Что значит решить линейное уравнение. Линейные уравнения: формулы и примеры. Неравенства и их решение. «Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Линейные уравнения. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Линейные уравнения.

Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)

Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

ax + b = 0 где а и b – любые числа.

2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7

0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2

Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:

Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:

Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.

Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:

Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение

нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.

Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)

Решение линейных уравнений. Примеры.

Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.

Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.

х - 3 = 2 - 4х

Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.

Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:

х + 4х = 2 + 3

Приводим подобные, считаем:

Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:

Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.

Например, вот это уравнение:

С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.

Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?

95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:

Раскрываем скобки:

Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:

Раскрываем оставшиеся скобки:

Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:

Приводим подобные:

И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:

Вот и всё. Ответ: х =0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)

Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.

Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Сюрприз первый.

Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:

2х+3=5х+5 - 3х - 2

Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:

2х-5х+3х=5-2-3

Считаем, и... опаньки!!! Получаем:

Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?

Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.

Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)

Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.

Вот вам и ответ: х - любое число.

Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.

Сюрприз второй.

Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:

2х+1=5х+5 - 3х - 2

После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:

Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)

Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)

Вот вам и ответ: решений нет.

Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.

Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)

Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

И т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения , целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными .

Навигация по странице.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Определение.

Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором - b=3,33 .

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям . При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

• единственный корень при a≠0 ,
• не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
• имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям , то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

• перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
• а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x 1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x 2 , причем x 2 ≠x 1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x 1 −x 2 ≠0 . Так как x 1 и x 2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств , имеем a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 , откуда a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 и дальше a·(x 1 −x 2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x 1 −x 2 ≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

• Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
• Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
• Если же a отлично от нуля, то
• коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
• после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

• Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
• Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
• Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .

Примеры решения линейных уравнений

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Пример.

Решите линейное уравнение 0·x−0=0 .

Решение.

В этом линейном уравнении a=0 и b=−0 , что то же самое, b=0 . Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.

Ответ:

x – любое число.

Пример.

Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0 ?

Решение.

В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7 , то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое линейное уравнение

Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a · x = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа.

Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.

Пример 1

Примерами линейных уравнений будут:

3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );

− 3 , 1 · y = 0 (линейное уравнение с переменной y , где а = - 3 , 1 и b = 0);

x = − 4 и − x = 5 , 37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и - 1 соответственно. Для первого уравнения b = - 4 ; для второго - b = 5 , 37 ) и т.п.

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.

А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Определение 2

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a · x + b = 0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

Пример 2

Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1 , 8 · y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a · x = b , например, 6 · x = 35 .

Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a · x + b = 0 , где x – переменная; a , b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a · x + b = 0 , определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком подходе уравнение 5 · x + 8 = 0 – линейное, а 5 · x = − 8 - уравнение, сводящееся к линейному.

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Определение 3

Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b . Запишем эти условия:

• при a ≠ 0 линейное уравнение имеет единственный корень x = - b a ;
• при a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение не имеет корней;
• при a = 0 и b = 0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

• перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
• умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Таким образом, преобразуем линейное уравнение a · x + b = 0 , перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a · x = − b .

Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x = - b a . Т.е., когда a ≠ 0 , исходное уравнение a · x + b = 0 равносильно равенству x = - b a , в котором очевиден корень - b a .

Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня - b a как x 1 . Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x 2 . И конечно: x 2 ≠ x 1 , а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x 1 − x 2 ≠ 0 . С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a · x 1 + b = 0 и a · x 2 + b = 0 .
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0 , отсюда: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 и далее a · (x 1 − x 2) = 0 . Равенство a · (x 1 − x 2) = 0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a ≠ 0 и x 1 − x 2 ≠ 0 . Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 имеет лишь один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a = 0 .

Когда a = 0 линейное уравнение a · x + b = 0 запишется как 0 · x + b = 0 . Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x , подставив его в равенство 0 · x + b = 0 , получим b = 0 . Равенство справедливо при b = 0 ; в прочих случаях, когда b ≠ 0 , равенство становится неверным.

