Поверхностная плотность заряда на металлическом шаре. Поверхностная плотность заряда Земли. Геометрическое описание электрического поля. Поток вектора напряжённости

1.2.Понятие о плотности заряда

Для упрощения математических расчетов электростатических полей часто пренебрегают дискретной структурой зарядов. Считают, что заряд распределен непрерывно и вводят понятие о плотности заряда.

Рассмотрим различные случаи распределения зарядов.

1.Заряд распределен вдоль линии. Пусть на бесконечно малом участке находится заряд
. Введем величину

. (1.5)

Величина называется линейной плотностью заряда. Ее физический смысл – заряд, приходящийся на единицу длины.

2.Заряд распределен по поверхности. Введем поверхностную плотность заряда:

. (1.6)

Её физический смысл – заряд, приходящийся на единицу площади.

3.Заряд распределен по объёму. Введем объёмную плотность заряда:

. (1.7)

Её физический смысл – заряд, сосредоточенный в единице объёма.

Заряд, сосредоточенный на бесконечно малом участке линии, поверхности или в бесконечно малом объёме можно считать точечным. Напряжённость поля, создаваемого им, определится формулой:

. (1.8)

Для нахождения напряжённости поля, создаваемого всем заряженным телом, нужно применить принцип суперпозиции полей:

. (1.9)

В этом случае, как правило, задача сводится к вычислению интеграла.

1.3.Применение принципа суперпозиции к расчету электростатических полей. Электростатическое поле на оси заряженного кольца

Постановка задачи . Пусть имеется тонкое кольцо радиуса R, заряженное с линейной плотностью заряда τ . Необходимо рассчитать напряжённость электрического поля в произвольной точке А , расположенной на оси заряженного кольца на расстоянии x от плоскости кольца (рис.).

Выберем бесконечно малый элемент длины кольца dl ; заряд dq , находящийся на этом элементе равен dq = τ· dl . Этот заряд создает в точке А электрическое поле напряжённостью
. Модуль вектора напряжённости равен:

. (1.10)

По принципу суперпозиции полей напряжённость электрического поля, создаваемого всем заряженным телом, равна векторной сумме всех векторов
:

. (1.11)

Разложим вектора
на составляющие: перпендикулярные оси кольца (
) и параллельные оси кольца (
).

. (1.12)

Векторная сумма перпендикулярных составляющих равна нулю:
, тогда
. Заменяя сумму интегралом, получим:

. (1.13)

Из треугольника (рис.1.2) следует:

=
. (1.14)

Подставим выражение (1.14) в формулу (1.13) и вынесем за знак интеграла постоянные величины, получим:

. (1.15)

Так как
, то

. (1.16)

С учетом того, что
, формулу (1.16) можно представить в виде:

. (1.17)

1.4.Геометрическое описание электрического поля. Поток вектора напряжённости

Для математического описания электрического поля нужно указать в каждой точке величину и направление вектора , то есть задать векторную функцию
.

Существует наглядный (геометрический) способ описания поля с помощью линий вектора (силовых линий) (рис.13.).

Линии напряжённости проводят следующим образом:

Существует правило: линии вектора напряжённости электрических полей, создаваемых системой неподвижных зарядов, могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность.

На рисунке 1.4 показано изображение электростатического поля точечного заряда с помощью линий вектора , а на рисунке 1.5 - изображение электростатического поля диполя  .

1.5. Поток вектора напряжённости электростатического поля

Поместим в электрическое поле бесконечно малую площадку dS (рис.1,6). Здесь - единичный вектор нормали к площадке. Вектор напряжённости электрического поля образует с нормалью некоторый угол α. Проекция вектора на направление нормали равна E n =E·cos α .

Потоком вектора через бесконечно малую площадку называется скалярное произведение

, (1.18)

Поток вектора напряжённости электрического поля является алгебраической величиной; его знак зависит то взаимной ориентации векторов и .

Поток вектора через произвольную поверхностьS конечной величины определится интегралом:

. (1.20)

Если поверхность замкнутая, интеграл отмечают кружочком:

. (1.21)

Для замкнутых поверхностей нормаль берется наружу (рис.1.7).

Поток вектора напряжённости имеет наглядный геометрический смысл: он численно равен числу линий вектора , проходящих через поверхностьS .

