Метод экстраполяции расчет онлайн. Формула интерполяции между двумя значениями. Решение профессиональной задачи

Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:

Решение:

I итерация:

х3 , х4 , х5 , х6 х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные:

Приведем целевую функциюк следующему виду:

На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:

Таблица 5.3

Исходная симплекс-таблица

Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:

3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.

На данной итерации (в таблице 5.3) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).

На данной итерации (в таблице 5.3) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с отрицательным элементом в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).

Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.

6 этап: проверка оптимальности.

Найденное базисное решение не является оптимальным, так как согласно признаку оптимальности (признак 4) в строке целевой функции не должно быть отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, согласно алгоритму симплекс-метода переходим к 8 этапу.

Так как найденное базисное решение допустимое, то поиск разрешающей колонки будем производить по следующей схеме: определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.3, таких колонок две: колонка «х1 » и колонка «х2 ». Из таких колонок выбирается та, которая содержит наименьший элемент в строке целевой функции. Она и будет разрешающей. Колонка «х2 » содержит наименьший элемент (–3) в сравнении с колонкой «х1

Для определения разрешающей строки находим положительные оценочные отношения свободных чисел к элементам разрешающей колонки, строка, которой соответствует наименьшее положительное оценочное отношение, принимается в качестве разрешенной.

Таблица 5.4

Исходная симплекс-таблица

В таблице 5.4 наименьшее положительное оценочное отношение соответствует строке «х5 », следовательно, она будет разрешающей.

Элемент, расположенный на пересечение разрешающей колонки и разрешающей строки, принимается в качестве разрешающего. В нашем примере – это элемент , который расположен на пересечении строки «х5 » и колонки «х2 ».

Разрешающий элемент показывает одну базисную и одну свободную переменные, которые необходимо поменять местами в симплекс-таблице, для перехода к новому «улучшенному» базисному решению. В данном случае это переменные х5 и х2 , в новой симплекс-таблице (таблице 5.5) их меняем местами.

9.1. Преобразование разрешающего элемента.

Разрешающий элемент таблицы 5.4 преобразовывается следующим образом:

Полученный результат вписываем в аналогичную клетку таблицы 5.5.

9.2. Преобразование разрешающей строки.

Элементы разрешающей строки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей строки приведены в таблице 5.5.

9.3. Преобразование разрешающей колонки.

Элементы разрешающей колонки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, а результат берется с обратным знаком. Полученные результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей колонки приведены в таблице 5.5.

9.4. Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы.

Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы (т.е. элементов не расположенных в разрешающей строке и разрешающей колонке) осуществляется по правилу «прямоугольника».

К примеру, рассмотрим преобразование элемента, расположенного на пересечении строки «х3 » и колонки «», условно обозначим его «х3 ». В таблице 5.4 мысленно вычерчиваем прямоугольник, одна вершина которого располагается в клетке, значение которой преобразуем (т.е. в клетке «х3 »), а другая (диагональная вершина) – в клетке с разрешающим элементом. Две другие вершины (второй диагонали) определяются однозначно. Тогда преобразованное значение клетки «х3 » будет равно прежнему значению данной клетки минус дробь, в знаменателе которой разрешающий элемент (из таблицы 5.4), а в числителе произведение двух других неиспользованных вершин, т.е.:

«х3 »: .

Аналогично преобразуются значения других клеток:

«х3 х1 »: ;

«х4 »: ;

«х4 х1 »: ;

«х6 »: ;

«х6 х1 »: ;

«»: ;

«х1 »: .

В результате данных преобразований получили новую симплекс- таблицу (таблица 5.5).

II итерация:

1 этап: составление симплекс-таблицы.

Таблица 5.5

Симплекс-таблица II итерации

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.5):

Как видно, при данном базисном решении значение целевой функции =15, что больше чем при предыдущем базисном решении.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.5 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.5 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.5) содержится отрицательный элемент: –2 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.5, такой колонкой является только одна колонка: «х1 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.6, минимальным является отношение, соответствующее строке «х3 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.6

Симплекс-таблица II итерации

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.6) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.7.

III итерация

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.7

Симплекс-таблица III итерации

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.7):

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.7 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.7 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.7) содержится отрицательный элемент: –3 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.7, такой колонкой является только одна колонка: «х5 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.8, минимальным является отношение, соответствующее строке «х4 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.8

Симплекс-таблица III итерации

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.8) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.9.

IV итерация

1 этап: построение новой симплекс-таблицы.

