Обменное взаимодействие. Обменное взаимодействие в магнетизме

При рассмотрении нерелятивистского электрического взаимодействия микрочастиц спин не учитывают. С точки зрения математики это значит, что гамильтониан системы заряженных частиц при отсутствии магнитного поля не имеет операторов спина, значит, применение его к волновой функции не действует на спиновые переменные. Волновая функция при этом может быть представлена как произведение:

где $\varphi \left({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots \right)=R_{n,l}Y_{l,m}-\ $зависит только от координат частиц (пространственная (координатная или орбитальная) волновая функция), $\gamma \left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,\right)$ - зависит от спинов частиц (спиновая волновая функция). Уравнение Шредингера определяет орбитальную функцию ($\varphi $). Если спин частиц для решения поставленных задач, существенным не является, применяют уравнение Шредингера и функцию $\varphi .$ Но, следует отметить, что если электрическое взаимодействие частиц не зависит от спина, то энергия системы от полного спина зависит. Что является следствием тождественности частиц.

Рассмотрим систему из двух одинаковых частиц. Решая уравнение Шредингера, мы получим совокупность уровней энергии. Каждому такому уровню энергии соответствует пространственная волновая функция, которая является симметричной или антисимметричной ($\varphi ({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2)$).

Пусть частицы имеют спин равный нулю. Спиновый множитель в данном случае отсутствует. Координатная функция должна быть симметричной (имеем дело с бозе частицами). Не все уровни энергии при формальном решении уравнения Шредингера реализуются. Рассматриваются только те, которые соответствуют симметричным функциям $\varphi .$ Система из двух частиц с нулевым спином имеет только четный орбитальный момент.

Рассмотрим систему из двух электронов. Их спины равны $\frac{1}{2}.$ В данном случае $\psi \left(q_1,q_2\right)$ является антисимметричной. Это означает, что при симметричной координатной функции спиновая волновая функция будет антисимметричной (и наоборот). Чаще всего спиновую функцию в квантовой механике записывают в виде спинора (например, как спинор второго ранга ${\gamma }^{\alpha \beta },\ $где индексы обозначают спин одного из электронов). Антисимметричный спинор:

Симметричный спинор второго ранга описывает систему с полным спином равным единице (триплетное состояние), а антисимметричный спинор сведется к скаляру, при этом спин равен нулю (синглетное состояние). Это означает, что значения энергии, которые связаны с антисимметричными функциями $\varphi ,$ требуют полного спина, который равен единице (спины электронов «параллельны»). То есть возможные варианты значений энергии системы электронов зависят от полного спина. При этом говорят о специфическом взаимодействии частиц, которое ведет к такой зависимости. Данный вид взаимодействия называют обменным. Это исключительно квантовый вид взаимодействия. При переходе к классической механике этот эффект полностью исчезает (как и само понятие спина).

Замечание 1

Обменное взаимодействие возможно не только для сил Кулона, но и для любых других сил, которые возможны в системе одинаковых частиц, не зависимо от их природы. Так, обменное взаимодействие имеет место между нуклонами ядра атома. Оно проявляется в насыщении ядерных сил. Ферромагнетизм был объяснен с применением понятия обменного взаимодействия.

Простейшей системой, в которой рассматривают обменное взаимодействие, является двухэлектронный атом гелия (или молекула водорода). При этом рассматривают возбужденные уровни гелия. Обменное взаимодействие ведет к расщеплению энергоуровней. Возбужденные уровни в парагелии являются синглетами, а в ортогелии триплетами. Орто и парагелий один химический элемент, но находящийся в разных квантовых состояниях.

Для $1snl$ конфигурации расчет энергии взаимодействия электронов проводят как:

\ - энергия взаимодействия двух «размазанных» электронов (с силами Кулона),
\ - обменная энергия. Данная энергия не имеет классического толкования. Она является частью (в данном случае) энергии взаимодействия двух электронов. Образно говоря, $I_{ob}$ возникает так как любой электрон находится в состоянии ${\varphi }_{1s}\ и\ {\varphi }_{nl}.\ $При этом знак плюс в выражении (3) соответствует синглетному состоянию терма, знак минус -- триплету. Из формулы (3) становится очевидным, что величина энергии триплетного состояния меньше, чем синглетного. С точки зрения физики это понятно. Если пространственная функция является симметричной ($S=0$, спины являются антипараллельными), то электроны располагаются ближе друг к другу, значит энергия их взаимодействия выше, чем у триплета. В триплетном состоянии пространственная волновая функция антисимметрична, электроны более удалены друг относительно друга.

Так, взаимодействие электронов ведет к тому, что термы, обладающие одной конфигурацией, имеют разную энергию, при этом ниже по энергии находится триплет. Схему расщепления можно изобразить как на рис.1

Рисунок 1.

Пример 1

Задание: Возбужденное состояние атома имеющего электронную конфигурацию $nsn^l$, где $n\ne n"$ соответствуют два терма вида: ${}^1L$ и ${}^3L$, где $L$ -- суммарный орбитальный момент, $L=l$. Покажите, что если рассмотреть взаимодействие между электронами как возмущение можно показать, что энергия триплета ниже, чем энергия синглета.

Решение:

Пространственную компоненту волновой функции для стационарных состояний атома можно представить как:

\[\varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{{\varphi }_1\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\varphi }_2\left({\overrightarrow{r}}_2\right)\pm {\varphi }_2\left({\overrightarrow{r}}_1\right){\varphi }_1\left({\overrightarrow{r}}_2\right)\right\}\left(1.1\right),\]

где плюс относится к синглету, минус к триплету. При этом ${\varphi }_1\left(\overrightarrow{r}\right)$ представляет волновую функцию $ns-$электронов, а ${\varphi }_2\left(\overrightarrow{r}\right)$ описывает состояние $n"l$ -- электронов. При этом мы понимаем, что рассматриваем только электроны, которые находятся вне заполненных оболочек. Присутствие электронов заполненных оболочек проявляется в записи конкретного вида волновых функций (${\varphi }_{12}$), который определяется самосогласованным полем. Если взаимодействие $ns-и\ n"l$ -- электронов не учитывать в волновой функции (1.1), то изменение энергии за счет взаимодействия можно определить как:

\[\triangle E_{s\left(a\right)}=I_k\pm I_{ob}\ \left(1.2\right),\]

где обменный интеграл равен:

и он определяет энергетическое расцепление синглетного и триплетного термов. Сравним, данный интеграл с нулем. Для этого будем считать, что волновая функция ${\varphi }_1$ является вещественной, при этом ${\varphi }_2$ представим как:

\[{\varphi }_2={\xi }_1+i{\xi }_2\left(1.4\right),\]

где ${\xi }_1и\ {\xi }_2$ вещественные функции, тогда выражение (1.3) можно преобразовать к виду:

То, что выражение (1.5) является положительным, следует из формулы для энергии электростатического поля, которое создается зарядом, который распределен с плотностью $\rho \left(\overrightarrow{r}\right):$

Ответ: Так, как $I_{ob} >0$, следует, что энергия триплета ниже, чем энергия синглета.

Пример 2

Задание: Чем объясняется понижение энергоуровней парасостояния гелия и повышение уровней ортосостояния гелия.

Решение:

Понижение энергоуровней парасостояния гелия и повышение уровней ортосостояния гелия объясняется наличием обменной энергии.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

КАФЕДРА функциональных наносистем и высокотемпературных материалов

Реферат

по курсу «Магнитные свойства наноструктурных и функциональных материалов»

на тему « Обменное взаимодействие »

Выполнил: Магистр Турганов З.Т.

Группа МФХ-14-3

Проверил: д.ф.-м.н., профессор Ховайло В.В.