В случае равновесного распределения заряды проводника распределяются в тонком поверхностном слое. Так, например, если проводнику сообщить отрицательный заряд, то из-за наличия сил отталкивания элементов этого заряда они рассредоточатся по всей поверхности проводника.

Исследование при помощи пробной пластинки

Для того чтобы на опыте исследовать, как распределяются заряды на внешней поверхности проводника используют так называемую пробную пластинку. Эта пластинка настолько мала, что при соприкосновении с проводником ее можно рассматривать как часть поверхности проводника. Если эту пластинку приложить к заряженному проводнику, то часть заряда ($\triangle q$) перейдет на нее и величина этого заряда будет равна заряду, который находился на поверхности проводника по площади равной площади пластинки ($\triangle S$).

Тогда величина равная:

\[\sigma=\frac{\triangle q}{\triangle S}(1)\]

называется поверхностной плотностью распределения заряда в данной точке.

Разряжая пробную пластинку через электрометр можно судить о величине поверхностной плотности заряда. Так, например, если зарядить проводящий шар, то можно увидеть, с помощью вышеприведенного метода, что в состоянии равновесия поверхностная плотность заряда на шаре одна и та же во всех его точках. То есть заряд по поверхности шара распределяется равномерно. Для проводников более сложной формы распределение заряда сложнее.

Поверхностная плотность проводника

Поверхность любого проводника является эквипотенциальной, но в общем случае плотность распределения заряда может очень сильно отличаться в разных точках. Поверхностная плотность распределения заряда зависит от кривизны поверхности. В разделе, который был посвящен описанию состояния проводников в электростатическом поле, мы установили, что напряженность поля около поверхности проводника перпендикулярна поверхности проводника в любой его точке и равна по модулю:

где ${\varepsilon }_0$ -- электрическая постоянная, $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды. Следовательно,

\[\sigma=E\varepsilon {\varepsilon }_0\ \left(3\right).\]

Чем больше кривизна поверхности тем, тем больше напряженность поля. Следовательно, на выступах плотность заряда особенно велика. Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже. Следовательно, напряженность поля и плотность зарядов в этих местах меньше. Плотность зарядов при заданном потенциале проводника определяется кривизной поверхности. Она растет с увеличением выпуклости и убывает с увеличением вогнутости. Особенно большая плотность заряда на остриях проводников. Так, напряженность поля на острие может быть настолько велика, что может возникать ионизация молекул газа, который окружает проводник. Ионы газа противоположного знака заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака отталкиваются от проводника, «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Такое явление называют электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается в результате процесса нейтрализации, он как бы стекает с острия. Такое явление называют истечением заряда с острия.

Мы уже говорили, что когда мы вносим проводник в электрическое поле, происходит разделение положительных зарядов (ядер) и отрицательных (электронов). Такое явление носит название электростатической индукции. Заряды, которые появляются в результате, называют индуцированными. Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле.

Поле индуцированных зарядов направлено в сторону противоположную направлению внешнего поля. Поэтому заряды, которые накапливаются на проводнике, ослабляют внешнее поле.

Перераспределение зарядов идет, пока не выполнены условия равновесия зарядов для проводников. Такие как: равенство нулю напряженности поля везде внутри проводника и перпендикулярность вектора напряженности заряженной поверхности проводника. Если в проводнике есть полость, то при равновесном распределении индуцированного заряда поле внутри полости равно нулю. На этом явлении основана электростатическая защита. Если какой-либо прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим экраном. В таком случае внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами. Такой может быть не обязательно сплошным, но и в виде густой сетки.

Задание: Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью $\tau $, расположена перпендикулярно бесконечно большой проводящей плоскости. Расстояние от нити до плоскости $l$. Если продолжить нить до пересечения с плоскостью, то в месте пересечения получим некоторую точку А. Составьте формулу зависимости поверхностной плотности $\sigma \left(r\right)\ $индуцированных зарядов на плоскости от расстояния до точки А.

