Подобие фигур определение. Реферат: Подобие фигур. Свойства подобных фигур

Вторая мировая война.
Агрессия фашистской Германии в 1939 — 1941 годы.

Вторая мировая война (1 сентября 1939- 2 сентября 1945) (2195 дней )- война двух мировых военно-политических коалиций, ставшая крупнейшим вооружённым конфликтом в истории человечества. В ней участвовали 62 государства из 73 существовавших на тот момент (80 % населения Земного шара ). Боевые действия велись на территории трёх континентов и в водах четырёх океанов. Это единственный конфликт, в котором было применено ядерное оружие.

Вторая мировая война — мировая война, длившаяся с 1 сентября 1939 по 2 сентября 1945 . Началась нападением Германии на Польшу, а закончилась капитуляцией союзника Германии Японии.

Великая Отечественная война — война между СССР и Германией с 22 июня 1941 по 9 мая 1945 Началась нападением Германии и ее союзников на СССР, а закончилась капитуляцией Германии.

Основные союзники Германии в войне Италия, Венгрия, Румыния, Япония, Финляндия, Словакия.

Кто объявил войну	Кому была объявлена война	Дата
Германия		1 сентября 1939 г.
		1 сентября 1939 г.
Великобритания	Германия	3 сентября 1939 г.
	Германия	3 сентября 1939 г.
	Германия	3 сентября 1939 г.
	Германия	3 сентября 1939 г.
Британская Индия	Германия	3 сентября 1939 г.
Южно-Африканский Союз	Германия	6 сентября 1939 г.
Канада	Германия	10 сентября 1939 г.
	Великобритания	10 июня 1940 г.
Германия	СССР	22 июня 1941 г.
	СССР	22 июня 1941 г.
Румыния	СССР	22 июня 1941 г.
	СССР	23 июня 1941 г.
	СССР	26 июня 1941 г.
Венгрия	СССР	27 июня 1941 г.
США	Япония	8 декабря 1941 г.
Великобритания	Япония	8 декабря 1941 г.
Германия	США	11 декабря 1941 г.
	США	11 декабря 1941 г.
СССР	Япония	8 августа 1945 г.

В первой половине 30-х гг. произошло укрепление позиций СССР на международной арене .

• В конце 1933 г. США признали Советский Союз.
• В сентябре 1934 г. Советский Союз был принят в Лигу Наций и стал постоянным членом ее Совета.
• В 1935 г. были подписаны советско-французский и советско-чехословацкий договоры о.взаимопомощи на случай любой агрессии против них в Европе.

Западные страны проводили в отношении Германии, Италии и Японии политику «умиротворения» , надеясь столкнуть их с Советским Союзом. Международная напряженность усиливалась.

После при­хо­да в 1933 г. к вла­сти на­ци­о­нал-со­ци­а­ли­стов Гер­ма­ния взяла курс на ми­ли­та­ри­за­цию стра­ны и агрес­сив­ную внеш­нюю по­ли­ти­ку. За несколь­ко лет была со­зда­на мощ­ная армия, об­ла­дав­шая са­мы­ми со­вре­мен­ны­ми во­ору­же­ни­я­ми. Пер­вич­ной внеш­не­по­ли­ти­че­ской за­да­чей Гер­ма­нии в этот пе­ри­од было при­со­еди­не­ние всех ино­стран­ных тер­ри­то­рий со зна­чи­тель­ной долей немец­ко­го на­се­ле­ния, а гло­баль­ной целью – за­во­е­ва­ние жиз­нен­но­го про­стран­ства для гер­ман­ской нации. До на­ча­ла войны Гер­ма­ния ан­нек­си­ро­ва­ла Ав­стрию и стала ини­ци­а­то­ром раз­де­ла Че­хо­сло­ва­кии, по­ста­вив под кон­троль зна­чи­тель­ную ее часть. Круп­ней­шие за­пад­но­ев­ро­пей­ские дер­жа­вы – Фран­ция и Ве­ли­ко­бри­та­ния – не воз­ра­жа­ли про­тив по­доб­ных дей­ствий Гер­ма­нии, счи­тая, что удо­вле­тво­ре­ние тре­бо­ва­ний Гит­ле­ра по­мо­жет из­бе­жать войны.