Москва 2015

Введение

1.1 Обменное взаимодействие

1.2 Обменное взаимодействие бозонов и фермионов

1.3 Внутриатомное и межатомное обменное взаимодействие электронов. Симметричность волновых функций

1.4 Обменное взаимодействие электронов в атомах. Гелий

1.5 Псевдодипольное и антисимметричное обменные взаимодействия

1.6 РККИ-обменное взаимодействие

1.7 Энергия обменного взаимодействия

Глава 2. Модель Гейзенберга

2.1 Модели с Гейзенберговским гамильтонианом

2.2 Модель Изинга и XY-модель

2.3 Анизотропные модели. Гамильтониан Хаббарда

Глава 3. Косвенный обмен

3.1 Двойной обмен

3.2 Виды обмена спинами

Список использованной литературы

Введение

Обменное взаимодействие -- взаимодействие тождественных частиц в квантовой механике, приводящее к зависимости значения энергии системы частиц от её полного спина. Представляет собой чисто квантовый эффект, исчезающий при предельном переходе к классической механике.

Понятие обменного взаимодействие напрямую связано с концепцией спина, которая разрабатывалась в конце 20-х годов XX века в работах Уленбека, Гаудсмита, Дирака,Паули, Гейзенберга и других. Концепция обмена возникла при изучении спектров излучения атома гелия, интерпретация которых была дана Гейзенбергом в 1926 году. Она объясняет существование двух «типов» гелия: орто- и парагелия, различающихся спиновой конфигурацией электронов.Молекула водорода была описана Вальтером Гайтлером и Фрицем Лондоном через год после гейзенберговской теории гелия. Они впервые показали роль обменного взаимодействия в химии. В том же 1927 году Гейзенберг описал ферромагнетизм. Дираком в 1929 был предложен модельный гамильтониан, содержащий скалярное произведение операторов спинов. Его модель была обобщена ван Флеком в 1932 году. Этим работам предшествовала модель, предложенная в 1920 году Вильгельмом Ленцем (англ.) и позднее развитая его учеником Эрнстом Изингом (англ.) (1925 год), в которой рассматривалась одномерная решётка спинов, которые могли ориентироваться только вдоль выбранного направления. Первоначально, она не получила признания, так как не объясняла явления ферромагнетизма, но к 40-м было показано, что она хорошо описывает магнетизм двухэлементных сплавов (1938 год -- статья Ханса Бете) и может быть применена не только в магнетизме.

Дальнейшее развитие теории было связано с изучением внутренних механизмов обменного взаимодействия. В то время как первые работы были посвящены так называемому прямому обменному взаимодействию, которое реализуется через непосредственное перекрытие волновых функций соседних атомов, его реальный механизм может существенно отличаться в различных классах соединений. Обменное взаимодействие, возникающие иными способами получило название косвенного. В 1950 году была предложена теория Хендрика Крамерса и Филипа Андерсона, объясняющая антиферромагнетизм соединений d-металлов типа оксида марганца. К середине 50-х появилась теория РККИ-обменного взаимодействия. Позднее было дано объяснение так называемого слабого ферромагнетизма исходя из идеи анизотропных моделей.

В настоящее время развитие теории связано с необходимостью учёта обменного взаимодействия как наиболее сильного из магнитных взаимодействий и его ролью в теорииспиновых волн.

бозон фермион электрон гамильтониан

Глава 1

1.1 Обменное взаимодействие

В химию понятие "обменное взаимодействие" было введено в 1927 В. Гайтле-ром и Ф. Лондоном в задаче расчета энергии основного состояния молекулы Н2. Было показано, что возникновение обменного взаимодействия является причиной образования ковалентыой хим. связи. Пусть состояние электрона одного атома характеризуется волновой ф-цией jA(r1), электрона другого атома-ф-цией jB(r2). В нулевом приближении, т.е. при пренебрежении взаимод. между электронами, волновая ф-ция системы двух электронов равна произведению jА(r1) jB(r2). Вследствие квантовомех. неразличимости одинаковых частей этой же энергии будет отвечать волновая ф-ция jA(r2)jB(r1), соответствующая обмену электронов между атомами, т.е. имеет место т. наз. обменное вырождение. Ур-нию Шрёдингера будут удовлетворять две линейные комбинации этих ф-ций:

где -интеграл перекрывания электронных волновых ф-ций атомов А и В (см. Молекулярные интегралы). Полная волновая ф-ция системы является антисимметричной относительно перестановок электронов(т.е. меняет знак при таких перестановках) и строится из произведений пространственных (координатных) ф-ций и на соответствующие спиновые ф-ции (спин-ф-ции). Из требования антисимметричности вытекает, что ф-ция отвечает противоположному направлению спинов электронов и полному электронному спину системы S=0 (синглет-ное состояние), ф-ция -параллельно направленным спинам и полному электронному спину S= 1 (триплетное состояние). Энергия взаимод. атомов А и В в этих состояниях (и соотв.) вычисляется как среднее значение оператора взаимод. U^вз:

Интеграл К представляет классич. энергию кулоновского взаимод. пространственно распределенных зарядов; интеграл А наз. о б м е н н ы м и н т е г р а л о м, характеризует энергию обменного взаимодействия и не имеет классич. аналога. Он появляется вследствие того, что каждый электрон, как это следует из вида волновых ф-ций, с равной вероятностью может находиться как у атома А, так и у атома В. При этом в случае симметричной координатной ф-ции вероятность для электронов расположиться в пространстве между ядрами увеличивается, а в случае антисимметричной ф-ции уменьшается по сравнению с невзаимодействующей системой независимыхатомов, т.е. появляются силы, к-рые имеют квантовомех. природу и воздействуют на электроны так, что изменяют вероятность их распределения в пространстве, а следовательно, и энергию взаимодействия. Эти силы и являются причиной возникновения обменного взаимодействия. И хотя полная энергия системы зависит от значения электронного спина, вследствие зависимости перестановочной симметрии координатной волновой ф-ции от полного электронного спина, энергия обменного взаимодействия не имеет отношения к взаимод. спинов, а является частью электростатич. энергии, к-рая обусловлена квантовой природой электронов.

Обменный интеграл (5) экспоненциально убывает с ростом расстояния между атомами, т.к. зависит от степени перекрывания волновых ф-ций. Поэтому обменное взаимодействие проявляется лишь при непосредственном сближении атомов. В отличие от электромагнитных и гравитационных сил, являющихся дальнодействующими, квантовые обменные силы относятся к близкодействующим, им присуще св-во насыщения. Энергия дальнодействующего взаимод. системы из N частиц пропорциональна числу разл. пар, к-рые можно составить из этих частиц, т.е. N(N -- 1)/2 N2/2 при N >> 1, в то время как энергия обменного взаимодействия пропорциональна числу ближайших пар-соседей, т.е. она пропорциональна N.

В случае многоэлектронных систем знак энергии обменного взаимодействия зависит от строения электронной оболочки взаимод. объектов (атомов, молекул). Если взаимод. атомы с незаполненной валентной оболочкой, энергия обменного взаимодействия отрицательна (атомы притягиваются). Поэтому в согласии с (3) осн. энергетич. состояние большинства молекул синглетно. Обменное взаимодействие является главным стабилизирующим фактором при образовании ко-валентной связи. В случае систем с замкнутыми электронными оболочками энергия обменного взаимодействия положительна, обменное взаимодействие приводит к отталкиванию частиц. Именно такая ситуация имеет место при взаимод. инертных атомов или нейтральных молекул (см. Межмолекулярные взаимодействия).

1.2 Обменное взаимодействие бозонов и фермионов

Характер обменного взаимодействия между частицами с целым спином (бозонами) и полуцелым спином (фермионами) различен. Для фермионов характер обменного взаимодействия обусловлен принципом Паули, согласно которому два фермиона не могут находиться в совершенно одинаковых состояниях. Принцип Паули запрещает двум электронам с параллельными спинами находиться в перекрывающихся допустимых областях. Поэтому на малых расстояниях порядка длины волны де Бройля между электронами, спины которых параллельны, возникает как бы дополнительное отталкивание. В случае антипараллельных спинов возникают силы притяжения, которые играют важную роль при образовании химических связей между атомами. При образовании некоторых молекул, в частности воды и водорода, определенную роль играет обменное взаимодействие между протонами. Обменное взаимодействие характерно для всех фермионов и существует независимо от того, имеются ли между ними другие взаимодействия. Противоположный характер имеет обменное взаимодействие бозонов: чем больше бозонов находится в данном состоянии, тем с большей вероятностью в это состояние переходит ещё один бозон. Это равносильно эффекту притяжения бозонов.