Рассмотрим некоторую точку В на плоскости. Бесконечно длинная заряженная нить в точке В создает электростатическое поле, в поле находится проводящая плоскость, на плоскости образуются индуцированные заряды, которые в свою очередь создают поле, которое ослабляет внешнее поле нити. Нормальная составляющая поля плоскости (индуцированных зарядов) в точке В будет равна нормальной составляющей поля нити в этой же точке, если система находится в равновесии. Выделим на нити элементарный заряд ($dq=\tau dx,\ где\ dx-элементарный\ кусочек\ нити\ $), найдем в точке В напряжённость, создаваемую этим зарядом ($dE$):

Найдем нормальную составляющую элемента напряженности поля нити в точке В:

где $cos\alpha $ выразим как:

Выразим расстояние $a$ по теореме Пифагора как:

Подставим (1.3) и (1.4) в (1.2), получим:

Найдем интеграл от (1.5) где пределы интегрирования от $l\ (расстояние\ до\ ближайшего\ конца\ нити\ от\ плоскости)\ до\ \infty $:

С другой стороны, мы знаем, что поле равномерно заряженной плоскости равно:

Приравняем (1.6) и (1.7), выразим поверхностную плотность заряда:

\[\frac{1}{2}\cdot \frac{\sigma}{\varepsilon {\varepsilon }_0}=\frac{\tau }{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\cdot \frac{1}{{\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}\to \sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}.\]

Ответ: $\sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}.$

Пример 2

Задание: Рассчитайте поверхностную плотность заряда, который создается около поверхности Земли, если напряженность поля Земли равна 200$\ \frac{В}{м}$.

Будем считать, что диэлектрическая проводимость воздуха $\varepsilon =1$ как у вакуума. За основу решения задачи примем формулу для расчёта напряженности заряженного проводника:

Выразим поверхностную плотность заряда, получим:

\[\sigma=E{\varepsilon }_0\varepsilon \ \left(2.2\right),\]

где электрическая постоянная нам известна и равна в СИ ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}.$

Проведем вычисления:

\[\sigma=200\cdot 8,85\cdot {10}^{-12}=1,77\cdot {10}^{-9}\frac{Кл}{м^2}.\]

Ответ: Поверхностная плотность распределения заряда поверхности Земли равна $1,77\cdot {10}^{-9}\frac{Кл}{м^2}$.

Вопрос 42. Равновесие зарядов на проводнике. Поверхностные заряды. Примеры поля вблизи проводника. Проводник во внешнем электрическом поле.

Проводник – это твердое тело, в котором имеются “свободные электроны”, перемещающиеся в пределах тела.

Носители зарядов в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому равновесие зарядов на проводнике может наблюдаться лишь при выполнении следующих условий:

2) Вектор на поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

Действительно, если бы условие 1 не выполнялось, то подвижные носители электрических зарядов, имеющиеся в каждом проводнике, под действием сил поля пришли бы в движение (в проводнике возник бы электрический ток) и равновесие было бы нарушено.

Из 1 следует, что поскольку

Вопрос 43. Электроемкость уединенного проводника. Типы конденсаторов, их электроемкость и другие характеристики.

Электроемкость уединенного проводника – характеристика проводника, указывающая на способность проводника накапливать электрический заряд.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

/* Электроемкость шара

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в ваку­уме и имеющий радиус R=C/ (4pe 0)»9×10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С» 0,7 мФ). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). */

Типы конденсаторов, их электроемкость и другие характеристики.

Конденсатор – система, состоящая из двух проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика обычно конденсатор заряжают симметрично на обкладках

Вопрос 44. Энергия конденсаторов. Плотность энергии электрического поля.

Конденсатор - это система заряженных тел и обладает энергией.
Энергия любого конденсатора:

где С - емкость конденсатора
q - заряд конденсатора
U - напряжение на обкладках конденсатора
Энергия конденсатора равна работе, которую совершит электрическое поле при сближении пластин конденсатора вплотную,
или равна работе по разделению положительных и отрицательных зарядов, необходимой при зарядке конденсатора.

Плотность энергии электрического поля.

Электростатика. Применение теоремы Остроградского–Гаусса для расчета полей в вакууме

Закон Кулона позволяет рассчитать поле любой системы зарядов, т. е. найти его напряженность в любой точке, суммируя векторно напряженности, созданные отдельными зарядами (так как векторы напряженности подчиняются принципу суперпозиции). Напряженностью называют векторную физическую величину, характеризующую силу действия электростатического поля на положительный заряд. По направлению вектор напряженности совпадает с этой силой. Для задач, обладающих симметрией, вычисления можно значительно упростить; в этих случаях удобно воспользоваться теоремой Остроградского–Гаусса для потока вектора напряженности через некоторую замкнутую поверхность (рис. 1.1). Пусть все зарядыQ i сосредоточены внутри замкнутой поверхности площадьюS.