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.9

Симплекс-таблица IV итерации

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение, согласно таблице 5.9 решение следующее:

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.9 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.9 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.9) нет отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

7 этап: проверка альтернативности решения.

Найденное решение является единственным, так как в строке целевой функции (таблица 5.9) нет нулевых элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

Ответ: оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи =24, которое достигается при.

Пример 5.2. Решить вышеприведенную задачу линейного программирования при условии, что целевая функция минимизируется:

Решение:

I итерация:

1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.

Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т.е.

В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3 , х4 , х5 , х6 , тогда свободными переменными будут х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные.

Основные теоремы линейного программирования

Для обоснования методов решения задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, опуская их аналитические доказательства. Уяснить смысл каждой из теорем поможет понятие о геометрической интерпретации решения ЗЛП, данное в предыдущем подразделе.

Однако сначала напомним о некоторых понятиях, важных с точки зрения дальнейшего разговора.

Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) называются основными , если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными (или свободными) .

Базисным решением системы m линейных уравнений c n переменными (m < n) называется всякое ее решение, в котором все неосновные переменные имеют нулевые значения.

Теорема 1 . Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

В частном случае, когда в систему ограничений входят только две переменные x 1 и x 2 , это множество можно изобразить на плоскости. Так как речь идет о допустимых решениях (x 1 , x 2 ≥ 0), то соответствующее множество будет располагаться в первой четверти декартовой системы координат. Это множество может быть замкнутым (многоугольник), незамкнутым (неограниченная многогранная область), состоять из единственной точки и, наконец, система ограничений-неравенств может быть противоречивой.

Теорема 2 . Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.

Из теоремы 2 можно сделать вывод о том, что единственность оптимального решения может нарушаться, причем, если решение не единственное, то таких оптимальных решений будет бесчисленное множество (все точки отрезка, соединяющего соответствующие угловые точки).

Теорема 3 . Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений, и наоборот.

Следствием из теорем 2 и 3 является утверждение о том, что оптимальное решение (оптимальные решения) задачи линейного программирования, заданной (или приведенной) ограничениями-уравнениями, совпадает с допустимым базисным решением (допустимыми базисными решениями) системы ограничений.

Таким образом, оптимальное решение ЗЛП следует искать среди конечного числа допустимых базисных решений.

Симплекс-метод был разработан и впервые применен для решения задач в 1947 г. американским математиком Дж. Данцигом.

Симплексный метод в отличие от геометрического универсален. С его помощью можно решить любую задачу линейного программирования.

В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения получаемого решения.

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение - вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).

Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным.

Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его основных элементов:

1) способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;

2) правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;

3) критерий проверки оптимальности найденного решения.

Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть сформулирован в виде четкого алгоритма (четкого предписания о выполнении последовательных операций). Это позволяет успешно программировать и реализовывать его на ЭВМ. Задачи с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.

Реализация симплекс-алгоритма включает восемь шагов. Опишем их, параллельно рассматривая пример выполнения каждого шага в применении к задаче о хоккейных клюках и шахматных наборах.

Шаг 1 . Формулировка ЗЛП (формирование целевой функции и системы ограничений).

Многие из нас сталкивались с непонятными терминами в разных науках. Но находится очень мало людей, которых не пугают непонятные слова, а наоборот, приободряют и заставляют всё больше углубиться в изучаемый предмет. Сегодня речь пойдёт о такой вещи, как интерполяция. Это способ построения графиков по известным точкам, позволяющий с минимальным количеством информации о функции предсказать её поведение на конкретных участках кривой.

Перед тем как перейти к сути самого определения и рассказать о нём подробнее, немного углубимся в историю.

История

Интерполяция была известна ещё с древнейших времён. Однако своим развитием это явление обязано нескольким самым выдающимся математикам прошлого: Ньютону, Лейбницу и Грегори. Именно они развили это понятие с помощью более продвинутых математических способов, доступных в то время. До этого интерполяцию, конечно, применяли и использовали в вычислениях, но делали это совершенно неточными способами, требующими большого количества данных для построения модели, более-менее близкой к реальности.

Сегодня мы можем даже выбирать, какой из способов интерполяции подходит больше. Всё переведено на компьютерный язык, который с огромной точностью может предсказывать поведение функции на определённом участке, ограниченном известными точками.

Интерполяция представляет собой достаточно узкое понятие, поэтому её история не так богата фактами. В следующем разделе разберёмся, что такое интерполяция на самом деле и чем она отличается от своей противоположности - экстраполяции.

Что такое интерполяция?

