Модуль числа уравнения и неравенства содержащие модуль. Неравенства с модулем. Новый взгляд на решение. Применение теоремы о знаках при решении уравнений
Уравнения и неравенства с модулем.
Пояснительная записка.
Данный курс посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием модуля числа и аспектами его применения. В нем рассматриваются различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, основанные на его определении, свойствах и графической интерпретации.
Для курса характерна практическая направленность. Его основное содержание составляют учебные задачи. Часть из них приводится с полным решением, иллюстрирующим тот или иной метод. Другие прилагаются для самостоятельной работы. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.
Курс направлен на формирование у школьников более широкого представления о модуле. Кроме того, задания единого экзамена по математике предполагают умение оперировать с модулем. Таким образом, основная роль курса состоит в подготовке учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.
Материал для занятий
Занятие 1. Определение модуля числа и его применение при решении уравнений.
Определение . Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | x | = х ; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: | x | = - x .
Короче это записывают так:
|x | =
Термин «модуль» (от лат. modulus – мера) ввел английский математик Р. Кортес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841г. Пользуясь приведенным определением, можно решать уравнения и неравенства, содержащие модуль. Теперь рассмотрим несколько простых примеров.
Пример 1. Решить уравнение |3-3х|= -1.
Решение. По свойству модуля выражение | 3-3x | неотрицательно, поэтому никогда не может быть равно (-1).
Ответ. Нет решений.
Пример 2. Решить уравнение | 3x -x 2 -2 | = 3x -x 2
Решение. Не станем решать это уравнение традиционными способами, а заметим, что оно имеет следующий вид:
|A | = A .
Заметим, что, по определению модуля, это равенство обязательно выполнено при А>0, а при А <0 оно не может быть верным. Поэтому исходное уравнение равносильно квадратному неравенству 3х – х 2 - 2 > 0, решать которое мы уже умеем.
Ответ. .
Пример 3. Решить уравнение | x + 2 | = | 2x – 1 |.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Это делать можно, поскольку обе части исходного уравнения неотрицательны. Получим
| x + 2 | 2 = | 2x – 1 | 2 .
Очевидно, в этом уравнении можно убрать модули и записать равносильное квадратное уравнение
(х + 2) 2 = (2х – 1) 2 ,
Преобразовывая которое, получим
х 2 + 4х + 4 = 4х 2 – 4х + 1, 3х 2 – 8х – 3 = 0.
Ответ. { -1/3 ,3}.
Теперь перейдем к более традиционным задачам.
Главный прием при решении уравнений и неравенств, содержащих выражение |f (x )|, состоит в раскрытии модуля по определению, а именно, всю область допустимых значений М разбивают на два подмножества М 1 и М 2 таких, что
f (x )>0 для всех х М 1 , тогда |f (x )| = f (x )
f (x )<0 для всех х ∊ М 2 ,тогда |f (x )| = - f (x )
Пример 4. Решить уравнение | 2x – 3 | = 3x – 7.
Решение. Рассмотреть случаи: 1. 2х – 3 >0, 2х – 3 = 3х – 7, х = 4
2. 2х - 3 <0, -2х + 3 = 3х- 7, х=2-не является корнем, т.к. при х=2 2х-3>0. Ответ: 4.
Этот способ не является единственным. При решении уравнения вида
| f (x ) | = g (x )
Наиболее широко используют следующие два способа.
Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к равносильной совокупности систем
| f(x) | = g(x)
Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной ему системе
| f (x ) | = g (x )
Первый способ следует применять в случае сложного выражения для функции g (x ) и не очень сложного – для функции f (x ); второй, напротив, лучше использовать, если выражение для g (x ) несложно.
