Какие вы знаете способы для определения вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности. Полная вероятность события

Под вероятностью события понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления этого события. Существует несколько подходов к определению вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А , n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 3.1. В опыте с бросанием игральной кости число всех исходов n равно 6 и все они равновозможны. Пусть событие А означает появление четного числа. Тогда для этого события благоприятными исходами будут появление чисел 2, 4, 6. Их количество равно 3. Поэтому вероятность события А равна

Пример 3.2. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Двузначными числами являются числа от 10 до 99, всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, …, 99). Так как в данном случае m =9, n =90, то

где А – событие, «число с одинаковыми цифрами».

Пример 3.3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов. Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными, взять же две нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Тогда искомая вероятность равна

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае значит

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае < m < n, значит 0 < m/n < 1, т. е. 0 < Р(А) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопределяемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А) . Это число называется вероятностью события А .

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Вопросы для самопроверки

1. Как называется числовая характеристика возможности наступления события?

2. Что называется вероятностью события?

3. Чему равна вероятность достоверного события?

4. Чему равна вероятность невозможного события?

5. В каких пределах заключена вероятность случайного события?

6. В каких пределах заключена вероятность любого события?

7. Какое определение вероятности называется классическим?

Основы теории вероятности

План:

1. Случайные события

2. Классическое определение вероятности

3. Вычисление вероятностей событий и комбинаторика

4. Геометрическая вероятность

Теоретические сведения

Случайные события.

Случайное явление – явление, исход которого однозначно не определен. Это понятие можно трактовать в достаточно широком смысле. А, именно: все в природе достаточно случайно, появление и рождение любого индивидуума есть случайное явление, выбор товара в магазине также случайное явление, получение оценки на экзамене есть случайное явление, заболевание и выздоровление есть случайные явления и т.д.

Примеры случайных явлений:

~ Производится стрельба из орудия, установленным под заданным углом к горизонту. Попадание его в цель случайно, но попадание снаряда в некоторую "вилку", есть закономерность. Можно указать расстояние, ближе которого и дальше которого, снаряд не полетит. Получится некоторая "вилка рассеивания снарядов"

~ Одно и тоже тело взвешивается несколько раз. Строго говоря, каждый раз будут получаться разные результаты, пусть отличающиеся на ничтожно малую величину, но отличаться.

~ Самолет, летая по одному и тому же маршруту, имеет некоторый полетный коридор, в пределах которого может лавировать самолет, но никогда у него не будет строго одинакового маршрута

~ Спортсмен никогда не сможет пробежать одну и туже дистанцию с одинаковым временем. Его результаты также будут находиться в пределах некоторого численного промежутка.

Опыт, эксперимент, наблюдение являются испытаниями

Испытание – наблюдение или выполнение некоторого комплекса условий, выполняемых неоднократно, причем регулярно повторяющихся в оной и тоже последовательности, длительности, с соблюдением иных одинаковых параметров.

Рассмотрим выполнение спортсменом выстрела по мишени. Чтобы он был произведен, необходимо выполнить такие условия как изготовка спортсмена, зарядка оружия, прицеливание и т.д. "Попал" и "не попал" – события, как результат выстрела.

Событие – качественный результат испытания.

Событие может произойти или не произойти События обозначаются заглавными латинскими буквами. Например: D ="Стрелок попал в мишень". S="Вынут белый шар". K="Взятый наудачу лотерейный билет без выигрыша.".

Подбрасывание монеты – испытание. Падение ее "гербом" – одно событие, падение ее "цифрой" – второе событие.

Любое испытание предполагает наступления нескольких событий. Одни из них могут быть нужными в данный момент времени исследователю, другие – не нужными.

Событие называется случайным , если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальней­шем, вместо того чтобы говорить "совокупность условий S осуществлена", будем говорить кратко: "произведено испытание". Таким образом, событие будет рассматри­ваться как результат испытания.

~ Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре, области. Выстрел - это испытание. Попадание в определенную область мишени - событие.

~ В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появле­ние шара определенного цвета - событие.

