Метод наименьших квадратов для функции. Примеры решения конкретных задач. Список использованных источников

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x . В результате измерений получается ряд значений:

x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. 2 была наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда

y = kx или y = a + bx.

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ 2 , то на графике строят зависимость n от λ -2 .

Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой

Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум

или
(19)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом

, (20)
где – n число измерений.

Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x i , y i найти наилучшие значения a и b.

Снова составим квадратичную форму φ , равную сумме квадратов отклонений точек x i , y i от прямой

и найдем значения a и b , при которых φ имеет минимум

;

.

Совместное решение этих уравнений дает

(21)

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны

(23)

.  (24)

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (19)–(24). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.

Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 5 .

Таблица 5

По формуле (19) определяем:

.

Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (20)

0.005775 кг -1 · м -2 .

По формуле (18) имеем

S J = (2.996 · 0.005775)/0.3337 = 0.05185 кг · м 2 .

Задавшись надежностью P = 0.95 , по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м 2 .

Результаты запишем в виде:

J = (3.0 ± 0.2) кг · м 2 ;

Пример 2. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Свободный член определяет сопротивление R 0 при температуре 0° C , а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R 0 .

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 6 ).

Таблица 6

По формулам (21), (22) определяем

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом .

Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (18) имеем:

.

Пользуясь формулами (23), (24) имеем

;

0.014126 Ом .

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град -1 .

α = (23 ± 4) · 10 -4 град -1 при P = 0.95.

Пример 3. Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона r m и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

где d 0 – толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы),

λ – длина волны падающего света.

λ = (600 ± 6) нм;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

тогда уравнение примет вид y = a + bx .

Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 7 .

Таблица 7

Сущность метода наименьших квадратов заключается в отыскании параметров модели тренда, которая лучше всего описывает тенденцию развития какого-либо случайного явления во времени или в пространстве (тренд – это линия, которая и характеризует тенденцию этого развития). Задача метода наименьших квадратов (МНК) сводится к нахождению не просто какой-то модели тренда, а к нахождению лучшей или оптимальной модели. Эта модель будет оптимальной, если сумма квадратических отклонений между наблюдаемыми фактическими величинами и соответствующими им расчетными величинами тренда будет минимальной (наименьшей):

где - квадратичное отклонение между наблюдаемой фактической величиной

и соответствующей ей расчетной величиной тренда,

Фактическое (наблюдаемое) значение изучаемого явления,

Расчетное значение модели тренда,

Число наблюдений за изучаемым явлением.

МНК самостоятельно применяется довольно редко. Как правило, чаще всего его используют лишь в качестве необходимого технического приема при корреляционных исследованиях. Следует помнить, что информационной основой МНК может быть только достоверный статистический ряд, причем число наблюдений не должно быть меньше 4-х, иначе, сглаживающие процедуры МНК могут потерять здравый смысл.

Инструментарий МНК сводится к следующим процедурам:

Первая процедура. Выясняется, существует ли вообще какая-либо тенденция изменения результативного признака при изменении выбранного фактора-аргумента, или другими словами, есть ли связь между «у » и «х ».

Вторая процедура. Определяется, какая линия (траектория) способна лучше всего описать или охарактеризовать эту тенденцию.

Третья процедура.

Пример . Допустим, мы имеем информацию о средней урожайности подсолнечника по исследуемому хозяйству (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Поскольку уровень технологии при производстве подсолнечника в нашей стране за последние 10 лет практически не изменился, значит, по всей видимости, колебания урожайности в анализируемый период очень сильно зависели от колебания погодно-климатических условий. Действительно ли это так?

Первая процедура МНК. Проверяется гипотеза о существовании тенденции изменения урожайности подсолнечника в зависимости от изменения погодно-климатических условий за анализируемые 10 лет.

В данном примере за «y » целесообразно принять урожайность подсолнечника, а за «x » – номер наблюдаемого года в анализируемом периоде. Проверку гипотезы о существовании какой-либо взаимосвязи между «x » и «y » можно выполнить двумя способами: вручную и при помощи компьютерных программ. Конечно, при наличии компьютерной техники данная проблема решается сама собой. Но, чтобы лучше понять инструментарий МНК целесообразно выполнить проверку гипотезы о существовании связи между «x » и «y » вручную, когда под рукой находятся только ручка и обыкновенный калькулятор. В таких случаях гипотезу о существовании тенденции лучше всего проверить визуальным способом по расположению графического изображения анализируемого ряда динамики - корреляционного поля:

Корреляционное поле в нашем примере расположено вокруг медленно возрастающей линии. Это уже само по себе говорит о существовании определенной тенденции в изменении урожайности подсолнечника. Нельзя говорить о наличии какой-либо тенденции лишь тогда, когда корреляционное поле похоже на круг, окружность, строго вертикальное или строго горизонтальное облако, или же состоит из хаотично разбросанных точек. Во всех остальных случаях следует подтвердить гипотезу о существовании взаимосвязи между «x » и «y », и продолжить исследования.

Вторая процедура МНК. Определяется, какая линия (траектория) способна лучше всего описать или охарактеризовать тенденцию изменения урожайности подсолнечника за анализируемый период.

При наличии компьютерной техники подбор оптимального тренда происходит автоматически. При «ручной» обработке выбор оптимальной функции осуществляется, как правило, визуальным способом – по расположению корреляционного поля. То есть, по виду графика подбирается уравнение линии, которая лучше всего подходит к эмпирическому тренду (к фактической траектории).

