Спектральное разложение стационарной случайной функции

Необходимым и достаточным условием эргодичности ξ (t ) по

отношению к дисперсии является формула (2.5), а достаточным условием – (2.6).

Обычно стационарный случайный процесс бывает неэргодическим, когда он протекает неоднородно. Например, неэргодичность

ξ (t ) может быть вызвана тем, что в нём в качестве слагаемого присутствует случайная величинаX с характеристикамиm x иD x . Тогда, так какξ 1 (t ) = ξ (t ) + X , тоm ξ 1 = m ξ + m x ,K ξ 1 (τ ) = K ξ (τ ) + D x

и τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Спектральное разложение стационарного случайного процесса и преобразование Фурье. Спектральная плотность

Основная идея спектрального представления случайных процессов заключается в том, что их можно изобразить в виде суммы некоторых гармоник. Такое представление даёт возможность сравнительно просто проводить различные, как линейные, так и нелинейные, преобразования над случайными процессами. Можно, например, исследовать, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. Использование подобной информации составляет существо спектральной теории стационарных случайных процессов.

Спектральная теория позволяет использовать в расчётах изображение по Фурье случайного процесса. В ряде случаев это существенно упрощает выкладки и широко применяется, особенно в теоретических исследованиях.

Стационарный случайный процесс ξ (t ) может быть задан сво-

им каноническимили спектральным разложением:

k = 0

где ψ k – фаза гармонического колебания элементарного случай-

ного процесса, представляющая собой случайную величину, распределённую равномерно в интервале в интервале (0,2π ) ,z k – ам-

плитуда гармонического колебания элементарного случайного процесса, причём z k – также случайная величина с некоторыми

m zи D z.

Действительно, пусть ξ k (t ) = x k cos ω k t + y k sin ω k t , тогдаm ξ k = 0 ,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 − t 1 ) = D k cosω k τ .

Отсюда m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] { M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 } = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Таким образом, при сделанных в формулах (2.8) и (2.10) предположениях о свойствах, входящих в эти формулы случайных величин, представления (2.8) и (2.10) эквивалентны. При этом слу-

чайные величины z i иψ i ,i = 1,∞ зависимы, так как, очевидно, имеют место соотношения

Поскольку ковариационная функция стационарного случайного процесса – чётная функция, то её на интервале (− T ,T ) можно раз-

ложить в ряд Фурье по косинусам, т.е. K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

Поскольку ω k можно интерпретировать как гармоники спек-

трального разложения стационарного случайного процесса (2.8), то общая дисперсия стационарного случайного процесса, представленная своим каноническим (спектральным) разложением, равна сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения. На рис. 2.1

показан набор дисперсий D k , соответствующих различным гармоникамω i . Чем более длинный интервал разложения по формуле

(2.9) будет взят, тем точнее будет разложение по этой формуле. Если взять T ′ = 2T , то спектр дисперсии разложения спектрального

Величина S ξ (ω k ) ∆ω = D k представляет собой часть общей

дисперсии стационарного случайного процесса ξ (t ) , приходящуюся на k -ю гармонику. ПриT → ∞ (или при∆ω→ 0) функцияS ξ (ω k ) будет неограниченно приближаться к кривойS ξ (ω ) , кото-

рая называется спектральной плотностью стационарного случай-

ного процесса ξ (t ) (рис. 2.2). Из (2.13) следует, что функцииK ξ (τ ) иS ξ (ω ) связаны между собой косинус-преобразованием Фурье. Таким образом,

Рис. 2.2. Графики функций S ξ (ω k ) иS ξ (ω )

Спектральная плотность по аналогии с функцией плотности вероятности обладает следующими свойствами:

1. S ξ (ω) ≥0.

2. ∞ ∫ S ξ (ω) d ω =∞ ∫ S ξ (ω) cos (0 ω) d ω =K ξ (0 ) =D ξ .

Если ввести функцию S ξ (ω ) , определённую следующим образом:

S ξ (ω) =S ξ 2 (ω ) , ω≥0,

называемую спектральной плотностью стационарного случайного процесса в комплексной форме, то эта функция помимо двух приведённых свойств обладает ещё третьим свойством – свойством чётности (рис. 2.3).