• В 1935 г. Германия ввела свои войска в демилитаризованную Рейнскую область ; На рассвете 7 марта 1936 года 19 пехотных батальонов германской армии и несколько военных самолетов были переброшены в Рейнскую область.

• Гитлер позже сказал : «48 часов после марша в Рейнскую область были самыми изматывающими в моей жизни. Если бы французы вошли в Рейнскую область, нам пришлось бы ретироваться с поджатыми хвостами. Военные ресурсы, находившиеся в нашем распоряжении, были неадекватны даже для оказания умеренного сопротивления»
• В 1935 г. напала на Эфиопию.
• В 1936 г. Германия и Япония подписали соглашение, направленное против Советского Союза (Антикоминтерновский пакт ).
• Опираясь на поддержку Германии, Япония приступила в 1937 г. к крупномасштабной военной операции против Китая .
• В марте 1938 г. Германия осуществила аншлюс (присоединение) Австрии.

Аншлюс (нем. Anschluss (- присоединение, союз) - включение Австрии в состав Германии, состоявшееся 12-13 марта 1938 года. (План «Отто»)

Присоединив Австрию, Гитлер получил стратегический плацдарм для захватаЧехословакии и дальнейшего наступления в Юго-Восточной Европе и наБалканах, источники сырья, людские ресурсы и военные производства. В результате аншлюса территория Германии увеличилась на 17 %, население - на 10 % (на 6,7 млн человек). В состав вермахта были включены 6 сформированных в Австрии дивизий.

• Гитлер потребовал передать Германии Судетскую область Чехословакии , населенную в основном немцами. Надеясь направить агрессию Германии на восток, правительства Англии и Франции согласились на это требование (Мюнхенское соглашение сентября 1938 г.) .

«Великобритании был предложен выбор между войной и бесчестием. Она выбрала бесчестие и получит войну.»

14-15 марта 1939 года Под давлением Германии словаки объявляют о своей независимости и создают Словацкую республику . Немцы нарушают Мюнхенское соглашение, оккупировав остатки чешских земель, и создают Протекторат Богемии и Моравии.

14 марта 1939 года почти бескровно прошла оккупация Чехословакии. Только одна армейская часть выступила против немецкой агрессии. Чехословакия была предана и отдана на расправу с молчаливого согласия европейских держав.

Протекторат Богемии и Моравии - зависимое государственное образование, учреждённое властями Третьего рейха в преддверии 2-й мировой войны на оккупированных территориях Богемии, Моравии и Силезии, населённых этническими чехами.

Оккупация Чехословакии свидетельствует о крахе «политике умиротворения»

После «мюнхенского сговора» начинаются охлаждение отношений Англии и Франции с Германией и попытки наладить сотрудничество с СССР, используя его в качестве противовеса неуправляемой Германии.
Реальные контакты между Англией, Францией и СССР по поводу германской угрозы начались в марте 1939 г . В апреле 1939 г. эксперты трех стран впервые стали рассматривать проекты договора о взаимопомощи в связи с возможной германской агрессией. Предложения участников переговоров были далеки друг от друга, так как каждая из стран стремилась получить односторонние преимущества (западные страны — заставить СССР выставить значительно больше дивизий в случае военных действий, а Советский Союз — увеличить свое политическое влияние в Польше, Румынии и Прибалтике), кроме того, ни одна из сторон не хотела брать на себя однозначные обязательства вступать в войну в случае начала боевых действий против одного из возможных союзников.

В середине апреля Британия предложила СССР взять на себя односторонние обязательства помощи «своим европейским соседям» в случае совершенной против них агрессии. В свою очередь Франция заявила о готовности обменяться с СССР письмами, гарантирующими взаимную поддержку сторон, если одна из них будет втянута в войну с Германией из-за оказания помощи Польше или Румынии.

7 апреля Советское правительство выдвинуло встречные предложения , которые своей конструктивностью не шли, конечно, ни в какое сравнение с осторожными и чаще всего не рассчитанными на взаимность предложениями западных демократий. Вот их суть:

«1. Англия, Франция, СССР заключают между собою соглашение сроком на 5–10 лет о взаимном обязательстве оказывать друг другу немедленно всяческую помощь, включая военную, в случае агрессии в Европе против любого из договаривающихся государств.

2. Англия, Франция, СССР обязуются оказывать всяческую, в том числе и военную, помощь восточноевропейским государствам, расположенным между Балтийским и Черным морями и граничащим с СССР, в случае агрессии против этих государств.

