Построить проекции очерков конической поверхности. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже. Применение способа секущих плоскостей в случаях линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма

Поверхностью называют множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим , представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющей собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие m можно поменять местами, но при этом поверхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами. Так, прямой круговой цилиндр (рис. 85) можно создать вращением образующей l вокруг оси i, ей параллельной. Тот же цилиндр образуется перемещением окружности m с центром в точке O, скользящим по оси i. Любая кривая k, лежащая на поверхности цилиндра, образует эту поверхность при своем вращении вокруг оси i.

На практике из всех возможных способов образования поверхности выбирают наиболее простой.

В зависимости от образующей формы все поверхности можно разделить на линейчатые , у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые , у которых образующая кривая линия.

В линейчатых поверхностях выделяют поверхности развертывающиеся, совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности - неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Для задания поверхностей выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность условий называется определителем поверхности .

Определитель состоит из двух частей: геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними, и алгоритмической, содержащей последовательность и характер операций перехода от основных постоянных элементов и величин к переменным элементам поверхности, т. е. закон построения отдельных точек и линий данной поверхности.

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86).

При проецировании поверхности Ω на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l, которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности. На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П 1 - горизонтальный очерк, на П 2 - фронтальный очерк, на П 3 - профильный очерк. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Из существенного множества поверхностей в курсе инженерной графики будут рассмотрены все развертывающиеся поверхности, к которым относятся гранные, конические, цилиндрические, торсовые, некоторые поверхности вращения и винтовые.

Простейшей поверхностью, широко используемой в инженерной графике, является плоскость, представляющая собой поверхность, образованную перемещением прямолинейной образующей (рис. 87) по двум параллельным или пересекающимся прямым m 1 и m 2 .

Касательные плоскости широко применяются при решение различных позиционных задач на поверхности.

1. Построение касательных плоскостей к поверхностям является основой теорией теней. При построении теней касательные плоскости к поверхностям строят или проходящими через точку, лежащую на поверхности, или параллельными заданному направлению.

2. Касательными плоскостями к поверхностям конуса и цилиндра, параллельными заданному направлению, пользуются для определения наиболее близкой и наиболее удаленной от плоскостей проекций точек кривой линии пересечения этих тел плоскостью общего положения, не строя эти кривые (см. Бубеннщив § 68).

3. Касательные плоскости используют при построении соприкасающихся однополосных гиперболоидов вращения при проектировании гиперболических зубчатых колес. В передачах с перекрещивающимися валами. (см. Бубеннщив § 68)

4. Касательные плоскости применяются и при построении очертаний поверхностей (очерков).

Рассмотрим эту задачу более подробно.

Как известно, очерк поверхности (тела) получается как проекция контурной линии на заднюю плоскость проекций (например П 1) (см. рис. 7.5). Напомним, что контурная линия – это линия, по которой множество плоскостей Р, перпендикулярных плоскости П 1 , касаются данного тела Т (рис. 10.13) . Огибающей этого семейства касательных плоскостей будет некоторая цилиндрическая лучевая поверхность Ф, тоже перпендикулярная П 1 .

Рисунок 10.13

Контурная линия m делит тело на две части, одна из которых видимая на заданной плоскости проекций П 1 , а другая невидимая. В любой точке на контурной линии обе поверхности – тело и цилиндрическая лучевая – имеют общую касательную плоскость Р. Линия пересечения m 1 лучевой цилиндрической поверхности Ф с плоскостью П 1 и является очерком тела . Если при этом принять, что цилиндрическая лучевая поверхность состоит из световых лучей, касающихся непрозрачного тела, то очерк тела – линия, ограничивающая тень тела на плоскости П 1 . Эту линию на плоскостях проекций называют также линией видимости .

На рисунке 10.13 видно, что очерком шара плоскости П 1 будет проекция экватора m (m 1), которая на плоскость П 2 спроецируется в виде прямой параллельной оси ОХ. Очерком шара на плоскости П 2 будет проекция его главного меридиана.

На рисунке 10.14 будет прямоугольник (главный меридиан). Очерк на плоскости П 1 определяется двумя касательными лучевыми плоскостями перпендикулярными к плоскости П 1 . Эти плоскости касаются цилиндра по двум крайним образующим АВ и СD, проекции которых на плоскости П 2 совпадают. Горизонтальные проекции А 1 В 1 и С 1 D 1 вместе с наружными поверхностями (проекциями кругов оснований) и определяют очерк цилиндра на плоскости П 1 .

