Основные меры расстояний. §23. измерение расстояний в пространстве. Кластерный анализ. Расстояние между объектами
II . Урок изучения нового по теме: «Нахождение расстояний и углов в пространстве».
Учебная задача:
1) Привлечь учащихся к работе в группах
2) Формировать у учащихся познавательные и исследовательские умения
3) Провести аналогию с курсом планиметрии
Диагностируемые цели:
1) Имеет представление о расстояниях и углах между различными объектами в пространстве
2) Изображает расстояния и углы в простейших ситуациях
3) Осознает связь данного материала с курсом планиметрии.
Актуализация. Проходит в форме устного опроса, при этом повторяются следующие определения: расстояния между объектами, параллельных плоскостей, прямой параллельной плоскости, скрещивающихся прямых, угла между прямыми на плоскости, перпендикуляра, наклонной и ее проекции на плоскость; также определение двугранного угла и его линейного угла.
Мотивация. Учащиеся по аналогии с планиметрией предполагают существование углов и расстояний между объектами в пространстве.
расстояние от точки до прямой,
расстояние от точки до плоскости,
расстояние между прямыми,
угол между прямыми,
угол между прямой и плоскостью,
угол между плоскостями.
На подготовку группам отводится 10 мин. Во время выступления группы остальные конспектируют материал. Выступающая группа рассказывает теоретический материал, иллюстрируя его на графических и натуральных моделях.
Рефлексивно-оценочная часть. Проходит в форме устного опроса учащихся. Отвечают преимущественно те ученики, которые не готовили соответствующий вопрос. В конце урока выдается домашнее задание – выучить теоретический материал.
III . Итоговая контрольная работа.
Учебная задача:
степень усвоения теорем-свойств и признаков изучаемых объектов и способов их доказательства
2) степень усвоения определений перпендикулярных прямых, перпенди кулярности прямой и плоскости
3) сформированность умений применять теоретические знания к решению дидактических задач
Диагностируемые цели:
Понимает уровень усвоения материала и уровень собственных умений
Контрольная работа.
1. Из точек А и В [М и К], лежащих в двух перпендикулярных плоскостей, проведены в них перпендикуляры АС и BD [МС и KD] к линии пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ , если АС = 12 см, BD = 15 см, СD = 16 см [если МС = 8 см, KD = 9 см, МК = 17 см].
2. Из середины М стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр МК, равный а3. Сторона квадрата равна 2а . [Из середины Е катета ВС прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр ЕМ, равный а5; С = 90, АС = b , ВС = 4а ]. Найдите: а) площади треугольника АВК [АСК] и его проекции на плоскость квадрата [данного треугольника]; б) расстояние между прямыми АК и ВС [КЕ и АС].
Задача 1 сводится к решению прямоугольных треугольников, однако вид треугольника необходимо обосновать с помощью свойства перпендикулярных плоскостей (оно доказано в задаче №178).
Для успешного решения задачи 2 необходима сформированность умений находить проекцию треугольника на плоскость, решения прямоугольных треугольников. Для обоснования вида треугольника необходимо использовать теорему о трех перпендикулярах. Также нужно знать способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.
Конспект урока
Тема . Перпендикулярность прямых и плоскостей.
([Геометрия: Учебник для 10-11 классов сред. шк./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э.Г.Позняк. – М.: Просвещение], гл. II,17 уроков, урок 15)
Тип урока . Урок систематизации и обобщения.
Цели урока .
Учебная задача .
Выделить:
– пары объектов в пространстве, между которыми устанавливается отношение перпендикулярности, и охарактеризовать это отношение для различных пар (определение, признак, свойство);
– приемы (теоретический базис, эвристики) доказательства перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей;
– типы задач на вычисление и способы их решения.
Диагностируемые цели.
В результате ученик
знает :
– определение, признаки, свойства для каждой пары перпендикулярных объектов;
– что перпендикулярность двух прямых можно доказать с помощью определения перпендикулярных прямых, определения прямой, перпендикулярной к плоскости, леммы, теоремы о трех перпендикулярах и ей обратной;
– что перпендикулярность прямой и плоскости можно доказать с использованием признака перпендикулярности прямой и плоскости, теоремы о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой, теоремы о свойствах перпендикулярных плоскостей;
– что перпендикулярность двух плоскостей можно доказать на основе определения перпендикулярных плоскостей, признака перпендикулярности двух плоскостей;
– обобщенный план решения задач на нахождение расстояний и углов;
умеет :
– доказывать перпендикулярность двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей;
– находить расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости;
– находить углы между прямыми, между наклонной к плоскости и плоскостью, между плоскостями, когда точки, прямые и плоскости задаются элементами треугольников (четырехугольников);
осознает :
– природу происхождения темы;
– роль аналогии и обобщения в получении новых знаний;
– значимость темы в курсе стереометрии, ее роль для дальнейшего построения курса;
Задача:
Дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС.
АВ=6см, ОD=3см.
1. Найдите пары перпендикулярных прямых.
2. Найдите пары перпендикулярных прямой и плоскости.
3. Найдите пары плоскостей.
4. Найдите углы между DA, DB, DC и плоскостью ABC.
5. Найдите расстояния от точки D до плоскости АВС, от С до АDВ, от А до DОС.
6. Найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.
7. Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС.
Ход урока .