Виды случайных событий

1. События называют несовместными, если появле­ние одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

~ Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События € появилась стандартная деталь" и с появилась не­стандартная деталь" - несовместные.

~ Брошена монета. Появление "герба" исключает по­явление надписи. События "появился герб" и "появилась надпись" - несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

В частности, если события, образующие полную группу, попарно несов­местны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

~ Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:

1. "выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй",

2. "выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй",

3. "выигрыш выпал на оба билета",

4. "на оба билета выигрыш не выпал".

Эти события обра­зуют полную группу попарно несовместных событий,

~ Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно прои­зойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события также образуют полную группу.

2. События называют равновозможными, если есть осно­вания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

~ Появление "герба" и появление надписи при бросании монеты - равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

~ Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события. Действительно, предпо­лагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказы­вает влияния на выпадение любой грани.

3. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти

4. Событие называется не достоверным , если оно не может произойти.

5. Событие называются противоположным к некоторому событию, если оно состоит из не появления данного события. Противоположные события не совместимые, но одно из них должно обязательно произойти. Противоположные события принято обозначать как отрицания, т.е. над буквой пишется черточка. События противоположные: А и Ā; U и Ū и т.д. .

Классическое определение вероятности

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей.

Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют клас­сическим. Далее укажем слабые стороны этого определе­ния и приведем другие определения, позволяющие пре­одолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим ситуацию: В ящике содержится 6 оди­наковых шаров, причем 2 - красные, 3- синие и 1-белый. Очевидно, возмож­ность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое и называют вероятностью события (появления - цветного шара).

Вероятность - число, характеризующее степень воз­можности появления события.

В рассматриваемой ситуации обозначим:

Событие А ="Вытаскивание цветного шара".

Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным (возможным) исходом и событием. Элементарные исходы можно обозначать буквами с индексами внизу, например: k 1 , k 2 .

В нашем примере 6 шаров, поэтому 6 возможных исходов: появился белый шар; появился красный шар; появился синий шар и т.д. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможные (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими исходами этому событию. В нашем примере благоприятствуют со­бытию А (появлению цветного шара) следующие 5 исхо­дов:

Таким образом, событие А наблюдается, если в испы­тании наступает один, безразлично какой, из элементар­ных исходов, благоприятствующих А. Это появление любого цветного шара, которых в ящике 5 штук

В рассмат­риваемом примере элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, Р(А)= 5/6. Это число дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара.

Определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р(А)=m/n или Р(А)=m: n, где:

m -число элементарных исходов, благоприятствую­щих А;

п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы не­совместные, равновозможные и образуют полную группу.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы­тию. В этом случае m = n следовательно, p=1

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно, p=0.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди­ницей. 0т < n.

В последующих темах будут приведены теоремы, которые позволяют по из­вестным вероятностям одних событий находить вероятно­сти других событий.

Промер. В группе студентов 6 девушек и 4 юношей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент будет девушка? будет юноша?

p дев = 6 / 10 =0,6 p юн = 4 / 10 = 0,4

Понятие "вероятность" в современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Рассмотрим некоторые моменты такого подхода.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий: w i (i=1, 2, .... п). События w i ,- называется элементарными событиями (элементарными исходами). О тсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Ω (греческая буква омега заглавная), а сами элементарные собы­тия - точками этого пространства. .

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Ω), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Ω , элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т, д. Таким образом, множества всех со­бытий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Ω, Само Ω наступает при любом исходе испытания, поэтому Ω - достоверное событие; пустое подмножество пространства Ω- -невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Элементарные события выделяются из числа всех событий тем, "по каждое из них содержит только один элемент Ω

Каждому элементарному исходу w i ставят в соответствие поло­жительное число р i - вероятность этого исхода, причем сумма всех р i равна 1 или со знаком суммы этот факт запишется в виде выражения:

По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероят­ностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Поэтому вероятность события достоверного равна единице, не­возможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и еди­ницей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновоз­можные, Число исходов равно л, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/п. Пусть событию А благоприятствует m исходов.

Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Получено классическое определение вероятности.

Существует еще аксиоматический подход к понятию "вероятность". В системе аксиом, предложенной. Колмогоровым А. Н, неопре­деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятно­сти.

Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицатель­ное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице:

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несов­местных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей к зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, которое возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.

Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.

Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …

По отношению к каждому событию, которое может произойти при осуществлении эксперимента, случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С - случаи А 3 , А 6 .

Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) - вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С) = .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А - вынутый наугад шар красный:

m = 9, n = 9 + 6 = 15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где - вероятность появления события А;

Относительная частота появления события А;

Число испытаний, в которых появилось событие А;

Общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример : Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Возникновение теории относится к середине XVII века и связано с именем Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Я. Бернулли.

Неразложимые исходы,..., некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность

(конечным) пространством элементарных событий, или пространством исходов.

Пример 21. а) При подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести точек:

б) Подбрасываем монету два раза подряд, тогда

где Г - "герб", Р - "решетка" и общее число исходов

в) Подбрасываем монету до первого появления "герба", тогда

В этом случае называется дискретным пространством элементарных событий.

Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: "исход " или "исход ", будем называть событиями.

В примере 21 б) множество = {ГГ, ГР, РГ} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один "герб". Событие состоит из трех элементарных исходов пространства, поэтому

Суммой двух событий и называется событие, состоящее в выполнении события или события.

Произведением событий и называется событие, состоящее в совместном исполнении события и события.

Противоположным по отношению к событию называется событие, состоящее в непоявлении и, значит, дополняющее его до.

Множество называется достоверным событием, пустое множество - невозможным.

Если каждое появление события сопровождается появлением, то пишут и говорят, что предшествует или влечет за собой.

События и называются равносильными, если и.

Определение. Вероятностью события называется число, равное отношению числа элементарных исходов, составляющих событие, к числу всех элементарных исходов

Случай равновозможных событий, (называется "классическим", поэтому и вероятность

называется "классической".

Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие, называются "благоприятными".

Свойства классической вероятности:

Если (и - несовместные события).

Пример 22 (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?

Решение 1 (традиционное). В данном случае испытание = {вынимание 3 шаров}, а событие - благоприятствующее одному из спорящих:

= {достать ровно один белый шар}.

Поскольку порядок вынимания трех шаров не важен, то

Один белый шар можно достать в случаев, а два черных - , и тогда по основному правилу комбинаторики. Отсюда а по пятому свойству вероятности Следовательно,

Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов:

Пример 23. Рассмотрим копилку, в которой осталось четыре монеты - три по 2 руб. и одна в 5 руб. Извлекаем две монеты.

Решение. а) Два последовательных извлечения (с возвращением) могут привести к следующим исходам:

Какова вероятность каждого из этих исходов?

В таблице показаны все шестнадцать возможных случаев.

Следовательно,

К тем же результатам ведет и следующее дерево:

б) Два последовательных извлечения (без повторения) могут привести к следующим трем исходам:

В таблице покажем все возможные исходы:

Следовательно,

К тем же результатам ведет и соответствующее дерево:

Пример 24 (задача де Мере). Двое играют в "орлянку" до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй - три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?

Решение. Пусть событие = {выиграть приз первым игроком}. Тогда вероятностное дерево выигрыша для первого игрока следующее:

Отсюда, и три части ставки следует отдать первому игроку, а второму - одну часть.

Покажем эффективность решения вероятностных задач с помощью графов и на следующем примере, который мы рассматривали в §1 (пример 2).

Пример 25. Является ли выбор с помощью "считалки" справедливым?

Решение. Составим вероятностное дерево исходов:

и, следовательно, при игре в "считалки" выгодней стоять вторым.

В последнем решении использованы интерпретации на графах теорем сложения и умножения вероятностей:

и в частности

Если и - несовместные события

и, если и - независимые события.

Статическая вероятность

Классическое определение при рассмотрении сложных проблем наталкивается на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях выявить равновозможные случаи может быть невозможно. Даже в случае с монеткой, как известно существует явно не равновероятная возможность выпадения "ребра", которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное "частотное" определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:

где - количество наблюдений, а - количество наступлений события.

Несмотря на то, что данное определение скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности - путем большого количества однородных и независимых наблюдений - тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.

