Почему векторы равны. Векторы для чайников. Действия с векторами. Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами. Правило сложения векторов по правилу треугольников

Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис. 1). Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

Каждый из направленных отрезков, составляющих вектор (рис. 1), можно назвать представителем этого вектора. Вектор, представителем которого является направленный отрезок, идущий от точки к точке , обозначается через . На рис. 1 имеем , т.е. и - это один и тот же вектор (представителями которого являются оба направленных отрезка, выделенных на рис. 1). Иногда вектор обозначают малой буквой со стрелкой: , .

Вектор, изображаемый направленным «отрезком», у которого начало и конец совпадают, называется нулевым; он обозначается через , т.е. . Два параллельных вектора, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через , то противоположный ему вектор обозначается через .

Назовем основные операции, связанные с векторами.

I. Откладывание вектора от точки. Пусть - некоторый вектор и - точка. Среди направленных отрезков, являющихся представителями вектора , имеется направленный отрезок, начинающийся в точке . Конец этого направленного отрезка называется точкой, получающейся в результате откладывания вектора от точки (рис. 2). Эта операция обладает следующим свойством:

I1. Для любой точки и любого вектора существует, и притом только одна, точка , для которой .

Сложение векторов. Пусть и - два вектора. Возьмем произвольную точку и отложим вектор от точки , т.е. найдем такую точку , что (рис. 3). Затем от точки отложим вектор , т. е. найдем такую точку , что . Вектор называется суммой векторов и и обозначается через . Можно доказать, что сумма не зависит от выбора точки , т.е. если заменить другой точкой , то получится вектор , равный (рис. 3). Из определения суммы векторов вытекает, что для любых трех точек справедливо равенство

I2:

(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы и не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).

II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , , ):

II2. .

Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например: .

При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:

Далее, геометрически сумма нескольких векторов может быть получена следующим образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов, последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего – с концом второго и т.д.); тогда вектор будет иметь своим представителем «замыкающий» направленный отрезок, идущий от начала первого к концу последнего (рис. 5). (Заметим, что если при таком последовательном откладывании получается «замкнутая векторная ломаная», то .)

III. Умножение вектора на число. Пусть - ненулевой вектор и - отличное от нуля число. Через обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора равна ; б) вектор параллелен вектору , причем его направление совпадает с направлением вектора при и противоположно ему при (рис. 6). Если справедливо хотя бы одно из равенств , , то произведение считается равным . Таким образом, произведение определено для любого вектора и любого числа .

Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , и любых чисел ) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:

III2. .

Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.

а) Если - такая точка отрезка , что , то для любой точки справедливо равенство , в частности если - середина отрезка , то .

б) Если - точка пересечения медиан треугольника , то ; кроме того, для любой точки справедливо равенство (обратные теоремы также справедливы).

в) Пусть - точка прямой и - ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка в том и только в том случае принадлежит прямой , если (где - некоторое число).

г) Пусть - точка плоскости и , - ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка в том и только в том случае принадлежит плоскости , если вектор выражается через и , т.е. .

Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.

IV. В пространстве существуют такие три вектора , , , что ни один из них не выражается через два других; любой четвертый вектор выражается через эти три вектора: . определяется равенством: обозначено скалярное произведение вектора (и тогда угол между ними не определяется).

Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и объясняется польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо прежде всего научиться «переводить» условие геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное векторное решение снова «переводится» на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.

При изложении курса геометрии в школе вектор дается как определяемое понятие (см. Определение), и потому принятая в школьном учебнике аксиоматика (см. Аксиоматика и аксиоматический метод) геометрии ничего не говорит о свойствах векторов, т.е. все эти свойства должны доказываться как теоремы.