1.3 Внутриатомное и межатомное обменное взаимодействие электронов . Симметричность волновых функций

Электронная и спиновая структура атома описывается уравнением Дирака. Однако для систем с несколькими электронами его анализ очень громоздкий, а качественная картина взаимодействий может быть получена из не зависящего от времени уравнения Паули. Оно является следствием дираковского уравнения при малых скоростях и фактически являет собой уравнение Шрёдингера с дополнительным слагаемым вгамильтониане, учитывающим наличие спина. Немагнитная часть гамильтониана является суммой кинетических энергий электронов и энергии кулоновского взаимодействия электронов с ядром и между собой:

Здесь сумма берётся по N электронам, которые находятся в электростатическом поле ядра зарядом Z, и -- импульс и радиус-вектор i-го электрона, -- диэлектрическая постоянная.

Спин входит в гамильтониан через учёт спин-орбитального взаимодействия. Последнее имеет релятивистскую природу, как и взаимодействие спинов электронов между собой. Релятивистские слагаемые в гамильтониане по своей величине пропорциональны степеням отношения скорости электрона к скорости света и могут быть опущены в первом приближении. Это позволяет разделить переменные и записать полную волновую функцию как произведение координатной и спиновой частей. Для двухэлектронной системы её можно подать в виде

Здесь функция определяется только координатами электронов, а -- их спинами. Так как гамильтониан является суммой гамильтонианов отдельных электронов, точно также должна факторизироваться волновая функция каждого из электронов (так называемая спин-орбиталь -- орбиталь, в которую введен спин как ещё одна переменная):

где R n, l -- радиальная часть, Y l, m -- сферическая гармоника, -- часть волновой функции, зависящая от спина. В случае многих электронов связь между полной волновой функцией и отдельными спин-орбиталями даёт детерминант Слейтера.

Наиболее простой системой, в которой важную роль играет обменное взаимодействие, является двухэлектронная. Она реализуется в атоме гелия и молекуле водорода. Электроны -- это фермионы, поэтому полная волновая функция должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов:

Так как при этом имеет вид (ПолнВолнФунк), антисимметричность может быть получена двумя способами: пространственная часть волновой функции симметрична, а спиновая -- нет, или наоборот. Они являются линейными комбинациями соответствующих частей спин-орбиталей. Поэтому из принципа Паули следуют две возможные формы:

Асимметричная функция соответствует так называемому синглетному состоянию (полный спин равен нулю), а симметричная -- триплетному (полный спин равен единице). Соответствующие пространственные волновые функции имеют вид

В этих формулах запись означает, что электрон, находящийся в точке с радиус-вектором и проекцией спина имеет пространственную волновую функцию и спиновую функцию. Каждая из этих волновых функций должна быть нормирована на единицу.

а) Симметричная волновая функция (связывающая орбиталь)

б) Антисимметричная волновая функция (разрыхляющая орбиталь)

Рисунок -1. Двухэлектронные пространственные волновые функцииразной симметрии (и -- одноэлектронные)

1.4 Обменное взаимодействие электронов в атомах. Гелий

Не учитывающий релятивистские взаимодействия гамильтониан для гелия имеет вид

Изучить энергетические уровни атома гелия можно с помощью теории возмущений. Не очень точные, но достаточно наглядные вычисления могут быть проведены, если в качестве невозмущённого гамильтониана взять, а поправки к нему. Следует отметить, что Гейзенбергом в его работе, посвящённой спектрам гелия, в качестве нулевого приближения был взят гамильтониан, а в качестве поправки выбрано выражение. Этот подход более точен количественно, но и более громоздкий в аналитических вычислениях. В основном состоянии оба электрона гелия находятся на 1sорбитали и вследствие принципа Паули обязаны иметь противоположные направления спинов. Так как их главное, орбитальное и магнитное квантовые числа n , l и m одинаковы, пространственная часть полной волновой функции должна быть симметрична. В таком случае основное состояние характеризуется волновой функцией

где верхний индекс ш нумерует электрон, а нижний обозначает тройку чисел. Таким образом, энергия основного состояния равна

где E 0 является собственным числом оператора и находится из уравнения

Рисунок -2. Спектр гелия. Синглетному переходу с терма 2 1 P 1 на 1 1 S 0 соответствует яркая жёлтая линия (587 нм). Линии, соответствующие переходам с триплетного терма не видны вследствие их малой вероятности: основное состояние является синглетным, а электронные переходы со сменой мультиплетности запрещены правилами отбора.

Природа обменного взаимодействия проявляется при исследовании возбуждённых уровней гелия. Обменное взаимодействие приводит к наличию расщепления энергетических уровней, при котором энергии состояний с занятыми орбиталями 1s2s и 1s2p различны. Возбуждённые уровни могут быть синглетными (парагелий) и триплетными (ортогелий) с волновыми функциями вида

соответственно. Соответствующие им энергии возбуждённых состояний в первом порядке теории возмущений имеют вид

При таком вычислении энергии возбуждённых состояний роль спина сводится к наложению условия на симметричность пространственной части волновой функции. Это приводит к тому, что разница энергий синглетного и триплетного состояний составляет величину 2J . Здесь

называется кулоновским интегралом , а

обменным интегралом (звёздочка обозначает комплексное сопряжение). Кулоновский интеграл показывает силу электростатического отталкивания между плотностями вероятностей электронов и он всегда положительный. Обменный интеграл соответствует изменению энергии при изменении квантовых состояний электронов. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Для гелия, вследствие чего энергия синглетного состояния становится выше. Физический смысл этого состоит в том, что симметричная пространственная волновая функция располагает электроны ближе друг к другу и энергия кулоновского взаимодействия между ними увеличивается.

В действительности, вероятность наблюдения синглетного перехода 2 1 P 1 > 1 1 S 0 намного выше, чем вероятность наблюдать возбуждение электронов на триплетный уровень с меньшей энергией. Это связано с тем, что согласно правилам отбора электронных спектров переходы между энергетическими уровнями разной мультиплетности запрещены. Получить парагелий с триплетной волновой функцией и спином, равным единице, можно бомбардируя ортогелий электронным пучком. Так как в пучке есть электроны с различными направлениями спина, один из электронов в атоме гелия может быть выбит и замещён электроном, чей спин противоположен спину выбитого. Так как возвращение в основное состояние связано со сменой мультиплетности, оно маловероятно и время жизни парагелия достаточно велико.

1.5 Псевдодипольное и антисимметричное обменные взаимодействия

Анизотропные взаимодействия играют важную роль в объяснении свойств антиферромагнитных купратов. Возникновение специальных типов анизотропного обмена можно показать на примере двух магнитных ионов для которых малой поправкой к гамильтониану считаются сумма вкладов спин-орбитальных взаимодействий каждого из ионов и обменного взаимодействия между ионами. Третий порядок теории возмущений приводит к изменению невозмущённого гамильтониана на величину

Здесь g i -- основное состояние, а -- константа обменного взаимодействия между ионами для соответствующих состояний кадого из них. С одной стороны эта поправка может рассматриваться как анизотропное обменное взаимодействие, а с другой -- как обобщение обычного магнитодипольного (англ. ). В связи с этим его называют псевдодипольным взаимодействием . По порядку величины его вклад в энергию пропорционален произведению обменной константы на квадрат анизотропной поправки к фактору Ланде.