Рисунок 10.14

В общем случае для построения очерка тела на плоскости П 1 надо сначала на плоскости П 2 построить проекцию контурной линии, по которой тело обертывается цилиндрической лучевой поверхностью, а затем спроецировать ее на плоскость П 1 .

Построение контурной линии проще всего осуществить с помощью вписанных сфер.

Пример 8 . Построить на горизонтальной проекции очерк конуса, ось которого i параллельна плоскости П 2 и наклонена к плоскости П 1 . (рис. 10.15)

Решение . Не трудно видеть, что очерк конуса на плоскости П 2 , ограниченный главным меридианом m, полностью задает форму поверхности конуса.

Рисунок 10.15

А для построения горизонтального очерка из любой точки С (С 2) лежащей на оси i, проводим сферу, касающуюся конуса по окружности k (k 2). Ее фронтальная проекция является прямой перпендикулярной оси (i 2), как соосные тела.

Проводим через центр сферы экватор q 2 и находим точку А 2 его пересечение с окружностью k 2 . Соединив точки S 2 и А 2 получим контурную линию. Спроецировав точку А 2 на горизонтальную проекцию экватора получим две точки А 1 , которые вместе с вершиной S 1 и задают горизонтальный очерк контура n 1 . Заметим, что фронтальная проекция n 2 горизонтального очерка не совпадает с проекцией оси i 2 .

Пример 9 . Построить на горизонтальной проекции П 1 Очерк деталей вращения, ось I которой параллельна плоскости П 2 и наклонена к плоскости П 1 . Поверхность детали состоит из конуса вращения (S, k) и тора, образующей которого является дуга окружности радиусом R с центром в точке О . (рис. 10.16)

Рисунок 10.16

Решение :

1. Очерк фронтальной проекции – это главный меридиан – полностью задает форму детали.

2. Очерк горизонтальной проекции составляется из эллипса верхнего основания, пространственной кривой и очерка конуса.

3. Эллипс строим по двум осям – малой 1 1 2 1 и большой 1 2 2 2 .

4. Очерк конуса строим по примеру 8 (рис. 10.15).

6. Для построения контурной линии на поверхности тора впишем в него ряд сфер. Центры сфер С 2 лежат в точках пересечения оси вращения i 2 с радиусом R, проведенным из точки О 2 к меридиану. Сферы касаются тора по параллелям k 2 .

7. Плоскости, касательные к тору, являются касательными и вспомогательных сфер в точках А 2 пересечения экваторов q 2 сфер параллелями k 2 .

8. Горизонтальные проекции А 1 этих точек определяются в пересечении линий связи с горизонтальной проекцией экватора q1.

9. Аналогичными построениями находят еще ряд точек (например В 2). Множество точек образуют контурную пространственную кривую l 2 .

10. Горизонтальная проекция l 1 даст очертания тора.

11. Итак, очерком детали является составная плоская кривая из очерков контура n 1 , тора l 1 и эллипса.

На рис. 354 изображен прямой круговой конус, ось которого параллельна пл. π 2 и наклонена к пл. π 1 Очерк его фронтальной проекции задан: это равнобедренный треугольник S"D"E". Требуется построить очерк горизонтальной проекции.

Искомый очерк составляется из части эллипса и двух касательных к нему прямых. В самом деле, конус в заданном его положении проецируется на пл. π 1 при помощи поверхности эллиптического цилиндра, образующие которого проходят через точки окружности основания конуса, и при помощи двух плоскостей, касательных к поверхности конуса.

Эллипс на горизонтальной проекции можно построить по двум его осям: малой D"E" и большой, равной по своей величине D"E" (диаметру окружности основания конуса). Прямые S"B" и S"F" получатся, если провести из точки S" касательные к эллипсу. Построение этих прямых заключается в отыскании проекций тех образующих конуса, по которым происходит соприкосновение конуса и упомянутых выше плоскостей. Для этого использована сфера, вписанная в конус. Так как проецирующая на π 1 плоскость одновременно касается конуса и сферы, то можно провести касательную из точки S" к окружности - проекции экватора сферы - и принять эту касательную за проекцию искомой образующей. Построение можно начать с отыскания точки А" - фронтальной проекции одной из точек искомой образующей. Точка А" получается при пересечении фронтальных проекций: 1) окружности касания конуса и сферы (прямая M"N") и 2) экватора сферы (прямая К"L"). Теперь можно найти проекцию А" на горизонтальной проекции экватора и через точки S" и А" провести прямую - горизонтальную проекцию искомой образующей. На этой прямой определяется и точка В, горизонтальная проекция которой (точка В") есть точка касания прямой с эллипсом.

