Что является характеристикой нечеткого множества. Нечеткие множества и их особенности

Лекция 4. Моделирование и принятие решений в ГИС.

1. Нечеткие множества

2. Методы оптимизации

Нечеткие множества

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важных задач развития ГИС, особенно по применению их в различных сферах управления.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад про- ром Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде. Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, №8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятиемножества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0,1)), а не как в классической теории только значения 0 либо 1. Такие множества были названынечеткими(fuzzy).

Им были также определены операции над нечеткими множествами и предложены обобщения известных методов логического вывода.

Рассмотрим некоторые основные положения теории нечетких множеств.

Пусть Е - универсальное множество, х - элементЕ, аК - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножествоА универсального множестваЕ, элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция , принимающая значение 1 , если х удов­летворяет свойству R , и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да - нет» относительно свойства R . В связи с этим не­четкое подмножество А универсального множестваЕ определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А . Множество М назы­вают множеством принадлежностей . Если М = {0,1} , то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М .

Величина называется высотой нечеткого множества А . Нечеткое множество А нормально , если его высота равна 1 , т. е. верхняя граница его функ­ции принадлежности равна 1 ( =1 ). При < 1 нечеткое множест­во называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто , если Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, дав­ление, температура и т. д., или когда выделяются полярные значения.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности использу­ются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые опре­деляется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попар­ных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например то попарные сравнения можно представить мат­рицей отношений , где (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, =1/ , т. е. если один элемент оценивается в а раз выше чем другой, то этот последний должен быть в 1/ раз сильнее. В общем случае задача сводится к поиску вектора , удовлетворяющего уравнению вида , где - наибольшее собственное значение матрицы А .

Введение понятия лингвистической переменной, и допущение, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Поскольку матрица А положительно-определенная по построению, решение данной задачи существует при принятом значении () и является положительным. С(Т), где С(Т) - множество сгенерированных термов, называется расширен­ным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значе­ние лингвистической переменной, образуемое процедурой С, в нечеткую перемен­ную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Введя понятие лингвистической переменной и допуская, что в качестве ее зна­чений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Нечеткое множество - ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ-сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) —характеристическая функция, принимающая значе-ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль-ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) , принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы-вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть Е = {x 1 , x 2 , х з, x 4 , x 5 }, М = ; А — нечеткое множество, для которого μ A (x 1 )= 0,3; μ A (х 2 )= 0; μ A (х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A (х 5 )= 0,9.

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 },

или

А ={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

или

Замечание . Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = и А — нечеткое множество с элементами из универсаль-ного множества Е и множеством принадлежностей М.

Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав-на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (= 1). При < 1нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μ A (x ) = 0. Непу-стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Нечеткое множество унимодально, если μ A (x ) = 1 только на одном х из Е.

. Носителем нечеткого множества А является обычное под-множество со свойством μ A (x )>0, т.е. носитель А = {x /x ϵ E, μ A (x )>0}.

Элементы x ϵ E , для которых μ A (x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = . Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода — {3, 8}.

2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n ,… }. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

3. Пусть Е = {1, 2, 3, . . ., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е" = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции при-надлежности μ Молодой (x ) на Е = {1, 2, 3, . . ., 100} (возраст), называемой по отношению к Е" функцией совместимости, при этом:

где х — возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… } - множе-ство марок автомобилей, а Е" = — универсальное множество «Сто-имость», тогда на Е" мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при-надлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е" нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни-версальном множестве Е = { ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...}, выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е — множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

О методах построения функций принадлежности нечет-ких множеств

В приведенных выше примерах использованы пря-мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μ А (х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис-пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде-лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка-лы, задает μ A (х) ϵ , формируя векторную функцию принад-лежности { μ A (х 1 ) , μ A (х 2 ),…, μ A (х 9) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет-ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че-ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ лысый (данного лица). (В этом примере можно действо-вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принад-лежности используются в случаях, когда нет элементарных из-меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне-ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из-вестны, например, μ A (х- i ) = ω i , i = 1, 2, ..., n ,то попарные срав-нения можно представить матрицей отношений А = { a ij }, где a ij = ω i / ω j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом пред-полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен-тов симметричных относительно диагонали a ij = 1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по-следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw = λ max w , где λ max — наибольшее собствен-ное значение матрицы А . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло-жительным.

Можно отметить еще два подхода:

• использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа - см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
• использование относительных частот по данным экспе-римента в качестве значений принадлежности.