Существует, однако, и другой путь изложения геометрии, при котором первоначальными (неопределяемыми) понятиями считаются вектор и точка, а отмеченные выше свойства I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 принимаются за аксиомы. Такой путь построения геометрии был предложен в 1917 г. немецким математиком Г. Вейлем. Здесь прямые и плоскости являются определяемыми понятиями. Преимущество такого построения в его краткости и в органической связи с современным пониманием геометрии как в самой математике, так и в других областях знания. В частности, аксиомы II1-II4, III1-III4 вводят так называемое векторное пространство, используемое в современной математике, в физике, математической экономике и т.д.

Страница 1 из 2

Вопрос 1. Что такое вектор? Как обозначаются векторы?
Ответ. Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 211). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами a, b, c, ... . Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова "вектор" над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта. Вектор на рисунке 211 можно обозначить так:

\(\overline{a}\), \(\overrightarrow{a}\) или \(\overline{AB}\), \(\overrightarrow{AB}\).

Вопрос 2. Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
Ответ. Векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены.
Векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены.
На рисунке 212 векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) одинаково направлены, а векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{c}\) противоположно направлены.

Вопрос 3. Что такое абсолютная величина вектора?
Ответ. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора \(\overline{a}\) обозначается |\(\overline{a}\)|.

Вопрос 4. Что такое нулевой вектор?
Ответ. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (\(\overline{0}\)). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Вопрос 5. Какие векторы называются равными?
Ответ. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Вопрос 6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Ответ. При параллельном переносе вектор сохраняет своё направление, а также свою абсолютную величину. Значит, равные векторы направлены одинаково и равны по абсолютной величине.
Пусть \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A, совмещает полупрямую CD с полупрямой AB, так как они одинаково направлены. А так как отрезки AB и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой B, т.е. параллельный перенос переводит вектор \(\overline{CD}\) в вектор \(\overline{AB}\). Значит, векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 7. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
Ответ. Пусть CD – прямая, а вектор \(\overline{CD}\) – часть прямой CD. Пусть AB – прямая, в которую переходит прямая CD при параллельном переносе, \(\overline{AB}\) – вектор, в который при параллельном переносе переходит вектор \(\overline{CD}\), а значит, векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) равны, а прямые AB и CD параллельны (см. рис. 213). Как мы знаем, через точку не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (аксиома параллельных прямых). Значит, через точку A можно провести одну прямую, параллельную прямой CD. Так как вектор \(\overline{AB}\) – часть прямой AB, то через точку A можно провести один вектор \(\overline{AB}\), равный вектору \(\overline{CD}\).

Вопрос 8. Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная величина вектора с координатами a 1 , a 2 ?
Ответ. Пусть вектор \(\overline{a}\) имеет началом точку A 1 (x 1 ; y 1), а концом точку A 2 (x 2 ; y 2). Координатами вектора \(\overline{a}\) будем называть числа a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае \(\overline{a}\) (a 1 ; a 2) или просто \((\overline{a 1 ; a 2 })\). Координаты нулевого вектора равны нулю.
Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсолютная величина вектора с координатами a 1 , a 2 равна \(\sqrt{a^2 1 + a^2 2 }\).

Вопрос 9. Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.
Ответ. Пусть A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2) – начало и конец вектора \(\overline{a}\). Так как равный ему вектор \(\overline{a"}\) получается из вектора \(\overline{a}\) параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно A" 1 (x 1 + c; y 1 + d), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Отсюда видно, что оба вектора \(\overline{a}\) и \(\overline{a"}\) имеют одни и те же координаты: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть соответствующие координаты векторов \(\overline{A 1 A 2 }\) и \(\overline{A" 1 A" 2 }\) равны. Докажем, что векторы равны.
Пусть x" 1 и y" 1 - координаты точки A" 1 , а x" 2 , y" 2 - координаты точки A" 2 . По условию теоремы x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1 , y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1 . Отсюда x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1 , y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1 . Параллельный перенос, заданный формулами

x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,

переводит точку A 1 в точку A" 1 , а точку A 2 в точку A" 2 , т.е. векторы \(\overline{A 1 A 2 }\) и \(\overline{A" 1 A" 2 }\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 10. Дайте определение суммы векторов.
Ответ. Суммой векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) с координатами a 1 , a 2 и b 1 , b 2 называется вектор \(\overline{c}\) с координатами a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , т.е.

