтобы переменные модельной системы уравнений можно было рассматривать как пульсации реальных гидромеханических величин, требуется выполнение условий (10). Если же (10) не выполняется, то это означает существование в динамике пульсаций неучтенного дрейфа. Соответственно, принятая модельная система оказывается несогласованной либо с учитываемыми действующими факторами, либо со структурой допускаемого среднего течения.

  Далее, уравнение (1) является в общем случае не вполне интегрируемой системой типа Пфаффа. Свойство неинтегрируемости этого уравнения является принципиально важным, отвечающим характерной для турбулентного движения особенности. А именно, в процессе движения любые макроскопически малые турбулентные образования, частицы, моли, глобулы, утрачивают свою индивидуальность. Эта особенность учитывается неинтегрируемостью уравнения (1). По существу, (1) описывает ансамбль возможных траекторий движения точек континуума, образованного сплошной средой. Эти траектории определены в расслоении пульсаций. Их проекции на пространство, занимаемое сплошной средой, определяют динамику развития пульсаций вдоль соответствующих пространственных кривых. Заметим, что последние могут быть выбраны произвольно, определяя собой возможность рассмотрения динамики пульсаций вдоль любой пространственной кривой.

  Рассмотрим для определенности динамику пульсаций вдоль линий тока среднего течения. Тогда имеем следующие динамические уравнения:

  хг = и0, (11)

  уг + ш)к у3 4 = Аг. (12)

  Прежде чем рассматривать эту систему, преобразуем ее к безразмерным переменным. Для этого в исходном уравнении (4) вместо коэффициента вязкости введем

  число Рейнольдса. Затем устраним явную зависимость от этого числа с помощью замены