На элементе поверхности площадью dS заряды создают соответственно напряженностипричем полная

напряженность равна .

Поток Ф вектора напряженностичерез рассматриваемую замкнутую поверхность

Потоки векторов напряженности (скаляры) суммируются алгебраически. Учитывая значения Ф i , можно переписать:

где (– единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности площадьюdS );– проекция векторана;Q i – заряды, расположенные внутри поверхности.

Теорема Остроградского–Гаусса формулируется следующим образом. Поток векторачерез любую замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Возможны три случая обращения в нуль потока вектора напряженности через замкнутую поверхность:

а) алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности равна нулю, ;

б) зарядов внутри поверхности нет, но есть поле, связанное с внешними зарядами, ; в) нет ни поля, ни внутренних зарядов.

Заряды могут быть распределены различным образом, причем они могут вноситься в рассматриваемое пространство, перемещаться в нем и изыматься из него, поэтому их называют свободными зарядами.

Если заряд dQ непрерывно распределен в некотором малом объемеdV . В этом случае вводится понятие объемной плотности заряда

ρ = dQ/dV (выражается в кулонах на кубический метр). Если заряды непрерывно распределены по поверхности проводника, то вводится понятие поверхностной плотности σ= dQ/dS , гдеdS – площадь элемента поверхности проводника, на котором расположен элементарный зарядdQ. Единицей поверхностной плотности является 1 Кл/м2 . Если заряды равномерно распределены вдоль линии, в этом случае вводится понятие линейной плотности зарядов λ= dQ/dl , гдеdl – длина отрезка линии, на котором распределен зарядdQ . Единица линейной плотности – 1 Кл/м.

Вектор напряженности на поверхности заряженного проводника всегда перпендикулярен поверхности (например для заряженного шара, рис. 1.2), так как в противном случае заряды двигались бы вдоль поверхности под действием касательной составляющей напряженности. Таким образом, у поверхности проводника

а внутри сплошного проводника

Рис. 1.2. Поле заряженного металлического шара

Если заряды распределены по объему диэлектрика с объемной плотностью ρ, то теорема Остроградского–Гаусса записывается в виде:

где dV – элемент объема;V – объем, ограниченный поверхностьюS .

Когда заряды распределены по поверхности проводника, а поверхность интегрирования совпадает с последней, то

.

Тогда на поверхности проводника напряженность пропорциональна поверхностной плотности заряда:

Поле положительного точечного заряда обладает сферической симметрией относительно точки, в которой он расположен, и характеризуется напряженностью, направленной по радиусам, проведенным из этой точки, и равной

т. е. подчиняется закону Кулона (для отрицательного заряда вектор направлен к этой точке). Таким же закономерностям подчиняется поле заряженного металлического шара. Заряд на шаре распределяется равномерно по поверхности. Тогда для металлического шара радиусомR 0 напряженность поля определяется в соответствии с формулой (1.2).

Если внутри заряженного шара или другого металлического проводника имеется полость, в которую не внесены заряды, то поле внутри этой полости не может создаваться зарядами, находящимися на поверхности проводника. Так как поле внутри полости не связано ни с какими зарядами, то оно отсутствует, т. е. Е пол = 0.

Практический интерес представляет поле, созданное длинной равномерно заряженной проволокой (цилиндром) радиусом R 0 (рис. 1.3). Выбрав поверхность интегрирования в виде коаксиального цилиндра радиусомR и высотойh и введя линейную плотность заряда

убеждаемся, что в силу цилиндрической симметрии напряженность на боковой поверхности цилиндра везде одинакова по модулю и направлена по радиусам, а поток напряженности через основания отсутствует.

В этом случае напряженность поля меняется обратно пропорционально первой степени расстояния. На поверхности проволоки получаем

Найдем теперь напряженность поля безграничной плоской металлической пластины (рис. 1.4). Пусть пластина равномерно заряжена. В качестве поверхности интегрирования выберем поверхность

прямоугольного параллелепипеда, две грани которого площадью S параллельны заряженной пластине. Поверхностная плотность заряда равна

σ = Q /2S , так как пластина имеет две стороны и заряд распределен по обеим сторонам. Вследствие симметрии поток вектора напряженности для граней отличен от нуля. Следовательно,

Для двух параллельных пластин (рис. 1.5), имеющих одинаковую по модулю плотность заряда, по принципу суперпозиций получим: а) для поля между пластинами

б) для поля снаружи пластин

.