Пример 5. Решить уравнение |x | = x - √2x +1 + 1 (Используя первый способ)
Пример 6. Решить уравнение 3|x 2 -2x -1| = 5x +1 (Используя второй способ)
Неравенство вида | f (x ) | < g (x ) гораздо удобнее решать, перейдя двойному неравенству или к равносильной ему системе двух неравенств
| f(x) | g(x) -g(x) f(x) g(x)
Аналогично, неравенство вида
| f (x ) | g (x )
Решите уравнения
3|y 2 – 6y + 7| = 5y – 9 |x | - |x – 1| = 1 |x 2 – 1| = (x – 1)
x 2 + |x – 1| = 1 |x 2 + 2x – 3| = x 2 + x – 20
Решите неравенства
|2x – 5| < 3 |x 2 – 2x – 3| < 3x - 3
x 2 – 6 > |x | |3 - |x – 2| | < 1
Занятие 2. Метод интервалов для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Решить уравнение | x -2| + |2x -3| = 5. Раскрывая последовательно модули, входящие в рассматриваемое уравнение, нам придется рассматривать четыре системы и заведомо негодный случай. А если в уравнении будет три и более модулей, число систем еще более возрастет. Поэтому для решения задач, в которые входят два и более модулей, рациональнее использовать метод интервалов.
Для применения метода интервалов при решении уравнений с модулями числовую ось надо разбить на промежутки таким образом, чтобы на каждом из них все подмодульные выражения сохраняли постоянные знаки и, следовательно, на каждом промежутке все модули раскрывались определенным образом.
Пример 1. Решить уравнение | 3x +4| + 2|x -3| = 16
Отметим на числовой оси точки х = - 4/3 и х = 3, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках.
Случай 1. При х>3 оба модуля раскрываются со знаком «+». Получаем систему
x >3,
3х+4+2(х-3) = 16 х=18/5 (18/5>3)
Случай 2. При -4/3 4/3 3х+4+2(-х+3) = 16. Уравнение данной системы имеет корень х=6, который не удовлетворяет неравенству системы, следовательно, он не является корнем заданного уравнения. Случай3. При х< -4/3 оба модуля раскрываются со знаком «-«, получаем x
< -4/3, 3х-4+(-х+3) = 16. Эта система имеет единственное решение х = -14/5. Ответ:{-14/5; 18/5}. Решение неравенств, содержащих модуль, в большинстве случаев строится аналогично решению соответствующих уравнений. Основное отличие состоит в том, что после освобождения от модулей требуется решить, естественно, не уравнение, а неравенство. Есть и еще одно отличие. Если при решении уравнений можно широко пользоваться проверкой полученных решений, то для случая неравенств отбросить посторонние решения проверкой может быть затруднительно. Это означает, что при решении неравенств стараются использовать, в основном, равносильные переходы. Пример 2. Решить неравенство |x
– 4| + |x
+ 1|<7 Решение. На числовой прямой необходимо отметить числа х=-1 и х=4, при которых выражения, стоящие под знаками модулей обращаются в нуль. Затем на трех получившихся промежутках расставляем знаки выражений (х-4) и (х+1). __________________________ Полученные наборы знаков и указывают нам, какие случаи надо рассмотреть. В результате раскрытия модулей в этих трех случаях получаем три системы. Решив эти системы и объединив ответы, получим Ответ: (-2;5). Упражнения для самостоятельной работы
Решите уравнения: | x
– 1| + |x
– 2| + |x
– 3| = 4 |6 – 2x
| + |3x
+ 7| - 2|4x
+ 11| = x
– 3 | |3x
– 1| - |2x
+ 1| | = 1 Решите неравенства: |x – 1| + |x + 2| < 3
|x
– 1| < |2x
– 3| - |x
– 2| |x
2 – 3| + x
2 + x
< 7. Занятие 4. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой. При изучении расстояния между двумя точками А(х 1) и В(х 2) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ = | x
1 - x
2 |. Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида |x
– a
| = b
, |x
– a
| = |x
– b
|, |x
– a
| | x
– a
|>|x
– b
|, а также уравнения и неравенства, к ним сводимые. Пример1. Решите уравнение |x
– 3| = 1. Решение. Переводя запись данного уравнения на «язык расстояний», получим предложение «расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1». Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1. Обратимся к геометрической иллюстрации. _______________________________________________________ Корнями уравнения являются числа 2 и 4. Пример2. Решите уравнение | 2x
+ 1 | = 3 Приведя данное уравнение к виду | x
– (-1/2) | = 3/2, используем формулу расстояния. Ответ: -2;1. Пример 3. Решите уравнение |x
+ 2| = |x
– 1|. Решение. Запишем данное уравнение в виде |x
– (-2)| = |x
– 1|. Исходя из геометрических соображений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и -2. Ответ: -0,5. Пример 4. Решите неравенство |x
– 1|<2. Решение. Исходя из геометрических представлений, приходим к выводу, что решениями данного неравенства являются координаты точек, удаленных от точки с координатой 1 на расстояние, меньшее 2. Ответ: (-1;3) Упражнения для самостоятельной работы
| x
– 2| = 0,4 | 10 – x
| < 7 | x
+ 4 | = | x
– 4 | | x
+ 3 | = 0,7 | x
+ 1 | > 1 | x
+ 2,5| = | x
- 3,3| | x
– 2,5| < 0,5 | x
+ 8 | > 0,7 | x
| > | x
– 2 | | x – 5 | < | x – 1 |
. Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями
.
