9 простейшие формулы численного интегрирования. Численное интегрирование. Интегрирование при бесконечных пределах

численное интегрирование формула программирование

Введение

2. Квадратурные формулы

3. Автоматический выбор шага интегрирования

Заключение

Библиографический список

Введение

Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.

При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида

Если функция непрерывна на отрезке [a , b ] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:

.

В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f (x ) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.

Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f (x i ) = y i в некоторых узлах x i Î[a , b ]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P (x ), проходящий через полученные точки (x i , y i ), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):

.

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

, (2)

где - узлы интерполирования, A i – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.

Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (х ),осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R , характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.

Методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла

Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)

(5)

(6)

Формула трапеции:

Формула Симпсона

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок на 6 равных отрезков:

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

Квадратурные формулы

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b ] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х 0 = а , х 1 = a + h , ..., x n = b отметим ординаты y 0 , y 1 ,…, y n кривой f (x ), т.е. вычислим у i = f (x i ), x i = a+ ih = x i -1 + h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и y i , где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f (x ) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h , что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f (x ), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):

. (5)

Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Рис. 2

Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [x i -1 , x i ] длины h точки с координатами (x i -1 , y i -1) и (x i , y i ) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h (y i -1 + y i ). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла.

Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из геометрического смысла определенного интеграла – значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x) , осью абсцисс и прямыми х=а, х=b . Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подинтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией, по определенной зависимости интерполирующей значения подинтегральной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из численных методов интегрирования.

Итак, функция у=f(x) интегрируема на сегменте и требуется вычислить ее интеграл . Составим интегральную сумму для f(x) на сегменте . Для этого разобьем сегмент на n равных между собой частей с помощью точек: x 1 , x 2 , … , x k , … , x n-1 .

Если длину каждой части мы обозначим через х , так что , то для каждой точки x k будем иметь: (k=0, 1, 2, …, n).

Обозначим теперь через y k значение подынтегральной функции f(x) при то есть положим (k=0, 1, …, n).

Тогда суммы будут интегральными для функции f(x) на отрезке . (При составлении первой суммы мы рассматриваем значения функции y=f(x) в точках, являющихся левыми концами частичных сегментов, а при составлении второй суммы – в точках, являющихся правыми концами этих сегментов.)

По определению интеграла имеем:

и

Поэтому в качестве приближенного значения естественно взять интегральную сумму ,т.е. положить:

т.е (1)

и (1")

Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.

В том случае, когда f(x) 0 , формулы (1) и (1’) с геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции aABb , ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b , принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями и высотами: y 0 , y 1 , y 2 , …, y n-1 – в случае формулы (1) (рис.8) и y 1 , y 2 , y 3 , …, y n – в случае формулы (1") (рис.9).

Исходя из приведенного выше геометрического смысла формул (1) и (1") способ приближенного вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников .

Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и число частей n разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления.

Будем предполагать, что функция f(x) имеет ограниченную производную на сегменте , так что существует такое число М>0 , что для всех значений х из выполняется неравенство |f"(x)|M . Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях абсолютная величина погрешности R n , которую мы допускаем, вычисляя интеграл по формуле прямоугольников может быть оценена по формуле :

|R n | M(b-a) 2 /2n (2)

При неограниченном возрастании n выражение M(b-a) 2 /2n , а следовательно, и абсолютная величина погрешности R n будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент . Абсолютная погрешность результата будет заведомо меньше заданного числа >0 , если взять

n > M(b-a) 2 /2 .

Следовательно, для вычисления интеграла с указанной степенью точности достаточно сегмент разбить на число частей, большее числа M(b-a) 2 /2 . .

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (3а) и (3б). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.

Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (1) и (1"):

(4)

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна и следовательно, формула (4) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рис.10) . Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.

Приведя в формуле (4) подобные члены, окончательно получим

Формулу (5) называют формулой трапеций .

Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений. Что касается оценки погрешности R n , возникающей при замене левой части (5) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее удовлетворяет неравенству:

(6)

где М 2 – максимум модуля второй производной подинтегральной функции на отрезке , т.е.

.

Следовательно, R n убывает при по крайней мере так же быстро, как .

Абсолютная погрешность R n будет меньше наперед заданного числа > 0 , если взять .

Значительное повышение точности приближенных формул может быть достигнуто за счет повышения порядка интерполяции. Одним из таких методов приближенного интегрирования является метод парабол. Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает к кривой y=f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой, и поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных “сверху” дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y=f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций. Сущность метода заключается в следующем. Отрезок делится на 2n равных частей. Пусть точки деления будут

х 0 =а, x 1 , x 2 , …x 2n-2 , x 2n-1 , x 2n =b, а для формулы парабол – пропорционально величине , т.е. метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с точки зрения техники вычислений оба метода одинаковы.