Деятельность учителя | Деятельность ученика |
Мотивационно-ориентировочная часть – Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась? – Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве? – Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей». | – В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии. – Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. |
– Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»? – А какие задачи решали? – Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь? – А что значит привести знания в систему? – Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока? – Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему. | –Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. – Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы. – Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе. – Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения. – Перпендикулярность прямых и плоскостей. |
– Перпендикулярность каких объектов мы изучили? – Будем работать с таблицей. < Открывает заголовок таблицы 1> – Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными? – Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок> – Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали? – Сформулируйте ее. < Открывает рисунок> – Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения. < Открывает рисунок> – В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их. <Открывает соответствующие рисунки> – В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней. А как вы думаете почему? –Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными? –Какие факты можно отнести в эту часть? – Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их – заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность – мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7. –Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …». <Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев> | – Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. – Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0 . – Они могут пересекаться и скрещиваться. – Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей. <Формулируют> – Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. – Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>. – Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует>. – Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>. – Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости. – Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0 . –Признак перпендикулярности двух плоскостей. Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости. Две прямые в пространстве перпендикулярны, если одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна; одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости; одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой. <Ученики формулируют следующие эвристики: Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости; прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости; данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой. Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. > |
–Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства. – Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй – перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд – пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут. – Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик> –Хорошо. Послушаем теперь второй ряд. –Третий ряд, пожалуйста. | <Работают> < Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали> – DOAB (DOABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости, DO, в частности, перпендикулярно АВ) – DOAC, DOBC (аналогично) – DCAB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме). –DOABC(по условию). –ABCOD,COADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). –DABABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) –DOCABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) –DOCADB (по признаку перпендикулярности плоскостей). |
– Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними. | |
Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»> <Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице> –Что называется расстоянием от точки до прямой? –Какие еще расстояния можете назвать? – Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний. – То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице. – Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»> – Опишите это понятие. <Открывает соответствующий рисунок> – Какие еще углы вы знаете? – Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников. | – Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой. – От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости. – Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой. – Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. – Между параллельными плоскостями – расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой. – Между скрещивающимися прямыми– расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой. – Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник. – Угол между прямыми. – Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними. – Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. – И угол между плоскостями – это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении. |
– Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление. – Начнем с первого задания. – Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай. –Второй ряд, пожалуйста. –И последний угол? –Дорешаете дома. –Следующее задание. Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку. –Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС. Эту задачу будем решать на новом рисунке. – Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС? – Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости? – То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует? – А через какую точку пройдет проекция наклонной? – Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать? – А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС? – Как найти DК? – Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске. – Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7. – Назовите их и докажите. –Как их найти? | – Так как ОDАВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно DАО – угол между DА и АВС. – Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ. –Угол между DВ и АВС – это DВО. –Угол между DС и АВС – это DСО. – Так как DО – перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО – искомое расстояние. – Мы доказывали, что СОDАВ, значит СО–расстояние от С до DАВ. –АВDОС, то АО–расстояние от А до DОС. Так как DО перпендикулярно АВ, то DО – расстояние между D и прямой АВ. – Наклонной. – Она должна быть перпендикулярной к проекции. – Через точку О, так как она проекция точки D. – Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М–середина ВС, тогда АМ – медиана правильного ∆АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОКВС, и ОК–проекция DК на АВС. При этом DКВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК–расстояние от точки D до прямой ВС. – Произвольно. – Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК – средняя линия ∆АМВ. – Аналогично, причем DL равно DК. – Они уже построены. – DКО – линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, DLО – линейный угол двугранного угла при ребре АС. – Например, DКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО. |
Рефлексивно-оценочная часть – Это все задания, которые мы планировали решить на уроке. – А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. – Какие типы задач нами были рассмотрены? –Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии? | –на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями. –позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами. |
– Что вы теперь умеете делать? – Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления. | – Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями. |
Дома оформить решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе. |
Расстояния в пространстве (Таблица 1)
От точки до прямой | Между параллельными прямыми | От точки до плоскости | Между парал – лельными прямой и плоскостью | Между параллельными плоскостями | Между скрещивающимися прямыми |
В этом параграфе рассматривается измерение расстояний между основными фигурами стереометрии (точкой и плоскостью, прямой и плоскостью, плоскостями).
Измерение расстояний между различными физи- ческими объектами является одним из самых рас-пространённых видов математической деятельности человека. Если размерами объекта можно пренебречь, то речь
идет об измерении расстояний между точками, то есть об определении длин отрезков. В других случаях моделирование данных объектовспомощьюточекприизмерениирасстояниймеждуними нецелесообразно или бессмысленно, например, когда речь идет об измерении расстояния между электролампой и столом (рис. 480), если первую можно отождествлять с точкой, то для моделирования стола более пригодна плоскость или ее часть. Аналогичная ситуация возникает при определении расстояния между фасадами зданий (рис. 481), что при математическом моделировании сводится к определению расстояния между параллельными плоскостями; при установлении вертикального рельса на определенном расстоянии от стены (рис. 482) (определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью) и т. п.
Рассмотрим вопрос об измерении расстояний между самыми простыми фигурами в пространстве. Содержание понятия рассто- яния остаётся таким же, как и в планиметрии. Например, рассто- яниеd от точкиА до прямойа - это кратчайшее расстояние меж- ду этой точкой и точками прямой (рис. 483), а расстояние между параллельными прямымиа иb - это длинаd кратчайшего из отрезков, соединяющих точки этих прямых (рис. 484).
Обобщение понятия расстояния между фигурами в пространс- тве не вызывает затруднений.
Расстоянием между фигурами называют длину кратчайшего из отрезков, соединяющих точки дан ных фигур.
Если фигуры пересекаются, то будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Это и понятно, так как фигуры в целом «не удалены» друг от друга. Для фигур, не имеющих общих точек, расстояние между ними является одной из мер их взаимного рас- положения.
Понятно,чтозадачанахождениярасстояниймеждупроизволь- ными геометрическими фигурами является слишком общей, а потому ограничимся детальным рассмотрением расстояний меж- ду простейшими фигурами пространства - точками, прямыми, плоскостями. Как и в планиметрии, эти расстояния реализуются через длины соответствующих перпендикуляров. Кроме того, к указанным ситуациям часто сводится задача об измерении рас- стояний между более сложными фигурами.
Теорема 1 (о расстоянии от точки до плоскости).
Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из данной точки на данную плоскость.
Этосвойстворасстоянияотточкидоплос- кости непосредственно вытекает из свойс- тва наклонных и перпендикуляров. Дейс- твительно, перпендикуляр, проведенный
из точки к плоскости, меньше наклонных, проведенных из той же точки к плоскости
Теорема 2 (о расстоянии между прямой и плоскостью).
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к данной плоскости.
Обоснование этого свойства о расстоянии между прямой и плос- костью опирается на свойства прямой, параллельной плоскости, и теорему 1 о расстоянии от точки к плоскости.
Действительно, расстояние от каждой точки прямой до плоскости равно длине перпен- дикуляра, проведенного из данной точки к
плоскости. Для точек прямой, параллельной плоскости, эти расстояния являются равны-
ми (рис. 488).
Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостя- ми).
Расстояние между параллельными плоскостями равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй плоскости.