Как известно, в природе существует огромное разнообразие функциональных зависимостей, поэтому визуальным способом проанализировать даже незначительную их часть - крайне затруднительно. К счастью, в реальной экономической практике большинство взаимосвязей достаточно точно могут быть описаны или параболой, или гиперболой, или же прямой линией. В связи с этим, при «ручном» варианте подбора лучшей функции, можно ограничиться только этими тремя моделями.

Парабола второго порядка: :

Нетрудно заметить, что в нашем примере лучше всего тенденцию изменения урожайности подсолнечника за анализируемые 10 лет характеризует прямая линия, поэтому уравнением регрессии будет уравнение прямой.

Третья процедура. Рассчитываются параметры регрессионного уравнения, характеризующего данную линию, или другими словами, определяется аналитическая формула, описывающая лучшую модель тренда.

Нахождение значений параметров уравнения регрессии, в нашем случае параметров и , является сердцевиной МНК. Данный процесс сводится к решению системы нормальных уравнений.

(9.2)

Эта система уравнений довольно легко решается методом Гаусса. Напомним, что в результате решения, в нашем примере, находятся значения параметров и . Таким образом, найденное уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.

Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов. Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b , приравниваем эти производные к нулю.

Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).

При данных а и b функция принимает наименьшее значение.

Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммы , , , и параметр n - количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a .

Основная сфера применения таких полиномов - обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул). Дело в том, что интерполяционный полином, построенный по значениям функции, полученным с помощью эксперимента, будет испытывать сильное влияние "экспериментального шума", к тому же при интерполировании узлы интерполяции не могут повторяться, т.е. нельзя использовать результаты повторных экспериментов при одинаковых условиях. Среднеквадратичный же полином сглаживает шумы и позволяет использовать результаты многократных экспериментов.

Численное интегрирование и дифференцирование. Пример.

Численное интегрирование – вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное дифференцирование – совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции.

Интегрирование

Постановка задачи. Математическая постановка задачи: необходимо найти значение определенного интеграла

где a, b - конечны, f(x) - непрерывна на [а, b].

При решении практических задач часто бывает, что интеграл неудобно или невозможно взять аналитически: он может не выражаться в элементарных функциях, подынтегральная функция может быть задана в виде таблицы и пр. В таких случаях применяют методы численного интегрирования. Численные методы интегрирования используют замену площади криволинейной трапеции на конечную сумму площадей более простых геометрических фигур, которые могут быть вычислены точно. В этом смысле говорят об использовании квадратурных формул.

В большинстве методов используется представление интеграла в виде конечной суммы (квадратурная формула):

В основе квадратурных формул лежит идея замена на отрезке интегрирования графика подынтегрального выражения функциями более простого вида, которые легко могут быть проинтегрированы аналитически и, таким образом, легко вычислены. Наиболее просто задача построения квадратурных формул реализуется для полиномиальных математических моделей.

Можно выделить три группы методов:

1. Метод с разбиением отрезка интегрирования на равные интервалы. Разбиение на интервалы производится заранее, обычно интервалы выбираются равными (чтобы легче было вычислить функцию на концах интервалов). Вычисляют площади и суммируют их (методы прямоугольников, трапеции, Симпсона).

2. Методы с разбиением отрезка интегрирования с помощью специальных точек (метод Гаусса).

3. Вычисление интегралов с помощью случайных чисел (метод Монте-Карло).

Метод прямоугольников. Пусть функцию (рисунок) необходимо проинтегрировать численным методом на отрезке . Разделим отрезок на N равных интервалов. Площадь каждой из N криволинейных трапеций можно заменить на площадь прямоугольника.

Ширина всех прямоугольников одинакова и равна:

В качестве выбора высоты прямоугольников можно выбрать значение функции на левой границе. В этом случае высота первого прямоугольника составит f(a), второго – f(x 1),…, N-f(N-1).

Если в качестве выбора высоты прямоугольника взять значение функции на правой границе, то в этом случае высота первого прямоугольника составит f(x 1), второго – f(x 2), …, N – f(x N).

Как видно, в этом случае одна из формул дает приближение к интегралу с избытком, а вторая с недостатком. Существует еще один способ – использовать для аппроксимации значение функции в середине отрезка интегрирования:

Оценка абсолютной погрешности метода прямоугольников (середина)

Оценка абсолютной погрешности методов левых и правых прямоугольников.

Пример. Вычислить для всего интервала и с делением интервала на четыре участка

Решение. Аналитическое вычисление данного интеграла дает I=агсtg(1)–агсtg(0)=0,7853981634. В нашем случае:

1)h = 1; xо = 0; x1 = 1;

2) h = 0,25 (1/4); x0 = 0; x1 = 0,25; x2 = 0,5; х3 = 0,75; x4 = 1;

Вычислим методом левых прямоугольников:

Вычислим методом правых прямоугольников:

Вычислим методом средних прямоугольников:

Метод трапеций. Использование для интерполяции полинома первой степени (прямая линия, проведенная через две точки) приводит к формуле трапеций. В качестве узлов интерполирования берутся концы отрезка интегрирования. Таким образом, криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой может быть найдена как произведение полусуммы оснований на высоту

В случае N отрезков интегрирования для всех узлов, за исключением крайних точек отрезка, значение функции войдет в общую сумму дважды (так как соседние трапеции имеют одну общую сторону)

Формула трапеции может быть получена, если взять половину суммы формул прямоугольников по правому и левому краям отрезка:

Проверка устойчивости решения. Как правило, чем меньше длина каждого интервала, т.е. чем больше число этих интервалов, тем меньше различаются приближенное и точное значение интеграла. Это справедливо для большинства функций. В методе трапеций ошибка вычисления интеграла ϭ приблизительно пропорциональна квадрату шага интегрирования (ϭ ~ h 2).Таким образом, для вычисления интеграла некоторой функции в переделах a,b необходимо разделить отрезок на N 0 интервалов и найти сумму площадей трапеции. Затем нужно увеличить число интервалов N 1 , опять вычислить сумму трапеции и сравнить полученное значение с предыдущим результатом. Это следует повторять до тех пор (N i), пока не будет достигнута заданная точность результата (критерий сходимости).