Заменим подынтегральную функцию, входящую в (2.50), интерполяционным многочленом Лагранжа нулевой степени, проходящим через середину отрезка - точку х = (а + Ь)/2 (рис. 2.5). Площадь криволинейной трапеции можно заменить площадью прямоугольника, т. е.

Формула (2.52) носит название ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ или ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ. Ее погрешность составляет

Разложение функции f(x) в ряд относительно середины отрезка имеет вид

Подставив выражение (2.54) в (2.53), получим

Рис. 2.5

При вычислении ошибки интегрирования уничтожился не только первый, но и второй член разложения, что связано с симметричным выбором узла интегрирования. И хотя по построению формула точна для многочленов нулевого порядка, выбор симметричного узла интерполяции привел к тому, что формула точна для любой линейной функции.

Значение остаточного члена в формуле прямоугольников (2.53) может быть велико, так как разность (6 - а) может быть достаточно большой. Для повышения точности введем сетку

с достаточно мелким шагом h t = jc (- x t _ j и применим формулу прямоугольников на каждом шаге сетки. Тогда получим обобщенную формулу прямоугольников

с величиной остаточного члена

На равномерной сетке с шагом h t «= х ( - x t _ j = const формула (2.56) упрощается и имеет вид

величина остаточного члена составляет Заменяя в (2.58) сумму интегралом, получаем

Для справедливости оценки остаточного члена (2.58) необходимо существование непрерывной второй производной; если вторая производная f"x) - кусочно-непрерывная, то удается сделать лишь мажорантную оценку, заменяя f"(x) ее максимальной величиной на [а, 6]. Тогда, если обозначить М 2 = max | f"(x) | [а остаточный член

В том случае, когда функция f(x ) задана в виде таблицы, ее значение в середине интервала неизвестно. Это значение находится, как правило, интерполированием, что приводит к ухудшению точности формулы.

В случае таблично заданных функций удобно в качестве узлов интерполяции выбрать начало и конец отрезка интегрирования, т. е. заменить функцию f(x) многочленом Лагранжа первой степени. Имеем

Рис. 2.6

В этом случае величина интеграла, равная площади криволинейной трапеции, приближенно заменяется величиной площади трапеции (рис. 2.6). Поэтому получаем

имея в виду, что х 0 = а, х г = Ь. Эта формула носит название ФОРМУЛЫ ТРАПЕЦИЙ. При использовании формулы трапеций для

оценки погрешности интегрирования вычислим J dx по

формулам (2.18). Имеем

Погрешность формулы трапеций вдвое больше погрешности формулы прямоугольников. Это объясняется тем, что выбор в формуле прямоугольников в качестве узла интерполяции симметричного узла приводит к повышению ее точности.

Для повышения точности формулы (2.61) введем на отрезке [а, Ь] сетку

Подсчитывая значение интеграла для каждого интервала и суммируя эти значения, получаем обобщенную формулу трапеций

со значением остаточного члена

Эти формулы упрощаются на сетке с постоянным шагом Л = Л (= Xj - д:, t = const (i - 0, 1, - 1):

Введем обозначение М 2 ~ max |ГХ^)1(а &] На практике пользуются мажорантной оценкой величины остаточного члена

Таким образом, формула трапеций (как и формула прямоугольников) имеет второй порядок точности относительно шага сетки, и погрешность асимптотически стремится к нулю при h -» 0 с точностью до членов более высокого порядка малости.

Для повышения порядка точности формулы численного интегрирования заменим подынтегральную кривую параболой - интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, выбрав в качестве узлов интерполяции концы и середину отрезка интегрирования: х 0 = а, х х ~ (а + Ь)/ 2, х г = Ъ (рис. 2.7).

В этом случае, проинтегрировав интерполяционный многочлен для равноотстоящих узлов, получим

Рис. 2.7

При этом значение остаточного члена R ~ J Д 2 (х) dx оценивается приближенным соотношением °

Формулу (2.67) называют ФОРМУЛОЙ СИМПСОНА. Для неравноотстоящих узлов х 0 , Xj, х 2 величина F составляет

Как и в предыдущих двух случаях, для повышения точности формулы (2.67) введем сетку с достаточно малым шагом. Суммируя значения нтегралов, полученных по (2.67) для каждого интервала, получаем обобщенную формулу Симпсона (парабол), которая на равномерной сетке имеет вид

а величина остаточного члена -

Таким образом, формула парабол имеет четвертый порядок точности относительно шага сетки. Введем обозначение М 4 = = max |/ IV (x)| }