Как мы уже говорили, это общее название способов, позволяющих построить график по точкам. В школе в основном это делают с помощью составления таблицы, выявления точек на графике и примерного построения линий, их соединяющих. Последнее действие делается исходя из соображений похожести исследуемой функции на другие, вид графиков которых нам известен.

Однако есть другие, более сложные и точные способы выполнить поставленную задачу построения графика по точкам. Итак, интерполяция - это фактически "предсказание" поведения функции на конкретном участке, ограниченном известными точками.

Существует схожее понятие, связанное с этой же областью, - экстраполяция. Она представляет собой также предсказание графика функции, но за пределами известных точек графика. При таком способе предсказание делается на основе поведения функции на известном промежутке, и потом эта функция применяется и для неизвестного промежутка. Такой способ очень удобен для практического применения и активно используется, например, в экономике для прогнозирования взлётов и падения на рынке и для предсказания демографической ситуации в стране.

Но мы отошли от основной темы. В следующем разделе разберёмся, какая бывает интерполяция и с помощью каких формул можно произвести эту операцию.

Виды интерполяции

Самым простым видом является интерполяция методом ближайшего соседа. С помощью этого способа мы получаем очень приблизительный график, состоящий из прямоугольников. Если вы видели хоть раз объяснение геометрического смысла интеграла на графике, то поймёте, о каком графическом виде идёт речь.

Кроме этого, существуют и другие методы интерполяции. Самые известные и популярные связаны с многочленами. Они более точны и позволяют предсказывать поведение функции при достаточно скудном наборе значений. Первым методом интерполяции, который мы рассмотрим, будет линейная интерполяция многочленами. Это самый простой способ из данной категории, и им наверняка каждый из вас пользовался в школе. Суть его заключается в построении прямых между известными точками. Как известно, через две точки плоскости проходит единственная прямая, уравнение которой можно найти исходя из координат данных точек. Построив эти прямые, мы получаем ломаный график, который худо-бедно, но отражает примерные значения функций и в общих чертах совпадает с реальностью. Так и осуществляется линейная интерполяция.

Усложнённые виды интерполяции

Есть более интересный, но при этом более сложный способ интерполяции. Его придумал французский математик Жозеф Луи Лагранж. Именно поэтому расчет интерполяции по этому методу назван его именем: интерполяция по методу Лагранжа. Фокус тут вот в чём: если способ, изложенный в предыдущем абзаце, использует для расчета только линейную функцию, то разложение методом Лагранжа предполагает также использование многочленов более высоких степеней. Но не так просто найти сами формулы интерполяции для разных функций. И чем больше точек известно, тем точнее получается формула интерполяции. Но есть и масса других методов.

Существует и более совершенный и приближенный к реальности метод расчета. Формула интерполяции, используемая в нём, представляет собой совокупность многочленов, применение каждого из которых зависит от участка функции. Такой метод называется сплайн-функцией. Кроме того, есть ещё и способы, позволяющие провести такую вещь, как интерполяция функций двух переменных. Тут всего два метода. Среди них билинейная или двойная интерполяция. Этот способ позволяет без труда построить график по точкам в трёхмерном пространстве. Другие методы затрагивать не будем. Вообще, интерполяция - это универсальное называние для всех этих способов построения графиков, но многообразие способов, которыми можно осуществить это действие, заставляет делить их на группы в зависимости от вида функции, которая подлежит этому действию. То есть интерполяция, пример которой мы рассмотрели выше, относится к прямым способам. Есть также обратная интерполяция, которая отличается тем, что позволяет вычислить не прямую, а обратную функцию (то есть x от y). Рассматривать последние варианты мы не будем, так как это достаточно сложно и требует хорошей математической базы знаний.

Перейдём к, пожалуй, одному из важнейших разделов. Из него мы узнаем, как и где обсуждаемая нами совокупность методов применяется в жизни.

Применение

Математика, как известно, царица наук. Поэтому даже если вы сначала не видите смысла в тех или иных операциях, это не значит, что они бесполезны. Вот, например, кажется, что интерполяция - это бесполезная вещь, с помощью которой только графики строить можно, которые сейчас мало кому нужны. Однако при любых расчётах в технике, физике и многих других науках (например, биологии), крайне важно представлять достаточно полную картину о явлении, имея при этом определённый набор значений. Сами значения, разбросанные по графику, не всегда дают чёткие представления о поведении функции на конкретном участке, значениях её производных и точек пересечения с осями. А это очень важно для многих областей нашей с вами жизни.

А как это пригодится в жизни?

