Ряд называется сходящимся если. Вычислить сумму ряда онлайн. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами
И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах . Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников (буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры!
Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды
(доживём-доживём:))
. Так, например, сумма популярного артиста 
выводится через ряды Фурье
. В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости
, но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
, сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле.
В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся:
Пример 1
Найти сумму ряда
Решение
: представим наш ряд в виде суммы двух рядов:
Почему в данном случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях:
1) Если сходятся ряды 
, то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся
рядах. В нашём примере мы заранее знаем
, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда.
2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: 
, и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать
Чистовое оформление примера выглядит примерно так:
Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.
Ответ : сумма ряда
Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены:
Дальше по накатанной.
Пример 2
Найти сумму ряда
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: 
.
А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач:
Что такое сумма ряда?
Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы
ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда 
:
И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:
Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному числу: , то такой ряд называют сходящимся , а само число – суммой ряда . Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся .
Вернёмся к демонстрационному ряду 
и распишем его частичные суммы:
Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях . Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).
Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи : необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике:
Пример 3
Вычислить сумму ряда
Решение
: на первом шаге нужно разложить общий член ряда
в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов
:
В результате:
Сразу же
полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку:
Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.
Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:
Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда 
ВМЕСТО
«эн» подставляем :
Почти все слагаемые частичной суммы благополучно сокращаются:
Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.
Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:
Ответ :
Аналогичный ряд для самостоятельного решения:
Пример 4
Вычислить сумму ряда
Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.
Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения , Даламбера, Коши и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:
Пример 5
Найти сумму ряда или установить его расходимость
По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.
Решение
: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение
:
Таким образом:
Множители лучше расположить в порядке возрастания: .
Выполним промежуточную проверку:
ОК
Таким образом, общий член ряда:
Таким образом: 
Не ленимся:
Что и требовалось проверить.
Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:
Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в сокращениях слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:
Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)
В результате всех сокращений получаем:
И, наконец, сумма ряда:
Ответ :
Пример 8
Вычислить сумму ряда 
Это пример для самостоятельного решения.
Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей.
Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.
Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.
Сумма числового ряда
Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:
Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:
- ∑ - математический знак суммы;
- a i - общий аргумент;
- i - переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
- ∞ - знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.
Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).
В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто:
А 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 + … (до «плюс бесконечности).
Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:
S 2 = а 1 + а 2
S 3 = а 1 + а 2 + а 3
S 4 = а 1 + а 2 + а 3 + а 4
Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S n . Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».
Сначала найдем сумму числового ряда:
Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:
Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.
Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.
Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.
Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).
Функция РЯД.СУММ в Excel
Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:
Аргументы функции:
- х – значение переменной;
- n – степень для первого аргумента;
- m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
- а – коэффициенты при соответствующих степенях х.
Важные условия для работоспособности функции:
- все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
- все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
- вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
- количество «коэффициентов» = числу аргументов.
Вычисление суммы ряда в Excel
Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.
Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.
Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:
S 1 = a (1 + x).
На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:
S 2 = a (1 + x) 2 ; S 3 = a (1 + x) 2 и т.д.
Чтобы найти общую сумму:
S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n
Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().
Исходные параметры для учебной задачи:
Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)
Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)
Результаты одинаковые, как и должно быть.
Как заполнить аргументы функции БС():
- «Ставка» - процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
- «Кпер» - число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
- «Плт» - периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
- «Пс» - «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».
Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.
В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.
Построение графика функций суммы числового ряда
Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:
В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.
Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:
Как мы считали – в строке формул.
На основании полученных данных построим график функций.
Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» - инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:
Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.
Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)
Добавим полученные значения в график «Рост капитала».
Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.
Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.
Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:
В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:
По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:
Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:
Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:
Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:
Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:
Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.
Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).
Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называетсячисловым рядом .
При
этом числа
будем называть членами ряда, аu
n
– общим членом ряда.
Определение.
Суммы
,n
= 1, 2, …
называются частными
(частичными) суммами
ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S 1 , S 2 , …, S n , …
Определение.