Для методов прямоугольников и трапеции обычно на каждом шаге итерации число интервалов увеличивается в 2 раза (N i +1 =2N i).

Критерий сходимости:

Главное преимущество правила трапеций – его простота. Однако если при вычислении интеграла требуется высокая точность, применение этого метода может потребовать слишком большого количества итераций.

Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как
.

Пример. Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:
а) По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: .

Таким образом, общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Окончательно:

Напоминаю, что полученное значение – это приближенное значение площади.

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

В результате:

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть!
Если для 3-х отрезков разбиения , то для 5-ти отрезков . Если взять еще больше отрезком => будет еще точнее.

Формула Симпсона. Формула трапеции дает результат, сильно зависящий от величины шага h, что сказывается на точности вычисления определенного интеграла особенно в тех случаях, когда функция имеет немонотонный характер. Можно предположить повышение точности вычислений, если вместо отрезков прямых, заменяющих криволинейные фрагменты графика функции f(x), использовать, например, фрагменты парабол, приводимых через три соседние точки графика. Подобная геометрическая интерпретация лежит в основе метода Симпсона для вычисления определенного интеграла. Весь интервал интегрирования a,b разбивается N отрезков, длина отрезка также будет равна h=(b-a)/N.

Формула Симпсона имеет вид:

остаточный член

С увеличением длины отрезков точность формулы падает, поэтому для увеличения точности применяют составную формулу Симпсона. Весь интервал интегрирования разбивается на четное число одинаковых отрезков N, длина отрезка также будет равна h=(b-a)/N. Составная формула Симпсона имеет вид:

В формуле выражения в скобках представляют собой суммы значений подынтегральной функции соответственно на концах нечетных и четных внутренних отрезков.

Остаточный член формулы Симпсона пропорционален уже четвертой степени шага:

Пример: Пользуясь правилом Симпсона вычислить интеграл . (Точное решение - 0,2)

Метод Гаусса

Квадратурная формула Гаусса . Основной принцип квадратурных формул второй разновидности виден из рисунка 1.12: необходимо так разместить точки х 0 и х 1 внутри отрезка [a ;b ], чтобы площади "треугольников" в сумме были равны площади "сегмента". При использовании формулы Гаусса исходный отрезок [a ;b ] сводится к отрезку [-1;1] заменой переменной х на

0.5∙(b – a )∙t + 0.5∙(b + a ).

Тогда , где .

Такая замена возможна, если a и b конечны, а функция f (x ) непрерывна на [a ;b ]. Формула Гаусса при n точках x i , i =0,1,..,n -1 внутри отрезка [a ;b ]:

, (1.27)

где t i и A i для различных n приводятся в справочниках. Например, при n =2 A 0 =A 1 =1; при n =3: t 0 =t 2 »0.775, t 1 =0, A 0 =A 2 »0.555, A 1 »0.889.

Квадратурная формула Гаусса

получена с весовой функцией равной единице p(x)= 1 и узлами x i , являющимися корнями полиномов Лежандра

Коэффициенты A i легко вычисляются по формулам

i =0,1,2,...n .

Значения узлов и коэффициентов для n=2,3,4,5 приведены в таблице

Пример. Вычислить значение по формуле Гаусса для n =2:

Точное значение: .

Алгоритм вычисления интеграла по формуле Гаусса предусматривает не удвоение числа микроотрезков, а увеличение числа ординат на 1 и сравнение полученных значений интеграла. Преимущество формулы Гаусса – высокая точность при сравнительно малом числе ординат. Недостатки: неудобна при расчетах вручную; необходимо держать в памяти ЭВМ значения t i , A i для различных n .

Погрешность квадратурной формулы Гаусса на отрезке будет при этом Для формула остаточного члена будет причем коэффициент α N быстро убывает с ростом N . Здесь

Формулы Гаусса обеспечивают высокую точность уже при небольшом количестве узлов (от 4 до 10) В этом случае В практических же вычислениях число узлов составляет от нескольких сотен до нескольких тысяч. Отметим также, что веса квадратур Гаусса всегда положительны, что обеспечивает устойчивость алгоритма вычисления сумм

Дифференцирование. При решении задач часто бывает необходимо найти производную определенного порядка от функции f(x), заданной таблично. Кроме того, иногда в силу сложности аналитического выражения функции f(x) ее непосредственное дифференцирование слишком затрудненно, а также при численном решении дифференциальных уравнений. В этих случаях используют численное дифференцирование.

