Как определить скорость любой точки плоской фигуры. Определение скорости любой точки плоской фигуры. Уравнения плоского движения

План

1. Векторное пространство .
2. Внутренняя точка множества.Открытое множество в пространстве
3. Свойства открытых множеств
4. Предельная точка множества. Замкнутые множества в пространстве
5. Свойства замкнутых множеств в пространстве

1. Векторное пространство . Понятие метрики. Свойства метрики

Пусть. Элементы пространства - это вектора, где. В пространстве введены две операции: сложение векторов и умножение вектора на скаляр, свойства которых рассматриваются в курсе алгебры и геометрии.

Определим норму вектора как функцию:

Функция нормы вектора удовлетворяет свойствам:

Определение 1 . Расстоянием в пространстве между векторами называется

Свойства расстояния:

1. і тогда и только тогда, когда;

Определение 2 . Пусть. Открытым шаром радиуса с центром в точке (обозначается) называется множество точек таких, что

Пример . - это интервал (рис.1).

Пример . (рис.2).

Определение 3 . Пусть. Замкнутым шаром радиуса с центром в точке (обозначается) называется множество точек таких, что

Определение 4 . Точка называется внутренней точкой этого множества, если существует такой открытый шар, который полностью находится во множестве.

Определение 5 . Множество называется открытым множеством, если каждая его точка является внутренней точкой.

Пример . Пустое множество и множество - открытые множества.

Пример . Доказать, что - открытое множество (рис.3).

Возьмем. Это означает, что. Обозначим. Рассмотрим открытый шар. Докажем, что. Для этого покажем, что одновременно принадлежит:

Таким образом, а это означает, что.

Определение 6 . Открытым параллелепипедом в называется множество точек, для которых выполняются неравенства:

Задание. Показать, что открытый параллелепипед является открытым множеством.

Теорема 1 . Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство . Пусть - открытые множества, . Покажем, что - открытое множество. Для этого возьмем и покажем, что эта точка является внутренней для:

Поскольку каждое множество открыто, то для найдется открытый шар. Обозначим. Тогда

Таким образом, является для этого множества внутренней, а само множество - открытым.

Замечание . Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример . Рассмотрим бесконечную совокупность открытых множеств Для них. Множество, которое содержит одну точку, не является открытым.

Теорема 2 . Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство . Пусть - некоторое множество индексов. Пусть для множество является открытым. Рассмотрим. Покажем, что - открытое. Для этого возьмем и покажем, что эта точка является внутренней для:

Поскольку - открытое множество, то, тогда, а это означает, что - открытое множество.

3.5.1. Метод полюса

Поскольку движение плоской фигуры можно рассматривать как составное из поступательного, когда все точки фигуры движутся так же, как полюс А со скоростью , и вращательного движения вокруг полюса, то скорость любой точки В фигуры определим векторной суммой скоростей (рис.23).

, (65)

где - скорость полюса точки А ;

Скорость точки В при вращении фигуры вокруг полюса точки А (если считать его неподвижным) численно равна

В перпендикулярно ВА в сторону вращения угловой скорости (рис.23).

Численное значение скорости точки В определим по теореме косинусов

где – угол между векторами и , Î .

Равенство проекций является следствием неизменности расстояния между точками А и В , принадлежащими твердому телу, поэтому равенство будет справедливо для любого движения твердого тела.

3.5.2. Метод мгновенного центра скоростей (МЦС)

Мгновенным центром скоростей называется точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Скорости всех других точек плоской фигуры в данный момент времени определяются так, как если бы движение фигуры было вращательным относительно точки Р (рис.25).

Согласно метода полюса скорость точки В будет равна

. (69)

Так как скорость полюса (МЦС) точки Р равна нулю (), то

Вектор скорости направлен из точки В перпендикулярно ВР в сторону вращения угловой скорости w.

Аналогичное равенство можно представить для всех точек плоской фигуры, таким образом, скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦС.

Для определения положения (МЦС) плоской фигуры, требуется знать направление линий, вдоль которых действуют вектора скоростей точек А и В ( и ). МЦС для данной фигуры будет находиться в точке пересечения перпендикуляров восстановленных к данным линиям.