Ряд
называетсясходящимся
,
если сходится последовательность его
частных сумм. Сумма
сходящегося ряда
– предел последовательности его частных
сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2)
Рассмотрим два ряда
и
,
где С – постоянное число.
Теорема.
Если ряд
сходится
и его сумма равна
S
,
то ряд
тоже
сходится, и его сумма равна С
S
.
(C
0)
3)
Рассмотрим два ряда
и
.Суммой
или разностью
этих рядов будет называться ряд
,
где элементы получены в результате
сложения (вычитания) исходных элементов
с одинаковыми номерами.
Теорема.
Если ряды
и
сходятся
и их суммы равны соответственно
S
и
,
то ряд
тоже сходится и его сумма равна
S
+
.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для
того, чтобы последовательность
была
сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал такой номер
N
,
что при
n
>
N
и любом
p
> 0, где р – целое число, выполнялось
бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть
,
тогда для любого числа
найдется
номер N
такой, что неравенство
выполняется
при n>N.
При n>N
и любом целом p>0
выполняется также неравенство
.
Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для
того, чтобы ряд
был
сходящимся необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал номер
N
такой, что при
n
>
N
и любом
p
>0
выполнялось бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1)
Если ряд
сходится,
то необходимо, чтобы общий член u
n
стремился к нулю. Однако, это условие
не является достаточным. Можно говорить
только о том, что если общий член не
стремится к нулю, то ряд точно расходится.
Например, так называемый гармонический
ряд
является расходящимся, хотя его общий
член и стремится к нулю.
Пример.
Исследовать сходимость ряда
Найдем
- необходимый признак сходимости не
выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако,
при этом последовательность частных
сумм ограничена, т.к.
при любомn
.
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема.
Для сходимости
ряда
с
неотрицательными членами необходимо
и достаточно, чтобы частные суммы ряда
были ограничены
.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть
даны два ряда
и
приu
n
,
v
n
0
.
Теорема.
Если u
n
v
n
при любом n
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
.
Доказательство.
Обозначим через S
n
и
n
частные суммы рядов
и
.
Т.к. по условию теоремы ряд
сходится,
то его частные суммы ограничены, т.е.
при всехn
n
M,
где М – некоторое число. Но т.к. u
n
v
n
,
то S
n
n
то частные суммы ряда
тоже
ограничены, а этого достаточно для
сходимости.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
,
а гармонический ряд
расходится, то расходится и ряд
.
Пример.
Т.к.
,
а ряд
сходится (как убывающая геометрическая
прогрессия), то ряд
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема.
Если
и существует предел
,
где
h
– число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут
одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера.
(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если
для ряда
с положительными членами существует
такое число
q
<1,
что для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
то
ряд
сходится, если же для всех достаточно
больших
n
выполняется условие
то
ряд
расходится.
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если
существует предел
,
то при
< 1 ряд сходится, а при
> 1 – расходится. Если
= 1, то на вопрос о сходимости ответить
нельзя.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
Вывод: ряд сходится.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если
для ряда
с
неотрицательными членами существует
такое число
q
<1,
что для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
,
то
ряд
сходится,
если же для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
то
ряд
расходится.
Следствие.
Если существует предел
,
то при<1
ряд сходится, а при >1
ряд расходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
,
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если
(х)
– непрерывная положительная функция,
убывающая на промежутке
и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
где
Признак Лейбница.
Если
у знакочередующегося ряда
абсолютные величины
u
i
убывают
и общий член стремится к нулю
,
то ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
(1)
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
(2)
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:
По свойству абсолютных величин:
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение.
Ряд
называетсяабсолютно
сходящимся
,
если сходится ряд
.
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Определение.
Ряд
называетсяусловно
сходящимся
,
если он сходится, а ряд
расходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть
-
знакопеременный ряд.
Признак
Даламбера.
Если существует предел
,
то при<1
ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>
Признак
Коши.
Если
существует предел
,
то при<1
ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>1
ряд будет расходящимся. При =1
признак не дает ответа о сходимости
ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1)
Теорема.