С построением очерков проекций конуса вращения мы встречаемся, например, в таком случае: даны проекции вершины конуса (S", S"), направление его оси (SK), размеры высоты и диаметра основания; построить проекции конуса. На рис. 355 это сделано при помощи дополнительных плоскостей проекций.

Так, для построения фронтальной проекции введена пл. π 3 , перпендикулярная к π 2 и параллельная прямой SK, определяющей направление оси конуса. На проекции S""K"" отложен отрезок S""C"", равный заданной высоте конуса. В точке С"" проведен перпендикуляр к S""C"", и на нем отложен отрезок C""B"", равный радиусу основания конуса. По точкам C"" и B"" получены точки C" и B" и тем самым получена малая полуось C"B" эллипса- фронтальной проекции основания конуса. Отрезок C"A" , равный C""B"", представляет собой большуюполуось этого эллипса. Имея оси эллипса, можно его построить так, как былопоказано на рис. 147.

Для построения горизонтальной проекции введена плоскость проекций π 4 , перпендикулярная к π 1 и параллельная SK. Ход построения аналогичен описанному для фронтальной проекции.

Как же построить очерки проекции? На рис. 356 показан иной, чем на рис. 354, способ проведения касательной к эллипсу - без вписанной в конус сферы.

Сначала радиусом, равным малой полуоси эллипса, из его центра проведена дуга (на рис. 356 это четверть окружности). Определяется точка 2 пересечения этой дуги с окружностью диаметра S"C". Из точки 2 проведена прямая параллельно большой оси эллипса; эта

прямая пересекает эллипс в точках К" 1 и К 2 . Теперь остается провести прямые S"К" 1 и S" К" 2 они являются касательными к эллипсу и входят в очерк фронтальной проекции конуса.

На рис. 357 изображено тело вращения с наклонной осью, параллельной пл. π 2 .Это тело ограничено комбинированной поверхностью, состоящей из двух цилиндров, поверхности кругового кольца и двух плоскостей. Очерк фронтальной проекции этого тела - его главный меридиан.

Очерк горизонтальной проекции верхней цилиндрической части данного тела составляется из эллипса и двух касательных к нему прямых. Прямая А"В" является горизонтальной проекцией образующей цилиндра, по которой проецирующая на π 1 плоскость касается поверхности цилиндра. Это же относится и к очерку проекции нижнего цилиндра (на рис. 357 этот очерк изображен не полностью).

Переходим к более сложной части очерка - промежуточной. Мы должны построить горизонтальную проекцию той пространственной кривой линии, в точках которой проходят проецирующие прямые, касательные к поверхности кругового кольца и перпендикулярные к пл. π 1 . Фронтальная проекция каждой точки такой кривой построена таким способом, как это было сделано для точки А" на рис. 354,- при помощи вписанных сфер. Горизонтальные проекции точек определяются на проекции экватора соответствующей сферы. Так построена, например, точка D 1 (D" 1 , D" 1).

Точки К" 1 и К" 2 получаются по точке К" 1 (она же К" 2) на экваторе сферы с центром О, а эта точка К" 1 (К" 2) получается при проведении линии связи, касательной к построенной кривой B"D" 1 C".

Итак, кривая B"D" 1 K" 1 содержит фронтальные проекции точек, горизонтальные проекции которых В", D" 1 , К" 1 входят в очерк горизонтальной проекции рассматриваемого тела.

Вопросы к §§ 53-54

Что называется плоскостью, касательной к кривой поверхности в данной точке этой поверхности?
Что называется обыкновенной (или правильной) точкой поверхности?
Как построить плоскость, касательную к кривой поверхности в некоторой ее точке?
Что называется нормалью к поверхности?
Как построить плоскость, касательную к сфере в какой-либо точке на сфере?
В каком случае кривая поверхность относится к числу выпуклых?
Может ли плоскость, касательная к кривой поверхности в какой-либо точке этой поверхности, пересекать последнюю? Укажите пример пересечения по двум прямым.
Как используются сферы, вписанные в поверхность вращения, ось которой параллельна пл. π 2 , для построения очерка проекции этой поверхности на пл. π 1 , по отношению к которой ось поверхности вращения наклонена под острым углом?
Как провести касательную к эллипсу из точки, лежащей на продолжении его малой оси?
В каком случае очерки проекций цилиндра вращения и конуса вращения будут совершенно одинаковыми на пл. π 1 , и пл. π 2 ?