Для нахождения скорости точки В , согласно рис.25, требуется знать скорость точки А . Тогда угловая скорость движения фигуры в данный момент времени составит

где АР – расстояние точки А до точки Р , определяется согласно исходным данным.

Угловая скорость под действием скорости относительно полюса точки Р направлена по часовой стрелке.

Скорость точки В в данный момент времени составит

Вектор скорости точки В () направлен перпендикулярно линии РВ в сторону вращения угловой скорости w (рис.25).

3.5.2.1. Понятие о центроидах

Траектория, которую описывает МЦС вместе с подвижной фигурой, называется подвижной центроидой (пример, при движении колеса по поверхности без скольжения (табл.2) подвижной центроидой является внешняя окружность колеса).

Геометрическое место МЦС, положений точки Р на неподвижной плоскости, называют неподвижной центроидой (при движении колеса по поверхности без скольжения (см. табл.2) неподвижной центроидой является неподвижная поверхность, по которой катится колесо).

3.5.2.2. Частные случаи МЦС

Таблица 2.

Мгновенно-поступательное движение звена АВ	Движение колеса по поверхности (без скольжения)	Движение подвижного блока
Точка В движется по прямой х-х , следовательно, скорость V B направлена вдоль оси, проводим перпендикуляр к оси х-х . Поскольку перпендикулярные линии не пересекаются, то звено АВ находится в мгновенно-поступательном движении, скорости всех точек этого звена равны, МЦС находится в бесконечности, .	МЦС находится в точке касания колеса с неподвижной поверхностью, по- которой катится колесо, точке Р . Угловая скорость колеса, составит . Скорости точек В , С	МЦС (точка Р ) находится в точке пересечения отрезка АВ и прямой, проходящей через концы векторов и . Определение положения точки Р . Угловая скорость блока

Определение скоростей точек плоской фигуры

Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрическииз скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.3), где - радиус-вектор полюса А , - вектор, определяю­щий положение точки М относительно осей , перемещающих­ся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отноше­нию к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда

В полученном равенстве величина есть скорость полюса А ; величина же равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А . Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что

Скорость , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А :

где ω - угловая скорость фигуры.

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллело­грамма (рис.4).

Рис.3Рис.4

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, дви­жущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых мето­дов определения скоростей точек фигуры (или тела).

Рис.5

Один из таких методов дает тео­рема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.5), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ , и учитывая, что вектор перпендику­лярен АВ , находим

и теорема доказана.

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на поня­тии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легкоубедиться, что если фигура движется непоступательно , то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис.6). Тогда точка Р , лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и В b к вектору , и будет мгновенным центром скоростей так как . Всамомделе,еслидопустить, что , то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ) и ВР (так как ), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точ­ка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Рис.6

Если теперь в момент времени взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет

так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигурыопределяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

Из равенств, следует еще, что точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­ниям от МЦС.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать то­лько направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к каса­тельным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В . Тогда, вос­ставив из точек А и В перпендикуляры к и , построим мгно­венный центр скоростей Р и по направлению определим направ­ление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен век­тор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р :

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис.7), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю ( ), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис.8,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что т. е. ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость тела в этот момент времени, как видно равна нулю.

Рис.7

Рис.8

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновен­ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис.8,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей .

г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р , лежащего на перпендикуляре к (рис.8,б), можно найти как .

Решение задач на определение скорости.

Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик по данным задачии следует начинать решение.

Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость.

Пример 1. Тело,имеющееформука­тушки, катится своим средним цилиндром по неподвиж­ной плоскости так, что (см). Радиусы цилин­дров: R = 4 сми r = 2 см (рис.9)..

Рис.9

Решение. ОпределимскороститочекА,В иС .

Мгновенныйцентр скоростей нахо­дится в точке касания катушки с плоско­стью.

Скоростьполюса С.

План скоростей.

Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.11). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединитьихконцыпрямыми,то получитсякартинка,котораяназывается планом скоростей. (На рисунке ) .

Рис.11

Свойстваплана скоростей.