3. S ξ (ω) =S ξ (− ω) .

Рис. 2.3. Графики функции спектральной плотности

Перепишем (2.8) в следующем виде:

можно получить интегральное каноническое представлениеста-

ционарного случайного процесса:

мый «белый шум» (см. подразд. 2.4). Статистические характери-

спектральное разложение стационарного случайного процесса в комплексной форме имеет вид

Аналогичные действия можно провести с ковариационной функцией, представленной в виде (2.9), и получить

Kξ (τ ) = ∑ ∞ Dk ei ω k t .

k =−∞

Формулу (2.13) с учётом введения функции реписать в следующем виде:

S ξ (ω ) можно пе-

Формулы (2.18) и (2.19) представляют собой преобразование Фурье спектральной плотности S ξ (ω ) и ковариационной функцииK ξ (τ ) в комплексной форме.

Поскольку спектральная плотность S ξ (ω ) представляет собой

плотность распределения дисперсии случайного процесса по частотам его гармоник, то в некоторых приложениях теории случай-

ных процессов K ξ (0) = D ξ (t ) интерпретируют как энергию стационарного случайного процесса, аS ξ (ω ) – как плотность этой

энергии на единицу частоты. Эта трактовка появилась после применения теории стационарных случайных процессов в электротехнике.

Пример 5. Найти спектральную плотностьS ξ (ω ) элементарного случайного процессаξ k (t ) = x k cosω k t + y k sinω k t .

= D k ∞ ∫ [ cos (ω− ωk ) τ +cos (ω+ ωk ) τ] d τ =

π 0

= D k ∞ ∫ [ e i (ω−ω

S ξ k(ω ) =

−i (ω−ωk ) τd (− τ ) + ∫ e i (ω−ωk ) τd τ +

k (− 1 ) ∫ e

2π

+ (−1 ) ∫ e

−i (ω+ωk ) τd (− τ ) + ∫ e i (ω+ωk ) τd τ

k ∫

e i (ω−ωk )(−τ) d (− τ ) + ∫ e i (ω−ωk ) τd τ + (− 1 ) ∫ e i (ω+ωk )(−τ) d (− τ ) +

2 π−∞

+ ∫ e i (ω+ωk ) τd τ

k ∫ e i (ω−ωk ) τd τ +

∫e i

(ω+ωk ) τd τ

2 π−∞

= D k [ δ(ω− ωk ) + δ(ω+ ωk ) ] ,

где δ (ω ) = 1 ∞ ∫ e i ωτ d τ – интегральное представление в виде пре-

2 π−∞

образования Фурье δ -функции Дирака. Выражение дляS ξ k (ω )

можно было таким и оставить, но для полож ительных ω (так какω k > 0), принимая во внимание свойства δ -функции, (см. табл. 6

на с. 141), δ (ω+ ω k ) ≡ 0 . Таким образом,S ξ (ω ) = D k δ (ω− ω k ) .

Тогда S ξ k (ω) =1 2 S ξ k (ω) =D 2 k [ δ(ω− ωk ) + δ(ω+ ωk ) ] .

Найдём теперь заданную спектральную плотность в комплексной форме. Функции S ξ (ω ) иS ξ k (ω ) – действительные не-

отрицательные функции. S ξ k (ω ) – чётная функция, определённая на интервале(− ∞ ,∞ ) ,S ξ (ω ) – определена на интервале(0,∞ ) , и

на этом интервале S ξ k (ω ) = 1 2 S ξ k (ω ) (см. рис. 2.3). По формуле (2.19)

Известно, что произвольное немонохроматическое волновое возмущение можно представить в виде суперпозиции эталонных волн или, как говорят, разложить его в спектр, выполнить спектральное разложение.

Разложение волновых пучков и импульсов по плоским гармоническим волнам имеет особое значение для оптики, так как такое разложение оказывается не только удобной математической операцией, но оно фактически осуществляется в реальном оптическом эксперименте. Один из классических опытов – опыт Ньютона по разложению света в спектр с помощью стеклянной призмы – нетрудно перевести на математический язык спектральных разложений. Оно означает, что поле можно представить в виде суперпозиции плоских монохроматических волн.