При помощи нечетких множеств можно формально определить неточные и многозначные понятия, такие как «высокая температура», «молодой человек», «средний рост» либо «большой город». Перед формулированием определения нечеткого множества необходимо задать так называемую область рассуждений (universe of discourse). В случае неоднозначного понятия «много денег» большой будет признаваться одна сумма, если мы ограничимся диапазоном и совсем другая - в диапазоне . Область рассуждений, называемая в дальнейшем пространством или множеством, будет чаще всего обозначаться символом . Необходимо помнить, что - четкое множество.

Определение 3.1

Нечетким множеством в некотором (непустом) пространстве , что обозначается как , называется множество пар

, (3.1)

Функция принадлежности нечеткого множества . Эта функция приписывает каждому элементу степень его принадлежности к нечеткому множеству , при этом можно выделить три случая:

1) означает полную принадлежность элемента к нечеткому множеству , т.е. ;

2) означает отсутствие принадлежности элемента к нечеткому множеству , т.е.;

3) означает частичную принадлежность элемента к нечеткому множеству .

В литературе применяется символьное описание нечетких множеств. Если - это пространство с конечным количеством элементов, т.е. , то нечеткое множество записывается в виде

Приведенная запись имеет символьный характер. Знак «–» не означает деления, а означает приписывание конкретным элементам степеней принадлежности . Другими словами, запись

означает пару

Точно также знак «+» в выражении (3.3) не означает операцию сложения, а интерпретируется как множественное суммирование элементов (3.5). Следует отметить, что подобным образом можно записывать и четкие множества. Например, множество школьных оценок можно символически представить как

, (3.6)

что равнозначно записи

Если - это пространство с бесконечным количеством элементов, то нечеткое множество символически записывается в виде

. (3.8)

Пример 3.1

Допустим, что - множество натуральных чисел. Определим понятие множества натуральных чисел, «близких числу 7». Это можно сделать определением следующего нечеткого множества :

Пример 3.2

Если , где - множество действительных чисел, то множество действительных чисел, «близких числу 7», можно определить функцией принадлежности вида

. (3.10)

Поэтому нечеткое множество действительных чисел, «близких числу 7», описывается выражением

. (3.11)

Замечание 3.1

Нечеткие множества натуральных или действительных чисел, «близких числу 7», можно записать различными способами. Например, функцию принадлежности (3.10) можно заменить выражением

(3.12)

На рис. 3.1а и 3.1б представлены две функции принадлежности нечеткого множества действительных чисел, «близких числу 7».

Рис. 3.1. Иллюстрация к примеру 3.2: функции принадлежности нечеткого множества действительных чисел, «близких числу 7».

Пример 3.3

Формализуем неточное определение «подходящая температура для купания в Балтийском море». Зададим область рассуждений в виде множества . Отдыхающий I, лучше всего чувствующий себя при температуре 21°, определил бы для себя нечеткое множество

Отдыхающий II, предпочитающий температуру 20°, предложил бы другое определение этого множества:

С помощью нечетких множеств и мы формализовали неточное определение понятия «подходящая температура для купания в Балтийском море». В некоторых приложениях используются стандартные формы функций принадлежности. Конкретизируем эти функции и рассмотрим их графические интерпретации.

1. Функция принадлежности класса (рис. 3.2) определяется как

(3.15)

где . Функция принадлежности, относящаяся к этому классу, имеет графическое представление (рис. 3.2), напоминающее букву «», причем ее форма зависит от подбора параметров , и . В точке функция принадлежности класса принимает значение, равное 0,5.

2. Функция принадлежности класса (рис. 3.3) определяется через функцию принадлежности класса :

(3.16)

Рис. 3.2. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.3. Функция принадлежности класса .

Функция принадлежности класса принимает нулевые значения для и . В точках ее значение равно 0,5.

3. Функция принадлежности класса (рис. 3.4) задается выражением

(3.17)

Читатель с легкостью заметит аналогию между формами функций принадлежности классов и .

4. Функция принадлежности класса (рис. 3.5) определяется в виде

(3.18)

Рис. 3.4. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.5. Функция принадлежности класса .

В некоторых приложениях функция принадлежности класса может быть альтернативной по отношению к функции класса .

5. Функция принадлежности класса (рис. 3.6) определяется выражением

(3.19)

Пример 3.4

Рассмотрим три неточных формулировки:

1) «малая скорость автомобиля»;

2) «средняя скорость автомобиля»;

3) «большая скорость автомобиля».

В качестве области рассуждений примем диапазон , где - это максимальная скорость. На рис. 3.7 представлены нечеткие множества , и , соответствующие приведенным формулировкам. Обратим внимание, что функция принадлежности множества имеет тип , множества - тип , а множества - тип . В фиксированной точке км/час функция принадлежности нечеткого множества «малая скорость автомобиля» принимает значение 0,5, т.е. . Такое же значение принимает функция принадлежности нечеткого множества «средняя скорость автомобиля», т.е. , тогда как .