\(\overline{a} (a 1 ; a 2) + \overline{b}(b 1 ; b 2) = \overline{c} (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).

Что такое вектор? Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами. Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами.

Понятие вектора Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Определение. Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Понятие вектора Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: ММ = 0. ММ = 0. a b c М

Понятие вектора Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ = а = АВ = 5 АВ = а = АВ = 5 с = 17 с = 17 Длина нулевого вектора считается равной нулю: Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. ММ = 0. a М В А с

Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. аb c d m n s L

Откладывание вектора от данной точки Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой А а М а

Сумма двух векторов Рассмотрим пример: Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(V), а потом поехал в кинотеатр(К). Петя из дома(D) зашел к Васе(V), а потом поехал в кинотеатр(К). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DV и VK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DV и VK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: DK=DB+BK. DK=DB+BK. Вектор DK называется суммой векторов DB и BK. D V K

Сумма двух векторов Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b АС = а + b a b A a b B C
Противоположные векторы Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены. a = АВ, b = BA Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c. Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0 А B a b c -c

Вычитание векторов Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. а а b -b a - b

Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .

Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.

Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:

где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .

Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде

называется вектор-столбцом .

Число n называется размерностью (порядком ) вектора. Если то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора ). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.

Г – 9 класс Урок № 2

Тема: Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.

Цели:

ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов;

научить обучающихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному;

закрепить знания обучающихся в ходе решения задач;

развивать память, внимание, математическое мышление;

вырабатывать трудолюбие, стремление достигать поставленные цели и задачи.

Ход урока.

Организационные моменты.

Сообщение темы и целей урока.

Актуализация знаний и умений обучающихся.

1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.

2. Проверка теоретических сведений:

Равнобедренный треугольник и его свойства. Признаки равенства треугольников.

Определение средней линии треугольника и ее свойство.

Теорема Пифагора и обратная ей теорема.

Формула для вычисления площади треугольника.

Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника.

Определение трапеции, виды трапеций.

Площадь параллелограмма, площадь трапеции.

Изучение нового материала.

Материал пунктов 76–78 изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных презентации «Вектора»

1. Понятие векторных величин (или коротко векторов).

2. Примеры векторных величин, известных обучающимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (рис. 240 учебника).

3. Определение вектора (рис. 241, 242).

4. Обозначение вектора – двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 243, а, б).

5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают: (рис. 243, а).

6. Определение длины или модуля ненулевого вектора . Обозначение: . Длина нулевого вектора = 0.

7. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б.

8. Выполнить практические задания № 738, 739.

9. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (из пп. 77 учебника), рис. 244.

10. Ввести понятие коллинеарных векторов (рис. 245).

11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246).

12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13. Определение равных векторов: если и , то .

14. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» (рис. 247).

15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16. Выполнение практического задания № 743.

17. Устно по готовому чертежу на доске решить задачу № 749.

Решение задач.

1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2. Устно решить задачу № 744.

3. Решить задачу № 742.

4. Решить задачу № 745 (выборочно).

5. Устно по заготовленному чертежу решить задачу № 746.

6. Доказать прямое утверждение в задаче № 750:

Доказательство

По условию , то AB || CD, значит, по признаку параллелограмма АВDС – параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и BC совпадают.

Повторение организовать в ходе решения следующих задач - Задания для повторения из банка заданий ОГЭ (ГИА)-2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 – из модуля «Геометрия»; № 24 – из части 2 модуля «Геометрия» Вариант № 3

Итоги урока.

Подведение итогов урока. Выставление отметок.

В результате изучения § 1 обучающиеся должны знать определения вектора и равных векторов; уметь изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; решать задачи типа №№ 741–743; 745–752.



Домашнее задание: изучить материал пунктов 76–78; ответить на вопросы 1–6, с. 213 учебника; решить задачи №№ 747, 749, 751.