Метод гаусса алгоритм решения. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников. Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Для наглядности решим такое задание:

Вычислить \[ (z_1\cdot z_2)^{10},\] если \

В первую очередь обратим внимание на то, что одно число представлено в алгебраической, другое - в тригонометрической форме. Его необходимо упростить и привести к следующему виду

\[ z_2 = \frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}).\]

Выражение \ говорит о том, что в первую очередь делаем умножение и возведение в 10-ю степень по формуле Муавра. Эта формула сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Получим:

\[\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}=\sqrt {(-1)^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac{\sqrt 3}{-1}=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\]

Придерживаясь правил умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, сделаем следующее:

В нашем случае:

\[(z_1+z_2)^{10}=(\frac{1}{2})^{10}\cdot(\cos (10\cdot\frac{5\pi}{6})+i\sin\cdot\frac{5\pi}{6}))=\frac{1}{2^{10}}\cdot\cos \frac{25\pi}{3}+i\sin\frac{25\pi}{3}.\]

Делая дробь \[\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\] правильной, приходим к выводу, что можно "скрутить" 4 оборота \[(8\pi рад.):\]

\[ (z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]

Ответ: \[(z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]

Данное уравнение можно решить еще одним способом, который сводится к тому, чтобы привести 2 -е число в алгебраическую форму, после чего выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и применить формулу Муавра:

Где можно решить систему уравнений с комплексными числами онлайн?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Выражения, уравнения и системы уравнений
с комплексными числами

Сегодня на занятии мы отработаем типовые действия с комплексными числами, а также освоим технику решения выражений, уравнений и систем уравнений, которые эти числа содержат. Данный практикум является продолжением урока , и поэтому если вы неважно ориентируетесь в теме, то, пожалуйста, пройдите по указанной выше ссылке. Ну а более подготовленным читателям предлагаю сразу же разогреться:

Пример 1

Упростить выражение , если . Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости.

Решение : итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму . Плюс чертёж.

Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.

1) Сначала упростим числитель. Подставим в него значение , раскроем скобки и поправим причёску:

…Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился…

Напоминаю, что в ходе преобразований используются совершенно бесхитростные вещи – правило умножения многочленов и уже ставшее банальным равенство . Главное, быть внимательным и не запутаться в знаках.

2) Теперь на очереди знаменатель. Если , то:

Заметьте, в какой непривычной интерпретации использована формула квадрата суммы . Как вариант, здесь можно выполнить перестановку подформулу . Результаты, естественно, совпадут.

3) И, наконец, всё выражение. Если , то:

Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-е место:

А сейчас ключевое правило:

НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг.
В выражениях, уравнениях и системах с комплексными числами самонадеянныеустные вычисления чреваты, как никогда !

На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.

Примечание : строго говоря, здесь произошло деление комплексного числа на комплексное число 50 (вспоминаем, что ). Об этом нюансе я умалчивал до сих пор и о нём мы ещё поговорим чуть позже.

Обозначим наше достижение буквой

Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас:

Вычислим модуль комплексного числа:

Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.

Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти , то:

Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.

Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.

Выполним проверку:
, в чём и требовалось убедиться.

Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить по тригонометрической таблице .

Ответ :

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Упростить выражение , где . Изобразить полученное число на комплексной плоскости и записать его в показательной форме.

Постарайтесь не пропускать учебные примеры. Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку».

Нередко задача допускает не единственный путь решения:

Пример 3

Вычислить , если ,

Решение : прежде всего, обратим внимание на оригинальное условие – одно число представлено в алгебраической, а другое – в тригонометрической форме, да ещё и с градусами. Давайте сразу перепишем его в более привычном виде: .

В какой форме проводить вычисления? Выражение , очевидно, предполагает первоочередное умножение и дальнейшее возведение в 10-ю степень по формуле Муавра , которая сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Таким образом, представляется более логичным преобразовать первое число. Найдём его модуль и аргумент:

Используем правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:
если , то

Делая дробь правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота ( рад.) :

Второй способ решения состоит в том, чтобы перевести 2-е число в алгебраическую форму , выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра.

Как видите, одно «лишнее» действие. Желающие могут довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают.

В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому:

Ответ :

Но «для красоты» либо по требованию результат нетрудно представить и в алгебраической форме:

Самостоятельно:

Пример 4

Упростить выражение

Здесь нужно вспомнить действия со степенями , хотя одного полезного правила в методичке нет, вот оно: .