Программа для решения уравнений и неравенств с модулями
не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями
, т.е. отображает процесс получения результата. Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением. Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается. Введите уравнение или неравенство с модулями
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи . Наши игры, головоломки, эмуляторы: В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями.
Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \(|x-a| \) - это расстояние на числовой прямой
между точками x и a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \(|x-3|=2 \) нужно найти на числовой
прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \(x_1=1 \) и \(x_2=5 \). Решая неравенство \(|2x+7| Но основной способ решения уравнений и неравенств с модулями связан с так называемым
«раскрытием модуля по определению»: Кроме указанного определения, используются следующие утверждения: Если \(x-1 \geq 0 \), то \(|x-1| = x-1 \) и заданное уравнение принимает вид ПРИМЕР 2. Решить уравнение \(|x^2-6x+7| = \frac{5x-9}{3} \).
Первый способ
(раскрытие модуля по определению). 1) Если \(x^2-6x+7 \geq 0 \), то \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) и заданное уравнение принимает вид
\(x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Решив это квадратное уравнение, получим:
\(x_1=6, \; x_2=\frac{5}{3} \). 2) Если \(x^2-6x+7
Значение \(x_3=3\) удовлетворяет условию \(x^2-6x+7
Значение \(x_4=\frac{4}{3} \) не удовлетворяет условию \(x^2-6x+7
Итак, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \). Второй способ.
Если дано уравнение \(|f(x)| = h(x) \), то при \(h(x)
\(\left[\begin{array}{l} x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \\ x^2-6x+7 = -\frac{5x-9}{3} \end{array}\right. \) Третий способ
(графический). Существенно то, что точка х = 1,8 пересечения прямой с осью абсцисс располагается правее левой точки пересечения
параболы с осью абсцисс - это точка \(x=3-\sqrt{2} \) (поскольку \(3-\sqrt{2}
3) Судя по чертежу, графики пересекаются в двух точках - А(3; 2) и В(6; 7). Подставив абсциссы этих точек
x = 3 и x = 6 в заданное уравнение, убеждаемся, что и при том и при другом значении получается верное числовое равенство.
Значит, наша гипотеза подтвердилась - уравнение имеет два корня: x = 3 и x = 6.
Ответ: 3; 6. Замечание
. Графический способ при всём своём изяществе не очень надёжен. В рассмотренном примере он сработал
только потому, что корни уравнения - целые числа. ПРИМЕР 3. Решить уравнение \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)
Первый способ
Рассмотрим первый промежуток: \((-\infty; \; -3) \). Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников. Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня). Определение. Пусть на числовой прямой отмечена точка $a$. Тогда модулем $\left| x-a \right|$ называется расстояние от точки $x$ до точки $a$ на этой прямой. Если начертить картинку, то получится что-то типа этого: Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной
. Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование. Теперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из них. Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов. На эту тему у меня есть два больших урока (между прочем, очень, ОЧЕНЬ полезных — рекомендую изучить): Если вы всё это знаете, если фраза «перейдём от неравенства к уравнению» не вызывает у вас смутное желание убиться об стену, то вы готовы: добро пожаловать в ад к основной теме урока.:) Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида: \[\left| f \right| \lt g\] В роли функций $f$ и $g$ может выступать что угодно, но обычно это многочлены. Примеры таких неравенств: \[\begin{align} & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| {{x}^{2}}-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end{align}\] Все они решаются буквально в одну строчку по схеме: \[\left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end{align} \right. \right)\] Нетрудно заметить, что избавляемся от модуля, но взамен получаем двойное неравенство (или, что тоже самое, систему из двух неравенств). Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: если число под модулем положительно, метод работает; если отрицательно — всё равно работает; и даже при самой неадекватной функции на месте $f$ или $g$ метод всё равно сработает. Естественно, возникает вопрос: а проще нельзя? К сожалению, нельзя. В этом вся фишка модуля. Впрочем, хватит философствовать. Давайте решим парочку задач: Задача. Решите неравенство: \[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\] Решение. Итак, перед нами классическое неравенство вида «модуль меньше» — даже преобразовывать нечего. Работаем по алгоритму: \[\begin{align} & \left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end{align}\] Не торопитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит «минус»: вполне возможно, что из-за спешки вы допустите обидную ошибку. \[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\] \[\left\{ \begin{align} & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end{align} \right.