Можно сделать вывод, что заряды собираются на обращенных друг к другу сторонах пластин с поверхностной плотностью σ1 = σ. Напряженность, определяемая выражением (1.3), не зависит от расстояния и одинакова во всех точках. Такие поля называют однородными. Реальных бесконечных проволок и пластин не бывает, но полученные формулы сохраняют значение для областей, достаточно близких к заряженным телам (расстояние до исследуемой точки поля должно быть много меньше линейного размера заряженного тела). Распределение линий напряженности можно получить на опыте, поместив электроды той или иной формы в жидкий диэлектрик (вазелиновое масло) и насыпав на поверхность масла мелкий диэлектрический порошок (хинин). Частицы порошка при этом располагаются примерно вдоль линий напряженности.

Теорему Остроградского–Гаусса можно использовать не только в интегральной форме, связывающей значения напряженностиЕ в некоторых точках поля с зарядами, расположенными в других точках, но и в дифференциальной форме. Свяжем величины, относящиеся к одной и той же точке поля.

Пусть в некоторой точке А с координатами (х ,у ,z ) существует напряженностьгдеi ,j ,k – направляющие векторы в декартовой системе координат.

Выделим около точки А (рис. 1.6) прямоугольный параллелепипед бесконечно малого объемаdV = dx`dy`dz .

Рис. 1.6. К теореме Остроградского–Гаусса

Объемная плотность заряда в нем равна ρ. Она зависит от координат выбранной точки поля р = f (x ,у ,z ). Поток векторачерез правую

. Таким же образом для верхней и нижней граней получим,

а для задней и передней граней . Применим теорему Остроградского–Гаусса к этому объему:

,окончательно получим выражение. В векторном анализе сумма, стоящая

В этой форме теорема приложима к отдельным точкам поля.

Теорема Остроградского–Гаусса не является следствием закона Кулона. Она – одна из основных теорем векторного анализа, связывающая объемный интеграл с поверхностным. В физике эта теорема применяется к центральным силам, зависящим от расстояния по законуR n , гдеn –любое число. Таким образом, кулоновский закон является частным случаем теоремы Остроградского–Гаусса.

Рассмотрим работу электростатических сил при перемещении частицы с зарядом q из одной Точки поля в другую по произвольному пути 1А 2 (рис. 1.7):

где E i – проекция векторана направлениеdl . Эта работа будет зависеть только от положения начальной и конечной точек пути, а не от его формы, т. е. поле является потенциальным:

где φ1 , φ2 – потенциалы начальной и конечной точек траектории. Потенциал является скалярной характеристикой точки поля.U = φ1 – φ2 – разность потенциалов или изменение потенциальной энергии единичного положительного заряда, переносимого в электростатическом поле.

Таким образом, работа электростатических сил пропорциональна разности потенциалов U начальной и конечной точек пути. Единицей потенциала и разности потенциалов является Вольт (В).

Работа электростатических сил по любому замкнутому пути равна нулю:

Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности . Равенство нулю циркуляции означает, что в электростатическом поле нет замкнутых линий напряженности: они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно положительных или отрицательных) или уходят в бесконечность.

В электростатическом поле можно построить (рис. 1.7) поверхности, представляющие собой множество точек равного потенциала (эквипотенциальные поверхности). Докажем, что линии напряженности нормальны к этим поверхностям. Если перемещать заряд вдоль эквипотенциальной поверхности, то работа будет равна нулю. Но напряженность поля на поверхности может быть отлична от нуля. Поэтому из определения элементарной работы

следует, что при , следовательно,, причем векторdl направлен по касательной к поверхности.

Следовательно, во всех точках поверхности равного потенциала напряженность направлена по нормали к этой поверхности. Из расчета полей симметричных проводников при помощи теоремы Остроградского–Гаусса видно, что поверхность проводника в электростатическом поле всегда эквипотенциальна.

Напряженность электростатического поля связана с потенциалом в каждой точке поля соотношением