Недиагональные члены поправки второго порядка в теории возмущений приводят к поправке вида

Взаимодействие такого вида называют антисимметричным обменным взаимодействием или взаимодействием Дзялозинского -- Мория . Вектор

называют вектором Дзялошинского. Он равен нулю, если поле кристаллической решётки симметрично по отношению к инверсии относительно центра между обоими ионами. Очевидно, энергия взаимодействия ненулевая только если ячейки не магнитно эквивалентны. Взаимодействие Дзялошинского -- Мория проявляется в некоторых антиферромагнетиках. Результатом является появление слабой спонтанной намагниченности. Этот эффект называют слабым ферромагнетизмом , так как результирующая намагниченность составляет десятые доли процентов от намагниченности в типичных ферромагнетиках. Слабый ферромагнетизм проявляется в гематите, карбонатах кобальта, мангана и некоторых других металлов. Выраженный в радианах угол между магнитными подрешётками при слабом ферромагнетизме по порядку величины равен анизотропии множителя Ланде.

1.6 РККИ-обменное взаимодействие

Редкоземельные элементы имеют частично заполненную 4f-орбиталь, характерный размер которой существенно меньше межатомных расстояний в кристаллической решётке. Поэтому 4f-электроны соседних ионов не могут напрямую взаимодействовать друг с другом. Обменное взаимодействие между ними осуществляется с помощью электронов проводимости. Каждый редкоземельный ион создает возле себя достаточно сильное эффективное поле, которое поляризует электроны проводимости. Такое косвенное обменное взаимодействие между 4f-электронами называют взаимодействием Рудермана -- Киттеля -- Касуя -- Иосиды (РККИ-обменное взаимодействие). Будет ли металл ферро- или антиферромагнетиком зависит от строения 4f-зоны и расстояния между ионами Зависимость обменного интеграла от произведения волнового вектора электронов на уровне Ферми k F и расстояния между магнитными ионами a имеет знакопеременный осциллирующий характер. Этим, в частности, объясняется существование геликоидальных и некоторых других магнитных структур. РККИ-взаимодействие существенно зависит от концентрации свободных носителей заряда и может быть существенно более дальнодействующим, чем прямой обмен.

Обменное взаимодействие в ядерной физике

Проявлениями обменного характера сильного взаимодействия являются обмен нуклонов при столкновениях электрическими зарядами, проекциями спинов и пространственными координатами, а также явление насыщения ядерных сил. Из-за действия обменных сил изотоп является неустойчивым, так как один нуклон вследствие принципа Паули находится в - состоянии, где обменные силы являются отталкивающими.

1.7 Энергия обменного взаимодействия

Введение Вейссом понятия молекулярного поля не давало объяснения, какова природа этого поля. Было не ясно, какие силы приводят к ориентации спинов в ферромагнетике. В 1928 году Френкель и Гейзенберг установили, что ферромагнетизм - это особое свойство системы электростатически взаимодействующих электронов. Согласно принципу Паули, минимум энергии свободного электронного газа достигается в том случае, когда спины электронов полностью скомпенсированы. Френкель и Гейзенберг показали, что при наличии сильного электростатического взаимодействия между электронами энергетически выгодным может оказаться состояние с параллельной ориентацией спинов, т. е. намагниченное состояние. Как следствие, результирующая энергия взаимодействия, наряду с кулоновским членом, содержит член, зависящий от взаимной ориентации спинов. Эта добавочная энергия - энергия обменного взаимодействия атомов сортов i и j , имеющих спиновые моменты и:

где J ? обменный интеграл, имеющий размерность энергии. Наличие обменного интеграла в выражении для обменной энергии (27) связано с перекрытием областей распределения электронного заряда атомов i и j . Обменная энергия не имеет классического аналога, хотя и имеет электростатическое происхождение. Она характеризует различие энергии кулоновского взаимодействия системы в случаях, когда спины параллельны и когда они антипараллельны.

Получить некоторое представление о физической природе энергии обменного взаимодействия можно, сравнив эту величину с тепловой энергией, необходимой для разрушения магнитного упорядочения. Так, у железа при температуре Кюри ? тепловая энергия, приходящаяся на один атом (), необходимая для разрушения магнитного упорядочения, равна примерно 0,1 эВ. Следовательно, величина энергии упорядочивающего обменного взаимодействия, приходящаяся на один атом, должна быть того же порядка.

Если предположить не квантовый механизм упорядочения, например упорядочение под действием энергии Е , вызывающей ориентацию диполя с магнитным моментом в поле другого диполя моментом, то такая энергия выражается соотношением, где r ? расстояние между диполями. Оценка этой энергии для магнитных моментов величиной порядка одного магнетона Бора дает значение приблизительно 0,001 эВ при равновесных расстояниях между ближайшими соседними атомами в твердых телах. Следовательно, эффект дипольного взаимодействия по величине, по крайней мере, на два порядка слабее того, который обуславливает наблюдаемую на опыте величину обменной энергии.

Таким образом, обменное взаимодействие, ответственное за возникновение ферромагнетизма, нельзя описать с помощью классических моделей, оно представляет собой квантовомеханический эффект.

Установлено, что значение обменного интеграла J зависит от отношения межатомного расстояния d к диаметру a недостроенной внутренней электронной оболочки атома вещества (рис. 3). Ферромагнетизм наблюдается только для элементов, у которых обменный интеграл положителен (J > 0), что выполняется для d / a > 1,5. Например, из элементов группы железа ферромагнетиком является только альфа-железо (?-Fe), кобальт (Co) и никель (Ni). Гамма-железо (?-Fe) и другие элементы этой группы ферромагнетиками не являются. Однако, в ряде случаев при изменении постоянной решетки за счет легирования другим элементом можно добиться того, что данный элемент (слабо легированный) становится ферромагнетиком. Такой эффект наблюдается у марганца (Mn) при легировании его азотом в малых концентрациях, когда отношение d /a оказывается порядка 1,5.

Рисунок -3. Зависимость обменного интеграла J от отношения межатомного расстояния к радиусу недостроенной внутренней оболочки

Кроме того, имеется множество химических соединений и сплавов, в составе которых могут присутствовать не ферромагнитные элементы, но сами эти соединения и сплавы являются ферромагнетиками. Например, сплавы Mn-Cu-Al и соединения MnSb, MnBi, CrO 2 , MnOFe 2 O 3 и т. д. Эти факты свидетельствуют о том, что кристаллическое строение вещества является одним из факторов, определяющим принадлежность данного вещества к ферромагнетикам.

Глава 2 . Модель Гейзенберга

обменным взаимодействием. Гамильтониан Гейзенберга

H обм = -J(S 1 S 2) (28)

J- обменный интеграл

Если J > 0, то E обм = -2J(S 1 S 2), для S 1,2 = 1/2: S 1 S 2 = 1/4 J < 0 S 1 S 2 = -1/4.

Для большого числа электронов обменная энергия

E обм = - ij J ij (S 1 S 2) (29)

Для 2-х электронов - 4 состояния (2 триплетных и 2 синглетных)

J = 1/2 (E S -E t) ((30)

J > 0 E t < E S , J < 0 E t > E S

Для атомов водорода интеграл перекрытия имеет вид

J=e 2 (1/r-1/r a 2 -1/r в1) * a (1) * в (2) a (1) в (2)dr 1 dr 2 . ((31)

Обозначения поясняются на рис. (4).

На рисунке 5 качественно изображена зависимость J(R/a), где R - расстояние между атомами, а-радиус недостроенной оболочки (d или f)

Рисунок -4. Пояснение к обозначениям

Рисунок -5. Качественный вид зависимости J(R/a)

2.1 Модели с Гейзенберговским гамильтонианом

Модель Гейзенберга

Для описания ферромагнитного или антиферромагнитного упорядочивания в различных математических моделях обычно используют выражение энергии обменного взаимодействия спинов, предложенного Дираком, в котором энергия пропорциональна скалярному произведению операторов спинов s 1 и s 2

(ГейзГам) (32)

где -- обменный интеграл. Его знак определяет тип взаимодействия: описывает ферромагнитное упорядочивание, а -- антиферромагнитное. Выражение (ГейзГам) называют гамильтонианом Гейзенберга. Большинство магнетиков достаточно хорошо им описываются, однако в ряде случаев необходимо учитывать отличие реального гамильтониана от гейзенберговского. В простейшем случае он содержит только первую степень скалярного произведения, что соответствует спину (одноэлектронный ион), иначе необходимо учитывать слагаемые со степенями вплоть до 2s (многоэлектронные ионы). Барьяхтар--1986----18--19-24 Случай, когда присутствует квадратичная поправка, называют биквадратным обменом. Она достигает минимума, когда спины перпендикулярны друг другу. Подобная связь между спинами может наблюдаться в многослойных системах.