3. Аппроксимация функций с помощью метода

наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов применяется при обработке результатов эксперимента для аппроксимации (приближения) экспериментальных данных аналитической формулой. Конкретный вид формулы выбирается, как правило, из физических соображений. Такими формулами могут быть:

и другие.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в следующем. Пусть результаты измерений представлены таблицей:

где f - известная функция, a 0 , a 1 , …, a m - неизвестные постоянные параметры, значения которых надо найти. В методе наименьших квадратов приближение функции (3.1) к экспериментальной зависимости считается наилучшим, если выполняется условие

то есть сумм a квадратов отклонений искомой аналитической функции от экспериментальной зависимости должна быть минимальна .

Заметим, что функция Q называется невязкой.

Так как невязка

то она имеет минимум. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является равенство нулю всех частных производных этой функции по параметрам. Таким образом, отыскание наилучших значений параметров аппроксимирующей функции (3.1), то есть таких их значений, при которых Q = Q (a 0 , a 1 , …, a m ) минимальна, сводится к решению системы уравнений:

Методу наименьших квадратов можно дать следующее геометрическое истолкование: среди бесконечного семейства линий данного вида отыскивается одна линия, для которой сумма квадратов разностей ординат экспериментальных точек и соответствующих им ординат точек, найденных по уравнению этой линии, будет наименьшей.

Нахождение параметров линейной функции

Пусть экспериментальные данные надо представить линейной функцией:

Требуется подобрать такие значения a и b , для которых функция

будет минимальной. Необходимые условия минимума функции (3.4) сводятся к системе уравнений:

После преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

решая которую , находим искомые значения параметров a и b .

Нахождение параметров квадратичной функции

Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость

то её параметры a , b , c находят из условия минимума функции:

Условия минимума функции (3.6) сводятся к системе уравнений:

После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

при решении которой находим искомые значения параметров a , b и c .

Пример . Пусть в результате эксперимента получена следующая таблица значений x и y :

Требуется аппроксимировать экспериментальные данные линейной и квадратичной функциями.

Решение. Отыскание параметров аппроксимирующих функций сводится к решению систем линейных уравнений (3.5) и (3.7). Для решения задачи воспользуемся процессором электронных таблиц Excel .

1. Сначала сцепим листы 1 и 2. Занесём экспериментальные значения x i и y i в столбцы А и В, начиная со второй строки (в первой строке поместим заголовки столбцов). Затем для этих столбцов вычислим суммы и поместим их в десятой строке.

В столбцах C – G разместим соответственно вычисление и суммирование

2. Расцепим листы.Дальнейшие вычисления проведём аналогичным образом для линейной зависимости на Листе 1и для квадратичной зависимости на Листе 2.

3. Под полученной таблицей сформируем матрицу коэффициентов и вектор-столбец свободных членов. Решим систему линейных уравнений по следующему алгоритму:

Для вычисления обратной матрицы и перемножения матриц воспользуемся Мастером функций и функциями МОБР и МУМНОЖ .

4. В блоке ячеек H2: H 9 на основе полученных коэффициентов вычислим значенияаппроксимирующего полинома y i выч ., в блоке I 2: I 9 – отклонения D y i = y i эксп . - y i выч .,в столбце J – невязку:

Полученные таблицы и построенные с помощью Мастера диаграмм графики приведёны на рисунках6, 7, 8.

Рис. 6. Таблица вычисления коэффициентов линейной функции,

аппроксимирующей экспериментальные данные.

Рис. 7. Таблица вычисления коэффициентов квадратичной функции,

аппроксимирующей экспериментальные данные.

Рис. 8. Графическое представление результатов аппроксимации

экспериментальных данных линейной и квадратичной функциями.

Ответ. Аппроксимировали экспериментальные данные линейной зависимостью y = 0,07881 x + 0,442262 c невязкой Q = 0,165167 и квадратичной зависимостью y = 3,115476 x 2 – 5,2175 x + 2,529631 c невязкой Q = 0,002103 .

Задания. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, линейной и квадратичной функциями.