И ещё одно важное замечание: пример можно решить в двух стилях. Первый вариант – работать с двумя числами и мириться с дробями. Второй вариант – представить каждое число в виде частного двух чисел : и избавиться от четырёхэтажности . С формальной точки зрения без разницы, как решать, но содержательное отличие есть! Пожалуйста, хорошо осмыслите:
– это комплексное число;
– это частное двух комплексных чисел ( и ), однако в зависимости от контекста можно сказать и так: число , представленное в виде частного двух комплексных чисел.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Выражения – хорошо, а уравнения – лучше:

Уравнения с комплексными коэффициентами

Чем они отличаются от «обычных» уравнений ? Коэффициентами =)

В свете вышеприведённого замечания начнём с этого примера:

Пример 5

Решить уравнение

И незамедлительная преамбула по «горячим следам»: изначально правая часть уравнения позиционируется, как частное двух комплексных чисел ( и 13), и поэтому будет нехорошим тоном переписать условие с числом (хотя это и не повлечёт ошибки) . Более явственно данное различие, кстати, просматривается в дроби – если, условно говоря, , то это значение в первую очередь понимается как «полноценный» комплексный корень уравнения , а не как делитель числа , и тем более – не как часть числа !

Решение , в принципе, тоже можно оформить пошагово, но в данном случае овчинка выделки не стОит. Первоначальная задача состоит в том, чтобы упростить всё, что не содержит неизвестной «зет», в результате чего уравнение сведётся к виду :

Уверенно упрощаем среднюю дробь:

Результат переносим в правую часть и находим разность:

Примечание : и вновь обращаю ваше внимание на содержательный момент – здесь мы не вычли из числа число, а подвели дроби к общему знаменателю! Следует отметить, что уже в ХОДЕ решения не возбраняется работать и с числами: , правда, в рассматриваемом примере такой стиль скорее вреден, чем полезен =)

По правилу пропорции выражаем «зет»:

Теперь можно снова разделить и умножить на сопряжённое выражение, но подозрительно похожие числа числителя и знаменателя подсказывают следующий ход:

Ответ :

В целях проверки подставим полученное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

– получена правая часть исходного уравнения, таким образом, корень найден верно.

…Сейчас-сейчас… подберу для вас что-нибудь поинтереснее… держите:

Пример 6

Решить уравнение

Данное уравнение сводится к виду , а значит, является линейным. Намёк, думаю, понятен – дерзайте!

Конечно же… как можно без него прожить:

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

На уроке Комплексные числа для чайников мы узнали, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь сопряжённые комплексные корни, после чего возникает закономерный вопрос: а почему, собственно, сами коэффициенты не могут быть комплексными? Сформулирую общий случай:

Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны) . При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными).

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами решается по такой же схеме, что и «школьное» уравнение , с некоторыми отличиями в технике вычислений:

Пример 7

Найти корни квадратного уравнения

Решение : на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ) , однако, в этом нет особой надобности.

Для удобства выпишем коэффициенты:

Не теряем «минус» у свободного члена! …Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде :

Вычислим дискриминант:

А вот и главное препятствие:

Применение общей формулы извлечения корня (см. последний параграф статьи Комплексные числа для чайников ) осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами) . Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:

Возведём обе части в квадрат:

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:

Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение) . Предполагая, что автор задачи не изверг, выдвигаем гипотезу, что и – целые числа. Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:

Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:

Не помешает промежуточная проверка:

что и требовалось проверить.

В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:

Находим корни, не забывая, кстати, что :

Ответ :

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :

1) Подставим :

верное равенство.

2) Подставим :

верное равенство.

Таким образом, решение найдено правильно.

По мотивам только что разобранной задачи:

Пример 8

Найти корни уравнения

Следует отметить, что квадратный корень из чисто комплексного числа прекрасно извлекается и с помощью общей формулы , где , поэтому в образце приведены оба способа. Второе полезное замечание касается того, что предварительное извлечение корня из константы ничуть не упрощает решение.

А теперь можно расслабиться – в этом примере вы отделаетесь лёгким испугом:)

Пример 9

Решить уравнение и выполнить проверку

Решения и ответы в конце урока.