Основная идея спектрального описания состоит в том, чтобы представить некоторую функцию времени F (T ), описывающую световое возмущение в виде интеграла Фурье:

То есть разложить в спектр по гармоническим колебаниям или, как говорят, в частотный спектр

Амплитуды квадратурных спектральных компонент A (w) и B (w) или спектральные амплитуды F (w) и фаза j (w), определяющие частотный спектр функции F (T ), вычисляются с помощью обратного преобразования Фурье

(3)

Каждая гармоническая компонента возмущения F (T ) возбуждает монохроматическую световую волну:

Эта функция удовлетворяет волновому уравнению. Удовлетворяет волновому уравнению и полное поле, являющееся суперпозицией волн (4):

(5)

Из формул (3), определяющих амплитудные коэффициенты A (w) и B (w), видно, что A (w) - четная функция частоты, а B (w) - нечетная: и

Поэтому формулу (1) можно переписать в симметризованном по w виде:

(6)

(7)

Введем комплексную спектральную амплитуду

Пользуясь формулой Эйлера

Выразим произведение Fk (w)Ei WT . Получим

Действительная часть этого комплексного выражения является четной функцией частоты w, а минимальная часть — нечетной. Поэтому интегрируя правую и левую части последнего выражения по частоте в бесконечных пределах, получаем

Сравнивая последнее выражение с формулой (6), получим

(10)

Нетрудно найти комплексную спектральную амплитуду, учитывая формулы (3), (8) и (9):

(11)

Комплексное представление преобразования Фурье имеет вид:

и (12)

Где для упрощения записи опущен индекс "к" у комплексной спектральной амплитуды.

В общем случае спектральная амплитуда F (w), определяемая формулой (12), является комплексной функцией частоты:

Где F (w)представляет собой действительную амплитуду гармоники с частотой w в спектре функции F (T ). Аргумент j (w) характеризует действительную фазу этого колебания, так как разные гармоники, образующие в совокупности сигнал F (T ) могут иметь различные фазы. Однако такую полную спектральную информацию об оптическом процессе экспериментально трудно получить. На опыте обычно измеряется так называемая спектральная плотность S (w), которая характеризует распределение энергии света по спектру. По определению спектральной плотностью называется величина, равная квадрату модуля комплексной спектральной амплитуды:

(13)

В этом выражении вся информация о фазах гармонических колебаний, составляющих F (T ), утрачена.

В теории спектральных разложений используется так называемое «равенство Парсеваля», которое имеет вид:

Чтобы доказать это равенство достаточно воспользоваться интегралами Фурье (12). Изменяя порядок интегрирования по w и T , получим

Где (*) — обозначает комплексное сопряжение.

Применительно к оптике это соотношение имеет простой физический смысл. Если под F (T ) понимать напряженность электрического поля световой волны в некоторой фиксированной точке пространства, то величина оказывается пропорциональной энергии светового импульса, прошедшей через площадку единичной площади в окрестности данной точки.

Действительно:

Где I — интенсивность, P — мощность, W — энергия импульса.

С другой, стороны, согласно равенству Парсеваля, та же самая величина (энергия) равна интегралу по всем частотам от спектральной плотности поля S (w). Это и означает, что спектральная плотность описывает распределение энергии светового импульса по частотам. Таков физический смысл данной характеристики излучения.

Спектральные разложения естественным образом обобщаются и на волновые пучки, - пространственно модулированные волны. Конечная протяженность, или как говорят, конечная апертура источника приводит к тому, что амплитуда световых колебаний изменяется в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света — возникает пространственно модулированная волна. В такой световой волне значение амплитуды и фазы зависят от координат, т. е. имеет место ситуация, принципиально отличная от таковой для плоской волны.

Такую пространственно модулированную волну можно представить в виде суперпозиций плоских волн, распространяющихся по разным направлениям. Различные спектральные компоненты в таком разложении можно характеризовать углами между направлением распространения волны и координатными осями. Поэтому говорят об Угловом спектре пространственно модулированной волны (или о спектре пространственных частот). Разложение в угловой спектр физически происходит в очень простых опытах. Например, линза выполняет такую же операцию Фурье-разложения по отношению к угловому спектру, что и призма по отношению к частотному.

Преобразования Фурье особенно важны при анализе современных систем оптической отработки информации. Оптические методы играют всё возрастающую роль в решении проблемы создания высокопроизводительных систем обработки больших массивов информации.

Как уже отмечалось, волновые (в частности, оптические) явления характеризуются как временной зависимостью, так и пространственной, т. е. зависимостью от координат. В Фурье — оптике большой интерес представляет и пространственная структура волны, которая описывается (в случае гармонических волн фиксированной частоты w) комплексной амплитудой волны F (X , y , z ), являющейся решением уравнения Гельмгольца:

Где K = w/c – волновое число.