Так как гамильтониан макроскопического тела, учитывающий кинетические энергии и энергии кулоновского взаимодействия ионов и электронов, имеет слишком сложную структуру для аналитического анализа, обычно предполагают что его можно заменить суммой гамильтонианов вида (ГейзГам). В таком случае обменный гамильтониан принимает вид

где сумма берётся по узлам решётки. Его иногда также называют гамильтонианом Гейзенберга--Дирака--ван Флека. Во многих случаях можно считать, что обменный интеграл J быстро спадает с расстоянием и отличен от нуля только для соседних узлов магнитной подрешётки. Учёт более дальних соседей приводит к более сложному упорядочиванию спинов: геликоидальному, неколлинеарному и другим. Обменный гамильтониан Гейзенберга является изотропным и не определяет направления суммарной намагниченности системы. Он коммутирует с каждой из проекций суммарного спина S :

Поэтому обменное взаимодействие не может влиять на величину полного спина системы.

В случае спиновой природы магнитного момента ферромагнетика можно перейти от оператора спина к оператору плотности магнитного момента через дельта -функцию Дирака д:

где g -- множитель Ланде, -- магнетон Бора. Тогда можно записать макроскопическую энергию, соответствующую обменному гамильтониану, как

где функция мало отличается от обменного интеграла при температурах, далёких от точки Кюри. Разложение намагниченности в ряд Тейлора позволяет выделить две составляющие макроскопической обменной энергии, одна из которых зависит только от модуля вектора намагниченности, а другая определяется его пространственными производными:

В этом выражении не учитываются поверхностные эффекты, вклад в которые могут давать нечётные степени в разложении функции M по степеням r . Они могут быть актуальны для пироэлектрических кристаллов. Порядок констант A и Л определяется значением обменного интеграла J 0 для соседних атомов и постоянной магнитной решётки a . В простейшем случае их оценивают как и. Сам обменный интеграл соседних ионов равен

где k -- константа Больцмана, T C -- температура Кюри, а N -- количество ближайших соседей (6 для кубической решётки). Для железа эта формула даёт значение 1,19·10 ?2 эВ. Более точные оценки увеличивают это число на 40 %.

2.2 Модель Изинга и XY-модель

В 1920 году Вильгельм Ленц (англ. ) предложил идею элементарных спиновых диполей, которые могут ориентироваться в строго определённых направлениях. Одномерная модель такой системы была развита в кандидатской диссертации его студента Эрнста Изинга (англ. ), рассмотревшего гамильтониан в виде

где -- спины единичной длины, взаимодействие которых определяется величиной, H i -- магнитное поле в месте расположения i -го спина. Эта одна из простейших физических моделей, где объекты принимают лишь два значения (в данном случае проекции спина вверх или вниз), также нашла применение за пределами теоретической физики: в пожаротушении, политике и других областях. В магнетизме её можно рассматривать как предельный случай сильной лёгкоосной анизотропии, когда отклонениями от направления лёгкой оси можно пренебречь.

Первоначально, рассмотренная Изингом модель магнетика не вызвала интереса, так как в ней отсутствовало ферромагнитное упорядочение при конечных температурах. Однако позднее Ханс Бете обнаружил, что она отлично описывает энергии связи и химические потенциалы между атомами в двухэлементных сплавах, что нашло применение в металлургии. Рудольф Пайерлс показал, что дальний порядок, необходимый для объяснения ферромагнетизма, присутствует при низких температурах, если рассматривать двух- и трехмерные спиновые решётки. При этом в модели возникают фазовые переходы, соответствующие наличию температуры Кюри. Подробный математический анализ двумерных решёток был выполнен Онзагером в 1944 году. Двумерная модель может быть экспериментально реализована на монослоях ферромагнитных атомов. Температурная зависимость и зависимость спонтанной намагниченности монослоёв железа на подложке W (110) показали отличное согласие с теорией вблизи температуры Кюри.

Другой предельный случай (сильная лёгкоплоскостная анизотропия) рассматривается так называемой XY-моделью. В ней гамильтониан обычно представляется в виде

В отличие от модели Изинга здесь предполагается, что все спины лежат в плоскости XY. Обе модели -- XY и Изинга играют важную роль в статистической механике.

2.3 Анизотропные модели. Гамильтониан Хаббарда

Причина анизотропии

В многоэлектронных атомах становится важным взаимодействие спинового и механического моментов. LS -связь приводит к расщеплению спектра свободного атома и влиянию симметрии кристаллической решёткина спины в атомах твёрдого тела. В частности, вклад поля решётки превышает несколько энергетических единиц kT (k -- константа Больцмана, T -- температура) для элементов группы железа. Учёт поправок, вносимых спин-орбитальным взаимодействием и магнитным полем (внешним или решётки) во втором порядке теории возмущений приводит к дополнительному слагаемому в гамильтониане для узла решётки

где д мн -- символ Кронекера,

а индексы м и н пробегают пространственные координаты x , y , z . В нём первое слагаемое является зеемановской энергией (энергия взаимодействия с магнитным полем), второе слагаемое соответствует так называемой одноионной анизотропии, а третье является следствием теории возмущений второго порядка и даёт парамагнитную восприимчивость не зависимую от температуры (парамагнетизм ван Флека). При отсутствии внешних магнитных полей направление полного спина определяется магнитной анизотропией, которая имеет описанную спин-орбитальную природу. Иногда её включают в обменный гамильтониан считая J тензором:

Это обобщение также называют X--Y--Z моделью. Разница между элементами тензора J обычно мала. В некоторых случаях (ГейзГам) может усложняться. Для ионов, чьё основное состояние мультипленое, в нём используется оператор полного момента (англ. ) J и соответствующий ему множитель Ланде g J :

Такая ситуация характерна для редкоземельных ионов. При наличии ионов с f -электронами, взаимодействие также становится анизотропным. Частными случаями этого являются псевдодипольное обменное взаимодействие и взаимодействие Дзялошинского -- Мория.

Глава 3. Косвенный обмен

Прямой и косвенный обмен

Обменная энергия это добавка к энергии системы взаимодействующих частиц в квантовой механике, обусловленная перекрытием волновых функций при ненулевом значении полного спина системы частиц. В случае непосредственного перекрытия двух волновых функций говорят о прямом обмене (Гейзенберга), а в случае присутствия частицы-посредника, через которую происходит взаимодействие, говорят о косвенном обмене . Посредниками при косвенном обмене могут выступать диамагнитные ионы (наподобие кислорода O 2?) или электроны проводимости. Первый случай теоретически был рассмотрен Крамерсом (1934) и Андерсоном (1950-е), а второй был предсказан Рудерманом и Киттелем (1954). В реальных кристаллах, в той или иной мере присутствуют все типы обмена. Внутренний характер взаимодействия слабо влияет на описание макроскопических систем, так как выражение (ГейзГам) имеет общий характер, а конкретный тип обмена (косвенный или прямой), определяется аналитическим выражением для J 12 .