Для абсолютной
сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы его можно было
представить в виде разности двух
сходящихся рядов с неотрицательными
членами
.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда .
5)
Если ряды
и
сходятся абсолютно и их суммы равны
соответственноS
и ,
то ряд, составленный из всех произведений
вида
взятых в каком угодно порядке, также
сходится абсолютно и его сумма равнаS
- произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.
Функциональные последовательности.
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х , то ряд называется функциональным .
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х , при которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости .
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
Определение. Последовательность {f n (x ) } сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство
выполняется при n>N.
При выбранном значении >0 каждой точке отрезка соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка , будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка , т.е. будет общим для всех точек.
Определение. Последовательность {f n (x ) } равномерно сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство
выполняется при n>N для всех точек отрезка .
Пример.
Рассмотрим последовательность
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f (x )=0 , т.к.
Построим графики этой последовательности:
sinx
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х .
Функциональные ряды.
Определение.
Частными
(частичными) суммами
функционального ряда
называются функции
Определение.
Функциональный ряд
называетсясходящимся
в точке (х=х
0
),
если в этой точке сходится последовательность
его частных сумм. Предел последовательности
называетсясуммой
ряда
в точкех
0
.
Определение.
Совокупность всех значений х
,
для которых сходится ряд
называетсяобластью
сходимости
ряда.
Определение.
Ряд
называетсяравномерно
сходящимся
на отрезке ,
если равномерно сходится на этом отрезке
последовательность частных сумм этого
ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для
равномерной сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы для любого числа
>0
существовал такой номер
N
(
),
что при
n
>
N
и любом целом
p
>0
неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке [ a , b ].
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд
сходится
равномерно и притом абсолютно на отрезке
[
a
,
b
],
если модули его членов на том же отрезке
не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными
членами:
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще
говорят, что в этом случае функциональный
ряд
мажорируется
числовым
рядом
.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Так
как
всегда, то очевидно, что
.
При
этом известно, что общегармонический
ряд
при=3>1
сходится, то в соответствии с признаком
Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно
сходится и притом в любом интервале.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
На
отрезке [-1,1] выполняется неравенство
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом
отрезке исследуемый ряд сходится, а на
интервалах (-,
-1)
(1, )
расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если
члены ряда
- непрерывные на отрезке [
a
,
b
]
функции и ряд сходится равномерно, то
и его сумма
S
(x
)
есть непрерывная функция на отрезке
[
a
,
b
].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [ a , b ] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [ a , b ] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку .
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если
члены ряда
сходящегося на отрезке [
a
,
b
]
представляют собой непрерывные функции,
имеющие непрерывные производные, и ряд,
составленный из этих производных
сходится
на этом отрезке равномерно, то и данный
ряд сходится равномерно и его можно
дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х , можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем,
что этот ряд сходится при
и
расходится при
.
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При
х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см.
Признак
Лейбница.
).
При
х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).
Теоремы Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема.
Если степенной
ряд
сходится при
x
=
x
1
, то он сходится и притом абсолютно для
всех
.
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из
этого неравенства видно, что при x
<
x
1
численные величины членов нашего ряда
будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой
части записанного выше неравенства,
которые образуют геометрическую
прогрессию. Знаменатель этой прогрессии
по условию теоремы меньше единицы,
следовательно, эта прогрессия представляет
собой сходящийся ряд.
Поэтому
на основании признака сравнения делаем
вывод, что ряд
сходится, а значит ряд
сходится абсолютно.
Таким
образом, если степенной ряд
сходится
в точкех
1
,
то он абсолютно сходится в любой точке
интервала длины 2
с центром в точкех
= 0.
Следствие.
Если при х =
х
1
ряд расходится, то он расходится для
всех
.
Таким
образом, для каждого степенного ряда
существует такое положительное число
R,
что при всех х
таких, что
ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд
расходится. При этом числоR
называется радиусом
сходимости
.