На подобный вопрос бывает очень сложно ответить. Но ответ прост: никак. Именно эти знания вам никак не пригодятся. А вот если вы поймёте этот материал и методы, с помощью которых осуществляются эти действия, вы потренируете свою логику, которая в жизни очень пригодится. Главное - не сами знания, а те навыки, которые человек приобретает в процессе изучения. Ведь недаром существует поговорка: "Век живи - век учись".

Смежные понятия

Вы можете сами понять, насколько важна была (и до сих пор не теряет свою важность) эта область математики, взглянув на многообразие других концепций, связанных с данной. Мы уже говорили об экстраполяции, но есть ещё и аппроксимация. Может быть, вы уже слышали это слово. В любом случае то, что оно обозначает, мы тоже разбирали в этой статье. Аппроксимация, как и интерполяция, - это понятия, связанные с построением графиков функций. Но отличие первой от второй в том, что она представляет собой приблизительное построение графика на основе сходных известных графиков. Эти два понятия очень похожи между собой, и тем интереснее изучать каждое из них.

Заключение

Математика - не такая сложная наука, как кажется на первый взгляд. Она, скорее, интересная. И в этой статье мы попытались вам это доказать. Мы рассмотрели понятия, связанные с построением графиков, узнали, что такое двойная интерполяция, и разобрали на примерах, где она применяется.

Интерполяция. Введение. Общая постановка задачи

При решении различных практических задач результаты исследований оформляются в виде таблиц, отображающих зависимость одной или нескольких измеряемых величин от одного определяющего параметра (аргумента). Такого рода таблицы представлены обычно в виде двух или более строк (столбцов) и используются для формирования математических моделей.

Таблично заданные в математических моделях функции обычно записываются в таблицы вида:

Ограниченность информации, представленной такими таблицами, в ряде случаев требует получить значения функций Y j (X) (j=1,2,…,m) в точкахХ , не совпадающих с узловыми точками таблицыХ i (i=0,1,2,…,n) . В таких случаях необходимо определить некоторое аналитическое выражениеφ j (Х) для вычисления приближенных значений исследуемой функцииY j (X) в произвольно задаваемых точкахХ . Функцияφ j (Х) используемая для определения приближенных значений функцииY j (X) называется аппроксимирующей функцией (от латинскогоapproximo - приближаюсь). Близость аппроксимирующей функцииφ j (Х) к аппроксимируемой функцииY j (X) обеспечивается выбором соответствующего алгоритма аппроксимации.

Все дальнейшие рассмотрения и выводы мы будем делать для таблиц, содержащих исходные данные одной исследуемой функции (т. е. для таблиц с m=1 ).

1. Методы интерполяции

1.1 Постановка задачи интерполяции

Наиболее часто для определения функции φ(Х) используется постановка, называемая постановкой задачи интерполяции.

В этой классической постановке задачи интерполяции требуется определить приближенную аналитическую функциюφ(Х) , значения которой в узловых точкахХ i совпадают со значениями Y(Х i ) исходной таблицы, т.е. условий

Построенная таким образом аппроксимирующая функция φ(Х) позволяет получить достаточно близкое приближение к интерполируемой функцииY(X) в пределах интервала значений аргумента [Х 0 ; Х n ], определяемого таблицей. При задании значений аргументаХ ,не принадлежащих этому интервалу, задача интерполяции преобразуется в задачуэкстраполяции . В этих случаях точность

значений, получаемых при вычислении значений функции φ(Х), зависит от расстояния значения аргументаХ отХ 0 , еслиХ <Х 0 , или отХ n , еслиХ >Х n .

При математическом моделировании интерполирующая функция может быть использована для вычисления приближенных значений исследуемой функции в промежуточных точках подынтервалов [Х i ; Х i+1 ]. Такая процедура называетсяуплотнением таблицы .

Алгоритм интерполяции определяется способом вычисления значений функции φ(Х). Наиболее простым и очевидным вариантом реализации интерполирующей функции является замена исследуемой функцииY(Х) на интервале [Х i ; Х i+1 ] отрезком прямой, соединяющим точкиY i , Y i+1 . Этот метод называется методом линейной интерполяции.

1.2 Линейная интерполяция

При линейной интерполяции значение функции в точке Х , находящейся между узламиХ i иХ i+1 , определяется по формуле прямой, соединяющей две соседние точки таблицы

На рис. 1 приведен пример таблицы, полученной в результате измерений некоторой величины Y(X) . Строки, исходной таблицы выделены заливкой. Справа от таблицы построена точечная диаграмма, соответствующая этой таблице. Уплотнение таблицы выполнено благодаря вычислению по формуле

(3) значений аппроксимируемой функции в точках Х , соответствующих серединам подынтервалов (i=0, 1, 2, … , n ).

