Средняя кинетическая энергия теплового движения. Идеальный газ температура как мера средней кинетической энергии. Газы в состоянии теплового равновесия

Представляем формулу основного уравнения молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов:

(где n = N V – это концентрация частиц в газе, N – это число частиц, V – это объем газа, 〈 E 〉 – это средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа, υ k v – это средняя квадратичная скорость, m 0 – это масса молекулы) связывает давление – макропараметр, достаточно просто измеряющийся с такими микропараметрами, как средняя энергия движения отдельной молекулы (или в другом выражении), как масса частицы и ее скорость. Но находя только лишь давление, нельзя установить кинетические энергии частиц отдельно от концентрации. Поэтому для нахождения в полном объеме микропараметров нужно знать еще какую-то физическую величину, связанную с кинетической энергией частиц, составляющих газ. За данную величину можно взять термодинамическую температуру.

Газовая температура

Для определения газовой температуры нужно вспомнить важное свойство, которое сообщает о том, что в условиях равновесия средняя кинетическая энергия молекул в смеси газов одинаковая для различных компонентов данной смеси. Из данного свойства следует то, что если 2 газа в различных сосудах находятся в тепловом равновесии, тогда средние кинетические энергии молекул данных газов одинаковые. Это свойство мы и будем использовать. К тому же в ходе экспериментов доказано, что для любых газов (при неограниченном числе), которые находятся в состоянии теплового равновесия, справедливо следующее выражение:

С учетом вышесказанного, используем (1) и (2) и получаем:

Из уравнения (3) следует, что величина θ , которой мы обозначили температуру, вычисляется в Д ж, в чем измеряется также и кинетическая энергия. В лабораторных работах температура в системе измерения вычисляется в кельвинах. Поэтому введем коэффициент, который уберет данное противоречие. Он обозначается k , измеряется в Д ж К и равняется 1 , 38 · 10 - 23 . Данный коэффициент называется постоянной Больцмана. Таким образом:

Определение 1

θ = k T (4) , где T – это термодинамическая температура в кельвинах .

Связь термодинамической температуры и средней кинетической энергией теплового движения молекул газа выражается формулой:

E = 3 2 k T (5) .

Из уравнения (5) видно, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекул прямо пропорциональна температуре газа. Температура является абсолютной величиной. Физический смысл температуры заключается в том, что она, с одной стороны, определяется средней кинетической энергией, которая приходится на 1 молекулу. А с другой стороны, температура – это характеристика системы в целом. Таким образом, уравнение (5) показывает связь параметров макромира с параметрами микромира.

Определение 2

Известно, что температура – это мера средней кинетической энергии молекул.

Можно установить температуру системы, а затем рассчитать энергию молекул.

В условиях термодинамического равновесия все составляющие системы характеризуются одинаковой температурой.

Определение 3

Температура, при которой средняя кинетическая энергия молекул равняется 0 , давление идеального газа равняется 0 , называется абсолютным нулем температур . Абсолютная температура никогда не является отрицательной.

Пример 1

Необходимо найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода, если температура T = 290 K . А также найти среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметра d = 10 - 7 м, взвешенной в воздухе.

Решение

Найдем среднюю кинетическую энергию движения молекулы кислорода по уравнению, связывающему энергию и температуру:

E = 3 2 k T (1 . 1) .

Поскольку все величины заданы в системе измерения, проведем вычисления:

E = 3 2 · 1 , 38 · 10 - 23 · 10 - 7 = 6 · 10 - 21 Д ж.

Перейдем ко второй части задания. Положим, что капелька, взвешенная в воздухе, – это шар (рисунок 1 ). Значит, массу капельки можно рассчитать как:
m = ρ · V = ρ · π d 3 6 .

Рисунок 1

Найдем массу капельки воды. Согласно справочных материалов, плотность воды в нормальных условиях равняется ρ = 1000 к г м 3 , тогда:

m = 1000 · 3 , 14 6 10 - 7 3 = 5 , 2 · 10 - 19 (к г) .

Масса капельки чрезмерно маленькая, поэтому, сама капелька сравнима с молекулой газа, и тогда можно использовать при расчетах формулу средней квадратичной скорости капли:

E = m υ k υ 2 2 (1 . 2) ,

где 〈 E 〉 мы уже установили, а из (1 . 1) понятно, что энергия не зависит от разновидности газа, а зависит только лишь от температуры. Значит, мы можем применить полученную величину энергии. Найдем из (1 . 2) скорость:

υ k υ = 2 E m = 6 · 2 E π ρ d 3 = 3 2 k T π ρ d 3 (1 . 3) .