Основные понятия и определения

Поверхность как объект инженерного исследования может быть задана следующими основными способами: а) уравнением; б) каркасом; в) определи гелем; г) очерком.

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида F (х,у, z) = 0.

В начертательной геометрии поверхность на чертеже задается каркасом, определителем, очерком.

При каркасном способе поверхность задастся совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей. Этот способ используется при проектировании кузовов автомобилей, в самолето - и судостроении, в топофафии и т. п.

Поверхность, образованная движущейся в пространстве линией, на чертеже может быть задана определителем поверхности.

Определителем поверхности называется совокупность геометрических фигур и связей между ними. позволяющих однозначно образовать поверхность в пространстве и задать ее на чертеже.

Способ образования поверхности движущейся в просфанстве линией называют кинематическим.

Линию, образующую при своем движении в пространстве данную поверхность называют образующей (производящей).

Образующая при своем движении может изменять свою форму или оставаться неизменной. Закон перемещения образующей можно, в частности, задать неподвижными линиями, на которые при своем движении опирается образующая. Эти линии называются направляющими.

На чертеже при задании поверхности ее определителем строятся проекции направляющих линий, указывается, как находятся проекции образующей линии. Построив ряд положений образующей линии, получим каркас поверхности. Пример образования поверхности кинематическим способом показан на рис. 96.

В качестве образующей а этой поверхности взята плоская кривая. Закон перемещения образующей задан двумя направляющими m и n и плоскостью а . Образующая а скользит по направляющим, все время оставаясь параллельной плоскости a .

Различают геометрическую и алгоритмическую часть определителя поверхности. Определитель имеет следующую форму записи Ф(Г) [ А ] , где Ф - обозначение поверхности; (Г) -геометрическая часть определителя, в ней перечисляются все геометрические фигуры, участвующие в образовании поверхности и задании ее на чертеже; [А ] - алгоритмическая часть определителя - в ней записывается алгоритм формирования поверхности.

Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или се основных свойств. В общем случае одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами, поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована четырьмя способами (рис. 97):

а) как след, оставляемый в пространстве прямой а при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,а).

Определитель поверхности - Ф (а,m) [ A 1 ] :

б) как след, оставляемый в пространстве кривой линией b при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,6).

Определитель поверхности - Ф (b,m) [ A 2 ] ;

в) как след, оставляемый в пространстве окружностью с при поступательном перемещении ее центра О вдоль оси m . при этом плоскость окружности все время остается перпендикулярной к этой оси (рис. 97,в).

Определитель поверхности - Ф (а,m) [ A 3 ] :

г) как огибающую всех положений сферической поверхности р постоянного радиуса, центр которой перемещается по оси m (рис.97,г).

Определитель поверхности -Ф (p,m) [ A 4 ].

Наиболее простым из рассматриваемых будет определитель Ф (а,m) [ A 1 ] .

Задание поверхности на чертеже каркасом или определителем не всегда обеспечивает наглядность ее изображения. В некоторых случаях поверхность целесообразнее задавать ее очерком.

Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилиндрической поверхности, огибающей заданную поверхность.

По известному уравнению поверхности или се определителю, или очерку всегда можно построить каркас поверхности.

Многообразие поверхностей требует их систематизации. Для поверхностей, образованных кинематическим способом в основу систематизации положен их определитель.

В зависимости от вида образующей поверхности разделяются на два класса:

класс 1 - поверхности нелинейчатые (образующая - кривая линия);

класс 2 - поверхности линейчатые (образующая - прямая линия).

Поверхности нелинейчатые

Поверхности нелинейчатые подразделяют на поверхности с образующей переменного вида (изменяющей свою форму в процессе движения) и на поверхности с образующей постоянного вида.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей переменного вида относятся:

1. Поверхность общего вида . Такая поверхность образуется перемещением образующей переменного вида а по криволинейной направляющей т (рис. 98).