Обоснование теоремы 3 аналогично обос- нованию теоремы 2. Отличие заключается лишь в том, что перпендикуляры проводят- ся из всех точек одной плоскости ко второй
Приведеннымисвойствамиширокопользу- ются в различных сферах деятельности чело- века, в быту. Например, с их помощью опреде- ляют расстояния от самолета до поверхности
Измерение расстояний в пространстве | ||
земли, от светильника до пола, от провода линии электропередач |
||
до поверхности земли, между потолком и полом и т. п. |
||
Плоскости правильного треугольника ABS и квад- |
||
рата ABCD со сторонойа перпендикулярны, точкиL , K , M явля- |
||
ються серединами соответственно сторон DC , AB , AS . Найти рас- |
||
1) от точки А до прямойВS ; | ||
2) от точки А до плоскостиSBC; | ||
3) от прямой | AD до плоскостиSBC ; | |
4) между плоскостями MKL иSBC . | ||
1)РасстояниеотточкиА допрямойBS рав- |
||
нодлинеперпендикуляра,проведенногоизточ- |
||
ки А к прямойBS в плоскостиABS . Поскольку |
||
треугольник ABS - правильный, то таким пер- |
||
пендикуляром будет медиана АР | этого тре |
|
угольника (рис. 490). Её длина равна | 3 a . |
|
2) Расстояние от точки А до плоскостиSBC |
||
равно, по свойству расстояния от точки до |
||
плоскости (теорема 1), длине перпендикуля- |
||
ра, проведенного из точки А к плоскостиSBC . |
||
Этим перпендикуляром будет отрезок АР , где |
||
Р - середина стороныSB (рис. 490). Действи- |
||
тельно, отрезок АР перпендикулярен стороне |
||
SB треугольникаABS , так как он является |
||
медианой правильного треугольника. Прямая |
||
ВС перпендикулярна плоскостиABS , ибо она |
||
лежит в одной из перпендикулярных плоскос- |
||
тей и перпендикулярна линии их пересече- |
||
ния. Проведем через точку Р прямуюРЕ , па- |
||
раллельную прямой ВС (рис. 491). Она лежит |
||
в плоскости | SBC (почему?) и перпендикуляр- |
|
на плоскости ABS , по теореме о двух параллельных прямых, одна |
||
из которых перпендикулярна плоскости (теорема 1 § 19): ВС ||РЕ , |
||
ВС ABS . ПоэтомуРЕ ABS . По определению прямой, перпен- |
||
дикулярной плоскости, РЕ АР . По признаку перпендикулярнос- |
||
ти прямой и плоскости (теорема 1 §18), АР SBС . Длина перпен- |
||
3) Прямая AD и плоскостьSBC параллельны, по признаку па- раллельности прямой и плоскости (теорема 1 § 11):AD ||ВС . Поэто-
му искомое расстояние, по свойству расстояния между прямой и |
||||
плоскостью (теорема 2), равно расстоянию от точки А | плоскости |
|||
SBC и, по предыдущему заданию, равно | ||||
4) Плоскости MKL иSBC параллельны, по признаку парал- |
||||
лельности плоскостей (теорема 1 §12): KМ ||BC (KМ - средняя |
||||
линия треугольника ABS ) , KL ||BC (KL - отрезок, соединяющий |
||||
середины параллельных сторон квадрата | ABCD) , | |||
MKL ||SBC . Следовательно, искомое расстояние, по свойству рас-
стояния между параллельными плоскостями (теорема 3), равно
длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки |
|||||||||||||||
плоскости MKL | к плоскости SBC . Возьмем точ- |
||||||||||||||
ку пересечения | F отрезков | MK иАР (рис. 492). |
|||||||||||||
Поскольку АР | является перпендикуляром к | ||||||||||||||
плоскости SBC (см. задание 2), тоFP - перпен- | |||||||||||||||
дикуляр к этой плоскости. Его длина равна | |||||||||||||||
1 AP , так как средняя линия треугольника де- | |||||||||||||||
лит медиану, которую она пересекает, пополам | |||||||||||||||
(почему?). Искомое расстояние равно | a .■ |
||||||||||||||
Ответ: 1) | a ;2) | a ;4) | |||||||||||||
Рассмотримболеедетальнодоказательствосвойстврас- стояний в пространстве. Поскольку теорема 1 является прямым следствием свойств наклонных и перпендику-
ляров,рассмотримдоказательствотеоремы2.
Д оказательство теоремы 2
Пусть имеем прямую l и параллельную ей плоскость α (рис. 493). Поскольку расстояние между прямойl и плоскостью α - это длина кратчайшего отрезка, соединяющего их точки, то длина наклонной, соединяющей точки прямой и плоскости, не
Измерение расстояний в пространстве |
может быть искомым расстоянием. Докажем, что длины всех перпендикуляров, проведен- ных из точек прямойl к плоскости α, равны
между собой. А потому расстояние между прямой и плоскостью равно длине каждого из таких перпендикуляров.
Проведем из двух точек А иВ прямойl перпендикулярыАA 1 иВB 1 к плоскости α.
Поскольку прямые, перпендикулярные одной плоскости, парал- лельны между собой (теорема 2 § 19), то через прямыеАA 1 иВB 1 можно провести плоскость, содержащуюl . ПрямаA 1 B 1 является линией пересечения этой плоскости с плоскостью α (почему?). Од- нако в этом случаеАВ ||А 1 В 1 , то есть четырехугольникАА 1 В 1 В является параллелограммом (даже прямоугольником). Отсюда
АА1 = ВB1 . ■
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству преды- дущей теоремы.
Д оказательство теоремы 3
Как и в теореме 2, наклонная, соединяющая две точки па - раллельных плоскостей, не может определять расстояние меж- ду ними. А все перпендикуляры, проведенные из точек одной из плоскостей ко второй, параллельны, по теореме о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости (теорема 2 § 19). Кстати, они одновременно перпендикулярны обеим плоскостям, по теоре- ме о параллельных плоскостях, одна из которых перпендикуляр- на прямой (теорема 3 § 19).
Пусть α и β - параллельные плоскости, а АА 1 иВВ 1 - два произвольных перпенди-
куляра, соединяющие точки этих плоскостей (рис. 494). Они параллельны, а потому рав-
ны, по теореме об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями(теорема 4 § 12). Можно и непосредственнодоказать равенство этих отрезков, рассмотревчетырехугольникАА 1 В 1 В, как это было сдела- но при доказательстве теоремы 2.■
С помощью понятия расстояния можно характеризовать парал- лельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей. При этом справедливыследующиеутверждения,обратныетеоремам2и3.
Теорема 4 (признак параллельности прямой и плоскости).
Если все точки прямой лежат на одинаковом, отличном от нуля, расстоянии от плоскости, то прямая и плоскость параллельны.
Теорема 5 (признак параллельности плоскостей).
Если все точки одной плоскости лежат на одинаковом, отличном от нуля, расстоянии от второй плоскости, то эти плоскости параллельны.
Действительно, при выполнении условий этих утверждений соответствующие фигуры не могут иметь общих точек, иначе бы расстояние между ними равнялось нулю.
Утверждения будут правильными, если условия выполняются не для всех точек, а для нескольких. В первом утверждении до- статочно допустить, что условие выполняется для двух точек пря- мой, во втором - для трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 495, 496). Попробуйте доказать это самостоятельно. Приве- денные утверждения широко используются в практике как при- знаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей. Так, параллельность поверхности стола полу обеспечивается одинако- вой длиной его ножек.
В тетраэдре SABC основание |
|||
АВС - равносторонний треугольник со сто- |
|||
роной 6 см, боковые грани SAB , | SAC, SBC - |
||
равнобедренные треугольники | с боковым |
||
ребром 5 см. Найти расстояние от центра О |
|||
основания до плоскости боковой грани. |
|||
Расстояние от точкиО до плоскостиSBC |
|||
равно длине перпендикуляра ОK из точкиО |
|||
к плоскости SBC (рис. 497). ТочкаО лежит на |
|||
пересечении медиан (и высот!) треугольника |
|||
АВС ,причемOD =1 AD = | 6 3 = | 3 .Посколь |
|
Ответ.