Рассчитаем:

υ k υ = 2 · 6 · 10 - 21 5 , 2 · 10 - 19 = 0 , 15 м с

Ответ: Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы кислорода при заданной температуре равняется 6 · 10 - 21 Д ж. Средняя квадратичная скорость капельки воды при заданных условиях равняется 0 , 15 м / с.

Пример 2

Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа равняется 〈 E 〉 , а давление газа p . Необходимо найти концентрацию частиц газа.

Решение

В основу решения задачи положим уравнение состояния идеального газа:

p = n k T (2 . 1) .

Прибавим к уравнению (2 . 1) уравнение связи средней энергии поступательного движения молекул и температуры системы:

E = 3 2 k T (2 . 2) .

Из (2 . 1) выражаем необходимую концентрацию:

n = p k T 2 . 3 .

Из (2 . 2) выражаем k T:

k T = 2 3 E (2 . 4) .

Подставляем (2 . 4) в (2 . 3) и получаем:

Ответ: Концентрацию частиц можно найти по формуле n = 3 p 2 E .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

МКТ поведение молекул в телах можно охарактеризовать средними значениями тех или иных величин, которые относятся не к отдельным молекулам, а ко всем молекулам в целом. T, V, P

МКТ МЕХАНИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ V T P величина, характеризующая внутреннее состояние тела (в механике ее нет)

МКТ МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ Величины, характеризующие состояние макроскопических тел без учета молекулярного строения тел (V, P, T) называют макроскопическими параметрами.

Температура Степень нагретости тел. холодное Т 1 теплое

Температура Почему термометр не показывает температуру тела сразу после того как он соприкоснулся с ним?

Тепловое равновесие - это такое состояние, при котором все макроскопические параметры сколь угодно долго остаются неизменными Устанавливается с течением времени между телами, имеющими различную температуру.

Температура Важное свойство тепловых явлений Любое макроскопическое тело (или группа макроскопических тел) при неизменных внешних условиях самопроизвольно переходит в состояние теплового равновесия.

Температура Неизменные условия значит, что в системе 1 Не изменяются объем и давление 2 Отсутствует теплообмен 3 Температура системы остается постоянной

Температура Микроскопические процессы внутри тела не прекращаются и при тепловом равновесии 1 Меняются скорости молекул при столкновениях 2 Изменяется положение молекул

Температура Система может находиться в различных состояниях. В любом состоянии температура имеет свое строго определенное значение. Другие физические величины могут иметь разные значения, которые не изменяются со временем.

Измерение температуры Можно использовать любую физическую величину, которая зависит от температуры. Чаще всего: V = V(T) Температурные шкалы Цельсия абсолютная (шкала Кельвина) Фаренгейта

Измерение температуры Температурные шкалы Шкала Цельсия = международная практическая шкала 0°С Температура таяния льда Реперные точки P 0 = 101325 Па 100°С Температура кипения воды Реперные точки – точки, на которых основывается измерительная шкала

Измерение температуры Температурные шкалы Абсолютная шкала (шкала Кельвина) Нулевая температура по шкале Кельвина соответствует абсолютному нулю, а каждая единица температуры по этой шкале равна градусу по шкале Цельсия. 1 К = 1 °С Уильям Томсон (лорд Кельвин) Единица температуры = 1 Кельвин = К

Измерение температуры Абсолютная температура = мера средней кинетической энергии движения молекул Θ = κT [Θ] = Дж [T] = К κ – постоянная Больцмана Устанавливает связь между температурой в энергетических единицах с температурой в кельвинах

Из опыта известно, что если привести в соприкосновение два тела, горячее и холодное, то через некоторое время их температуры выравниваются.

Это свойство позволяет определить параметр состояния, выравнивающийся у всех тел, контактирующих между собой, как величину, пропорциональную средней кинетической энергии частиц в сосуде. Чтобы связать энергию с температурой, Больцман ввел коэффициент пропорциональности k , который впоследствии был назван его именем:

Формула (1.3.2) применима для расчетов средней кинетической энергии на одну молекулу идеального газа.

Можно записать: .

Обозначим: R=kN A – универсальная газовая постоянная ,

– это формула для молярной массы газа .

Так как температура определяется средней энергией движения молекул, то она, как и давление, является статистической величиной, то есть параметром, проявляющимся в результате совокупного действия огромного числа молекул. Поэтому не говорят: «температура одной молекулы», нужно сказать: «энергия одной молекулы, но температура газа».

