Презентация к уроку по алгебре (7 класс) на тему: Числовые выражения. §1. числовые выражения. Числовые и алгебраические выражения

Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.

Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.

В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.

Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.

Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);

находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;

вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;

возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);

возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);

находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);

вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);

используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;

дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .

Примеры решения

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.

Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).

Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.

Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).

Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.

Заключение

При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.

Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.

Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Презентация по математике на тему "Алгебраические выражения" (7 класс). Эта презентация разработана для рассмотрения новой темы по математике в седьмом классе "Алгебраические выражения". Приведены примеры алгебраических выражений, дано определение алгебраических выражений. Показано различие алгебраического выражения от числового выражения. Приведены примеры для чего нужно уметь составлять алгебраические выражения, то есть, где они применяются. Рассматриваются примера на составление алгебраических выражений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Алгебраические выражения.

Проверка домашнего задания. Какие сведения из математики вам пришлось вспомнить в процессе выполнения домашнего задания?

Порядок арифметических действий. Переместительный закон сложения: a + b = b + a Переместительный закон умножения: a * b = b * a Сочетательный закон сложения: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = a(bc) Понятие обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицательного числа. Арифметические операции с десятичными дробями. Арифметические операции с обыкновенными дробями. Основное свойство обыкновенной дроби: Правила действий с десятичными дробями.

Пример 1 Один холодильник стоит 350 $ . Тогда два холодильника стоят в два раза больше, т.е. 350·2=700 $ ; пять холодильников стоят в пять раз дороже, т.е. 350·5=1750 $ . Легко сообразить, что а холодильников стоят в а раз больше, т.е. 350· а $ С помощью выражения 350· а можно находить стоимость различного числа а холодильников, подставляя различные значения а и выполняя умножение. Так как буква а может принимать различные натуральные значения, то а – переменная 350· а – алгебраическое выражение (или выражение с переменной)

Пример 2. Пусть длина одной стороны прямоугольника а см, другой – b см. Найдем периметр прямоугольника. b a P = 2 a + 2 b a , b – переменные 2 a + 2 b – алгебраическое выражение

Пример 3. Запись 2a – 3b + 5 – алгебраическое выражение с переменными a и b . - алгебраическое выражение с переменными x и y .

Пример 4. Найдем значение выражения при a = 3 , b = 4 и с =2 В данное алгебраическое выражение подставим значения переменных a = 3 , b = 4 , c = 2 . Получаем числовое выражение. Выполнив действия, найдем его значение: = = = 9 Число 9 является значением алгебраического выражения для данных значений переменных. Значение числового выражения, которое получается при подстановке выбранных значений переменных в алгебраическое выражение, называют значением алгебраического выражения.

Тема: Повторение. Числовые выражения

Цель урока : актуализация и обобщение знаний и умений по теме «Числовые выражения», введение в алгебру

Планируемые результаты:

предметные: умение в процессе реальной ситуации использовать навыки выполнения арифметических действий над десятичными и обыкновенными дробями, положительными и отрицательными числами; умение грамотно и точно использовать математический язык в процессе решения упражнений;

личностные : умение работать индивидуально, в парах и группах, слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения, формирование устойчивой мотивации и сознательного отношения к учебе, развитие творческих способностей;

метапредметные: умение объяснять смысл выполняемых действий; умение обрабатывать информацию; формирование коммуникативной компетенции обучающихся; умение контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности, наблюдать, анализировать, делать выводы.

Задачи:

образовательные : обеспечить осознанное усвоение правил выполнения арифметических действий над десятичными и обыкновенными дробями, положительными и отрицательными числами; закрепить вычислительные навыки и умения; создать условия для систематизации, обобщения и углубления знаний обучающихся при решении заданий по теме «Числовые выражения».

воспитательные : формировать внимательность и точность в вычислениях; воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому мнению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.

развивающие : способствовать развитию творческой активности обучающихся; повышать познавательный интерес к предмету; развивать логическое и образное мышление, способность рассуждать и делать выводы.

Тип урока: комбинированный урок (повторение и обобщение знаний и умений, введение в алгебру)

Формы работы обучающихся: Фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Необходимое оборудование: доска, компьютер, проектор, презентация, карточки с заданиями,

Этапы урока:

1. Организационный момент (организация внимания, создание позитивного настроя, мотивация на активную деятельность, контроль санитарно-гигиенических условий работы: уровень освещённости и т.п.)

Учитель: Здравствуйте, ребята! Я рада вас видеть повзрослевшими, отдохнувшими, бодрыми и весёлыми! Сегодня мы встретились после длинных, приятных, летних каникул, хочу, чтобы летнее настроение осталось с вами и помогало в учёбе, ведь в этом году мы с вами будем встречаться на уроках 5 дней в неделю, как и раньше.

2. Повторение (актуализация знаний и умений, интерактивная беседа)

Учитель: Давайте вспомним, чем мы занимались на уроках математики? (дети отвечают, среди ответов обязательно будет «решение примеров» или «вычисления»)

Правильно, выполняли вычисления, то есть находили значения числовых выражений. Повторим самые важные правила вычислений и решим устно следующие примеры (слайд №2)

2,3+4,5 12,7+ 3,8 3,12+0,8 5,7-2,4 9,1-4,5

Как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей? На что нужно обращать внимание?