Таким образом, когда a = 0 и b = 0 , любое число может стать корнем линейного уравнения a · x + b = 0 , поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0 = 0 . Когда же a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b = 0 .

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

• по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
• при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
• при a = 0 и b ≠ 0
• при a , отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:

1. перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a · x = − b ;
2. обе части полученного равенства делим на число a , что даст нам искомый корень заданного уравнения: x = - b a .

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Напоследок уточним, что уравнения вида a · x = b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a ≠ 0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a .

Таким образом, чтобы найти решение уравнения a · x = b , используем такой алгоритм:

• при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
• при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
• при a , не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a , что дает возможность найти единственный корень, который равен b a .

Примеры решения линейных уравнений

Необходимо решить линейное уравнение 0 · x − 0 = 0 .

Решение

По записи заданного уравнения мы видим, что a = 0 и b = − 0 (или b = 0 , что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.

Ответ: x – любое число.

Пример 4

Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0 · x + 2 , 7 = 0 .

Решение

По записи определяем, что а = 0 , b = 2 , 7 . Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.

Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.

Пример 5

Задано линейное уравнение 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 . Необходимо решить его.

Решение

По записи уравнения определяем, что а = 0 , 3 ; b = - 0 , 027 , что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.

Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0 , 3 · x = 0 , 027 . Далее разделим обе части полученного равенства на а = 0 , 3 , тогда: x = 0 , 027 0 , 3 .

Осуществим деление десятичных дробей:

0 , 027 0 , 3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0 , 09

Полученный результат есть корень заданного уравнения.

Кратко решение запишем так:

0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .

Ответ: x = 0 , 09 .

Для наглядности приведем решение уравнения записи a · x = b .

Пример N

Заданы уравнения: 1) 0 · x = 0 ; 2) 0 · x = − 9 ; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Необходимо решить их.

Решение

Все заданные уравнения отвечают записи a · x = b . Рассмотрим по очереди.

В уравнении 0 · x = 0 , a = 0 и b = 0 , что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.

Во втором уравнении 0 · x = − 9: a = 0 и b = − 9 , таким образом, это уравнение не будет иметь корней.

По виду последнего уравнения - 3 8 · x = - 3 3 4 запишем коэффициенты: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a , получим в результате: x = - 3 3 4 - 3 8 . Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10

Кратко решение запишем так:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x = 10 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.

Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

\(x=[число]\)

Это число и будет корнем.

То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:

Например : прибавим \(5\) к обеим частям уравнения \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.

Например : разделим уравнение \(-2x=8\) на минус два

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду \(ax=b\), и мы делим на \(a\), чтобы убрать его слева.

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.

Прибавляем \(2x\) слева и справа

Вычитаем \(24\) из обеих частей уравнения

Опять приводим подобные слагаемые

Теперь делим уравнение на \(-3\), тем самым убирая перед иксом в левой части.

Ответ : \(7\)

Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство - одинаковые числа слева и справа. Пробуем.

Проверка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.

Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?

Ответ прост:

Ваша цель – привести уравнение к виду \(x=[число]\), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.

Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения \(x+3=13-4x\).

Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от \(x=[число]\)? Что нам мешает? Что не так?

Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать - вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Хорошо. Теперь что мешает? \(4x\) справа, ведь там должны быть только числа. \(4x\) вычитается - убираем прибавлением .

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.

Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением .

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac{5x}{5}\) \(=\)\(\frac{10}{5}\)
\(x=2\)

Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.

Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один . Однако могут встретиться два особых случая.

Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.

Пример . Решить уравнение \(3x-1=2(x+3)+x\)

Решение :

Ответ : нет корней.

На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: как могут быть равны \(3x\) из которых вычли \(1\), и \(3x\) к которым прибавили \(6\)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.

Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.

Решение :

Ответ : любое число.

Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: \(8x+12=8x+12\). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.

Более сложные линейные уравнения.

Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.

Пример . Найдите корень уравнения \(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\)

Решение :

Ответ : \(x=5\)

Пример . Решить линейное уравнение \(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)

Решение :

Ответ : \(x=-1,25\)