Разберём классическое определение вероятности при помощи формул и примеров.

Случайные события называются несовместимыми , если они не могут происходить одновременно. Например, когда мы подкидываем монету, выпадет что-то одно – «герб» или число» и они не могут появится одновременно, так как логично, что это невозможно. Несовместимыми могут быть такие события, как попадание и промах после сделанного выстрела.

Случайные события конечного множества образовывают полную группу попарно несовместимых событий, если при каждом испытании появляется одна, и только одна из этих событий – единственно возможные.

Рассмотрим всё тот же пример с подкидыванием монеты:

Первая монета Вторая монета События

1) «герб» «герб»

2) «герб» «число»

3) «число» «герб»

4) «число» «число»

Или сокращённо – «ГГ», – «ГЧ», – «ЧГ», – «ЧЧ».

События называются равновозможными , если условия исследования обеспечивают одинаковую возможность появления каждой из них.

Как вы понимаете, когда подбрасываете симметричную монету, тогда у неё одинаковые возможности, и есть вероятность, что выпадет как «герб», так и «число». Это же касается подбрасывания симметричного игрального кубика, так как есть вероятность того, что могут появится грани с любым числом 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Допустим, что теперь кубик подбрасываем со смещением центра тяжести, например, в сторону грани с цифрой 1, тогда чаще всего будет выпадать противоположная грань, то есть грань с другой цифрой. Таким образом, в этой модели возможности появления для каждой из цифр от 1 до 6 будут разными.

Равновозможные и единственно возможные случайные события называются случаями.

Есть случайные события, которые относятся к случаям, а есть случайные события, которые не относятся к случаям. Ниже на примерах рассмотрим эти события.

Те случаи, в результате которых случайное событие появляется, называются благоприятными случаями для этого события.

Если обозначить через , которые влияют на событие при всех возможных случаях, а через – вероятность случайного события , тогда можно записать известное классическое определение вероятности:

Определение

Вероятность события называют отношения числа благоприятных этому событию случаев, к общему числу всех возможных случаев, то есть:

Свойства вероятности

Классическая вероятность рассмотрена, а теперь разберём основные и важные свойства вероятности.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равняется единице.

Например, если в ведёрке все шариков белые, тогда событию , наугад выбрать белый шарик, влияют случаев, .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равняется нулю.

Свойство 3. Вероятностью случайного события есть положительное число:

Значит, вероятность любого события удовлетворяет неравенство:

Теперь решим несколько примеров на классическое определение вероятности.

Примеры классического определения вероятности

Пример 1

Задача

В корзине 20 шариков, из них 10 белых, 7 красных и 3 чёрных. Наугад выбирается один шарик. Выбран белый шарик (событие ), красный шарик (событие ) и чёрный шарик (событие ). Найти вероятность случайных событий .

Решение

Согласно условию задачи, способствуют , а случаев из возможных, поэтому по формуле (1):

– вероятность белого шарика.

Аналогично для красного:

И для чёрного: .

Ответ

Вероятность случайного события , , .

Пример 2

Задача

В ящике лежат 25 одинаковых электроламп, из них 2 бракованные. Найти вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная.

Решение

По условию задачи все лампы одинаковые и выбирается только одна. Всего возможностей выбрать . Среди всех 25 лампа две бракованные, значит, оставшихся пригодных лампа . Поэтому по формуле (1) вероятность выбора пригодной электролампы (событие ) равняется:

Ответ

Вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная = .

Пример 3

Задача

Наугад подбрасываются две монеты. Найти вероятность таких событий:

1) – на обеих монетах выпало по гербу;

2) – на одной из монет выпал герб, а на второй – число;

3) – на обеих монетах выпали числа;

4) – хотя бы один раз выпал герб.

Решение

Здесь имеем дело с четырьмя событиями . Установим, какие случаи способствуют каждой из них. Событию способствует один случай, это когда на обеих монетах выпал герб (сокращённо «ГГ»).

