Разложение функции в ряд фурье. Разложение непериодических функций. Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.

Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд

который на некотором интервале сходился и его сумма была равна
, т.е.

= ..

Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.

Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.

Итак, предположим, что функция
имеет производные любого порядка. Можно ли её разложить в степенной ряд, если можно, то как найти этот ряд? Проще решается вторая часть задачи, с неё и начнем.

Допустим, что функцию
можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в интервале, содержащем точкух 0 :

= .. (*)

где а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а п ,... – неопределенные (пока) коэффициенты.

Положим в равенстве (*) значение х = х 0 , тогда получим

Продифференцируем степенной ряд (*) почленно

= ..

и полагая здесь х = х 0 , получим

При следующем дифференцировании получим ряд

= ..

полагая х = х 0 , получим
, откуда
.

После п -кратного дифференцирования получим

Полагая в последнем равенстве х = х 0 , получим
, откуда

Итак, коэффициенты найдены

,
,
, …,
,….,

подставляя которые в ряд (*), получим

Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции
.

Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х 0 ), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.

Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х 0 . Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.

3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Сформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.

Если функция
в некоторой окрестности точки х 0 имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно, то в этой окрестности имеет место формула Тейлора

где R n (х )-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)

где точка ξ лежит между х и х 0 .

Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п - фиксированное число.

Напомним, что сумма ряда S (x ) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм S п (x ) на некотором промежутке Х :

Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X

Запишем формулу Тейлора в виде, где

Заметим, что
определяет ту ошибку, которую мы получаем, заменяй функцию f (x ) многочленом S n (x ).

Если
, то
,т.е. функция разлагается в ряд Тейлора. Инаоборот, если
, то
.

Тем самыммы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.

Для того, чтобы в некотором промежутке функция f (х) разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке
, где R n (x ) - остаточный член ряда Тейлора.

С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Если в некоторой окрестности точки х 0 абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ≥ 0, т.е.

, т о в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.

Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки х 0 :

1. Находим производные функции f (x ):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.

4. Проверяем выполнение достаточных условий, т.е. устанавливаем, для каких х из области сходимости, остаточный член R n (x ) стремится к нулю при
или
.

Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.

Как вставить математические формулы на сайт?

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а .

Если для некоторого значения х r n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:

1) она имеет производные всех порядков;

2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :

Пример 1 f(x)= 2 x .

Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0

f(x) = 2 x , f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2 x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