Интервал (-R,
R)
называется интервалом
сходимости
.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
Пример.
Найти область сходимости ряда
Находим
радиус сходимости
.
Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х . Общий член этого ряда стремится к нулю.
Теорема.
Если степенной ряд
сходится для положительного значениях=х
1
, то он сходится равномерно в любом
промежутке внутри
.
Действия со степенными рядами.
Ряд, в математике
1. Определения.
Р. есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Р., то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Р. По свойству элементов различают Р. чисел, Р. функций и Р. действий. Приведем несколько примеров. 1, 2, 3, 4,..., n,... есть Р. натуральных чисел; 1, 4, 9, 16,..., п
2 ... Р. квадратов; а 0 , а 1 х, а 2 а 2 ,..., а n x n ,... Р. степенных функций или степенной Р. 1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),... 0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n.. Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Р. действий. Напр. √[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4. При помощи Р. действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел. Р. u
0 , u
1 , u
2 ,... u
n ... назыв. бесконечным,
если после всякого элемента u
k найдется элемент u
k+1 ; в противном же случае Р. назыв. конечным.
Напр. 1. 2, 3,... 9, 10 есть конечный Р., потому что не существует элементов после элемента 10. 2. Число, определяемое рядом.
Особенное значение имеют бесконечные Р. вида (1)... а
1 /10, а
2 /10 2 ,
...
а n
/10 n
,..., где а
1 , а
2 , а
3 ,
... а n
,... целые положительные числа, a
0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а
1 , а
2 , а
3 ,
... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов. Р. (1) обозначим для краткости одною буквою а
. Говорят, что а больше
рационального числа p
/q
, если при достаточно большом n
имеет место неравенство а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + а
n /10 n > p
/q
Если же при всяком n
а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + а
n /10 n не > p
/q
но при достаточно большом n
а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + а
n /10 n > r
/s
где r/s
произвольно взятое число, меньшее p
/q
, то считают а равным p
/q
. На этом основании Р. 9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,... равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1. Если а
не равно 9, а все последующие числа a k
+1 , a k
+2 , a k
+3 ,... равны 9, то число а
, определяемое Р. (1), равно а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + (а
k + 1)/10 k . Если же не все числа а
k+1 , а
k+2 , а
k+3 ...равны 9, то а
= а
0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + а
k /10 k Может случиться, что все элементы ряда (1), начиная с а
k+1 ,
равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определением а
а 0 + а
1 /10 + а
2 /10 2 +... + (а
k +1)/10 k Такого рода число наз. конечною десятичною дробью.
Из арифметики известно, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается конечная дробь или бесконечная периодическая. Всякая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь. Отсюда следует, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не может равняться рациональному числу и потому представляет число особого рода, называемое иррациональным
(см.). 3. Сходимость и расходимость рядов.
Р. чисел (2)... u
0 , u
1 , u
2 ,... u n
,... наз. сходящимся,
если существует такое число а
(рациональное или иррациональное), что при возрастании n
численное значение разности а
- (u
0 + u
1 + u
2 +... u n-
1) становится и остается сколь угодно малым. Такое число a
наз. суммою
Р. В этом случае пишут (3)... а
= u
0 + u
1 + u
2 +... и это равенство наз. разложением
числа a
в бесконечный Р. Если такого числа а
не существует, то Р. (2) наз. расходящимся.