\] \[\left\{ \begin{align} & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end{align} \right.\] \[\left\{ \begin{align} & x \gt -\frac{10}{3} \\ & x \lt 4 \\ \end{align} \right.\] Задача свелась к двум элементарным неравенствам. Отметим их решения на параллельных числовых прямых: Пересечением этих множеств и будет ответ. Ответ: $x\in \left(-\frac{10}{3};4 \right)$ Задача. Решите неравенство: \[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\] Решение. Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо: \[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\] Очевидно, перед нами вновь неравенство вида «модуль меньше», поэтому избавляемся от модуля по уже известному алгоритму: \[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt {{x}^{2}}+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\] Вот сейчас внимание: кто-то скажет, что я немного извращенец со всеми этими скобками. Но ещё раз напомню, что наша ключевая цель — грамотно решить неравенство и получить ответ
. Позже, когда вы в совершенстве освоите всё, о чём рассказано в этом уроке, можете сами извращаться как хотите: раскрывать скобки, вносить минусы и т.д. А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева: \[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right)=3\left(x+1 \right)\] Теперь раскроем все скобки в двойном неравенстве: Переходим к двойному неравенству. В этот раз выкладки будут посерьёзнее: \[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt {{x}^{2}}+2x-3 \\ \end{align} \right.\] \[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+5x \lt 0 \\ & {{x}^{2}}-x-6 \gt 0 \\ \end{align} \right.\] Оба неравенства являются квадратными и решаются методом интервалов (потому и говорю: если не знаете, что это такое, лучше пока не браться за модули). Переходим к уравнению в первом неравенстве: \[\begin{align} & {{x}^{2}}+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=-5. \\\end{align}\] Как видим, на выходе получилось неполное квадратное уравнение, которое решается элементарно. Теперь разберёмся со вторым неравенством системы. Там придётся применить теорему Виета: \[\begin{align} & {{x}^{2}}-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& {{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=-2. \\\end{align}\] Отмечаем полученные числа на двух параллельных прямых (отдельная для первого неравенства и отдельная для второго): Ответ: $x\in \left(-5;-2 \right)$ Думаю, после этих примеров схема решения предельно ясна: Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. Однако там есть парочка серьёзных «но». Об этих «но» мы сейчас и поговорим. Выглядят они так: \[\left| f \right| \gt g\] Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая: \[\left| f \right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin{align} & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end{align} \right.\] Другими словами, мы рассматриваем два случая: При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований. Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность, поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются
. Это принципиальное отличие от предыдущего пункта! Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда: Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы (вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: если вы всерьёз изучаете этот урок, то вы уже наркоман): В переводе на русский это означает следующее: объединение (совокупность) включает в себя элементы из обоих множеств, поэтому никак не меньше каждого из них; а вот пересечение (система) включает в себя лишь те элементы, которые одновременно находятся и в первом множестве, и во втором. Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников. Так стало понятнее? Вот и отлично. Переходим к практике. Задача. Решите неравенство: \[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\] Решение. Действуем по схеме: \[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin{align} & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end{align} \right.\] Решаем каждое неравенство совокупности: \[\left[ \begin{align} & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end{align} \right.\] \[\left[ \begin{align} & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end{align} \right.\] \[\left[ \begin{align} & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end{align} \right.\] Отмечаем каждое полученное множество на числовой прямой, а затем объединяем их: Совершенно очевидно, что ответом будет $x\in \left(\frac{4}{7};+\infty \right)$ Ответ: $x\in \left(\frac{4}{7};+\infty \right)$ Задача. Решите неравенство: \[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \gt x\] Решение. Ну что? Да ничего — всё то же самое. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств: \[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \gt x \\ & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -x \\\end{align} \right.\] Решаем каждое неравенство. К сожалению, корни там будут не оч: \[\begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \gt x; \\ & {{x}^{2}}+x-3 \gt 0; \\ & D=1+12=13; \\ & x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}. \\\end{align}\] Во втором неравенстве тоже немного дичи: \[\begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -x; \\ & {{x}^{2}}+3x-3 \lt 0; \\ & D=9+12=21; \\ & x=\frac{-3\pm \sqrt{21}}{2}. \\\end{align}\] Теперь нужно отметить эти числа на двух осях — по одной оси для каждого неравенства. Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: чем больше число, тем дальше сдвигам точку вправо. И вот тут нас ждёт подстава. Если с числами $\frac{-3-\sqrt{21}}{2} \lt \frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ всё ясно (слагаемые в числителе первой дроби меньше слагаемых в числителе второй, поэтому сумма тоже меньше), с числами $\frac{-3-\sqrt{13}}{2} \lt \frac{-1+\sqrt{21}}{2}$ тоже не возникнет затруднений (положительное число заведомо больше отрицательного), то вот с последней парочкой всё не так однозначно. Что больше: $\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$ или $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$? От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ. Поэтому давайте сравнивать: \[\begin{matrix} \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\vee \frac{-3+\sqrt{21}}{2} \\ -1+\sqrt{13}\vee -3+\sqrt{21} \\ 2+\sqrt{13}\vee \sqrt{21} \\\end{matrix}\] Мы уединили корень, получили неотрицательные числа с обеих сторон неравенства, поэтому вправе возвести обе стороны в квадрат: \[\begin{matrix} {{\left(2+\sqrt{13} \right)}^{2}}\vee {{\left(\sqrt{21} \right)}^{2}} \\ 4+4\sqrt{13}+13\vee 21 \\ 4\sqrt{13}\vee 3 \\\end{matrix}\] Думаю, тут и ежу понятно, что $4\sqrt{13} \gt 3$, поэтому $\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \gt \frac{-3+\sqrt{21}}{2}$, окончательно точки на осях будут расставлены вот так: Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств. Ответ: $x\in \left(-\infty ;\frac{-3+\sqrt{21}}{2} \right)\bigcup \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};+\infty \right)$ Как видите, наша схема прекрасно работает как для простых задач, так и для весьма жёстких. Единственное «слабое место» в таком подходе — нужно грамотно сравнивать иррациональные числа (и поверьте: это не только корни). Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный (и очень серьёзный урок). А мы идём дальше. Вот мы и добрались до самого интересного. Это неравенства вида: \[\left| f \right| \gt \left| g \right|\] Вообще говоря, алгоритм, о котором мы сейчас поговорим, верен н только для модуля. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Что делать с этими задачами? Просто помните: В неравенствах с неотрицательными «хвостами» можно возводить обе части в любую натуральную степень. Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет. Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни: \[\begin{align} & {{\left(\left| f \right| \right)}^{2}}={{f}^{2}}; \\ & {{\left(\sqrt{f} \right)}^{2}}=f. \\\end{align}\] Вот только не надо путать это с извлечением корня из квадрата: \[\sqrt{{{f}^{2}}}=\left| f \right|\ne f\] Бесчисленное множество ошибок было допущено в тот момент, когда ученик забывал ставить модуль! Но это совсем другая история (это как бы иррациональные уравнения), поэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач: Задача. Решите неравенство: \[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\] Решение. Сразу заметим две вещи: Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов: \[\begin{align} & {{\left(\left| x+2 \right| \right)}^{2}}\ge {{\left(\left| 1-2x \right| \right)}^{2}}; \\ & {{\left(x+2 \right)}^{2}}\ge {{\left(2x-1 \right)}^{2}}. \\\end{align}\] На последнем шаге я слегка схитрил: поменял последовательность слагаемых, воспользовавшись чётностью модуля (по сути, умножил выражение $1-2x$ на −1). \[\begin{align} & {{\left(2x-1 \right)}^{2}}-{{\left(x+2 \right)}^{2}}\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \right) \right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end{align}\] Решаем методом интервалов. Переходим от неравенства к уравнению: \[\begin{align} & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=-\frac{1}{3}. \\\end{align}\] Отмечаем найденные корни на числовой прямой. Ещё раз: все точки закрашены, поскольку исходное неравенство — нестрогое! Напомню для особо упоротых: знаки мы берём из последнего неравенства, которое было записано перед переходом к уравнению. И закрашиваем области, требуемые в том же неравенстве. В нашем случае это $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$. Ну вот и всё. Задача решена. Ответ: $x\in \left[ -\frac{1}{3};3 \right]$. Задача. Решите неравенство: \[\left| {{x}^{2}}+x+1 \right|\le \left| {{x}^{2}}+3x+4 \right|\] Решение. Делаем всё то же самое. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий. Возводим в квадрат: \[\begin{align} & {{\left(\left| {{x}^{2}}+x+1 \right| \right)}^{2}}\le {{\left(\left| {{x}^{2}}+3x+4 \right| \right)}^{2}}; \\ & {{\left({{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\le {{\left({{x}^{2}}+3x+4 \right)}^{2}}; \\ & {{\left({{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}-{{\left({{x}^{2}}+3x+4 \right)}^{2}}\le 0; \\ & \left({{x}^{2}}+x+1-{{x}^{2}}-3x-4 \right)\times \\ & \times \left({{x}^{2}}+x+1+{{x}^{2}}+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2{{x}^{2}}+4x+5 \right)\le 0. \\\end{align}\] Метод интервалов: \[\begin{align} & \left(-2x-3 \right)\left(2{{x}^{2}}+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\Rightarrow x=-1,5; \\ & 2{{x}^{2}}+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\] Всего один корень на числовой прямой: Ответ: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$. Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить. Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает всегда. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.:) А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска? Тогда на сцену выходит «тяжёлая артиллерия» всей математики — метод перебора. Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так: Ну как? Слабо? Легко! Только долго. Посмотрим на практике: Задача. Решите неравенство: \[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac{3}{2}\] Решение. Эта хрень не сводится к неравенствам вида $\left| f \right| \lt g$, $\left| f \right| \gt g$ или $\left| f \right| \lt \left| g \right|$, поэтому действуем напролом. Выписываем подмодульные выражения, приравниваем их к нулю и находим корни: \[\begin{align} & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end{align}\] Итого у нас два корня, которые разбивают числовую прямую на три участка, внутри которых каждый модуль раскрывается однозначно: Рассмотрим каждый участок отдельно. 1. Пусть $x \lt -2$. Тогда оба подмодульных выражения отрицательны, и исходное неравенство перепишется так: \[\begin{align} & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end{align}\] Получили довольно простое ограничение. Пересечём его с исходным предположением, что $x \lt -2$: \[\left\{ \begin{align} & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \varnothing \] Очевидно, что переменная $x$ не может одновременно быть меньше −2, но больше 1,5. Решений на этом участке нет. 1.1. Отдельно рассмотрим пограничный случай: $x=-2$. Просто подставим это число в исходное неравенство и проверим: выполняется ли оно? \[\begin{align} & {{\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|}_{x=-2}} \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\] Очевидно, что цепочка вычислений привела нас к неверному неравенству. Следовательно, исходное неравенство тоже неверно, и $x=-2$ не входит в ответ. 2. Пусть теперь $-2 \lt x \lt 1$. Левый модуль уже раскроется с «плюсом», но правый — всё ещё с «минусом». Имеем: \[\begin{align} & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt -2,5 \\\end{align}\] Снова пересекаем с исходным требованием: \[\left\{ \begin{align} & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \varnothing \] И снова пустое множество решений, поскольку нет таких чисел, которые одновременно меньше −2,5, но больше −2. 2.1. И вновь частный случай: $x=1$. Подставляем в исходное неравенство: \[\begin{align} & {{\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|}_{x=1}} \\ & \left| 3 \right| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\] Аналогично предыдущему «частному случаю», число $x=1$ явно не входит в ответ. 3. Последний кусок прямой: $x \gt 1$. Тут все модули раскрываются со знаком «плюс»: \[\begin{align} & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\\end{align}\] И вновь пересекаем найденное множество с исходным ограничением: \[\left\{ \begin{align} & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \right)\] Ну наконец-то! Мы нашли интервал, который и будет ответом. Ответ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$ Напоследок — одно замечание, которое, возможно, убережёт вас от глупых ошибок при решении реальных задач: Решения неравенств с модулями обычно представляют собой сплошные множества на числовой прямой — интервалы и отрезки. Гораздо реже встречаются изолированные точки. И ещё реже случается так, что границ решения (конец отрезка) совпадает с границей рассматриваемого диапазона. Следовательно, если границы (те самые «частные случаи») не входят в ответ, то почти наверняка не войдут в ответ и области слева-справа от этих границ. И напротив: граница вошла в ответ — значит, и какие-то области вокруг неё тоже будут ответами. Помните об этом, когда проверяете свои решения.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.Немного теории.