(Слайд3): 6,2×5 2,5×0,4 1,25×0,8 8,46:2 3,5:0,5 13,5:0,03

Как выполнить умножение десятичных дробей? Сформулируйте правило деления десятичной дроби на натуральное число. Как выполнить деление на десятичную дробь? На что обращаем внимание при выполнении этих вычислений?

Кроме десятичных дробей, какими числами мы можем оперировать? (дети отвечают, среди ответов обязательно будет «обыкновенные дроби»)

Повторим правила действий с обыкновенными дробями (слайд №4)

Сформулировать правила сложения и вычитания обыкновенных дробей. Как выполнить умножение обыкновенных дробей? Как выполнить деление обыкновенных дробей? На что нужно обратить внимание?

В 6 классе мы изучали положительные и отрицательные числа, умеем выполнять арифметические действия с ними (слайд №5). Вычисляем устно, проговариваем решение:

2,3-5,6 -8,1-2,9 -6,3+ 2,8 -2,8×3 -5,4×(-) 0,21×(-0,4) 12,9: (-0,3) )

Вспомним правила действий с отрицательными числами, числами с разными знаками. Напомните, на что нужно обратить особое внимание?

Замечание: в зависимости от уровня обученности класса можно часть устных упражнений выполнить письменно (в тетради, у доски, с подробным комментарием)

3. Работа в группах (класс делится на группы по принципу: 1 парта + 2 парта = группа, каждая группа получает задание на листке в клетку)

Учитель: Откройте тетради, запишите число, начнём письменную часть классной работы, определим цель урока (дети отвечают, кто-нибудь назовет «повторение»). Запишем тему урока: Повторение. Числовые выражения.

Мы повторили правила выполнения арифметических действий, которые знаем из курса 5-6 классов. Задания группам: Вы получили пример из 4-х действий (сложение, вычитание, умножение, деление), все вычисления можно выполнять письменно. На полученном листке вы записываете и выполняете первое действие, затем листок с примером передаете следующей группе, та выполняет на нем следующее действие, передает листок следующей группе, та выполняет следующее действие и т.д. Если не доверяете предыдущей группе, то проверяйте её работу, ведь от правильности работы каждой группы зависит ответ. Каждое новое задание делает другой член группы, но вы всегда можете помочь друг другу. Приступаем, время работы - 5-6 минут.

1) 7,72·2 -4,06: (0,824+1,176)= 2) (3,52:1,1+6,2) ·(7 - 4,6)=

3) (15,8+9,32) : (6,24 - 1,6·3,9)= 4) (2,86:2,6 - 0,8) ·(3,4+7,04)=

5) (4,85+12,602): (11,985 - 2,82·4,25)= 6) (3,75:1,25 - 0,75) ·0,5 + 0,875=

Замечание: в зависимости от уровня обученности класса можно задание изменить на: Составьте самостоятельно и запишите пример из 4-х действий…

Проверка результатов групповой работы (слайд №6)

Обсуждение результатов: Почему нет ответов в примерах 3 и 5? Я ошиблась? Что у вас получилось? Объясните! (нужно вывести обучающихся на понимание факта: нельзя делить на нуль!) О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла. А у вас получился ответ в этих упражнениях? Кто может сделать вывод?

4. Самостоятельная (тренировочная) работа (слайд №7, форма работы: индивидуальная, с взаимопроверкой)

Учитель : Выполним небольшую работу самостоятельно, вам необходимо оценить личный уровень знаний по теме. Приступаем, время работы - 5 минут.

1 вариант: №3(а), №11(а) 2 вариант: №3(б), №11(б)

5. Мини-лекция

Учитель: Я хочу вернуться к вопросу, который задала в начале урока: Чем мы занимались на уроках математики? (дети отвечают, кто-нибудь назовет «решали уравнения»)

Действительно, мы часто решали уравнения! Решать уравнения - это искусство! Вспомним высказывание выдающегося ученого XX века Альберта Эйнштейна: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно» (слайд №8)

Алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с потребностями практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны те приёмы решения уравнений, которые вы узнали в 6- м классе. А в Индии умели решать некоторые уравнения ещё в 499 году (слайды №9,10), но европейцы об этом узнали, прочитав трактат азиатского математика аль-Хорезми.

Само слово «алгебра» возникло после появления трактата «Китаб аль-джебр валь-мукабала» математика и астронома из г.Хивы (современный Узбекистан) Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми (787-ок.850). Термин «аль-джебр», взятый из названия этой книги, стал употребляться как «алгебра» (слайд №11)

Но до XVI века изложение алгебры велось в основном словесно, посмотрите, как записывали уравнения в то время (слайд №12), мы, современные люди, не можем даже прочитать это, не только решить! Сложно и странно, правда?

Привычные нам знаки сложения и вычитания появились только в XVI веке в трудах немецких математиков, знак умножения появился ещё позже, а знак деления был введен только в XVII веке (слайд №13)

Современная алгебра - один из основных разделов математики и, чтобы это произошло, многие выдающиеся люди своего времени вложили свой талант и труд (слайд №14). В школе мы изучаем простейшие основы этой науки, на базе которых вы в дальнейшем будете строить свое образование.

