Действительные решения уравнений с комплексными числами. Как решить комплексное уравнение по математике. А сейчас ключевое правило
Разобьем отрезок интегрирования [а , b ] на четное число n равных частей с шагом h . На каждом отрезке [х 0, х 2], [х 2, х 4],..., [x i-1, x i+1],..., [x n-2, x n] подынтегральную функцию f (х ) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
Коэффициенты этих квадратных трехчленов можно найти из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки 
:
Сумму элементарных площадей и (рис. 3.3) можно вычислить с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем
- 
Рис. 3.3. Иллюстрация к методу Симпсона
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка , просуммируем полученные выражения:
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
(3.35)
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол .
Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а , b ] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. разд. 3.2.6).
Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид
(3.36)
Легко видеть, что формула (3.36) совпадет с (3.35), если формулу (3.35) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h /2.
Пример . Вычислить по методу Симпсона интеграл
Значения функции при n = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3. Применяя формулу (3.35), находим
Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).
Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона показан на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а , b ],погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (x ) .
Рис. 3.4. Алгоритм метода Симпсона
Первоначально отрезок разбивается на две части с шагом h =(b - a)/2. Вычисляется значение интеграла I 1. Потом число шагов удваивается, вычисляется значение I 2 с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде . Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т.д.
Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I 2 не используются значения функции f (x ), уже найденные на предыдущем этапе. Более экономичные алгоритмы будут рассмотрены в разд. 3.2.7.
Для построения формулы Симпсона предварительно рассмотрим такую задачу: вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = Ax 2 + Bx + C, слева прямой х = - h, справа прямой x = h и снизу отрезком [-h; h]. Пусть парабола проходит через три точки (рис.8): D(-h; y 0) E(0; y 1) и F(h; y 2), причем х 2 - х 1 = х 1 - х 0 = h. Следовательно,
x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2h.
Тогда площадь S равна интегралу:
Выразим эту площадь через h, y 0 , y 1 и y 2 . Для этого вычислим коэффициенты параболы А, В, С. Из условия, что парабола проходит через точки D, E и F, имеем:
Решая эту систему, получаем: C = y 1 ; A = 
Подставляя эти значения А и С в (3), получаем искомую площадь
Перейдем теперь к выводу формулы Симпсона для вычисления интеграла 
Для этого отрезок интегрирования разобьем на 2n равных частей длиной
В точках деления (рис.4).а = х 0 , х 1 , х 2 , ...,х 2n-2 , x 2n-1 , x 2n = b,
Вчисляем значения подынтегральной функции f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , де y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).
На отрезке подынтегральную функцию заменяем параболой, проходящей через точки (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) и (x 2 ; y 2), и для вычисления приближенного значения интеграла от х 0 до х 2 воспользуемся формулой (4). Тогда (на рис. 4 заштрихованная площадь):
Аналогично находим:
................................................
Сложив полученные равенства, имеем:
Формула (5) называется обобщенной формулой Симпсона или формулой парабол , так как при ее выводе график подынтегральной функции на частичном отрезке длины 2h заменяется дугой параболы.
Задание на работу:
1. По указанию преподавателя или в соответствии с вариантом из Таблицы 4 заданий (см. Приложение) взять условия – подынтегральную функцию, пределы интегрирования.
2. Составить блок-схему программы и программу, которая должна:
Запросить точность вычисления определенного интеграла, нижний и верхний пределы интегрирования;
Вычислить заданный интеграл методами: для вариантов 1,4,7, 10… - правых, для вариантов 2,5,8,… - средних; для вариантов 2,5,8,… - левых прямоугольников. Вывести количество разбиений диапазона интегрирования, при котором достигнута заданная точность вычисления;
Вычислить заданный интеграл методом трапеций (для четных вариантов) и методом Симпсона (для нечетных вариантов).
Вывести количество разбиений диапазона интегрирования, при котором достигнута заданная точность вычисления;
Вывести значения контрольной функции для заданного значения аргумента и сравнить с вычисленными значениями интеграла. Сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Что такое определенный интеграл?
2. Почему наряду с аналитическими методами используются численные методы вычисления определенных интегралов.
3. В чем заключается сущность основных численных методов вычисления определенных интегралов.
4. Влияние количества разбиений на точность вычисления определенного интеграла численными методами.
5. Как вычислить интеграл любым методом с заданной точностью?
Загрузка...