Важнейший пример сходящегося Р. представляет геометрическая прогрессия (см.). 1, q, q
2 ,..., знаменатель которой q
по численному значению меньше единицы. В этом случае имеет место разложение 1/(1 - q
) = 1 + q
+ q
2 +... Примером расходящегося Р. может служить 1/1, 1/2, 1/3,... 1 + 1/2 + 1/3 +... не имеет никакого смысла. Если же члены гармонического Р. взять попеременно со знаками + и -, то получим сходящийся Р. Выражение 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... равно логарифму 2, взятому при основании е
(см.). Не имея возможности излагать подробно признаки сходимости, отметим только следующие теоремы. Данный Р. - сходящийся, если Р. модулей (см.) его членов сходящийся. Р. v
0 ,
-v
1 , v
2 , -v
3 ..., в котором числа v
0 , v
1 , v
2 , v
3 ... положительные, сходящийся, если при возрастании n
lim v n
= 0. Р. с положительными членами u
0 , u
1 , u
2 ,..., u n
,... сходящийся, если lim
(u n
+ 1)/u n
lim
(u n
+ 1)/u n
> 1 Если для Р. с положительными членами но, и
0 , и
1 , u
2 ,
.., и n
... отношение lim
(u n
+ 1)/u n
= 1 - r
/n + θ
( n
) /n α ,
где r
не зависят от n
, α
> 1 и θ (n
) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Р. сходящийся при r
> 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", p. 84). 4. Условная и абсолютная сходимость.
Если Р. (4) v
0 , v
1 , v
2 ,... v n
,... сходящийся, но Р. модулей его членов расходящийся, то говорят, что Р. (4) условно сходящийся.
Напр. 1, -1/2, 1/3, -1/4,... Р. наз. абсолютно сходящимся,
если Р. модулей его членов сходящийся. Сумма условно-сходящегося Р. изменяется с изменением порядка его членов. Напр. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2, но 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +... 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2. Сумма абсолютно-сходящегося Р. не зависит от порядка его членов. Если числа а
и b
разлагаются в абсолютно-сходящиеся Р. а
= a
0 + a
1 + a
2 +....., b
= b
0 + b
1 + b
2 +..... ., a
0 b
0 , a
0 b
1 + a
1 b
0 , a
0 b
2 + a
1 b
2 + a
2 b
0 ,... абсолютно-сходящийся и, кроме того, a
0 b
0 + (a
0 b
1 + a
1 b
0) + (a
0 b
2 + a
1 b
2 + a
2 b
0) +... = ab
. 5. Равномерная сходимость.
Предположим, что дан Р. (5)... f
0 (x
), f
1 (x
), f
2 (x
),
..., f n
(x
),
... члены которого суть функции от одной переменной x
, которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х,
при которых этот Р. сходящийся, образует так называемую область сходимости.
Р. 1, х,
1.2x
2 , 1.2.3x
3 ,...... ., сходящийся только при x
= 0. Р. 1, х,
(1/2 + 1.2x
2), (1/3 + 1.2.3x
3),... расходящийся при всяком х.
Р. 1, х/
1, (x
2 /1.2), (x
3 /1.2.3),... сход. при всяком значении х.
Если степенной Р. α 0 , α 1 x,
α 2 x
2 ,... сход. при каком-нибудь значении х,
не равном нулю, то этот Р. сход. и при всяком x
, модуль которого меньше некоторого числа R
. Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Р. есть круг радиуса R
. Примером может служить геометрическая прогрессия 1, x
, x
2 , x
3 ,...., у которой радиус круга сходимости
равен единице. Если х
принадлежит к области сход. Р. (5), то при всяком n
, большем некоторого числа т
mod [f n
(x
) + f n+
1 (x
) + f n+
2 (x
) +...]
Вообще т
зависит от х
и от ε, но возможно, в особых случаях, что т
зависит только от ε, если значения х
принадлежат к некоторой области (S).
В таком случае Р. (5) наз. равномерно-сходящимся в области
(S
). Для примера рассмотрим Р. (6)... (1 - х
), х
(1 - х
), х
2 (1 - х
).... ограничиваясь вещественными и положительными значениями х.
Для того, чтобы имело место неравенство (7)... х n
(1 - x
) + x n+
1 (1 - x
) +... x n
надо взять n
> Log ε /Logx
След., в рассматриваемом случае т
= Log ε /Logx.
Как видим, т
зависит от х.
Как бы велико ни было m
, найдутся такие значения х
в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n,
большем т.