Заключительный параграф статьи посвящён

системе уравнений с комплексными числами

Расслабились и… не напрягаемся =) Рассмотрим простейший случай – систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Пример 10

Решить систему уравнений. Ответ представить в алгебраической и показательной формах, изобразить корни на чертеже.

Решение : уже само условие подсказывает, что система имеет единственное решение, то есть, нам нужно найти два числа , которые удовлетворяют каждому уравнению системы.

Систему реально решить «детским» способом (выразить одну переменную через другую ) , однако гораздо удобнее использовать формулы Крамера . Вычислим главный определитель системы:

, значит, система имеет единственное решение.

Повторюсь, что лучше не торопиться и прописывать шаги максимально подробно:

Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень:

Аналогично:

Получены соответствующие правые части, ч.т.п.

Выполним чертёж:

Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы:

1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем:

Определение и описание метода Гаусса

Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.

Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.

Определение 1

Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.

После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы). Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса. Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.

Описание алгоритма метода Гаусса

Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ. Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:

$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +...+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$

Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов. Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & … & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_m \end{array}$

Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:

$\begin{cases} α_{1j_{1}} \cdot x_{j_{1}} + α_{1j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{1j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{1j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_1 \\ α_{2j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{2j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{2j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_2 \\ ...\\ α_{rj_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{rj_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end{cases}$ (1)

Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & b_2\\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \end{array}$

Для этих матриц характерен следующий набор свойств:

1. Все её нулевые строки стоят после ненулевых
2. Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.

После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.

Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:

• перестановка нескольких строк местами,
• прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
• умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
• строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
• Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.

Все элементарные преобразования являются обратимыми.

Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса

Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:

1. Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
2. У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
3. Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.

Исход решения с несовместной системой

Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат. Пример несовместной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_{31} + 0 \cdot x_{32} + 0 \cdot x_{33} = 1$.

Система уравнений, у которой есть только одно решение

Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end{array}$

Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end{array}$

Этот пример можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end{cases}$

Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac{1}{3}$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac{1}{3}$, получаем $x_1 = 1 \frac{2}{3}$.

Система, обладающая множеством возможных вариантов решений

Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).

Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.

У такой системы есть только некое общее решение.

Разберём следующую систему уравнений:

$\begin{cases} 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end{array}$

Наша задача найти общее решение системы. Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ - так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ - располагается после нулей).

В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.

Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.

Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac{4/5}y_4 + \frac{1}{5}$.

Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5}) + y_4 = 1$

Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac{4}{5}y_4 - \frac{1}{5} + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5} – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac{1}{5}y_4 + \frac{6}{5}$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Решение готово.

Пример 1

Решить слау методом Гаусса. Примеры. Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса

$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end{cases}$

Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.

Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end{array}$

Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end{array}$

И разделим последнюю строчку на $3$:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$

Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:

$\begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}$

Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример 2

Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array}$

Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$

Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end{array}$

Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$

Решаем полученную систему уравнений:

$\begin{cases} m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end{cases}$

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход). Пример такой системы и её решения - на рисунке сверху.

В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса , далее - просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение - переменной x .

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

Преимущества метода:

1. при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера , поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
2. методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
3. можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
4. метод основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.

Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:

Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y :

Теперь нам известны значения уже двух переменных - z и y . Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x :

Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:

Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.

При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно :

1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
2. если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
3. удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
4. любую строку умножать или делить на некоторое число;
5. к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы :

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы . Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений . Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Это возможно, так как

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x :

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём "с конца" - обратный ход . Для этого из последнего уравнения определим z :
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y :

Из первого уравнения найдём x :

Ответ: решение данной системы уравнений - .

: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной "икс четвёртое":

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

,

,

Наконец, подстановка значений

В первое уравнение даёт

,

откуда находим "икс первое":

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

Составляем расширенную матрицу системы:

Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае - вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .

Из второго уравнения находим

Из третьего уравнения -

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.

О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений

Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.

После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида

Если во всех уравнениях имеющих вид

Свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.

Пример 6.

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :

Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.

В результате приходим к системе

Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.

Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и выбрать произвольные значения , тогда значение для определится уже однозначно: . Из первого уравнения значение для также находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.

Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида

соответствующие уравнению вида

Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на , к четвёртой - первую, умноженную на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.

Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

1. Записываем расширенную матрицу.
2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите "очень подробное решение" и посмотрите его решение онлайн.