Таблица 6
№0	x	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
	y	3,030	3,142	3,358	3,463	3,772	3,251	3,170	3,665
№ 1
		3,314	3,278	3,262	3,292	3,332	3,397	3,487	3,563
№ 2
		1,045	1,162	1,264	1,172	1,070	0,898	0,656	0,344
№ 3
		6,715	6,735	6,750	6,741	6,645	6,639	6,647	6,612
№ 4
		2,325	2,515	2,638	2,700	2,696	2,626	2,491	2,291
№ 5
		1.752	1,762	1,777	1,797	1,821	1,850	1,884	1,944
№ 6
		1,924	1,710	1,525	1,370	1,264	1,190	1,148	1,127
№ 7
		1,025	1,144	1,336	1,419	1,479	1,530	1,568	1,248
№ 8
		5,785	5,685	5,605	5,545	5,505	5,480	5,495	5,510
№ 9
		4,052	4,092	4,152	4,234	4,338	4,468	4,599	Метод наименьших квадратов На заключительном уроке темы мы познакомимся с наиболее известным приложением ФНП , которое находит самое широкое применение в различных областях науки и практической деятельности. Это может быть физика, химия, биология, экономика, социология, психология и так далее, так далее. Волею судьбы мне часто приходится иметь дело с экономикой, и поэтому сегодня я оформлю вам путёвку в удивительную страну под названием Эконометрика =) …Как это не хотите?! Там очень хорошо – нужно только решиться! …Но вот то, что вы, наверное, определённо хотите – так это научиться решать задачи методом наименьших квадратов . И особо прилежные читатели научатся решать их не только безошибочно, но ещё и ОЧЕНЬ БЫСТРО;-) Но сначала общая постановка задачи + сопутствующий пример: Пусть в некоторой предметной области исследуются показатели , которые имеют количественное выражение. При этом есть все основания полагать, что показатель зависит от показателя . Это полагание может быть как научной гипотезой, так и основываться на элементарном здравом смысле. Оставим, однако, науку в сторонке и исследуем более аппетитные области – а именно, продовольственные магазины. Обозначим через: – торговую площадь продовольственного магазина, кв.м., – годовой товарооборот продовольственного магазина, млн. руб. Совершенно понятно, что чем больше площадь магазина, тем в большинстве случаев будет больше его товарооборот. Предположим, что после проведения наблюдений/опытов/подсчётов/танцев с бубном в нашем распоряжении оказываются числовые данные: С гастрономами, думаю, всё понятно: – это площадь 1-го магазина, – его годовой товарооборот, – площадь 2-го магазина, – его годовой товарооборот и т.д. Кстати, совсем не обязательно иметь доступ к секретным материалам – довольно точную оценку товарооборота можно получить средствами математической статистики . Впрочем, не отвлекаемся, курс коммерческого шпионажа – он уже платный =) Табличные данные также можно записать в виде точек и изобразить в привычной для нас декартовой системе . Ответим на важный вопрос: сколько точек нужно для качественного исследования? Чем больше, тем лучше. Минимально допустимый набор состоит из 5-6 точек. Кроме того, при небольшом количестве данных в выборку нельзя включать «аномальные» результаты. Так, например, небольшой элитный магазин может выручать на порядки больше «своих коллег», искажая тем самым общую закономерность, которую и требуется найти! Если совсем просто – нам нужно подобрать функцию , график которой проходит как можно ближе к точкам . Такую функцию называют аппроксимирующей (аппроксимация – приближение) или теоретической функцией . Вообще говоря, тут сразу появляется очевидный «претендент» – многочлен высокой степени, график которого проходит через ВСЕ точки. Но этот вариант сложен, а зачастую и просто некорректен (т.к. график будет всё время «петлять» и плохо отражать главную тенденцию) . Таким образом, разыскиваемая функция должна быть достаточно простА и в то же время отражать зависимость адекватно. Как вы догадываетесь, один из методов нахождения таких функций и называется методом наименьших квадратов . Сначала разберём его суть в общем виде. Пусть некоторая функция приближает экспериментальные данные : Как оценить точность данного приближения? Вычислим и разности (отклонения) между экспериментальными и функциональными значениями (изучаем чертёж) . Первая мысль, которая приходит в голову – это оценить, насколько великА сумма , но проблема состоит в том, что разности могут быть и отрицательны (например, ) и отклонения в результате такого суммирования будут взаимоуничтожаться. Поэтому в качестве оценки точности приближения напрашивается принять сумму модулей отклонений: или в свёрнутом виде: (вдруг кто не знает: – это значок суммы, а – вспомогательная переменная-«счётчик», которая принимает значения от 1 до ) . Приближая экспериментальные точки различными функциями, мы будет получать разные значения , и очевидно, где эта сумма меньше – та функция и точнее. Такой метод существует и называется он методом наименьших модулей . Однако на практике получил гораздо бОльшее распространение метод наименьших квадратов , в котором возможные отрицательные значения ликвидируются не модулем, а возведением отклонений в квадрат: , после чего усилия направлены на подбор такой функции , чтобы сумма квадратов отклонений была как можно меньше. Собственно, отсюда и название метода. И сейчас мы возвращаемся к другому важному моменту: как отмечалось выше, подбираемая функция должна быть достаточно простА – но ведь и таких функций тоже немало: линейная , гиперболическая , экспоненциальная , логарифмическая , квадратичная и т.