Комплексную амплитуду волны F (X , y ) можно представить в виде интеграла Фурье [двумерный аналог формулы (10)]:

(15)

Физический смысл разложения состоит в следующем. Можно проверить, что функция

Является решением уравнения Гельмгольца, удовлетворяющего на плоскости Z = 0 граничному условию

Это утверждение справедливо при любых значениях параметров u и V . Функция (16) есть комплексная амплитуда плоской волны, причем параметры U , V - проекции волнового вектора с этой волны на оси X, Y, если . Если же , тогда выражение (16) также является решением уравнения (14) и называется неоднородной волной. В этом случае амплитуда волны падает с ростом Z экспоненциально, поскольку — мнимое число.

Таким образом, выражение (15) есть представление произвольной волны, заданной в некоторой плоскости Z = coN ST , в виде суперпозиции плоских волн, как бегущих, так и неоднородных.

Плоская волна Et (Ux + Vy ) в задачах пространственной фильтрации является аналогом гармонического колебания Ei WT . Поэтому пару чисел U , V называют Пространственными частотами . Кроме того, можно записать, что

(17)

Выражения (15) и (17) известны как пара двумерных преобразований Фурье. Равенство (17) часто называют прямым преобразованием Фурье, а (15) – обратным преобразованием Фурье.

Следует отметить, что F (U , V ) является, вообще говоря, комплексной функцией

|F (U , V )| и j (U , V ) обычно называют амплитудным и фазовым спектром соответственно, а F (U , V ) спектром Фурье или спектром пространственных частот.

Линза является основным элементом любого оптического устройства. Идеальная безаберрационная линза осуществляет фазовую модуляцию вида

Где F - фокусное расстояние линзы. Пространственное разложение тесно связано со свойством линзы фокусировать параллельный пучок света: падающая на линзу плоская волна exp[I (Ux + Vy )] с пространственной частотой (U , V ) фокусируется линзой в точку фокальной плоскости с координатами X = Fu /K и Y = Fv /K . Падающая на линзу произвольная волна с комплексной амплитудой F (U , V ) может быть представлена, согласно (15) суперпозицией плоских волн разных направлений, т. е. разных пространственных U , V . Каждая из плоских волн в этой суперпозиции фокусируется линзой в свою определенную точку фокальной плоскости, создавая в ней световое поле с амплитудой, пропорциональной амплитуде соответствующей волны, и с фазой, определяемой фазой соответствующей волны, т. е. создавая в ней колебание, пропорциональное величине F (Kx /f, Ky /F ), где F (U , V ) – преобразование Фурье функции F (U , V ).

Таким образом, световое поле, возникающее в фокальной плоскости линзы, представляет собой пространственное спектральное разложение волны, падающей на линзу.

Строя спектральное разложение стационарной случайной функции

X(t) на конечном участке времени (О, Т), мы получили спектр дисперсий случайной функции в виде ряда отдельных дискретных линий, разделенных равными промежутками (так называемый «прерывистый» или «линейчатый» спектр).

Очевидно, чем больший участок времени мы будем рассматривать, тем полнее будут наши сведения о случайной функции. Естественно поэтому в спектральном разложении попытаться перейти к пределу при Т-> оо и посмотреть, во что при этом обратится спектр

случайной функции. При поэтому расстояния

между частотами од, на которых строится спектр, будут при Т-> оо неограниченно уменьшаться. При этом дискретный спектр будет приближаться к непрерывному, в котором каждому сколь угодно малому интервалу частот Асо будет соответствовать элементарная дисперсия ADco.

Попробуем изобразить непрерывный спектр графически. Для этого мы должны несколько перестроить график дискретного спектра при конечном Т. А именно, будем откладывать по оси ординат уже не саму дисперсию D k (которая безгранично уменьшается при Т- »оо), а среднюю плотность дисперсии, т.е. дисперсию, приходящуюся на единицу длины данного интервала частот. Обозначим расстояние между соседними частотами Асо:

и на каждом отрезке Асо как на основании построим прямоугольник с площадью D k (рис. 17.3.1). Получим ступенчатую диаграмму, напоминающую по принципу построения гистограмму статистического распределения.