Рис.1. Уплотненная таблица функции Y(X) и соответствующая ей диаграмма

При рассмотрении графика на рис. 1 видно, что точки, полученные в результате уплотнения таблицы по методу линейной интерполяции, лежат на отрезках прямых, соединяющих точки исходной таблицы. Точность линейной

интерполяции, существенно зависит от характера интерполируемой функции и от расстояния между узлами таблицы X i, , X i+1 .

Очевидно, что если функция плавная, то, даже при сравнительно большом расстоянии между узлами, график, построенный путем соединения точек отрезками прямых, позволяет достаточно точно оценить характер функции Y(Х). Если же функция изменяется достаточно быстро, а расстояния между узлами большие, то линейная интерполирующая функция не позволяет получить достаточно точное приближение к реальной функции.

Линейная интерполирующая функция может быть использована для общего предварительного анализа и оценки корректности результатов интерполяции, получаемых затем другими более точными методами. Особенно актуальной такая оценка становится в тех случаях, когда вычисления выполняются вручную.

1.3 Интерполяция каноническим полиномом

Метод интерполяции функции каноническим полиномом основывается на построении интерполирующей функции как полинома в виде [ 1 ]

Коэффициенты с i полинома (4) являются свободными параметрами интерполяции, которые определяются из условий Лагранжа:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Используя (4) и (5) запишем систему уравнений

Вектор решения с i (i = 0, 1, 2, …, n ) системы линейных алгебраических уравнений (6) существует и может быть найден, если среди узловх i нет совпадающих. Определитель системы (6) называется определителем Вандермонда1 и имеет аналитическое выражение [ 2 ].

1 Определителем Вандермонданазывается определитель

Он равен нулю тогда и только тогда, когда xi = xj для некоторых. (Материал из Википедии - свободной энциклопедии)

Для определения значений коэффициентов с i (i = 0, 1, 2, … , n)

уравнений (5) можно записать в векторно-матричной форме

A* C= Y,

где А, матрица коэффициентов, определяемых таблицей степеней вектора аргументовX= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

С - вектор-столбец коэффициентовс i (i = 0, 1, 2, … , n), аY - вектор-столбец значенийY i (i = 0, 1, 2, … , n) интерполируемой функции в узлах интерполяции.

Решение этой системы линейных алгебраических уравнений может быть получено одним из методов, описанных в [ 3 ]. Например, по формуле

где А -1 - матрица обратная матрицеА . Для получения обратной матрицы А -1 можно воспользоваться функциейМОБР() , входящей в набор стандартных функций программы Microsoft Excel.

После того, как будут определены значения коэффициентов с i , используя функцию (4), могут быть вычислены значения интерполируемой функции для любого значения аргументах .

Запишем матрицу А для таблицы, приведенной на рис.1, без учёта строк уплотняющих таблицу.

Рис.2 Матрица системы уравнений для вычисления коэффициентов канонического полинома

Используя функцию МОБР() , получим матрицу А -1 обратную матрицеА (рис. 3). После чего, по формуле (9) получим вектор коэффициентовС={c 0 , c 1 , c 2 , …, c n } T , приведенный на рис. 4.

Для вычисления значений канонического полинома в ячейку столбца Y канонич , соответствующую значениюх 0 , введем преобразованную к следующему виду формулу, соответствующую нулевой строке системы (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Вместо записи " c i " в формуле, вводимой в ячейку таблицы Excel, должна стоять абсолютная ссылка на соответствующую ячейку, содержащую этот коэффициент (см. рис. 4). Вместо "х 0 " - относительная ссылка на ячейку столбцаХ (см. рис. 5).

Y канонич (0) значения, совпадающего со значением в ячейкеY лин (0) . При протягивании формулы, записанной в ячейкуY канонич (0), должны также совпасть и значенияY канонич (i) , соответствующие узловым точкам исходной

таблицы (см. рис.5).

Рис. 5. Диаграммы, построенные по таблицам линейной и канонической интерполяции

Сравнение графиков функций, построенных по таблицам, вычисленным по формулам линейной и канонической интерполяции, мы видим в ряде промежуточных узлов существенное отклонение значений, полученных по формулам линейной и канонической интерполяции. Более обосновано судить о точности интерполяции можно на основании получения дополнительной информации о характере моделируемого процесса.