д. И, конечно же, тут сразу бы хотелось «сократить поле деятельности». Какой класс функций выбрать для исследования? Примитивный, но эффективный приём: – Проще всего изобразить точки на чертеже и проанализировать их расположение. Если они имеют тенденцию располагаться по прямой, то следует искать уравнение прямой с оптимальными значениями и . Иными словами, задача состоит в нахождении ТАКИХ коэффициентов – чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Если же точки расположены, например, по гиперболе , то заведомо понятно, что линейная функция будет давать плохое приближение. В этом случае ищем наиболее «выгодные» коэффициенты для уравнения гиперболы – те, которые дают минимальную сумму квадратов . А теперь обратите внимание, что в обоих случаях речь идёт о функции двух переменных , аргументами которой являются параметры разыскиваемых зависимостей : И по существу нам требуется решить стандартную задачу – найти минимум функции двух переменных . Вспомним про наш пример: предположим, что «магазинные» точки имеют тенденцию располагаться по прямой линии и есть все основания полагать наличие линейной зависимости товарооборота от торговой площади. Найдём ТАКИЕ коэффициенты «а» и «бэ», чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Всё как обычно – сначала частные производные 1-го порядка . Согласно правилу линейности дифференцировать можно прямо под значком суммы: Если хотите использовать данную информацию для реферата или курсовика – буду очень благодарен за поставленную ссылку в списке источников, такие подробные выкладки найдёте мало где: Составим стандартную систему: Сокращаем каждое уравнение на «двойку» и, кроме того, «разваливаем» суммы: Примечание : самостоятельно проанализируйте, почему «а» и «бэ» можно вынести за значок суммы. Кстати, формально это можно проделать и с суммой Перепишем систему в «прикладном» виде: после чего начинает прорисовываться алгоритм решения нашей задачи: Координаты точек мы знаем? Знаем. Суммы найти можем? Легко. Составляем простейшуюсистему двух линейных уравнений с двумя неизвестными («а» и «бэ»). Систему решаем, например, методом Крамера , в результате чего получаем стационарную точку . Проверяя достаточное условие экстремума , можно убедиться, что в данной точке функция достигает именно минимума . Проверка сопряжена с дополнительными выкладками и поэтому оставим её за кадром (при необходимости недостающий кадр можно посмотреть здесь ) . Делаем окончательный вывод: Функция наилучшим образом (по крайне мере, по сравнению с любой другой линейной функцией) приближает экспериментальные точки . Грубо говоря, её график проходит максимально близко к этим точкам. В традициях эконометрики полученную аппроксимирующую функцию также называют уравнением пАрной линейной регрессии . Рассматриваемая задача имеет большое практическое значение. В ситуации с нашим примером, уравнение позволяет прогнозировать, какой товарооборот («игрек») будет у магазина при том или ином значении торговой площади (том или ином значении «икс») . Да, полученный прогноз будет лишь прогнозом, но во многих случаях он окажется достаточно точным. Я разберу всего лишь одну задачу с «реальными» числами, поскольку никаких трудностей в ней нет – все вычисления на уровне школьной программы 7-8 класса. В 95 процентов случаев вам будет предложено отыскать как раз линейную функцию, но в самом конце статьи я покажу, что ничуть не сложнее отыскать уравнения оптимальной гиперболы, экспоненты и некоторых других функций. По сути, осталось раздать обещанные плюшки – чтобы вы научились решать такие примеры не только безошибочно, но ещё и быстро. Внимательно изучаем стандарт: Задача В результате исследования взаимосвязи двух показателей, получены следующие пары чисел: Методом наименьших квадратов найти линейную функцию, которая наилучшим образом приближает эмпирические (опытные) данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции . Найти сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями. Выяснить, будет ли функция лучше (с точки зрения метода наименьших квадратов) приближать экспериментальные точки. Заметьте, что «иксовые» значения – натуральные, и это имеет характерный содержательный смысл, о котором я расскажу чуть позже; но они, разумеется, могут быть и дробными. Кроме того, в зависимости от содержания той или иной задачи как «иксовые», так и «игрековые» значения полностью или частично могут быть отрицательными. Ну а у нас дана «безликая» задача, и мы начинаем её решение : Коэффициенты оптимальной функции найдём как решение системы: В целях более компактной записи переменную-«счётчик» можно опустить, поскольку и так понятно, что суммирование осуществляется от 1 до . Расчёт нужных сумм удобнее оформить в табличном виде: Вычисления можно провести на микрокалькуляторе, но гораздо лучше использовать Эксель – и быстрее, и без ошибок; смотрим короткий видеоролик: Таким образом, получаем следующую систему : Тут можно умножить второе уравнение на 3 и из 1-го уравнения почленно вычесть 2-е . Но это везение – на практике системы чаще не подарочны, и в таких случаях спасает метод Крамера : , значит, система имеет единственное решение. Выполним проверку. Понимаю, что не хочется, но зачем же пропускать ошибки там, где их можно стопроцентно не пропустить? Подставим найденное решение в левую часть каждого уравнения системы: Получены правые части соответствующих уравнений, значит, система решена правильно. Таким образом, искомая аппроксимирующая функция: – из всех линейных функций экспериментальные данные наилучшим образом приближает именно она. В отличие от прямой зависимости товарооборота магазина от его площади, найденная зависимость является обратной (принцип «чем больше – тем меньше») , и этот факт сразу выявляется по отрицательному угловому коэффициенту . Функция сообщает нам о том, что с увеличение некоего показателя на 1 единицу значение зависимого показателя уменьшается в среднем на 0,65 единиц. Как говорится, чем выше цена на гречку, тем меньше её продано. Для построения графика аппроксимирующей функции найдём два её значения: и выполним чертёж: Построенная прямая называется линией тренда (а именно – линией линейного тренда, т.