пендикуляр из точки О на плоскостьBSC совпадает с перпенди- |
|||
куляром ОK из точкиО на прямуюSD , являющейся линией пере- |
|||
сечения плоскостей | SBC . По теореме Пифагора, |
||
SD = SB2 − BD2 = 5 2 | −32 =4 | (см).Посколькуортогональные про |
|
екции боковых рёбер на основание одинаковы, то S ортогонально |
|||
проектируется в центр описанной около треугольника АВС ок- ружности, то есть в точкуО. Поэтому треугольникSOD - прямо-
угольный. По теореме Пифагора, имеем: SO =SD 2 −OD 2 =
16 −3 =13 (см). Нетрудно увидеть (докажите это, пользуясь подобием треугольников или различными формулами площади
треугольника), что OK = (SO · OD ) :SD = (13 3 ):4 = | |||
до дру- |
|||
Понятно, учитывая симметрию, что расстояния от точки О |
|||
гих боковых граней такие же. ■ | |||
4 39см.
Контрольные вопросы |
|
На рис. 498 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; |
|
точки О , О 1 - центры гранейABCD и |
|
A1 B1 C1 D1 . |
|
1) Какая из точек A 1 , О 1 , В 1 лежит ближе к |
|
плоскости АВС ? |
|
2) Какие из рёбер куба наиболее удалены |
|
от плоскости АА 1 В 1 В? |
|
3) Какое из расстояний больше: от прямой |
|
АО 1 до плоскостиDCC 1 или от прямойAD 1 |
|
до плоскости BDС 1 ? |
|
4) Чему равно расстояние между плоскостями ADD 1 иВСС 1 ? |
|
Пусть прямая а параллельна плоскости α. Могут ли точки |
|
прямой а находиться на различных расстояниях от точек |
|
плоскости α? |
|
Верно ли, что если расстояние от прямой до плоскости отлич- |
|
но от нуля, то прямая и плоскость параллельны? |
|
Известно, что отрезок AB удален от плоскости α на 3 см. Озна- |
|
чает ли это, что прямая AB удалена от плоскости α на 3 см? |
|
Верно ли, что две плоскости совпадают, если расстояние меж- |
|
ду ними равно нулю? |
6. Верно ли, что расстояние от отрезка до плоскости равно рас - стоянию от одного из его концов до этой плоскости?
7. Все стороны треугольника АВС находятся на расстоянии 3 от плоскости α. Параллельны ли плоскостиАВС и плоскость α?
8. Какую фигуру образуют точки, равноудаленные от данной плоскости?
9. Как нужно закреплять провод на столбах, чтобы обеспечить его параллельность к поверхности земли?
10. Как измерить высоту дерева, не поднимаясь на его верхушку?
Графические упражнения
1. Нарис.499изображенкуб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
с ребром а , точкиМ , М 1 - середины рё- берАD , А 1 D 1 соответственно. Найдитерасстояние:
1) от точки А до прямойАВ ;
2) от точки D 1 до прямойАВ ;
3) от точки А 1 до плоскостиВСС 1 В 1 ;
4) от точки А 1 до плоскостиАВ 1 С 1 В ;
5) от точки М до плоскостиAB 1 C 1 D ;
6) от прямой A 1 D 1 до плоскостиAB 1 C 1 D ;
7) от прямой AD 1 до плоскостиAB 1 C 1 D ;
8) между плоскостями AA 1 D 1 иBB 1 C 1 .
2. На рис. 500 изображен правильный тетраэдр ABCD , F - серединаВС , О - центр граниАВС . Длина какого отрезка
равна расстоянию:
1) от точки D до плоскостиАВС ;
2) от точки D до прямойВС ;
3) от точки С до плоскостиАОВ ?
3. Из центра О квадрата ABCD(рис. 501) проведен перпендикуляр OSк плоскости квадрата. Точка М -середина ВС, Р - основание высоты треугольника OMS,
его медиана. Длине какого отрез- ка равно расстояние:
1) от точки O до плоскостиBCS ;
2) от точки S до плоскостиАВС ;
3) от точки С до плоскостиBDS ?OK -
Измерение расстояний в пространстве |
ТочкаD находитсянарасстоянии8смотвершинравносторон- |
|||||
него треугольника ABC со стороной 4 см. Найдите расстояние: |
|||||
1°) от точки B | до плоскости DOC , гдеO - центр треуголь- |
||||
ника ABC ; | до плоскости ABC ; | ||||
2°) от точки D | |||||
3) от плоскости, проходящей через середины отрезков DA , |
|||||
DB , DC , до плоскости треугольникаABC. |
|||||
Пусть точка O | является серединой катета AC прямоугольно- |
||||
го равнобедренного треугольника с гипотенузой AB = 4 см; |
|||||
OP - перпендикуляр к плоскости треугольника длиной |
|||||
2 см. Найдите расстояние: | |||||
1°) от точки B до плоскостиAOP ; | |||||
2°) от плоскости, проходящей через середины сторон CB и |
|||||
AB параллельноOP , до плоскости | CPA; |
||||
3) от точки O до плоскостиPAB. | |||||
464°. Из точкиK - середины гипотенузыАВ равнобедренно- |
|||||
го прямоугольного треугольника | АВС с катетами длиной |
||||
8 см - проведен перпендикуляр | KS к плоскости треуголь- |
||||
ника. Длина KS составляет 6 см. Найдите расстояние: |
|||||
1) от точки С до плоскости | АKS; | ||||
2) от точки А до плоскости | KСS; | ||||
3) от точки S до прямойВС. | |||||
465. Дан кубABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с реброма. Найдите расстояние: |
|||||
1°) от точки А 1 | до плоскости BDD 1 ; | ||||
2°) от прямой | B 1 D 1 до плоскостиАВС; |
||||
3°) между противоположными гранями куба; |
|||||
4°) от точки А 1 | до прямой BD ; | ||||
5) между прямыми AD 1 иСС 1 ; | |||||
6*) от точки А 1 до плоскостиAB 1 D 1 ; |
|||||
7*) между плоскостями CD 1 B 1 иDA 1 B . |
|||||
466. ТочкаМ лежитнарасстоянииb отвсехвершинквадратаАВСD |
|||||
со стороной а и центром в точкеО . Найдите расстояние: |
|||||
1°) от точки М | до плоскости | АВС; | |||
2°) от точки А до плоскости | ВМD; | ||||
3) от точки О до плоскостиМСD , еслиb =2 3 a ;
4) от точки М до прямойСD ;
5) между прямыми ОМ иАD .
467. Концы отрезка удалены от некоторой плоскости на 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости.
468. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника лежит точка,
удаленная от каждой вершины треугольника на 10 2 см?469. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. На ка-
ком расстоянии от плоскости треугольника расположена точка, удалённая на 9 см от:
1) сторон треугольника;
2*) каждой из прямых, содержащих стороны треугольника?
470°. Если из двух точек, находящихся на различных расстояни- ях от плоскости, провести к этой плоскости равные наклон- ные, то большей будет проекция наклонной, проведенной из более близкой к плоскости точки. Докажите это.
471. Если из точкиА, находящейся вне плоскостиα , опустить перпендикуляр на эту плоскость, а из его основания провес- ти перпендикуляр к прямойВС , лежащей в плоскостиα , то плоскость, проходящая через эти перпендикуляры, будет перпендикулярна прямойВС. Докажите это.