С учетом вышесказанного о температуре, можно записать по-другому. Так как из (1.2.3) , где . Отсюда

В таком виде основное уравнение молекулярно-кинетической теории употребляется чаще.

Термометры. Единицы измерения температуры

Наиболее естественно было бы использовать для измерения температуры определение , т.е. измерять кинетическую энергию поступательного движения молекул газа. Однако чрезвычайно трудно проследить за молекулой газа и еще сложнее за атомом. Поэтому для определения температуры идеального газа используется уравнение

Как мы видим, пропорционален температуре, а поскольку высота подъема ртутной капли пропорциональна V , то она пропорциональна и Т .

Существенно то, что в газовом термометре необходимо использовать идеальный газ. Если же в трубку вместо идеального газа поместить фиксированное количество жидкой ртути, то мы получим обычный ртутный термометр. Хотя ртуть далеко не идеальный газ, вблизи комнатной температуры ее объем изменяется почти пропорционально температуре. Термометры, в которых вместо идеального газа используются какие-либо другие вещества, приходится калибровать по показаниям точных газовых термометров.

	Рис. 1.4		Рис. 1.5

В физике и технике за абсолютную шкалу температур принята шкала Кельвина , названная в честь знаменитого английского физика, лорда Кельвина. 1 К – одна из основных единиц СИ.

Кроме того, используются и другие шкалы:

– шкала Фаренгейта (немецкий физик 1724 г.) – точка таяния льда 32 °F, точка кипения воды 212 °F.

– шкала Цельсия (шведский физик 1842 г.) – точка таяния льда 0°С, точка кипения воды 100 °С.

0 °С = 273,15 К.

На рис. 1.5 приведено сравнение разных температурных шкал.

Так как всегда , то и Т не может быть отрицательной величиной.

Своеобразие температуры заключается в том, что она не аддитивна (аддитивный – получаемый сложением) .

Если мысленно разбить тело на части, то температура всего тела не равна сумме температур его частей (длина, объём, масса, сопротивление, и так далее – аддитивные величины). Поэтому температуру нельзя измерять, сравнивая её с эталоном.

Современная термометрия основана на шкале идеального газа, где в качестве термометрической величины используют давление. Шкала газового термометра – является абсолютной (Т = 0; Р = 0).

• Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газа вытекает важное следствие: температура есть мера средней кинетической энергии молекул. Докажем это.

Для простоты будем считать количество газа равным 1 моль. Молярный объем газа обозначим через V M . Произведение молярного объема на концентрацию молекул представляет собой постоянную Авогадро N A , т. е. число молекул в 1 моль.

Умножим обе части уравнения (4.4.10) на молярный объем V M и учтем, что nV M = N A . Тогда

Формула (4.5.1) устанавливает связь макроскопических параметров - давления р и объема V M - со средней кинетической энергией поступательного движения молекул.

Вместе с тем полученное опытным путем уравнение состояния идеального газа для 1 моль имеет вид

Левые части уравнений (4.5.1) и (4.5.2) одинаковы, значит, должны быть равны и их правые части, т.е.

Отсюда вытекает связь между средней кинетической энергией поступательного движения молекул и температурой:

Средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. Чем выше температура, тем быстрее движутся молекулы.

Соотношение между температурой и средней кинетической энергией поступательного движения молекул (4.5.3) установлено для разреженных газов. Однако оно оказывается справедливым для любых веществ, движение атомов или молекул которых подчиняется законам механики Ньютона. Оно верно для жидкостей, а также для твердых тел, у которых атомы могут лишь колебаться возле положений равновесия в узлах кристаллической решетки.

При приближении температуры к абсолютному нулю энергия теплового движения молекул также приближается к нулю(1).

Постоянная Больцмана

В уравнение (4.5.3) входит отношение универсальной газовой постоянной R к постоянной Авогадро N А. Это отношение одинаково для всех веществ. Оно называется постоянной Больцмана, в честь Л. Больцмана, одного из основателей молекулярно-кинетической теории.

Больцман Людвиг (1844-1906) - великий австрийский физик, один из основоположников молекулярно-кинетической теории. В трудах Больцмана молекулярно-кинетическая теория впервые предстала как логически стройная, последовательная физическая теория. Больцман дал статистическое истолкование второго закона термодинамики. Им много сделано для развития и популяризации теории электромагнитного поля Максвелла. Борец по натуре, Больцман страстно отстаивал необходимость молекулярного истолкования тепловых явлений и принял на себя основную тяжесть борьбы с учеными, отрицавшими существование молекул.