Чтобы разобраться с событием , представим, что одна монета серебряная, а вторая – медная. При подбрасывании монет могут быть случаи:

1) на серебряной герб, на медной – число (обозначим – «ГЧ»);

2) на серебряной число, на медной – герб ( – «ЧГ»).

Значит, событию способствуют случаи и .

Событию способствует один случай: на обеих монетах выпали числа – «ЧЧ».

Таким образом, события или (ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ) образовывают полную группу событий, все эти события несовместимы, так как в результате подбрасывания происходит только одна из них. Кроме того, для симметричных монет все четыре события равновозможные, поэтому их можно считать случаями. Всех возможных событий – четыре .

Событию способствует только одно событие, поэтому его вероятность равняется:

Событию способствуют два случая , поэтому:

Вероятность события такая же, как и для :

Событию способствуют три случая: ГГ, ГЧ, ЧГ и поэтому:

Так как рассмотрены события ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ, которые равновозможные и создают полную группу событий, тогда появление любой из них – это достоверное событие (обозначим её буквой , которой способствуют все 4 случая . Поэтому вероятность:

Значит, подтверждается первое свойство вероятности.

Ответ

Вероятность события .

Вероятность события .

Вероятность события .

Вероятность события .

Пример 4

Задача

Подкидываются два игральных кубика с одинаковой и правильной геометрической формой. Найти вероятность всех возможных сумм на обеих гранях, что выпадают.

Решение

Чтобы было удобнее решать задачу, представьте, что один кубик белый, а второй – чёрный. С каждой из шести граней белого кубика и также может выпасть одна из шести граней чёрного кубика, поэтому всех возможных пар будет .

Так как возможность появления граней на отдельном кубике одинаковая (кубики правильной геометрической формы!), тогда одинаковой будет возможность появления каждой пары граней, причём, в результате подбрасывания выпадает только одна из пар. Значи события несовместимы, единовозможные. Это случаи, и всех возможных случаев – 36.

Теперь рассмотрим возможность значения суммы на гранях. Очевидно, что самая маленькая сумма 1 + 1 = 2, а самая большая 6 + 6 = 12. Оставшаяся часть суммы вырастает на единицу, начиная со второй. Обозначим событий, индексы которых равняются сумме очков, что выпали на гранях кубиков. Для каждой из этих событий выпишем благоприятные случаи при помощи обозначений , где – сумма, – очки на верхней грани белого кубика и – очки на грани чёрного кубика.

Значит, для события:

для – один случай (1 + 1);

для – два случая (1 + 2; 2 + 1);

для – три случая (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

для – четыре случая (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

для – пять случаев (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

для – шесть случаев (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

для – пять случаев (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

для – четыре случая (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

для – три случая (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

для – два случая (5 + 6; 6 + 5);

для – один случай (6 + 6).

Таким образом значения вероятности такие:

Ответ

Пример 5

Задача

Троим участникам перед фестивалем предложили тянуть жребий: каждый из участников по очереди подходит к ведёрку и наугад выбирает одну из трёх карточек с номерами 1, 2 и 3, что означает порядковый номер выступления данного участника.

Найти вероятность таких событий:

1) – порядковый номер в очереди совпадает с номером карточки, то есть порядковым номером выступления;

2) – ни один номер в очереди не совпадает с номером выступления;

3) – только один из номеров в очереди совпадает с номером выступления;

4) – хотя бы один из номеров в очереди совпадёт с номером выступления.

Решение

Возможными результатами выбора карточек – это перестановки из трёх элементов , количество таких перестановок равняется . Каждая из перестановок и есть событие. Обозначим эти события через . Каждому событию припишем в скобках соответствующую перестановку:

; ; ; ; ; .

Перечисленные события равновозможные и единовозможные, то есть, это и есть случаи. Обозначим так: (1ч, 2ч, 3ч) – соответствующие номера в очереди.

Начнём с события . Благоприятный только один случай поэтому:

Благоприятными для события – два случая и , поэтому:

Событию способствуют 3 случая: , поэтому:

Событию , кроме , способствует ещё и , то есть:

Ответ

Вероятность события – .

Вероятность события – .

Вероятность события – обновлено: Сентябрь 15, 2017 автором: Научные Статьи.Ру