Пример 3.5

На рис. 3.8 показана функция принадлежности нечеткого множества «большие деньги». Это функция класса , причем , , .

Рис. 3.6. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.7. Иллюстрация к примеру 3.4: функции принадлежности нечетких множеств «малая» , «средняя» , «большая» скорость автомобиля.

Рис. 3.8. Иллюстрация к примеру 3.5: Функция принадлежности нечеткого множества «большие деньги».

Следовательно, суммы, превышающие 10000 руб, можно совершенно определенно считать «большими», поскольку значения функции принадлежности при этом становятся равными 1. Суммы, меньшие чем 1000 руб, не относятся к «большим», так как соответствующие им значения функции принадлежности равны 0. Конечно, такое определение нечеткого множества «большие деньги» имеет субъективный характер. Читатель может иметь собственное представление о неоднозначном понятии «большие деньги». Это представление будет отражаться иными значениями параметров и функции класса .

Определение 3.2

Множество элементов пространства , для которых , называется носителем нечеткого множества и обозначается (support). Формальная его запись имеет вид

. (3.20)

Определение 3.3

Высота нечеткого множества обозначается и определяется как

. (3.21)

Пример 3.6

Если и

, (3.22)

то .

, (3.23)

Определение 3.4

Нечеткое множество называется нормальным тогда и только тогда, когда . Если нечеткое множество не является нормальным, то его можно нормализовать при помощи преобразования

, (3.24)

где - высота этого множества.

Пример 3.7

Нечеткое множество

(3.25)

после нормализации принимает вид

. (3.26)

Определение 3.5

Нечеткое множество называется пустым и обозначается тогда и только тогда, когда для каждого .

Определение 3.6

Нечеткое множество содержится в нечетком множестве , что записывается как , тогда и только тогда, когда

(3.27)

для каждого .

Пример включения (содержания) нечеткого множества в нечетком множестве иллюстрируется на рис. 3.9. В литературе встречается также понятие степени включения нечетких множеств. Степень включения нечеткого множества в нечеткое множество на рис. 3.9 равна 1 (полное включение). Нечеткие множества, представленные на рис. 3.10, не удовлетворяют зависимости (3.27), следовательно, включение в смысле определения (3.6) отсутствует. Однако нечеткое множество содержится в нечетком множестве в степени

, (3.28)

, выполняется условие

Рис. 3.12. Нечеткое выпуклое множество.

Рис. 3.13. Нечеткое вогнутое множество.

Рис. 3.13 иллюстрирует нечеткое вогнутое множество. Легко проверить, что нечеткое множество является выпуклым (вогнутым) тогда и только тогда, когда являются выпуклыми (вогнутыми) все его -разрезы.

Аннотация: В лекции представлены методы моделирования экономических задач с использованием нечетких множеств в среде Mathcad. Введены основные понятия теории нечетких множеств. На примерах показаны операции над множествами, расчет свойств. Рассмотрены оригинальные задачи, в которых применен нечетко-множественный подход в процессе принятия решения. Техника моделирования реализована с помощью матриц программы Mathcad.

Цель лекции. Познакомить с нечеткими множествами. Научить ставить задачу для построения нечетко-множественной модели. Показать, как строить нечеткие множества и производить действия над ними в Mathcad. Представить методы решения нечетко-множественной модели в процессе решения задач.

6.1 Нечетко-множественное моделирование

При моделировании широкого класса реальных объектов возникают необходимость принимать решения в условиях неполной нечеткой информации. Современным перспективным направлением моделирования различного вида неопределенностей является теория нечетких множеств. В рамках теории нечетких множеств разработаны методы формализации и моделирования рассуждений человека, таких понятий как "более или менее высокий уровень инфляции", "устойчивое положение на рынке", "более ценный" и т.д.