Суперобменное взаимодействие

Рисунок -6. Схема суперобменного взаимодействия в антиферромагнетике

Большинство ферро- и ферримагнитных диэлектриков состоит из магнитных 3d-ионов, разделённых такими немагнитными ионами, как O 2? , Br ? , Cl ? и др. Образуется ситуация, когда расстояния для непосредственного взаимодействия 3d-орбиталей слишком велико и обменное взаимодействие осуществляется перекрытием волновых функций 3d-орбиталей магнитных ионов и p-орбиталей немагнитных ионов. Орбитали оказываются гибридизированными, а их электроны становятся общими для нескольких ионов. Такое взаимодействие называется суперобменным (рис.6) . Его знак (то есть, является ли диэлектрик ферро- или антиферромагнетиком) определяется типом d-орбиталей, количеством электронов на них и углом, под которым видна пара магнитных ионов из узла, где находится немагнитный ион.

3.1 Двойной обмен

Оксиды переходных металлов могут быть как проводниками, так и диэлектриками. В диэлектриках имеет место суперобменное взаимодействие. Однако управляя легированием можно добиться перехода оксида в проводящее состояние. В манганитах лантана вида La 1?x Ca x MnO 3 при определённых значениях параметра x про часть ионов марганца может иметь валентность 3+, а другая -- 4+. Обменное взаимодействие между ними, совершаемое через ионы O 2- , называют двойным обменом . Эти соединения так же будут ферро- или антиферромагнетиками в зависимости от значения x . Ферромагнитное упорядочивание будет в том случае, если суммарные спины 3-х и 4-валентных ионов сонаправлены, при этом 4-й электрон может быть делокализован. Иначе он локализирован на ионе с меньшей валентностью. Для La 1?x Sr x MnO 3 переход из антиферромагнитной в ферромагнитную фазы происходит при (бомльшим значениям x соответствует ферромагнетик).

Виды обмена спинами

Прямой обмен - непосредственный обмен между магнитными ионами (модель Гейзенберга).(рис.7).

Сверхобмен - обмен через немагнитного атома-посредника.

Косвенный обмен (С.П.Шубин, С.В. Вонсовский) - обмен через электроны проводимости. Характерен для РЗ-металлов.

Рисунок -7. Иллюстрация видов обмена

Вывод

Обменное взаимодействие определяет в значит. степени магн. св-ва в-ва. Так, состояние металлич. кристалла с параллельными спинами электронов (ферромагнитное) м. б. термодинамически более устойчиво, чем состояние с беспорядочно ориентированными спинами электронов, лишь в том случае, если обменный интеграл А положителен. Характерная для ферромагнетика точка Кюри (т-ра, выше к-рой у в-ва исчезают ферро-магн. св-ва) м. б. определена как т-ра, при к-рой энергия теплового движения атомов становится равной термодина-мич. выигрышу в энергии при параллельной ориентации спинов.

Наряду с классическим кулоновским взаимодействием, гамильтониан содержит чисто квантовый член, зависящий от ориентации спинов. Этот вклад обусловлен обменным взаимодействием. Гамильтониан Гейзенберга

Список использованной литературы

1. Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. Спиновые волны. -- М.: Наука, 1967. -- 368 с. -- 10 000 экз.

2. Барьяхтар В. Г., Криворучко В. Н., Яблонский Д. А. Функции Грина в теории магнетизма. -- К.: Наукова думка, 1984. -- 336 с.

3. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. -- Изд. 5-е, перераб. -- М.: Наука, 1976. -- 664 с. -- 34 000 экз.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», в 10 т., т. 3 «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд. стереотип., М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3) гл. 9 «Тождественность частиц», п. 62 «Обменное взаимодействие», с. 285--290.

5. de Lacheisserie Й., Gi gnoux D., Schlenker M. Magnetism: Fundamentals. -- Springer, 2005. -- Vol. 1. -- 507 p. -- (Magnetism). -- ISBN 9780387229676

6. Stцhr, J. (англ .) and Siegmann, H. C. Magnetism: From Fundamentals to Nanoscale Dynamics. -- Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006. -- Vol. 152. -- 820 p. -- (Springer series in solid-state sciences). -- ISBN 978-3540302827

7. Mattis, D. C. The theory of magnetism made simple: an introduction to physical concepts and to some useful mathematical methods. -- World Scientific, 2006. -- 565 p. -- ISBN 9789812385796

8. Wolfgang Nolting, Anupuru Ramakanth. Quantum Theory of Magnetism. -- Springer, 2009. -- 752 p. -- ISBN 9783540854159

9. Вонсовский С. В., Магнетизм, М., 1971; Давыдов А. С., Квантовая механика, 2 изд., М., 1973. И. Г. Каплан.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Исследование спектров многоэлектронных атомов. График радиального распределения в атоме натрия. Специфическое обменное взаимодействие в многоэлектронных атомах. Задача на нахождение энергии активации. Применение уравнения Аррениуса в атомной физике.

контрольная работа , добавлен 13.12.2009

Момент количества движения, пространственное квантование. Магнитный момент в магнитном поле. Спин и собственный магнитный момент электрона. G-фактор, принцип запрета Паули. Обменная энергия и обменное взаимодействие. Энергия обменного взаимодействия.

реферат , добавлен 19.08.2015

Взаимодействие заряженных частиц и со средой. Детектирование. Определение граничной энергии бета-спектра методом поглощения. Взаимодействие заряженных частиц со средой. Пробег заряженных частиц в веществе. Ядерное взаимодействие. Тормозное излучение.

курсовая работа , добавлен 06.02.2008

Понятие фундаментального физического взаимодействия. Гравитация, электромагнетизм, слабое взаимодействие, сильное взаимодействие. Ньютоновская теория всемирного тяготения. Учения об электричестве и магнетизме в единой теории электромагнитного поля.

презентация , добавлен 23.02.2014

Гравитационное взаимодействие как первое взаимодействие, описанное математическлй теорией. Небесная механика и некоторые её задачи. Сильные гравитационные поля. Гравитационное излучение. Тонкие эффекты гравитации. Классические теории гравитации.

презентация , добавлен 05.09.2011

Сущность, особенности и свойства взаимодействия тел. Понятие силы как меры ускорения, ее характерные признаки и единицы измерения, а также формулы расчета ее основных видов в электродинамике и механике. Общая характеристика законов динамики И. Ньютона.

презентация , добавлен 15.12.2010

Изучение природы механической и электрической энергии: баланс зарядов и напряжений силовых полей электронов, соотношение скаляров масс в пространстве электрона, уравнение его волновых постоянных и параметры возмущения состояний его идеальной модели.

творческая работа , добавлен 31.12.2010

Электродинамическое взаимодействие электрических токов. Открытие магнитного действия тока датским физиком Эрстедом - начало исследований по электромагнетизму. Взаимодействие параллельных токов. Индикаторы магнитного поля. Вектор магнитной индукции.

презентация , добавлен 28.10.2015

Фундаментальные взаимодействия в природе. Взаимодействие электрических зарядов. Свойства электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда. Формулировка закона Кулона. Векторная форма и физический смысл закона Кулона. Принцип суперпозиции.

презентация , добавлен 24.08.2015

Закон сохранения электрического заряда. Взаимодействие электрических зарядов в вакууме, закон Кулона. Сложение электростатических полей, принцип суперпозиции. Электростатическое поле диполя, взаимодействие диполей. Напряженность электростатического поля.

Тот факт, что в уравнении Шредингера не учитывается наличие у частиц спина, отнюдь не обесценивает это уравнение и все получающиеся с его помощью результаты.

Дело в том, что электрическое взаимодействие частиц не зависит от их спинов. Математически это означает, что гамильтониан системы электрически взаимодействующих частиц (в отсутствие магнитного поля) не содержит операторов спина и потому при применении его к волновой функции никак не воздействует на спиновые переменные. Поэтому уравнению Шредингера удовлетворяет в действительности каждая из компонент волновой функции; другими словами, волновая функция системы частиц может быть написана в виде произведения

где функция зависит только от координат частиц, а функция - только от их спинов; о первой будем говорить как о координатной или орбитальной, а о второй - как о спиновой волновой функции. Уравнение Шредингера определяет по существу только координатную функцию оставляя функцию произвольной. Во всех случаях, когда сам спин частиц нас не интересует, можно, следовательно, применять уравнение Шредингера, рассматривая в качестве волновой функции одну только координатную функцию, что и делалось в предыдущих главах.