2. Каналовая поверхность . Эта поверхность образуется движением плоской замкнутой линии, плоскость которой определенным образом ориентирована в пространстве (рис. 99).

Площадь, ограниченная образующей, монотонно изменяется в процессе ее движения но направляющей. Например, каналовую поверхность имеет переходный участок, соединяющий два трубопровода разной формы.

3. Циклическая поверхность - частный случай каналовой поверхности, когда образующая - окружность, радиус которой монотонно изменяется (рис. 100).

Примером циклической поверхности может быть корпус духового музыкального инструмента.

Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей постоянного вида относятся:

1. Поверхность общего вида . Такая поверхность может быть образована движением произвольной кривой линии а по направляющей m (рис. 101).

2. Трубчатая поверхность . Образующей трубчатой поверхности является окружность постоянного радиуса. Плоскость окружности при ее движении остается перпендикулярной к направляющей (рис. 102).

Примером трубчатой поверхности может быть поверхность проволоки круглого сечения.

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности образуются движением прямой (образующей) по заданному закону. В зависимости от закона движения образующей получаем различные линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся:

1. Поверхность косого цилиндра . Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим (рис. 103).

2. Поверхность дважды косого цилиндроида . Эта поверхность образуется в том случае, когда две направляющие кривые, а третья -прямая линия (рис. 104).

3. Поверхность дважды косого коноида получается в том случае, когда одна из направляющих - кривая, а две других - прямые линии (рис. 105).

4. Поверхность однополостного гиперболоида образуется в случае, когда направляющие - три скрещивающиеся прямые, параллельные одной плоскости. Пример. Найти недостающие проекции точек А" и В" принадлежащих поверхности однополостного гиперболоида (рис. 106).

P e ш е н и е. Для определения недостающей проекции точки, воспользуемся признаком принадлежности ее поверхности: точка принадлежит поверхности; если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Для данной линейчатой поверхности при построении проекций образующей сначала задается ее горизонтальная проекция, а затем находится фронтальная. Поэтому через известную горизонтальную проекцию точки A" проводим проекцию образующей а" 2 , определяем ее фронтальную проекцию а 2 " , на которой по линии связи найдем искомую фронтальную проекцию точки A" .

Для определения недостающей горизонтальной проекции точки В" выполним следующие построения:

1. Построим ряд образующих заданной поверхности a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 .

2. На фронтальной плоскости проекций через известную проекцию точки В" проведем проекцию вспомогательной линии b" принадлежащей заданной поверхности и пересекающей образующие.

3. По известным фронтальным проекциям точек пересечения проекции линии b" с образующими а 1 ", а 2 ", а 3 ", а 4 " найдем горизонтальные проекции этих точек. Соединив их плавной линией, построим горизонтальную проекцию вспомогательной линии b" на которой по линии связи найдем искомую проекцию точки В" .

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся, например, поверхности гребных винтов судов и пропеллеров самолетов. В архитектуре и строительстве они используются при возведении крытых зданий стадионов, рынков, вокзалов.

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

К линейчатым поверхностями с двумя направляющими плоскостью параллелизма относятся:

1. Поверхность прямого цилиндроида . Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по двум направляющим m и n в том случае, когда они - гладкие кривые линии, причем одна из них - плоская кривая, плоскость которой β перпендикулярна плоскости параллелизма a (n ⊂ β, β ⊥ a) (рис. 107).

2. Поверхность прямого коноида . Эта поверхность получается в том случае, когда одна направляющая - кривая линия, а вторая -прямая, причем она перпендикулярна плоскости параллелизма

a(n ⊥ a) (рис. 108). Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.

3. . Такая поверхность образуется в том случае, когда две направляющие - скрещивающие прямые (рис. 109). Поверхность косой плоскости применяется в инженерно - строительной практике для формирования поверхностей откосов, насыпей, железнодорожных и автомобильных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в местах сопряжения имеющих различные углы наклона.

Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсы)

Торсы являются развертываемыми поверхностями - они могут быть совмещены с плоскостью без складок и разрывов. К торсовым поверхностям относятся:

1. Поверхность с ребром возврата . Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, во всех своих положениях касательной к пространственной кривой, называемой ребром возврата.

2. Цилиндрическая поверхность . Данная поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и остающейся параллельной своему исходному состоянию (рис.110).

3. Коническая поверхность . Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и проходящей во всех своих положениях через одну и ту же неподвижную точку S (рис. 111).