Постоянная Больцмана равна

Уравнение (4.5.3) с учетом постоянной Больцмана записывается так:

Физический смысл постоянной Больцмана

Исторически температура была впервые введена как термодинамическая величина, и для нее была установлена единица измерения - градус (см. § 3.2). После установления связи температуры со средней кинетической энергией молекул стало очевидным, что температуру можно определять как среднюю кинетическую энергию молекул и выражать ее в джоулях или эргах, т. е. вместо величины Т ввести величину Т * так, чтобы

Определенная таким образом температура связана с температурой, выражаемой в градусах, следующим образом:

Поэтому постоянную Больцмана можно рассматривать как величину, связывающую температуру, выражаемую в энергетических единицах, с температурой, выраженной в градусах.

Зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры

Выразив из соотношения (4.5.5) и подставив в формулу (4.4.10), получим выражение, показывающее зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры:

Из формулы (4.5.6) вытекает, что при одинаковых давлениях и температурах концентрация молекул у всех газов одна и та же.

Отсюда следует закон Авогадро: в равных объемах газов при одинаковых температурах и давлениях содержится одинаковое число молекул.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул прямо пропорциональна абсолютной температуре. Коэффициент пропорциональности - постоянную Болъцмана k ≈ 10 23 Дж/К - надо запомнить.

(1) При очень низких температурах (вблизи абсолютного нуля) движение атомов и молекул уже не подчиняется законам Ньютона. Согласно более точным законам движения микрочастиц - законам квантовой механики - абсолютный нуль соответствует минимальному значению энергии движения, а не полному прекращению какого-либо движения вообще.

Основное уравнение МКТ. Температура как мера средней кинетической энергии хаотического движения молекул.

Почему газ оказывает давление? Молекулы газа непрерывно хаотически движутся, сталкиваются со стенками сосуда и передают им свой импульс p=m v Давление – суммарный импульс, переданный молекулами 1 кв. м стенки за 1с.

Тепловое равновесие – это такое состояние системы тел, находящихся в тепловом контакте, при котором не происходит теплопередачи от одного тела к другому, и все макроскопические параметры тел остаются неизменными. Температура – это физический параметр, одинаковый для всех тел, находящихся в тепловом равновесии. Возможность введения понятия температуры следует из опыта и носит название нулевого закона термодинамики . В системе тел, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, объемы и давления могут быть различными, а температуры обязательно одинаковы. Таким образом, температура характеризует состояние термодинамического равновесия изолированной системы тел.

Температура Т , давление р и объём V – макроскопические величины , характеризующие состояние огромного числа молекул, т.е. состояние газа в целом Газовые термометры. Чтобы проградуировать газовый термометр постоянного объема, можно измерить давление при двух значениях температуры (например, 0 °C и 100 °C), нанести точки p 0 и p 100 на график, а затем провести между ними прямую линию. Используя полученный таким образом калибровочный график, можно определять температуры, соответствующие другим значениям давления.

Экстраполируя график в область низких давлений, можно определить некоторую «гипотетическую» температуру, при которой давление газа стало бы равным нулю. Опыт показывает, что эта температура равна –273,15 °С и не зависит от свойств газа . Английский физик У. Кельвин (Томсон) в 1848 г. предложил использовать точку нулевого давления газа для построения новой температурной шкалы (шкала Кельвина). В этой шкале единица измерения температуры такая же, как и в шкале Цельсия, но нулевая точка сдвинута: T= t +273.15. Идеальный газ – газ, состоящий из молекул-шариков, исчезающе малых размеров, взаимодействующих между собой и со стенками только во время упругих столкновений. Идеальный газ (модель) 1. Совокупность большого числа молекул массой m0, размерами молекул пренебрегают (принимают молекулы за материальные точки) 2. Молекулы находятся на больших расстояниях друг от друга и движутся хаотически. 3. Молекулы взаимодействуют по законам упругих столкновений, силами притяжения между молекулами пренебрегают. 4. Скорости молекул разнообразны, но при определенной температуре средняя скорость молекул остается постоянной. Реальный газ 1. Молекулы реального газа не являются точечными образованиями, диаметры молекул лишь в десятки раз меньше расстояний между молекулами. 2. Молекулы не взаимодействуют по законам упругих столкновений