Высота диаграммы на участке Асо, прилежащем к точке сод., равна

Рис. 17.3.1

и представляет собой среднюю плотность дисперсии на этом участке. Суммарная площадь всей диаграммы, очевидно, равна дисперсии случайной функции.

Будем неограниченно увеличивать интервал Т. При этом Дю -> О, и ступенчатая кривая будет неограниченно приближаться к плавной кривой S x (со) (рис. 17.3.2). Эта кривая изображает плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра, а сама функция Д х.(а>) называется спектральной плотностью дисперсии , или, короче, спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t).

Рис. 17.3.2

Очевидно, площадь, ограниченная кривой Д г (со), по-прежнему должна равняться дисперсии D x случайной функции X(t ):

Формула (17.3.2) есть не что иное, как разложение дисперсии D x на сумму элементарных слагаемых Л’Дсо) с/со, каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный участок частот dсо, прилежащий к точке со (рис. 17.3.2).

Таким образом, мы ввели в рассмотрение новую дополнительную характеристику стационарного случайного процесса - спектральную плотность, описывающую частотный состав стационарного процесса. Однако эта характеристика не является самостоятельной; она полностью определяется корреляционной функцией данного процесса. Подобно тому, как ординаты дискретного спектра D k выражаются формулами (17.2.4) через корреляционную функцию к х (т), спектральная плотность S x (a) также может быть выражена через корреляционную функцию.

Выведем это выражение. Для этого перейдем в каноническом разложении корреляционной функции к пределу при Т- > оо и посмотрим, во что оно обратится. Будем исходить из разложения (17.2.1) корреляционной функции в ряд Фурье на конечном интервале (-Т, 7):

где дисперсия, соответствующая частоте со /(, выражается формулой

Перед тем как переходить к пределу при Г -> оо, перейдем в формуле (17.3.3) от дисперсии D k к средней плотности дисперсии

Так как эта плотность вычисляется еще при конечном значении Т и зависит от Т, обозначим ее:

Разделим выражение (17.3.4) на получим:

Из (17.3.5) следует, что

Подставим выражение (17.3.7) в формулу (17.3.3); получим:

Посмотрим, во что превратится выражение (17.3.8) при Т-> оо. Очевидно, при этом Асо -> 0; дискретный аргумент со /(переходит в непрерывно меняющийся аргумент со; сумма переходит в интеграл по переменной со; средняя плотность дисперсии S X T) ( со А.) стремится к плотности дисперсии А Л.(ю), и выражение (17.3.8) в пределе принимает вид:

где S x (со) -спектральная плотность стационарной случайной функции.

Переходя к пределу при Г-> оо в формуле (17.3.6), получим выражение спектральной плотности через корреляционную функцию:

Выражение типа (17.3.9) известно в математике под названием интеграла Фурье. Интеграл Фурье есть обобщение разложения в ряд Фурье для случая непериодической функции, рассматриваемой на бесконечном интервале, и представляет собой разложение функции на сумму элементарных гармонических колебаний с непрерывным спектром 1 .

Подобно тому как ряд Фурье выражает разлагаемую функцию через коэффициенты ряда, которые в свою очередь выражаются через разлагаемую функцию, формулы (17.3.9) и (17.3.10) выражают функции к х (т) и А х (к>) взаимно: одна через другую. Формула (17.3.9) выражает корреляционную функцию через спектральную плотность; формула

(17.3.10), наоборот, выражает спектральную плотность через корреляционную функцию. Формулы типа (17.3.9) и (17.3.10), связывающие взаимно две функции, называются преобразованиями Фурье .

Таким образом, корреляционная функция и спектральная плотность выражаются одна через другую с помощью преобразований Фурье.

Заметим, что из общей формулы (17.3.9) при т = 0 выводится ранее полученное разложение дисперсии по частотам (17.3.2).

На практике вместо спектральной плотности S x (со) часто пользуются нормированной спектральной плотностью:

где D x - дисперсия случайной функции.

Нетрудно убедиться, что нормированная корреляционная функция р л (т) и нормированная спектральная плотность л Л (со) связаны теми же преобразованиями Фурье:

Полагаявпервомизравенств(17.3.12)т = 0иучитывая,что р т (0)= 1, имеем:

т.е. полная площадь, ограниченная графиком нормированной спектральной плотности, равна единице.