е. в общем случае тренд – это не обязательно прямая линия) . Всем знакомо выражение «быть в тренде», и, думаю, что этот термин не нуждается в дополнительных комментариях. Вычислим сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями. Геометрически – это сумма квадратов длин «малиновых» отрезков (два из которых настолько малы, что их даже не видно) . Вычисления сведём в таблицу: Их можно опять же провести вручную, на всякий случай приведу пример для 1-й точки: но намного эффективнее поступить уже известным образом: Еще раз повторим: в чём смысл полученного результата? Из всех линейных функций у функции показатель является наименьшим, то есть в своём семействе это наилучшее приближение. И здесь, кстати, не случаен заключительный вопрос задачи: а вдруг предложенная экспоненциальная функция будет лучше приближать экспериментальные точки? Найдем соответствующую сумму квадратов отклонений – чтобы различать, я обозначу их буквой «эпсилон». Техника точно такая же: И снова на всякий пожарный вычисления для 1-й точки: В Экселе пользуемся стандартной функцией EXP (синтаксис можно посмотреть в экселевской Справке) . Вывод : , значит, экспоненциальная функция приближает экспериментальные точки хуже, чем прямая . Но тут следует отметить, что «хуже» – это ещё не значит , что плохо. Сейчас построил график этой экспоненциальной функции – и он тоже проходит близко к точкам – да так, что без аналитического исследования и сказать трудно, какая функция точнее. На этом решение закончено, и я возвращаюсь к вопросу о натуральных значениях аргумента. В различных исследованиях, как правило, экономических или социологических, натуральными «иксами» нумеруют месяцы, годы или иные равные временнЫе промежутки. Рассмотрим, например, такую задачу: Имеются следующие данные о розничном товарообороте магазина за первое полугодие: Используя аналитическое выравнивание по прямой, определите объем товарооборота за июль . Да без проблем: нумеруем месяцы 1, 2, 3, 4, 5, 6 и используем обычный алгоритм, в результате чего получаем уравнение – единственное, когда речь идёт о времени, то обычно используют букву «тэ» (хотя это не критично) . Полученное уравнение показывает, что в первом полугодии товарооборот увеличивался в среднем на 27,74 д.е. за месяц. Получим прогноз на июль (месяц №7) : д.е. И подобных задач – тьма тьмущая. Желающие могут воспользоваться дополнительным сервисом, а именно моим экселевским калькулятором (демо-версия) , который решает разобранную задачу практически мгновенно! Рабочая версия программы доступна по обмену или за символическую плaтy . В заключение урока краткая информация о нахождение зависимостей некоторых других видов. Собственно, и рассказывать-то особо нечего, поскольку принципиальный подход и алгоритм решения остаются прежними. Предположим, что расположение экспериментальных точек напоминает гиперболу. Тогда чтобы отыскать коэффициенты наилучшей гиперболы , нужно найти минимум функции – желающие могут провести подробные вычисления и прийти к похожей системе: С формально-технической точки зрения она получается из «линейной» системы (обозначим её «звёздочкой») заменой «икса» на . Ну а уж суммы-то рассчитаете, после чего до оптимальных коэффициентов «а» и «бэ» рукой подать . Если есть все основания полагать, что точки располагаются по логарифмической кривой , то для розыска оптимальных значений и находим минимум функции . Формально в системе (*) нужно заменить на : При вычислениях в Экселе используйте функцию LN . ПризнАюсь, мне не составит особого труда создать калькуляторы для каждого из рассматриваемых случаев, но всё-таки будет лучше, если вы сами «запрограммируете» вычисления. Видеоматериалы урока в помощь. С экспоненциальной зависимостью ситуация чуть сложнее. Чтобы свести дело к линейному случаю, прологарифмируем функцию и воспользуемся свойствам логарифма : Теперь, сопоставляя полученную функцию с линейной функцией , приходим к выводу, что в системе (*) нужно заменить на , а – на . Для удобства обозначим : Обратите внимание, что система разрешается относительно и , и поэтому после нахождения корней нужно не забыть найти сам коэффициент . Чтобы приблизить экспериментальные точки оптимальной параболой , следует найти минимум функции трёх переменных . После осуществления стандартных действий получаем следующую «рабочую» систему : Да, конечно, сумм здесь побольше, но при использовании любимого приложения трудностей вообще никаких. И напоследок расскажу, как с помощью Экселя быстро выполнить проверку и построить нужную линию тренда: создаём точечную диаграмму, выделяем мышью любую из точек и через правый щелчок выбираем опцию «Добавить линию тренда» . Далее выбираем тип диаграммы и на вкладке «Параметры» активируем опцию «Показывать уравнение на диаграмме» . ОК Как всегда статью хочется завершить какой-нибудь красивой фразой, и я уже чуть было не напечатал «Будьте в тренде!». Но вовремя передумал. И не из-за того, что она шаблонна. Не знаю, кому как, а мне что-то совсем не хочется следовать пропагандируемому американскому и в особенности европейскому тренду =) Поэтому я пожелаю каждому из вас придерживаться своей собственной линии! http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейныхэконометрических моделей . Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса . Рассмотрим процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов более подробно. Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2): y t = a 0 + a 1 х 1t +...+ a n х nt + ε t . Исходными данными при оценке параметров a 0 , a 1 ,..., a n является вектор значений зависимой переменной y = (y 1 , y 2 , ... , y T)" и матрица значений независимых переменных в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели . Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной. Примеры решения задач методом наименьших квадратов Пример 2.1. Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 12 магазинов, информация о деятельности которых представлена в табл. 2.1. Руководство предприятия хотело бы знать, как зависит размер годового товарооборота от торговой площади магазина. Таблица 2.1 Номер магазина Годовой товарооборот, млн руб. Торговая площадь, тыс. м 2 19,76 0,24 38,09 0,31 40,95 0,55 41,08 0,48 56,29 0,78 68,51 0,98 75,01 0,94 89,05 1,21 91,13 1,29 91,26 1,12 99,84 1,29 108,55 1,49 Решение методом наименьших квадратов. Обозначим - годовой товарооборот -го магазина, млн руб.; - торговая площадь -го магазина, тыс. м 2 . Рис.2.1. Диаграмма рассеяния для примера 2.1 Для определения формы функциональной зависимости между переменными и построим диаграмму рассеяния (рис. 2.1). На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости годового товарооборота от торговой площади (т.е. у будет расти с ростом ). Наиболее подходящая форма функциональной связи - линейная . Информация для проведения дальнейших расчетов представлена в табл. 2.2. С помощью метода наименьших квадратов оценим параметры линейной однофакторной эконометрической модели Таблица 2.2 t y t x 1t y t 2 x 1t 2 x 1t y t 19,76 0,24 390,4576 0,0576 4,7424 38,09 0,31 1450,8481 0,0961 11,8079 40,95 0,55 1676,9025 0,3025 22,5225 41,08 0,48 1687,5664 0,2304 19,7184 56,29 0,78 3168,5641 0,6084 43,9062 68,51 0,98 4693,6201 0,9604 67,1398 75,01 0,94 5626,5001 0,8836 70,5094 89,05 1,21 7929,9025 1,4641 107,7505 91,13 1,29 8304,6769 1,6641 117,5577 91,26 1,12 8328,3876 1,2544 102,2112 99,84 1,29 9968,0256 1,6641 128,7936 108,55 1,49 11783,1025 2,2201 161,7395 S 819,52 10,68 65008,554 11,4058 858,3991 Среднее 68,29 0,89 Таким образом, Cледовательно, при увеличении торговой площади на 1 тыс. м 2 при прочих равных условиях среднегодовой товарооборот увеличивается на 67,8871 млн руб. Пример 2.2. Руководство предприятия заметило, что годовой товарооборот зависит не только от торговой площади магазина (см. пример 2.1), но и от среднего числа посетителей. Соответствующая информация представлена в табл. 2.3. Таблица 2.3 Решение. Обозначим - среднее число посетителей -го магазина в день, тыс. чел. Для определения формы функциональной зависимости между переменными и построим диаграмму рассеяния (рис. 2.2). На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости годового товарооборота от среднего числа посетителей в день (т.е. у будет расти с ростом ). Форма функциональной зависимости - линейная. Рис. 2.2. Диаграмма рассеяния для примера 2.2 Таблица 2.4 t x 2t x 2t 2 y t x 2t x 1t x 2t 8,25 68,0625 163,02 1,98 10,24 104,8575 390,0416 3,1744 9,31 86,6761 381,2445 5,1205 11,01 121,2201 452,2908 5,2848 8,54 72,9316 480,7166 6,6612 7,51 56,4001 514,5101 7,3598 12,36 152,7696 927,1236 11,6184 10,81 116,8561 962,6305 13,0801 9,89 97,8121 901,2757 12,7581 13,72 188,2384 1252,0872 15,3664 12,27 150,5529 1225,0368 15,8283 13,92 193,7664 1511,016 20,7408 S 127,83 1410,44 9160,9934 118,9728 Cреднее 10,65 В целом необходимо определить параметры двухфакторной эконометрической модели у t = a 0 + a 1 х 1t + a 2 х 2t + ε t Информация, требующаяся для дальнейших расчетов, представлена в табл. 2.4. Оценим параметры линейной двухфакторной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов. Таким образом, Оценка коэффициента =61,6583 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением торговой площади на 1 тыс. м 2 годовой товарооборот увеличится в среднем на 61,6583 млн руб. Оценка коэффициента = 2,2748 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением среднего числа посетителей на 1 тыс. чел. в день годовой товарооборот увеличится в среднем на 2,2748 млн руб. Пример 2.3. Используя информацию, представленную в табл. 2.2 и 2.4, оценить параметр однофакторной эконометрической модели где - центрированное значение годового товарооборота -го магазина, млн руб.; - центрированное значение среднедневного числа посетителей t-го магазина, тыс. чел. (см. примеры 2.1-2.2). Решение. Дополнительная информация, необходимая для расчетов, представлена в табл. 2.5. Таблица 2.5 -48,53 -2,40 5,7720 116,6013 -30,20 -0,41 0,1702 12,4589 -27,34 -1,34 1,8023 36,7084 -27,21 0,36 0,1278 -9,7288 -12,00 -2,11 4,4627 25,3570 0,22 -3,14 9,8753 -0,6809 6,72 1,71 2,9156 11,4687 20,76 0,16 0,0348 3,2992 22,84 -0,76 0,5814 -17,413 22,97 3,07 9,4096 70,4503 31,55 1,62 2,6163 51,0267 40,26 3,27 10,6766 131,5387 Cумма 48,4344 431,0566 Используя формулу (2.35), получим Таким образом, http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html Пример. Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице. В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов , аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж. Решение. В нашем примере n=5 . Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в формулы искомых коэффициентов. Значения в четвертой строке таблицы получены умножением значений 2-ой строки на значения 3-ей строки для каждого номера i . Значения в пятой строке таблицы получены возведением в квадрат значений 2-ой строки для каждого номера i . Значения последнего столбца таблицы – это суммы значений по строкам. Используем формулы метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а и b . Подставляем в них соответствующие значения из последнего столбца таблицы: Следовательно, y = 0.165x+2.184 - искомая аппроксимирующая прямая. Осталось выяснить какая из линий y = 0.165x+2.184 или лучше аппроксимирует исходные данные, то есть произвести оценку методом наименьших квадратов. Доказательство. Чтобы при найденных а и b функция принимала наименьшее значение, необходимо чтобы в этой точке матрица квадратичной формы дифференциала второго порядка для функции была положительно определенной. Покажем это. Дифференциал второго порядка имеет вид: То есть Следовательно, матрица квадратичной формы имеет вид причем значения элементов не зависят от а и b . Покажем, что матрица положительно определенная. Для этого нужно, чтобы угловые миноры были положительными. Угловой минор первого порядка . Неравенство строгое, так как точки Оценка статьи: (Пока оценок нет) Загрузка... Поделиться с друзьями: Похожие публикации Среднерусская возвышенность Среднерусская возвышенность границы Генные мутации происходят в любом участке гена Катакомбы и Некрополи и dusk vs dawn Кислотность раствора, pH фактор, pH тест