472*. Плиту прямоугольной формы подняли краном так, что три её вершины удалены от поверхности земли, соответственно, на 2 м, 3 м и 4 м. На каком расстоянии от земли находится четвертая вершина?
473*. ТочкаА удалена от сторон угла, равного 60°, на 20 см и 7 см, а от его вершины - на 25 см. Найдите расстояние от точкиА до плоскости угла.
474*. Точка, лежащая вне плоскости прямого угла, находится на расстоянии 4 см от каждой из его сторон. Найдите расстоя- ние от точки до вершины угла, если точка удалена от плос-
кости угла на 7 см.
475. Плоскости квадратаАВСD и равностороннего треугольникаАВМ взаимно перпендикулярны,АВ = а. Постройте общий перпендикуляр к прямойАС и к медианеМО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.
476. ПустьАВ - общий перпендикуляр к скрещивающимся пря- мыма иb . ТочкиA иС лежат на прямойа , точкиВ иD - на прямойb ;АС = ВD . Докажите, чтоАСВ = ВDС.
Упражнения для повторения
477. В одной полуплоскости, ограниченной прямой АВ , построе-
ны углы: ВАС = 38°,САD = 68°,DАЕ = 85°,ЕАK = 99°.
Определите KАС .
Измерение расстояний в пространстве |
478. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите их градусную меру.
479. Наблюдатель, находящийся на берегу озера на высоте h над уровнем воды, видит тучку под углом α, а ее отображение - под углом β к горизонту. Найдите высоту тучки над поверх-
ностью озера при α = 53°27", β = 55°42", h = 76,8 м.
Основное определение
Расстоянием между
произвольными фигу-
рами называют длину кратчайшего из отрез- ков, соединяющих точки данных фигур.
Свойства расстояний
Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендику- ляра, проведенного из данной точки к данной плоскости.
Расстояние между прямой и параллель- ной ей плоскостью равно длине перпен- дикуляра, проведен- ного из произволь- ной точки прямой к данной плоскости.
Расстояние между па- раллельными плос- костями равно длине перпендикуляра,про- веденного из произ- вольной точки одной плоскости ко второй плоскости.
Подобно героям фильма «Человек с бульвара Капуцинов» можно смело утверждать: «Далека дорога твоя». Но одна и та же дорога может быть разной. Когда-то расстояния наносились на карту в днях пути, и путь туда мог не равняться пути обратно. Ведь есть существенная разница, плетешься ли ты в гору или весело переставляешь ноги, спускаясь с горы.
При принятии решений расстояния между объектами также можно мерить по-разному, в зависимости от того, какая перед нами стоит задача и с какими данными мы имеем дело. В этой статье мы рассмотрим несколько методов определения расстояния между объектами и путей применения их на практике.
При принятии решений нам часто необходимо сравнивать объекты между собой. Среди прочего можно использовать представление этих объектов как точек в некотором многомерном пространстве. Допустим нам необходимо выбрать офис для филиала компании.
Для начала определимся с критериями, по которым мы будем оценивать имеющиеся предложения. Пусть это будут расстояние от складов, стоимость аренды, размер помещений и то, насколько нам нравится данный офис (вложим сюда субъективную оценку инфраструктуры). Каждое предложение, таким образом, может быть представлено в виде точки в четырехмерном пространстве.
В обычной жизни мы привыкли к расстоянию, измеренному с помощью формулы Евклида, – корень из суммы квадратов расстояний по каждому измерению. То есть, если нам нужно померить расстояние между диагонально расположенными углами коробки, размеры которой нам известны, нам не обязательно искать линейку. Если под рукой есть калькулятор, достаточно сложить квадраты ширины, высоты и длины и вычислить из них корень. Обратите внимание, формула работает как на плоскости, так и на объеме. Более того, формула верна и для большего числа измерений. Но не во всякой ситуации.
Обратимся за примером к карте Манхеттена (Нью-Йорк). Его география чрезвычайно проста и сводится к формуле: с севера на юг идут авеню, с запада на восток – стрит (см. рис. 1). Если вам надо попасть от южного конца первого авеню к пересечению Мэдисон-авеню и 96-й стрит, вы вольны выбрать любой маршрут. Если при этом вы всегда будете двигаться в сторону конечной точки, последовательно увеличивая номера стрит и авеню, которые вы прошли, расстояние, которое вы пройдете, не будет зависеть от конкретного выбранного маршрута. Оно будет равно сумме расстояния, пройденного по стрит, и расстояния, пройденного по авеню. Или иными словами – сумме расстояний между точками по каждому из параметров.
Рисунок 1. Манхеттенское расстояние не зависит от выбранного маршрута (maps.google.ru) D = ∑|x 1,i - x 2,i |, где x 1,i и x 2,i – i-я координата первого и второго объекта соответственно
Складывать напрямую выбранные параметры мы не можем. В связи с этим попытаемся оценить полезность офиса по каждому из параметрове .
Так как у нас имеется фиксированное множество предложений, мы можем найти минимальное и максимальное значение каждого из параметров. Теперь можно считать, что минимальное значение параметра соответствует нулевому значению полезности (или, в нашем случае, выигрыша в полезности), максимальное значение – единице, а все остальные значения находятся между нулем и единицей. За счет этого нехитрого трюка мы свели все параметры к одной безразмерной шкале, причем значения всех параметров измеряются от нуля до единицы. Теперь мы можем сравнивать тысячи рублей с единицами километров, и это не нарушит физический смысл задачи.
Но как нам сравнить офисы между собой? Очень просто, давайте сложим все значения полезностей для каждого из параметров. Количество параметров фиксировано, минимальное значение полезности равно нулю, максимальное – четырем. Отранжируем полученные значения и выберем тот офис, значение полезности у которого оказалось максимальным.
Поздравляю вас, вы использовали манхеттенское расстояние! В самом деле для того, чтобы определить разницу между офисами, мы используем разницу их полезности, определяемой как сумма разниц по каждому из параметров, то есть манхеттенское расстояние (еще известное как расстояние городских кварталов).
Но в отличие от Манхеттена Москва строилась не сразу, да и строилась по совсем другим принципам.
Допустим, что мы выбираем не офис, а квартиру. Для того чтобы оценить расстояние до работы мы будем использовать не километры, рассчитанные по формуле Евклида, а время, потраченное на дорогу. При этом? если у нас есть несколько вариантов маршрута, использующих различные виды транспорта, мы можем захотеть оценить это время по самому плохому варианту (надо же как-то объяснить риелтору, почему он должен дать нам скидку). В этом случае мы выберем максимум времени для путей на машине, трамвае и метро.
Такая оценка называется расстоянием Чебышева. В данном случае берется расстояние лишь по одному параметру, принимающему максимальное значение.
Мы могли бы использовать данную оценку и для выбора офиса. В этом случае будем смотреть не на сумму разницы полезностей по всем параметрам, а на максимум разницы между офисами.
Например, для двух офисов сумма полезностей примерно равна, но при этом инфраструктура первого офиса намного хуже инфраструктуры второго. Получается, что они не слишком отличаются по расстоянию, цене и площади, но очень отличаются по инфраструктуре. И захочется ли вам работать при прочих равных в плохих условиях? Нет, и в такой ситуации инфраструктура автоматически начинает иметь большее значение.