6. Работа с учебником

Учитель: Таким образом, мы с вами изучили школьную арифметику, а теперь будем изучать алгебру и геометрию (слайд №15). Познакомимся с учебником алгебры (дать время на ознакомление, обратить внимание на стр.222 и стр.226)

Прочитайте п.1 Числовые выражения

Какие вопросы у вас есть по содержанию пункта? Что новое вы узнали? На что нужно обратить внимание? Что нужно запомнить? Выполним №13 (устно)

7. Этап рефлексии (подведение итогов урока, информация о домашнем задании)

Учитель : Запишите домашнее задание в дневник: п.1 прочитать, выполнить письменно №4, №5, №12;

для желающих стр.222 «Как появилась алгебра» прочитать, №11 (в,г) (слайд №16).

Есть вопросы по содержанию домашнего задания? (ответить, если есть)

Давайте мысленно подведем итог урока, оценим собственную успешность и вспомним, как составляли синквейны в прошлом году! Я предлагаю вам слово «АЛГЕБРА» (дети предлагают слова, получится что-то типа слайда №17, слова можно записать на доске)

Мне сегодня было приятно с вами работать, спасибо, урок окончен.

Литература:

Алгебра.7класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред.С.А.Теляковского. - М.: Просвещение, 2011-2015

>>Математика: Числовые и алгебраические выражения

Числовые и алгебраические выражения

В младших классах вы учились проводить вычисления с целыми и дробными числами , решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной плоскостью. Все это составляло содержание одного школьного предмета «Математика» . В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т.д. У каждой дисциплины - свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности.

Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления , но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, четче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача - помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача - не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая трудности.

На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения.

Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 57 - числовое выражение, тогда как 3 + : - не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита); тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, алгоритмы, формулы, теоремы.

Пример 1 . Упростить числовое выражение:

Решение . Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для этого придется использовать принятые в математике соглашения о порядке действий. Порядок действий в данном примере будет таким:

1) найдем значение А выражения в первых скобках:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) найдем значение В выражения во вторых скобках:

3) разделим А на Б - тогда будем знать, какое число С содержится в числителе (т. е. над горизонтальной чертой);

4) найдем значение D знаменателя (т. е. выражения, содержащегося под горизонтальной чертой):
D = 25 - 37- 0,4;

5) разделим С на D - это и будет искомый результат. Итак, план вычислений есть (а наличие плана - половина
успеха!), приступим к его реализации.

1) Найдем А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, можно считать подряд или, как говорится, «в к лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить
3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так:

(2,73 + 3,27) + 4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.

А теперь еще раз вместе проанализируем, какие математические факты нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причем не просто вспомнить, но и использовать).

1. Порядок арифметических действий.

2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Запись, которая состоит из чисел, знаков и скобок, а также имеет смысл, называется числовым выражением.

Например, следующие записи:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

будут являться числовыми выражениями. Следует понимать, что одно число тоже будет являться числовым выражением. В нашем примере, это число 13.

А, например, следующие записи

• 100 - *9,
• /32)343

не будут являться числовыми выражениями, так как они лишены смысла и являются просто набором чисел и знаков.

Значение числового выражения

Так как в качестве знаков в числовых выражениях входят знаки арифметических действий, то мы можем посчитать значение числового выражения. Для этого необходимо выполнить указанные действия.

Например,

(100-32)/17 = 4, то есть для выражения (100-32)/17 значением этого числового выражения будет являться число 4.

2*4+7=15, число 15 будет являться значением числового выражения 2*4+7.

Часто для краткости записи не пишут полностью значение числового выражения, а пишут просто "значение выражения", опуская при этом слово «числового».

Числовое равенство

Если два числовых выражения записаны через знак равно, то эти выражения образуют числовое равенство. Например, выражение 2*4+7=15 является числовым равенством.

Как уже отмечалось выше, в числовых выражениях могут использоваться скобки. Как уже известно скобки влияют на порядок действий.

Вообще, все действия разделены на несколько ступеней.

• Действия первой ступени: сложение и вычитание.
• Действия второй ступени: умножение и деление.
• Действия третей ступени – возведение в квадрат и возведение в куб.

Правила при вычислении значений числовых выражений

При вычислении значений числовых выражений следуют руководствоваться следующими правилами.

• 1. Если выражение не имеет скобок, то надо выполнять действия начиная с высших ступеней: третья ступень, вторая ступень и первая ступень. Если имеется несколько действий одной ступени, то их выполняют в порядке в котором они записаны, то есть слева на право.
• 2. Если в выражении присутствуют скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а лишь затем все стальные действия в обычном порядке. При выполнении действий в скобках, если их там несколько, следует пользоваться порядком описанным в пункте 1.
• 3. Если выражение представляет собой дробь, то сначала вычисляются значении в числителе и знаменателе, а потом числитель делится на знаменатель.
• 4. Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то выполнять действия следует с внутренних скобок.