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую вращением какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой - оси вращения поверхности .

Плоскости, перпендикулярные оси вращения, пересекают поверхность по окружностям - параллелям. Наименьшую параллель называют горлом, наибольшую - экватором.

Па рис. 112 показана поверхность вращения. Здесь образующей является плоская кривая ABCD , ось вращения i расположена в одной плоскости с этой кривой.

Линии, по которым плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность называют меридианами. Каждый меридиан разделяется на две симметричные относительно оси вращения линии, называемые полумеридианами. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций, называют главным меридианом.

Основные свойства поверхности вращения:

1. Отрезок меридиана между двумя точками поверхности есть кратчайшее расстояние между этими точками.

2. Все меридианы равны между собой.

3. Каждая из параллелей поверхности вращения пересекает меридианы под прямым углом.

4. Любая из нормалей к поверхности вращения пересекает ось вращения поверхности.

Поверхности вращения на чертеже удобно задавать очерками, проекциями ее характерных линий и точек. Фронтальным очерком поверхности вращения является фронтальная проекция главного меридиана, а горизонтальным - горизонтальная проекция экватора.

Рассмотрим основные виды поверхностей вращения:

1. Цилиндр вращения . Эта поверхность может быть получена вращением прямой, параллельной оси вращения i (рис. 113).

2. Конус вращения . Поверхность конуса вращения может быть получена вращением прямой, пересекающей ось вращения i (рис. 114).

3. Сфера . Образующая сферы - окружность, центр которой О находится на оси вращения i (рис. 115).

4. Top. Образующая тора - окружность или ее дуга. Ось вращения i лежит в плоскости этой окружности, но не проходит через ее центр (рис.116, 117).

Различают открытый тор (круговое кольцо) (рис. 116,117,а), закрытый (рис. 117, б), самопересекающийся (рис. 117, в, г).

Образующей для открытого (рис. 116,117,а) и закрытого тора (рис. 117,6) служит окружность, для самопересекающегося (рис. 117, в, г) -дуга окружности.

5. Параболоид вращения . Такая поверхность образуется при вращении параболы вокруг ее оси (рис. 118). Поверхность параболоида используется в параболических антеннах и зеркалах рефлекторов.

6. Гиперболоид вращения . Эта поверхность образуется при вращении гиперболы вокруг оси. Различают двуполостный и однополостный гиперболоид вращения . Для двуполостного гиперболоида вращения осью вращения служит действительная ось гиперболы (рис. 119),

для однополостного гиперболоида (рис. 120) - ее мнимая ось. Однополостный гиперболоид вращения также может быть образован вращением прямой линии в случае, если образующая и ось вращения -скрещивающиеся прямые.

Положение точки на поверхности вращения определяется с помощью окружности, которая проходит на поверхности вращения через эту точку (см. рис.114-116). В случае линейчатых поверхностей вращения (цилиндр, конус) возможно использование для этой цели прямолинейных образующих (см. рис. 113,114).

Винтовые линейчатые поверхности

Винтовой линейчатой поверхностью называется поверхность. образуемая винтовым перемещением прямой .

Винтовое перемещение образующей AВ характеризуется вращением ее вокруг оси i и одновременным поступательным движением, параллельным этой оси (рис. 121). Закон перемещения образующей определяется видом винтовой линии (ее направлением, диаметром и шагом) и характером перемещения образующей по направляющей.

На практике чаще всего встречаются винтовые линейчатые поверхности с постоянным шагом направляющей линии. Такие винтовые поверхности называются геликоидами.

Если угол наклона образующей к оси вращения равен 90°, то геликоид называется прямым, если этот угол произвольный, отличный от 0 и 90°, то геликоид называется косым (наклонным). Прямые и косые геликоиды могут быть открытыми и закрытыми. У открытого геликоида образующая и ось вращения - скрещивающиеся прямые, у закрытого пересекающиеся прямые. На рис. 121 построен каркас прямого закрытого геликоида.

Винтовые поверхности широко используются в технике. Винты, пружины, сверла, шнеки для перемещения сыпучих материалов, винтовые лестницы - все они имеют винтовые поверхности.

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении любой кривой вокруг оси i (рис. 103).

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором . Экватор определяет горизонтальный очерк поверхности, если i ⊥ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами . Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом ; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h 4 .

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка А на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а).

Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. , ). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис.). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. ), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходят через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. ) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.