Теперь представим себе другую ситуацию. Пусть рассматриваемая система может иметь склонность к масштабированию. Например, если один город потребляет больше нашего товара, чем другой город, то это может попросту значить, что во втором городе больше жителей.
Впрочем, зависимость не всегда является столь очевидной. Для того чтобы бороться с подобной неоднозначностью, можно перейти к несколько иной логике измерения сходства между рассматриваемыми объектами. Перед этим мы считали каждый объект точкой в многомерном пространстве. Давайте представим теперь эту точку как один из концов вектора, причем все векторы будут стартовать в начале системы координат. Теперь вместо взаимного расположения точек и расстояний между ними мы можем использовать направление на объекты.
Представим себе, что перед нами экран радара, показывающего перемещения наших и чужих объектов: наши – с одной стороны, чужие – с другой. И те, и другие стараются перемещаться группами. В такой ситуации направление на объект становится более важным, чем расстояние до объекта.
Примерно так же направление становится более важным в пространстве с большим количеством признаков. Объекты, относящиеся к разным классам, обладают различными наборами признаков. Как следствие, для нас становится более важным, с какой стороны появились эти объекты, чем расстояние до них. Если количество параметров становится большим, само наличие или отсутствие значения по данному параметру может стать шумом.
В такой ситуации переходят к косинусной мере сходства. Не вдаваясь в подробности, определим ее как косинус угла между векторами, построенными на основе соответствующих объектов (см. рис. 2). Значения косинусной меры меняются от нуля до единицы.
Если два объекта находятся на одной прямой, проходящей между началом координат, эти объекты считаются одинаковыми (расстояние равно нулю). Подобная ситуация соответствует уже описанному потреблению в городах: если потребление продуктов в первом городе во столько же раз больше, чем во втором, во сколько население первого превосходит население второго, то их векторы будут направлены по одной прямой.
На практике соотношение вряд ли будет выполняться очень точно, однако все объекты будут указывать в одну и ту же сторону. Если два объекта максимально непохожи друг на друга (их векторы перпендикулярны), расстояние между ними будет равно единице.
Пытливый читатель может возразить, что опытный исследователь быстро придет к тому, что вместо построения векторов в двумерном пространстве (потребление, размер населения) можно перейти к одному измерению (потребление на душу населения). Но что делать, если у нас имеются десятки тысяч параметров, а в числителе и знаменателе стоят не отдельные параметры, а их комбинации? Применение косинусной меры позволяет нам в такой ситуации положиться на то, что векторы сами укажут на подобное соотношение. Даже если на практике оно не имеет формально описываемого смысла.
Но приведенные рассуждения наталкивают нас на еще одну мысль. А что если вместо привычной декартовой системы координат (привычной карты, см. рис. 3А) нам перейти к полярной (экран радара, показывающий угол на цель и дистанцию до нее, см. рис. 3В)? Особенно удобна такая ситуация в случаях, когда свои находятся близко, а чужие далеко. Тогда вместо того, чтобы пытаться описать несколько областей на плоскости, мы можем сказать, что вне зависимости от угла все, кто расположен на расстоянии меньше заданного, – свои, а все остальные – чужие (причем чужих можно различать в зависимости от угла на них).
Хлопотная и сложная задача становится простой после некоторого трюка – преобразования системы координат. Подобные преобразования могут проводиться по-разному, но общий смысл их примерно одинаков – мы пытаемся посмотреть на пространство по-другому и поменять систему координат. Правда, не все преобразования так же очевидны, как полярная система координат, поэтому мы не будем их сейчас рассматривать, а перейдем к следующей мере, определяющей сходство объектов.
Одним из вариантов преобразования пространства является сокращение его размерности с помощью таких методов, как метод главных компонент, эластичные карты или t-SNE.
Данные методы позволяют выделить комбинацию из нескольких главных параметров (в случае метода главных компонент) и представить точки в этом новом пространстве. Или попытаться натянуть на точки гибкий коврик и посмотреть, как они там расположатся (в случае метода эластичных карт). Или попытаться «вжать» точки в плоскость (как поступает метод t-SNE). В этом новом пространстве расположение точек может оказаться более удобным, чем в исходном многомерном.
Иногда нам гораздо важнее, что координаты объектов ведут себя сходным образом. Часть параметров принимает относительно небольшие значения, часть, наоборот, стремится вверх. Подобное поведение описывается с помощью корреляции, вычисляемой на двух последовательностях чисел.
Корреляция принимает значения от –1 до +1. Значение +1 говорит о том, что одна последовательность полностью повторяет поведение другой. Так, например, стоимость офисов в одном районе обычно коррелирует с их площадью, то есть увеличение площади влечет за собой рост цены и наоборот.
Корреляция, равная –1, означает противоположное поведение (рост загрязненности воздуха приводит к падению цены). Корреляция, равная нулю, означает полную независимость параметров (светимость Алголя от фаз Луны).
Примеры различных функций и их корреляций приведены на рис. 4. На практике корреляция ниже 0,8 означают очень невысокую зависимость параметров. Существует несколько вариантов вычисления корреляции, но обычно используется формула Пирсона.
Рисунок 4. Значение корреляции для различных функций (изображение взято с сайта ru.wikipedia.org)
Если вернуться к нашему примеру с арендой офиса, то с помощью корреляции можно будет, например, выделить три группы офисов.
В первой расстояние до складов будет невысоким и цена офиса также будет невысока, то есть офисы будут расположены недалеко от складов на окраине города. В нее же войдут офисы, расположенные далеко от складов, и дорогие, то есть расположенные ближе к центру. Эти две группы объединятся, так как и там, и там цены и расстояние находятся на одном уровне полезности.
Вторую группу составят недорогие офисы, расположенные далеко от складов, то есть на другом конце города или еще дальше от центра, чем склады.
Наконец, в третью группу попадут склады, расположенные недалеко от офиса, но дорогие (арендаторы зачем-то решили поднять цены?). И если первая группа имеет для нас какую-то ценность, то зачем смотреть на последние две?
На практике все может пойти не так. Использование различных мер сходства подобно расстановке запятых в фразе «Садись в ногах правды нет». Запятые после первого и третьего слов имеют очень разный смысл и приводят к различным результатам. Но как говорится: «Любой бой, который мы выиграли, является честным». Нам ведь нужно принять правильное решение и обосновать его. Здесь любая мера определения расстояния может быть одинаково ценна, особенно если заранее неизвестно, какая из них правильная.
Перед нами есть карта, и мы меряем расстояния по ней. Но фактически надо смотреть на подписи к карте, говорящие, что путь туда не равен пути оттуда. Если бы у нас был тоннель, мы могли бы смело аппроксимировать ситуацию по формуле Евклида. Но на самом деле придется идти через горы и овраги, поэтому больше подойдет манхеттенское расстояние или расстояние Чебышева (потому что 100 метров вверх – это много больше, чем 100 метров вперед).