Если х
= 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1 Предположим, что т
= Log ε /Log (1 - α) и n больше или = m След. Р. (6) равномерно сход. в промежутке (0, 1 - α). Если в области равномерной сходимости члены ряда f
0 (x
), f
1 (x
), f
2 (x
)... суть непрерывные функции от x
, то и сумма этого Р. - непрерывная функция (см. Разрывность). Равномерно сход. Р. можно почленно интегрировать или дифференцировать. Степенные Р. a
0 , а
1 х, а
2 х
2 ... обладают равномерною сходимостью внутри круга сходимости. 6. Разложение функций в ряды.
В дальнейшем будем предполагать, что независимая переменная вещественная. При помощи формулы Маклорена (см.) получаются следующие разложения: (эти формулы справедливы при всяком x
). Для того, чтобы при помощи формулы (9) вычислить, напр., cos 2°, надо вместо x
подставить отношение к радиусу длины дуги, содержащей 2 градуса. В форм. (11) логарифм взят при основании е
. Эта форм. неудобна для вычисления логарифмов, так как надо брать очень много членов Р. для получения даже незначительной точности. Более удобна для вычисления формула 13-я, которая выводится из формулы (11), полагая (1 + х
)/(1 - х
) = (a + z)/z в разложении функции log(1 + x
) - log(l - x
). Полагая а
= 1, z
= 1, найдем log2; " а
= 1, z
= 1, " log5; а + z
= 3 4 , а
= 80, " log3; а
+ z
= 7 4 , а
= 2400, " log7; Умножив найденные натуральные логарифмы этих чисел на М= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765..., получим обыкновенные логарифмы (при основании 10) тех же чисел (см.). Форм. (12) справедлива при х
= 1, если m
> -1, и при x
= -1, если m
> 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245). При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Р. рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр. 1/(1 + 2t
+ 5t
3 + 3t
3) = y
0 + y
1 t
+ y
2 t
2 + y
3 t
3 +..., y
0 = 1, y
1 + 2y
0 = 0, y
2 + 2y
1 + 5y
0 = 0, y
3 + 2y
2 + 5 у
1 +
3 у
0 = 0, y
4 + 2y
3 + 5 у
2 +
3 у
1 = 0 и т. д. Р. коэффициентов y 0 , у
1 , y 2 ... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением y n
+3 + 2y n
+2 + 5 у n
+1 +
3 у n
= 0. Такого рода Р. наз. возвратными.
Из написанных уравнений последовательно определяется y 0 , у
1 , y 2 ... Разложение данной функции в Р. найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Р. производной. Таким путем получаются разложение (14)... arc
tgx
= x
- (x
3 /3) + (x
5 /5) -... (15)... arc
sin х
= x
/1 + 1/2(x 3
/3) + (1.2/2.4)(x 5
/5) +... справедливые для значений х,
удовлетворяющих условиям Р. (14) при помощи формулы Мэчена (Machin) π /4 = 4arc
tg(1/5) - arc
tg(1/239) дает возможность очень быстро вычислить π с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил π с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Р. и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии. Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон
.
1890-1907
.
Смотреть что такое "Ряд, в математике" в других словарях:
РЯД, бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2,..., an,... числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ ... + an при неограниченном возрастании n стремится к… … Энциклопедический словарь
Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Имеет несколько значений: Ряд совокупность однородных, похожих предметов, расположенных в одну линию. Ряд совокупность каких нибудь явлений, следующих одно за другим в определённом порядке. Ряд некоторое, немалое количество, например «ряд стран» … Википедия
Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия
Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия
Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия
Разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия
Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где функция Мёбиуса … Википедия
I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. отт. Строй в одну линию; шеренга. 2. Линейная последовательность мест для сидения в театре, кино и т.п. отт. Лица, занимающие такие места. 3. Расположенные в одну линию ларьки … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Книги
- Математика наблюдателей и ее приложения к квантовой механике, теории относительности и классической математике , Б. С. Хоц, Д. Б. Хоц. В этой книге представлены результаты авторов, относящиеся к Математике наблюдателей (авторское назввание Observer s Mathematics). Эта математика была впервые введена авторами, были изучены ее…
Загрузка...