Уравнения и неравенства с модулями
если \(a \geq 0 \), то \(|a|=a \);
если \(a
Как правило, уравнение (неравенство) с модулями сводится к совокупности уравнений (неравенств), не содержащих знак модуля.
1) Если \(c > 0 \), то уравнение \(|f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений:
\(\left[\begin{array}{l} f(x)=c \\ f(x)=-c \end{array}\right. \)
2) Если \(c > 0 \), то неравенство \(|f(x)|
3) Если \(c \geq 0 \), то неравенство \(|f(x)| > c \) равносильно совокупности неравенств:
\(\left[\begin{array}{l} f(x) c \end{array}\right. \)
4) Если обе части неравенства \(f(x) ПРИМЕР 1. Решить уравнение \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Если же \(x-1
\(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Таким образом, заданное уравнение следует рассмотреть по отдельности в каждом из двух указанных случаев.
1) Пусть \(x-1 \geq 0 \), т.е. \(x \geq 1 \). Из уравнения \(x^2 +2x -8 = 0 \) находим \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Условию \(x \geq 1 \) удовлетворяет лишь значение \(x_1=2\).
2) Пусть \(x-1
Ответ: \(2; \;\; 1-\sqrt{5} \)
Рассуждая, как в примере 1, приходим к выводу, что заданное уравнение нужно рассмотреть по отдельности при выполнении
двух условий: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) или \(x^2-6x+7
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_1=6 \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное значение
в квадратное неравенство. Получим: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), т.е. \(7 \geq 0 \) - верное неравенство.
Значит, \(x_1=6 \) - корень заданного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_2=\frac{5}{3} \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное
значение в квадратное неравенство. Получим: \(\left(\frac{5}{3} \right)^2 -\frac{5}{3} \cdot 6 + 7 \geq 0 \), т.е.
\(\frac{25}{9} -3 \geq 0 \) - неверное неравенство. Значит, \(x_2=\frac{5}{3} \) не является корнем заданного уравнения.
Оба эти уравнения решены выше (при первом способе решения заданного уравнения), их корни таковы:
\(6,\; \frac{5}{3},\; 3,\; \frac{4}{3} \). Условию \(\frac{5x-9}{3} \geq 0 \) из этих четырёх значений
удовлетворяют лишь два: 6 и 3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).
1) Построим график функции \(y = |x^2-6x+7| \). Сначала построим параболу \(y = x^2-6x+7 \).
Имеем \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). График функции \(y = (x-3)^2-2 \) можно получить из графика функции \(y = x^2 \)
сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по оси x) и на 2 единицы масштаба вниз (по оси y).
Прямая x=3 - ось интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек для более точного построения графика удобно
взять точку (3; -2) - вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно оси параболы точку (6; 7).
Чтобы построить теперь график функции \(y = |x^2-6x+7| \), нужно оставить без изменения те части построенной параболы,
которые лежат не ниже оси x, а ту часть параболы, которая лежит ниже оси x, отобразить зеркально относительно оси x.
2) Построим график линейной функции \(y = \frac{5x-9}{3} \). В качестве контрольных точек удобно взять точки
(0; –3) и (3; 2).
Выражение 2x–4 обращается в 0 в точке х = 2, а выражение х + 3 - в точке х = –3. Эти две точки разбивают числовую
прямую на три промежутка: \(x
Если x
Рассмотрим второй промежуток: \([-3; \; 2) \).
Если \(-3 \leq x
Рассмотрим третий промежуток: \(
Графическое определение модуля
Решение неравенств. Метод интервалов
1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»
2. Неравенства вида «Модуль больше функции»
3. Неравенства с неотрицательными «хвостами»
4. Метод перебора вариантов