В данной статье мы не рассмотрели более экзотические, но от этого не менее полезные расстояния Махаланобиса, Хэмминга, Дайса и французских железных дорог. Но ведь нашей задачей не было вот так сразу раскрыть все секреты, правда? Нам нужно было узнать, что расстояния могут измеряться по-разному, в зависимости от того, какая нам попалась задача. бит
Модуль 2.
Лекция 17. Функция нескольких переменных
Раздел 17.1. n-мерное пространство
1. Многомерные пространства
2. Понятие расстояния (метрики). Метрическое пространство
3. Принципы кластерного анализа
Раздел 17.2 Функция нескольких переменных
1. Функция нескольких переменных
2. Частные производные
3. Двойной интеграл
4. Полярные координаты и интеграл Эйлера-Пуассона
Программные положения
В лекции рассматриваются вопросы, связанные с пространствами размерности больше двух: введение понятия расстояния, использования расстояния в кластерном анализе, функция нескольких (в нашем случае – двух) переменных, характеристика ее с помощью частных производных, а также вычисления площади и объема. Понятия функции двух переменных и двойного интеграла понадобятся нам при изучении случайных векторов в теории вероятностей. Завершается материал лекции вычислением интеграла Эйлера-Пуассона – одного из основных в теории вероятностей (неопределенный интеграл от функции Гаусса относится к неберущимся, а в случае наличия пределов интегрирования для вычисления подобных интегралов требуется применение неочевидных методов, один из которых и приводится здесь).
Перед изучением материала лекции повторите определение функции, производной, интеграла.
Литература
Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев «Краткий курс высшей математики» Глава ХХ (§1, 2.3,10), Глава XXIV (§1, 2,3,4,7)
Вопросы для самоконтроля
1. Какое пространство называется n-мерным?
2. Каким условиям должно удовлетворять расстояние?
3. Какое пространство называется метрическим?
4. Для чего используется кластерный анализ?
5. Что представляет собой график функции 2 переменных? Что такое линии уровня?
6. Что такое частная производная?
7. Дайте определение двойного интеграла. Как с его помощью вычислить площадь и объем?
8. Найдите расстояние между точками А(1,2,3) и В(5,1,0) (используя разные расстояния)
9.Найти линии уровня функций
z = x + y.
10. Найти частные производные функции 
11.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
12. Вычислить
Раздел 17.1. Понятие многомерного пространства
Определение 17.1.1 . n-мерного пространства.
Если на плоскости R2 фиксирована прямоугольная система координат, то между точками плоскости и всевозможными парами чисел (х, у) (х и у - координаты точек) существует взаимно однозначное соответствие. Если в пространстве задана аналогичная система координат, то между точками пространства и их координатами - всевозможными тройками (x,y,z) - также существует взаимно однозначное соответствие.
Расстояние (метрика). Метрическое пространство
Определение 17.1.2
Метрическое пространство (M ,d ) есть множество точек М, на квадрате которого (то есть для любой пары точек из М) задана функция расстояния (метрика) . Она определяется следующим образом:
Для любых точек x , y , z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:
Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .
Наиболее привычным для нас является евклидово расстояние. Однако, это далеко не единственный способ его задания. Например, будет удовлетворять вышеупомянутым аксиомам такое расстояние: d(x,y) = 1 , если x ≠ y и d(x,y) = 0 , если x = y.
В зависимости от конкретных нужд или свойств пространства можно рассматривать различные метрики.
Рассмотрим несколько примеров расстояний:
Определения 17.1.3.
Евклидово расстояние. Это, по-видимому, наиболее общий тип расстояния. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:
d(x,y) = { i (x i - y i) 2 } 1/2
Заметим, что евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным. Это обычный способ его вычисления, который имеет определенные преимущества (например, расстояние между двумя объектами не изменяется при введении в анализ нового объекта, который может оказаться выбросом). Тем не менее, на расстояния могут сильно влиять различия между осями, по координатам которых вычисляются эти расстояния. К примеру, если одна из осей измерена в сантиметрах, а вы потом переведете ее в миллиметры (умножая значения на 10), то окончательное евклидово расстояние (или квадрат евклидова расстояния), вычисляемое по координатам, сильно изменится, и, как следствие, результаты кластерного анализа могут сильно отличаться от предыдущих.
Квадрат евклидова расстояния. Стандартное евклидово расстояние возводят в квадрат, чтобы придать большие веса более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние вычисляется следующим образом (к нему также относится замечание о влиянии единиц измерения из предыдущего пункта):
d(x,y) = i (x i - y i) 2
Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является просто средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Манхэттенское расстояние вычисляется по формуле:
d(x,y) = i |x i - y i |
Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:
d(x,y) = max |x i - y i |
(max означает максимум – наибольшее из всех значений модулей разностей)
Степенное расстояние. Иногда желают прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Это может быть достигнуто с использованием степенного расстояния . Степенное расстояние вычисляется по формуле:
d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r
где r и p - параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как "работает" эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра - r и p , равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида.
1.1.5. Данные и расстояния в пространствах произвольной природы
Как показано выше, исходные статистические данные могут иметь разнообразную математическую природу, являться элементами разнообразных пространств – конечномерных, функциональных, бинарных отношений, множеств, нечетких множеств и т.д. Следовательно, центральной частью прикладной статистики является статистика в пространствах произвольной природы. Эта область прикладной статистики сама по себе не используется при анализе конкретных данных. Это очевидно, поскольку конкретные данные всегда имеют вполне определенную природу. Однако общие подходы, методы, результаты статистики в пространствах произвольной природы представляют собой научный инструментарий, готовый для использования в каждой конкретной области.
Статистика в пространствах произвольной природы. Много ли общего у статистических методов анализа данных различной природы? На этот естественный вопрос можно сразу же однозначно ответить – да, очень много. Такой ответ будет постоянно подтверждаться и конкретизироваться на протяжении всего учебника. Несколько примеров приведем сразу же.
Прежде всего отметим, что понятия случайного события, вероятности, независимости событий и случайных величин являются общими для любых конечных вероятностных пространств и любых конечных областей значений случайных величин (см. главы 1.2 и 2.1). Поскольку все реальные явления и процессы описываются с помощью математических объектов из конечных множеств, сказанное выше означает, что конечных вероятностных пространств и дискретных случайных величин (точнее, величин, принимающих значения в конечном множестве) достаточно для всех практических применений. Переход к непрерывным моделям реальных явлений и процессов оправдан только тогда, когда этот переход облегчает проведение рассуждений и выкладок. Например, находить определенные интегралы зачастую проще, чем вычислять значения сумм. Не могу не отметить, что приведенные соображения о взаимосоотнесении дискретных и непрерывных математических моделей автор услышал более 30 лет назад от академика А.Н.Колмогорова (ясно, что за конкретную формулировку несет ответственность автор настоящего учебника).