Впервые понятие нечетких множеств предложил американский ученый Л.А.Заде (1965 г). Его идеи послужили развитию нечеткой логики. В отличие от стандартной логики с двумя бинарными состояниями (1/0, Да/Нет, Истина/Ложь), нечеткая логика позволяет определять промежуточные значения между стандартными оценками. Примерами таких оценок являются: "скорее да, чем нет", "наверное да", "немного вправо", "резко влево" в отличие от стандартных: "вправо" или "влево", "да". В теории нечетких множеств введены нечеткие числа как нечеткие подмножества специализированного вида, соответствующих высказываниям типа " значение переменной примерно равно а". В качестве примера рассмотрим треугольное нечеткое число , где выделяются три точки: минимально возможное, наиболее ожидаемое и максимально возможное значение фактора. Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем, чаще всего их используют в качестве прогнозных значений параметра. Например, ожидаемое значение инфляции на следующий год. Пусть наиболее вероятное значение – 10%, минимально возможное – 5%, а максимально возможное – 20%, тогда все эти значения могут быть сведены к виду нечеткого подмножества или нечеткого числа A: А: (5, 10, 20)

С введением нечетких чисел оказалось возможным прогнозировать будущие значения параметров, которые меняются в установленном расчетном диапазоне. Вводится набор операций над нечеткими числами, которые сводятся к алгебраическим операциям с обычными числами при задании определенного интервала достоверности (уровня принадлежности). Применение нечетких чисел позволяет задавать расчетный коридор значений прогнозируемых параметров. Тогда ожидаемый эффект оценивается экспертом также как нечеткое число со своим расчетным разбросом (степенью нечеткости).

Нечеткая логика , как модель человеческих мыслительных процессов, встроена в системы искусственного интеллекта и в автоматизированные средства поддержки принятия решений (в частности, в системы управления технологическими процессами).

6.2 Основные понятия теории нечетких множеств

Множество - неопределяемое понятие математики. Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, чьи работы лежат в основе современной теории множеств, дает такое понятие: "…множество - это многое, мыслимое как единое".

Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством. Универсальное множество принято обозначать буквой . Универсальное множество является максимальным множеством в том смысле, что все объекты являются его элементами, т.е. утверждение в рамках задачи всегда истинно. Минимальным множеством является пустое множество – , которое не содержит ни одного элемента. Все остальные множества в рассматриваемой задаче являются подмножествами множества . Напомним, что множество называют подмножеством множества , если все элементы являются также элементами . Задание множества - это правило, позволяющее относительно любого элемента универсального множества однозначно установить, принадлежит множеству или не принадлежит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое из двух высказываний, или , является истинным, а какое ложным. Одним из способов задания множеств является задание с помощью характеристической функции.

Характеристической функцией множества называют функцию , заданную на универсальном множестве и принимающую значение единица на тех элементах множества , которые принадлежат , и значение нуль на тех элементах, которые не принадлежат :

(6.1)

В качестве примера рассмотрим универсальное множество и два его подмножества: - множество чисел, меньших 7, и - множество чисел, немного меньших 7. Характеристическая функция множества имеет вид

(6.2)

Множество в данном примере является обычным множеством.

Записать характеристическую функцию множества , используя лишь 0 и 1, невозможно. Например, включать ли в числа 1 и 2? "намного" или "ненамного" число 3 меньше 7? Ответы на эти и подобные им вопросы могут быть получены в зависимости от условий задачи, в которой используются множества и , а также от субъективного взгляда того, кто решает эту задачу. Множество называется нечетким множеством. При составлении характеристической функции нечеткого множества решающий задачу (эксперт) может высказать свое мнение относительно того, в какой степени каждое из чисел множества принадлежит множеству . В качестве степени принадлежности можно выбрать любое число с отрезка . При этом означает полную уверенность эксперта в том, что - столь же полную уверенность, что говорит о том, что эксперт затрудняется в ответе на вопрос, принадлежит ли множеству или не принадлежит. Если , то эксперт склонен отнести к множеству , если же , то не склонен.

Функцией принадлежности нечеткого множества называют функцию , которая

Такую функцию называют функцией принадлежности нечеткому множеству . - Максимальное значение функции принадлежности , присутствующее в множестве - верхняя грань - называется супремум. Функция принадлежности отражает субъективный взгляд специалиста на задачу, вносит индивидуальность в ее решение.

Характеристическую функцию обычного множества можно рассматривать как функцию принадлежности этому множеству, но в отличие от нечеткого множества , принимает лишь два значения: 0 или 1.

Нечетким множеством называют пару , где - универсальное множество , - функция принадлежности нечеткого множества .

Несущим множеством или носителем нечеткого множества называют подмножество множества , состоящее из элементов, на которых .

Точкой перехода нечеткого множества называют элемент множества , на котором .

В рассматриваемом примере, где , - множество чисел, меньших 7, - множество чисел, немного меньших 7, субъективно выбираем значения для множества , которые будут составлять функцию принадлежности . В таблице 6.1 представлены функции принадлежности и для и .

Часто используется более компактная запись конечных или счетных нечетких множеств. Так, вместо приведенного выше табличного представления подмножеств и , эти подмножества можно записать следующим образом.