Пример 1. Нормированная корреляционная функция р х (т) случайной функции X(t) убывает по линейному закону от единицы до нуля при 0 т 0 р л.(т) = 0 (рис. 17.3.3). Определить нормированную спектральную плотность случайной функции X(t).

Решение. Нормированная корреляционная функция выражается

формулами:

Из формул (17.3.12) имеем:

Рис. 17.3.3

Рис. 17.3.4

График нормированной спектральной плотности представлен на рис. 17.3.4. Первый - абсолютный - максимум спектральной плотности достигается при со = 0; раскрытием неопределенности

спектральная плотность достигает ряда относительных максимумов, высота которых убывает с возрастанием со; при ю -> оо л А. (о>)->0. Характер изменения спектральной плотности s x (со) (быстрое или медленное убывание) зависит от параметра т 0 . Полная площадь, ограниченная кривой s x (со), постоянна и равна единице. Изменение т 0 равносильно изменению масштаба кривой,s" A .(co) по обеим осям при сохранении ее площади. При увеличении т 0 масштаб по оси ординат увеличивается, по оси абсцисс - уменьшается; преобладание в спектре случайной функции нулевой частоты становится более ярко выраженным. В пределе при т -> оо случайная функция вырождается в обычную случайную величину; при этом р д (т) = I, а спектр становится дискретным с одной-единственной частотой со 0 = 0.

Рис. 17.3.5

Пример 2. Нормированная спектральная плотность.v v (co) случайной функции X(t) постоянна на некотором интервале частот а> ь а> 2 и равна нулю вне этого интервала (рис. 17.3.5).

Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции X(t).

Решение. Значение х л (со) при «ц 2 определяем из условия, что площадь, ограниченная кривой s x (со), равна единице:

Из (17.3.12) имеем:

Общий вид функции р д (т) изображен на рис. 17.3.6. Она носит характер убывающих по амплитуде колебаний с рядом узлов, в которых функция обращается в нуль. Конкретный вид графика, очевидно, зависит от значений a>а> 2 .

Рис. 17.3.6

Представляет интерес предельный вид функции р х (т) при «ц -> ю 2 . Очевидно, при ю 2 = оу = со спектр случайной функции обращается в дискретный с одной-единственной линией, соответствующей частоте со; при этом корреляционная функция обращается в простую косинусоиду:

Посмотрим, какой вид в этом случае имеет сама случайная функция X(t). При дискретном спектре с одной-единственной линией

спектральное разложение стационарной случайной функции X(t) имеет вид;

где U vlV -некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и равными дисперсиями:

Покажем, что случайная функция типа (17.3.14) может быть представлена как одно гармоническое колебание частоты со со случайной амплитудой и случайной фазой. Обозначая

приводим выражение (17.3.14) к виду:

В этом выражении - случайная амплитуда; Ф - случайная фаза гармонического колебания.

До сих пор мы рассматривали только тот случай, когда распределение дисперсий по частотам является непрерывным, т.е. когда на бесконечно малый участок частот приходится бесконечно малая дисперсия. На практике иногда встречаются случаи, когда случайная функция имеет в своем составе чисто периодическую составляющую частоты о>а со случайной амплитудой. Тогда в спектральном разложении случайной функции, помимо непрерывного спектра частот, будет фигурировать еще отдельная частота со*, с конечной дисперсией D k . В общем случае таких периодических составляющих может быть несколько. Тогда спектральное разложение корреляционной функции будет состоять из двух частей: дискретного и непрерывного спектра:

Случаи стационарных случайных функций с таким «смешанным» спектром на практике встречаются довольно редко. В этих случаях всегда имеет смысл разделить случайную функцию на два слагаемых - с непрерывным и дискретным спектром - и исследовать эти слагаемые в отдельности.

Нередко приходится иметь дело с частным случаем, когда конечная дисперсия в спектральном разложении случайной функции приходится на нулевую частоту (со = 0). Это значит, что в состав случайной функции в качестве слагаемого входит обычная случайная величина с дисперсией D 0 . В подобных случаях также имеет смысл выделить это случайное слагаемое и оперировать с ним отдельно.

• Формула (17.3.9) является частным видом интеграла Фурье, обобщающим разложениев ряд Фурье четной функции по косинусным гармоникам. Аналогичное выражение может быть написано и для более общего случая.
• Здесь мы имеем дело с частным случаем преобразований Фурье - с так называемыми«косинус-преобразованиями Фурье».