Однако оказывается, что, несмотря на указанную независимость электрического взаимодействия частиц от их спина, существует своеобразная зависимость энергии системы от ее полного спина, проистекающая в конечном итоге из принципа неразличимости одинаковых частиц.

Рассмотрим систему, состоящую всего из двух одинаковых частиц. В результате решения уравнения Шредингера мы найдем ряд уровней энергии, каждому из которых соответствует определенная симметричная или антисимметричная координатная волновая функция Действительно, в силу одинаковости частиц гамильтониан (а с ним и уравнение Шредингера) системы инвариантен по отношению к их перестановке. Если уровни энергии не вырождены, то при перестановке координат функция может измениться только на постоянный множитель; производя же перестановку еще раз, убедимся, что этот множитель может быть равен только ±1.

Предположим сначала, что частицы имеют спин нуль. Спиновый множитель для таких частиц вообще отсутствует, и волновая функция сводится к одной лишь координатной функции которая должна быть симметричной (поскольку частицы со спином нуль подчиняются статистике Бозе).

Таким образом, не все из уровней энергии, получающихся при формальном решении уравнения Шредингера, могут в действительности осуществляться; те из них, которым соответствуют антисимметричные функции , для рассматриваемой системы невозможны.

Перестановка двух одинаковых частиц эквивалентна операции инверсии системы координат (начало которой выбрано посредине прямой, соединяющей обе частицы). С другой стороны, в результате инверсии волновая функция должна умножиться на , где l - орбитальный момент относительного движения обеих частиц (см. § 30). Сопоставляя эти соображения со сказанным выше, мы приходим к выводу, что система из двух одинаковых частиц со спином нуль может обладать только четным орбитальным моментом.

Далее, пусть система состоит из двух частиц со спином 1/2 (скажем, электронов). Тогда полная волновая функция системы (т. е. произведение функции ) и спиновой функции должна быть непременно антисимметричной по отношению к перестановке обеих частиц. Поэтому при симметричной координатной функции спиновая функция должна быть антисимметричной, и наоборот. Будем писать спиновую функцию в спинорном виде, т. е. в виде спинора второго ранга каждый из индексов которого соответствует спину одного из электронов. Симметричной по спинам обеих частиц функции соответствует симметричный спинор а антисимметричной - антисимметричный спинор Но мы знаем, что симметричный спинор второго ранга описывает систему с равным единице полным спином, а антисимметричный спинор сводится к скаляру, что соответствует равному нулю спину.

Таким образом, мы приходим к следующему результату. Те уровни энергии, которым соответствуют симметричные решения уравнения Шредингера, могут фактически осуществляться при равном нулю полном спине системы, т. е. когда спины обоих электронов «антипараллельны», давая в сумме нуль. Значения же энергии, связанные с антисимметричными функциями требуют равного единице полного спина, т. е. спины обоих электронов должны быть «параллельными».

Другими словами, возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими от ее полного спина. На этом основании можно говорить о некотором своеобразном взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаимодействие называют обменным. Оно представляет собой чисто квантовый эффект, полностью исчезающий (как и самый спин) при предельном переходе к классической механике.

Для разобранного нами случая системы двух электронов характерно следующее обстоятельство. Каждому уровню энергии соответствует одно определенное значение полного спина: 0 или 1.

Такое однозначное соответствие значений спина уровням энергии сохраняется, как мы увидим ниже (§ 63), и в системах из произвольного числа электронов. Оно, однако, не имеет места для систем, состоящих из частиц со спином, превышающим 1/2.

Рассмотрим систему из двух частиц с произвольным спином s. Ее спиновая волновая функция есть спинор ранга 4s:

половина индексов которого соответствует спину одной, а другая половина - спину другой частицы. По индексам каждой из этих групп индексов спинор симметричен. Перестановке обеих частиц соответствует перестановка всех индексов первой группы о индексами второй группы. Для того чтобы получить спиновую функцию состояния системы с полным спином S, надо упростить этот спинор по парам индексов (каждая пара содержит один индекс из к, и один из ) и симметризовать по остальным; в результате получится симметричный спинор ранга

Но, как мы знаем, упрощение спинора по паре индексов означает составление комбинации, антисимметричной по этим индексам. Поэтому при перестановке частиц спиновая волновая функция умножится на .

С другой стороны, полная волновая функция системы двух частиц при их перестановке должна умножаться на (т. е. на при целом s и на -1 при полуцелом). Отсюда следует, что симметрия координатной волновой функции по отношению к перестановке частиц определяется множителем зависящим только от 5.

Таким образом, мы приходим к результату, что координатная волновая функция системы двух одинаковых частиц симметрична при четном и антисимметрична при нечетном полном спине.

Вспоминая сказанное выше о связи между перестановкой частиц и инверсией системы координат, заключаем также, что при четном (нечетном) спине S система может обладать только четным (нечетным) орбитальным моментом.

Мы видим, что и здесь обнаруживается некоторая зависимость между возможными значениями энергии системы и полным спином, но эта зависимость не вполне однозначна. Уровни энергии, которым соответствуют симметричные (антисимметричные) координатные волновые функции, могут осуществляться при всех четных (нечетных) значениях

Подсчитаем, сколько имеется всего различных состояний системы двух частиц с четными и нечетными значениями S. Величина S пробегает 2s + 1 значений: . Для каждого данного имеется 2s + 1 состояний, отличающихся значением -компоненты спина (всего различных состояний).

Пусть s - целое. Тогда среди значений есть четных и s нечетных. Полное число состояний с четными равно сумме

остальные ) состояний обладают нечетными S. Подобным же образом найдем, что при полуцелом s имеется ) состояний с четными и () с нечетными значениями

Задачи

1. Определить обменное расщепление уровней энергии системы двух электронов; взаимодействие электронов рассматривается как возмущение.

Решение. Пусть частицы находятся (без учета их взаимодействия) в состояниях с орбитальными волновыми функциями . Состояниям системы с полным спином отвечают соответственно симметризованное и антисимметризоваиное произведения:

Средние значения оператора взаимодействия частиц в этих состояниях равны , где

(интеграл J называют обменным). Опуская не имеющую обменного характера аддитивную постоянную А, находим, таким образом, смещения уровней: (индекс указывает значение S). Эти величины можно представить как собственные значения спинового обменного оператора

(собственные значения произведения - см. задачу 2 § 55).

Если электроны относятся, например, к различным атомам, то обменный интеграл экспоненциально убывает при увеличении расстояния R между атомами. Из структуры подынтегрального выражения ясно, что этот интеграл определяется «перекрытием? волновых функций состояний учитывая асимптотический закон убывания волновых функций состояний дискретного спектра найдем, что

В отличие от диа- и парамагнетиков, магнитные свойства которых определяются состоянием отдельных атомов, характерной особенностью ферромагнетиков является наличие в них областей спонтанного намагничивания - доменов. Их возникновение обусловлено так называемым обменным взаимодействием электронов в атомах, которое имеет квантовую природу. В результате этого взаимодействия спиновые моменты электронов могут выстраиваться параллельно друг другу и данный элемент объема вещества приобретает отличный от нуля магнитный момент.

Термин «обменное взаимодействие» связан с моделью, предложенной Гейзенбергом, согласно которой два электрона атомов, расположенных рядом друг с другом в кристаллической решетке, нельзя считать принадлежащими каждому атому по отдельности. Подобно электронам в молекуле водорода, электроны соседних атомов ферромагнетика обобществляются и принадлежат всей группе атомов в делом, а их взаимодействие необходимо рассчитывать с учетом конфигурации всей электронной оболочки, а также таких факторов, как, например, обычное кулоновское взаимодействие между электронами.

Обменная энергия обусловливает большой набор различных явлений. Ей принадлежит главная роль в образовании ковалентной химической связи в молекулах и кристаллах, например в кристаллах Ое и Эь В зависимости от знака обменной энергии в природе существуют ферромагнетики - магнитные вещества с одинаково ориентированными спинами и антиферромагнетики, у которых спины соседних электронов антипараллельны. Эта энергия имеет важное значение во внутриядерных взаимодействиях ит. д.