Основные проблемы прикладной статистики – описание данных, оценивание, проверка гипотез – также в своей существенной части могут быть рассмотрены в рамках статистики в пространствах произвольной природы. Например, для описания данных могут быть использованы эмпирические и теоретические средние, плотности вероятностей и их непараметрические оценки, регрессионные зависимости. Правда, для этого пространства произвольной природы должны быть снабжены соответствующим математическим инструментарием – расстояниями (показателями близости, мерами различия) между элементами рассматриваемых пространств.
Популярный в настоящее время метод оценивания параметров распределений – метод максимального правдоподобия – не накладывает каких-либо ограничений на конкретный вид элементов выборки. Они могут лежать в пространстве произвольной природы. Математические условия касаются только свойств плотностей вероятности и их производных по параметрам. Аналогично положение с методом одношаговых оценок, идущим на смену методу максимального правдоподобия (см. главу 2.2). Асимптотику решений экстремальных статистических задач достаточно изучить для пространств произвольной природы, а затем применять в каждом конкретном случае , когда задачу прикладной статистики удается представить в оптимизационном виде. Общая теория проверки статистических гипотез также не требует конкретизации математической природы рассматриваемых элементов выборок. Это относится, например, к лемме Неймана-Пирсона или теории статистических решений. Более того, естественная область построения теории статистик интегрального типа – это пространства произвольной природы (см. главу 2.3).
Совершенно ясно, что в конкретных областях прикладной статистики накоплено большое число результатов, относящимся именно к этим областям. Особенно это касается областей, исследования в которых ведутся сотни лет, в частности, статистики случайных величин (одномерной статистики). Однако принципиально важно указать на «ядро» прикладной статистики – статистику в пространствах произвольной природы. Если постоянно «держать в уме» это ядро, то становится ясно, что, например, многие методы непараметрической оценки плотности вероятности или кластер-анализа, использующие только расстояния между объектами и элементами выборки, относятся именно к статистике объектов произвольной природы, а не к статистике случайных величин или многомерному статистическому анализу. Следовательно, и применяться они могут во всех областях прикладной статистики, а не только в тех, в которых «родились».
Расстояния (метрики). В пространствах произвольной природы нет операции сложения, поэтому статистические процедуры не могут быть основаны на использовании сумм. Поэтому используется другой математический инструментарий, использующий понятия типа расстояния.
Как известно, расстоянием в пространстве Х называется числовая функция двух переменных d (x , y ), x є X , y є X , определенная на этом пространстве, т.е. в стандартных обозначениях d : X 2 → R 1 , где R 1 – прямая, т.е. множество всех действительных чисел. Эта функция должна удовлетворять трем условиям (иногда их называют аксиомами):
1) неотрицательности: d (x ,y ) > 0, причем d (x ,x ) = 0, для любых значений x є X , y є X ;
2) симметричности: d (x ,y ) = d (y ,x ) для любых x є X , y є X ;
3) неравенства треугольника: d (x ,y ) + d (y,z ) > d (x ,z ) для любых значений x є X , y є X , z є X.
Для термина «расстояние» часто используется синоним – «метрика».
Пример 1. Если d (x ,x ) = 0 и d (x ,y ) = 1 при x ≠ y для любых значений x є X , y є X , то, как легко проверить, функция d (x ,y ) – расстояние (метрика). Такое расстояние естественно использовать в пространстве Х значений номинального признака: если два значения (например, названные двумя экспертами) совпадают, то расстояние равно 0, а если различны – то 1.
Пример 2. Расстояние, используемое в геометрии, очевидно, удовлетворяет трем приведенным выше аксиомам. Если Х – это плоскость, а х (1) и х (2) – координаты точки x є X в некоторой прямоугольной системе координат, то эту точку естественно отождествить с двумерным вектором (х (1), х (2)). Тогда расстояние между точками х = (х (1), х (2)) и у = (у (1), у (2)) согласно известной формуле аналитической геометрии равно
Пример 3 . Евклидовым расстоянием в пространстве R k векторов вида x = (x (1), x (2), …, x (k)) и y = (y (1), y (2), …, y (k )) размерности k называется
В примере 2 рассмотрен частный случай примера 3 с k = 2.
Пример 4. В пространстве R k векторов размерности k используют также так называемое «блочное расстояние», имеющее вид
Блочное расстояние соответствует передвижению по городу, разбитому на кварталы горизонтальными и вертикальными улицами. В результате можно передвигаться только параллельно одной из осей координат.
Пример 5. В пространстве функций, элементами которого являются функции х = x (t ), у = y (t ), 0< t < 1, часто используют расстояние Колмогорова
Пример 6. Пространство функций, элементами которого являются функции х = x (t ), у = y (t ), 0< t < 1, превращают в метрическое пространство (т.е. в пространство с метрикой), вводя расстояние
Это пространство обычно обозначают L p , где параметр p > 1 (при p < 1 не выполняются аксиомы метрического пространства, в частности, аксиома треугольника).
Пример 7. Рассмотрим пространство квадратных матриц порядка k . Как ввести расстояние между матрицами А = ||a (i ,j )|| и B = ||b (i ,j )||? Можно сложить расстояния между соответствующими элементами матриц:
Пример 8. Предыдущий пример наводит на мысль о следующем полезном свойстве расстояний. Если на некотором пространстве определены два или больше расстояний, то их сумма – также расстояние.
Пример 9 . Пусть А и В – множества. Расстояние между множествами можно определить формулой
Здесь μ – мера на рассматриваемом пространстве множеств, Δ – символ симметрической разности множеств,
Если мера – так называемая считающая, т.е. приписывающая единичный вес каждому элементу множества, то введенное расстояние есть число несовпадающих элементов в множествах А и В .
Пример 10. Между множествами можно ввести и другое расстояние:
В ряде задач прикладной статистики используются функции двух переменных, для которых выполнены не все три аксиомы расстояния, а только некоторые. Их обычно называют показателями различия, поскольку чем больше различаются объекты, тем больше значение функции. Иногда в том же смысле используют термин «мера близости». Он менее удачен, поскольку большее значение функции соответствует меньшей близости.
Чаще всего отказываются от аксиомы, требующей выполнения неравенства треугольника, поскольку это требование не всегда находит обоснование в конкретной прикладной ситуации.
Пример 11. В конечномерном векторном пространстве показателем различия является
(сравните с примером 3).
Показателями различия, но не расстояниями являются такие популярные в прикладной статистике показатели, как дисперсия или средний квадрат ошибки при оценивании.
Иногда отказываются также и от аксиомы симметричности.
Пример 12. Показателем различия чисел х и у является
Такой показатель различия используют в ряде процедур экспертного оценивания.
Что же касается первой аксиомы расстояния, то в различных постановках прикладной статистики ее обычно принимают. Вполне естественно, что наименьший показатель различия должен достигаться, причем именно на совпадающих объектах. Имеет ли смысл это наименьшее значение делать отличным от 0? Вряд ли, поскольку всегда можно добавить одну и ту же константу ко всем значениям показателя различия и тем самым добиться выполнения первой аксиомы.
В прикладной статистике используются самые разные расстояния и показатели различия, о них пойдет речь в соответствующих разделах учебника.
| Предыдущая |
Загрузка...