Согласно расчетам энергия системы из двух взаимодействующих электронов атомов ферромагнетика может быть представлена в виде

где Е 0 - энергия двух невзаимодействующих атомов; К - энергия кулоновского взаимодействия зарядов, входящих в состав атомов; 5 0 - так называемый интеграл неортого- нальности (0 (К |{У обм |). Эта энергия связана с электрическим взаимодействием тех электронов соседних атомов, волновые функции которых перекрываются:

где 5! и 5 2 - результирующие спины невзаимодействующих атомов, J - некоторый коэффициент пропорциональности, называемый обменным интегралом.

Наибольшую сложность для расчетов составляет вычисление величины обменного интеграла с/, физический смысл которого заключается в описании вероятности обмена электронами между соседними атомами. Сам обменный интеграл может быть как положительным, так и отрицательным. Знак интеграла зависит от того, какая ориентация спинов у элементов, участвующих в образовании обменной связи, будет энергетически выгодной.

Применим в качестве примера выражение (5.53) для случая молекулы водорода. Напомним, что электрон имеет спин 5 = -^. Суммарный спин двух электронов может

равняться нулю или единице (5 = 0,1). Состояние с суммарным спином нуль (5 = 0) называется синглетным. В этом состоянии спины двух электронов ориентированы в противоположные стороны. Состояние с суммарным спином единица (5 = 1) называется триплетным, и в нем спины двух электронов ориентированы одинаково.

Суммарный спин двух валентных электронов жестко связан с пространственным распределением электронов. Действительно (согласно принципу Паули) в одной точке пространства не могут находиться одновременно два электрона в одинаковом спиновом состоянии. Это означает, что в синглетном состоянии два валентных электрона могут находиться одновременно в пространстве между двумя атомами, а в триплетном состоянии это запрещено принципом Паули. Если обменный интеграл отрицателен (и/

для энергии триплетного состояния имеем:

а в синглетном состоянии | :

Разность энергий синглетного и триплетного состояний, равная есть фактическая энергия, связанная с переворотом спина и равная обменному интегралу. В соответствии с рассмотренным ранее результатом синглетное состояние молекулы водорода действительно обладает более низкой энергией.

Итак, если обменный интеграл положителен, то низшую энергию имеет симметричное состояние (простейшим примером является ферромагнитное состояние), а если отрицателен, то низшую энергию имеет асимметричное состояние (этот случай соответствует антиферромагнитному состоянию с антипараллельными спинами).

Из первоначальной теории Гейзенберга следуют два важнейших вывода:

1) если обменный интеграл положителен, то может возникнуть состояние самопроизвольной намагниченности - ферромагнетизм;
2) величина энергии обменного взаимодействия достаточна для возникновения ферромагнетиков с температурой Кюри порядка 103 К.

Теория подтвердила ряд опытных данных. Энергия взаимодействия электронов между собой (перекрытие электронных оболочек) как энергия взаимодействия одноименных зарядов положительна, а энергия взаимодействия ядер и электронов - отрицательна. Поэтому благоприятствовать положительному значению J будет увеличение отношения расстояния между ионами в кристалле а к радиусу электронной оболочки г,„ хотя при этом абсолютное значение J должно уменьшаться. Или атомы ферромагнетика должны находиться достаточно далеко друг от друга, что подкрепляется на опыте.

Все ферромагнитные элементы принадлежат к числу переходных элементов, а ферромагнитные сплавы и соединения обязательно содержат переходные элементы. Именно у переходных элементов имеется незаполненная электронная с(-оболочка, т. е. электронная оболочка с большим орбитальным числом I и не равным нулю суммарным спиновым моментом.

На рис. 5.6 показана зависимость обменного интеграла J от величины отношения постоянной решетки а к диаметру незаполненной оболочки 2г п, которая качественно

Зависимость обменного интеграла от отношения постоянной решетки к диаметру электронной «орбиты» в й-состоянии

правильно отражает зависимость обменного интеграла от расстояния. Ферромагнитные элементы Ее, Со, N1 имеют наибольшее значение обменного интеграла, у гадолиния и некоторых других редкоземельных элементов значение

очень велико, поэтому обменный интеграл у них хотя 2 г п

и положителен, но мал, и точки Кюри низкие. На основании такой схемы удается объяснить не только ферромагнетизм Ее, Со, N1, но и антиферромагнетизм так называемых гейслеровых сплавов, зависимость температуры Кюри от давления и т. д.

Так, например, марганец имеет слишком малое расстояние между атомами, но на границе с переменной знака интеграла обмена, соответствующей -^- = 1,5, неболь-

шое увеличение постоянной решетки марганца должно превратить его из антиферромагнетика в ферромагнетик. Действительно, добавление к марганцу небольшого количества азота, увеличивающего постоянную решетки, приводит к появлению ферромагнетизма.

В случае нескольких взаимодействующих спинов полную обменную энергию можно записать в виде

Модель ферромагнетика, которая исходит из выражения, для этого вида энергии называется моделью Гейзенберга.

Найдем приближенно связь между обменным интегралом J и постоянной молекулярного поля а. Предположим, что рассматриваемый атом имеет п ближайших соседей, и обменное взаимодействие каждого из них с центральным атомом характеризуется величиной J. Для более далеких соседей будем считать J равным нулю. Обменное взаимодействие очень быстро убывает с увеличением расстояния между атомами. Найдем энергию С/ пер, требуемую для переворота данного спина в присутствии всех других спинов. Эта энергия вдвое больше обменной энергии системы с какой- то определенной ориентацией спина, так как = -Н-ц (формулы (5.54) и (5.55)). Поэтому ее можно записать (пренебрегая компонентами спина 5, перпендикулярными к направлению средней намагниченности) в следующем виде:

Эту же энергию переворота спина можем записать в виде где V - объем, приходящийся на один атом. Средний магнитный момент электрона, обусловленный его спином, есть

р = ?Др в, а намагниченность насыщения Следовательно, для постоянной молекулярного поля получим следующее выражение:

Так как объем, занимаемый одним атомом, равен , где N - концентрация атомов (число атомов в единице объема), то с учетом формулы (5.47) получаем:

Это выражение устанавливает связь между обменным интегралом J и температурой Кюри 0. Полученная формула носит оценочный характер, так как не учитывает ряд факторов.

Существует несколько типов обменных взаимодействий. Обменное взаимодействие электронов соседних ионов получило название прямого обмена. Это взаимодействие с перекрытием зарядового распределения различных магнитных ионов с недостроенными (1- или /-оболочками. Однако модель прямого обменного взаимодействия редко оправдывается на опыте, так как в ней использованы очень жесткие предположения. Кроме того, во многих сплавах и химических соединениях «магнитные ионы» отделены друг от друга немагнитным ионом (т. е. ионом,

Схематическое изображение типов обменных взаимодействий: а - прямой обмен; б - сверхобмен; в - косвенный обмен.

у которого все электронные оболочки заполнены полностью), в этом случае обменное взаимодействие может осуществляться через электроны общего для них немагнитного иона. Такой вид обменного взаимодействия получил название косвенного или сверхобменного взаимодействия (рис. 5.7).

Кроме прямого обмена и сверхобмена к ферромагнетизму может привести косвенный обмен локализованных электронов через электроны проводимости. Косвенный обмен наиболее характерен для редкоземельных металлов и сплавов.

Итак, условиями, благоприятными для возникновения ферромагнетизма, являются:

1) наличие локализованных магнитных моментов, например в атомах с недостроенными или /-оболочками;
2) обменный интеграл должен быть положительным;
3) плотность состояний в й- или /-зонах должна быть велика, для того чтобы возрастание кинетической энергии, связанной с заполнением электронами более высоких свободных уровней (принцип Паули), не превысило уменьшения энергии за счет обменного взаимодействия.