3. Англия, Франция и СССР обязуются в кратчайший срок обсудить и установить размеры и формы военной помощи, оказываемой каждым из этих государств во исполнение § 1 и 2. …

Английское и французское правительства знали, что СССР заявил о готовности выставить против агрессора в Европе 136 дивизий, 5 тыс. тяжелых орудий, 9–10 тыс. танков, 5–5,5 тыс. боевых самолетов.

Младшие партнеры Англии и Франции — Румыния, Польша и страны Прибалтики — резко негативно высказывались о предложениях Советского Союза предоставить ему право вводить войска на территории этих стран в случае немецкой агрессии . Несмотря на разность подходов, постепенно позиции сторон сближались. Это привело к возможности проведения в Москве 12-21 августа 1939 г. переговоров англо-франко-советских военных миссий.

Основными противоречиями были по-прежнему вопросы о количестве выставляемых советских дивизий, о гарантиях оказания помощи союзникам в случае конфликта и праве прохода советских войск через территорию Польши и Румынии. К 17 августа переговоры зашли в тупик.

Англо-франко-советские переговоры о заключении пакта о взаимопомощи начались ещё в апреле 1939 года и продолжались четыре месяца.

7-15 апреля 1939 года Фашистская Италия нападает на Албанию и аннексирует ее.

Практически одновременно с началом переговоров с Англией и Францией с весны 1939 г. СССР приступил к осторожному зондажу немецких позиций по поводу возможного сближения. В ходе предварительных секретных переговоров между Германией и Советским Союзом были достигнуты договоренности, приведшие к подписанию в Москве 23 августа 1939 г. министром иностранных дел Германии Риббентропом и народным комиссаром иностранных дел СССР В. М. Молотовым пакта о ненападении.

Секретный дополнительный протокол к пакту предусматривал разграничение «сфер влияния» Германии и СССР в Восточной Европе. Согласно ему

• Польша становилась немецкой «сферой влияния», за исключением восточных областей,
• а Прибалтика, Восточная Польша, Финляндия, Бессарабия и Северная Буковина (часть Румынии) — «сферой влияния» СССР, то есть СССР фактически вернул утраченные в 1917-1920 гг. территории бывшей Российской империи.

Заключение данного пакта привело к прекращению всех дипломатических контактов между Англией, Францией и СССР, отзыву английской и французской делегаций из Москвы.

Отношения на Востоке
В июле 1937г. Япония начинает крупномасштабную агрессию против Китая. В результате боевых действий в течение двух лет японская армия захватила основные промышленные и сельскохозяйственные районы Китая. Ухудшение положения Китайской республики усилило его контакты с СССР. В августе 1937 г. СССР заключил с Китаем договор о ненападении, сразу же после этого Советский Союз начинает военные поставки в Китай. В боях на стороне китайской армии участвовали советские инструкторы и летчики из советских ВВС. Вплоть до 1939 г. СССР оказывал активную поддержку Китаю, однако после заключения советско-немецкого пакта о ненападении от 23 августа 1939 г. она резко сократилась.
В июле-августе 1938 г. на советско-маньчжурской границе в районе озера Хасан происходят военные столкновения между частями Красной Армии и японскими войсками.

(командующий советскими войсками В.К. Блюхер)

и 20-31 августа 1939 г. на маньчжурско-монгольской границе в районе реки Халхин-Гол (командующий Г.К. Жуков ) происходят военные столкновения между частями Красной Армии и японской Квантунской армией . Причинами этих столкновений были рост напряженности между двумя странами и стремление каждой из сторон улучшить свою пограничную линию. В каждом из конфликтов стороны пытались оказать политическое давление на противника и выяснить его военный потенциал. В итоге ни одной из сторон не удалось добиться существенного преимущества, хотя Красная Армия в обоих случаях значительно улучшила свое положение на границе.

Сражение на реке Халхин-Гол (1939)

1 сен­тяб­ря 1939 года Гер­ма­ния на­па­ла на Поль­шу, ис­поль­зуя за­ра­нее раз­ра­бо­тан­ный во­ен­ный план под ко­до­вым на­зва­ни­ем «Вайс» . Это со­бы­тие при­ня­то счи­тать на­ча­лом Вто­рой ми­ро­вой войны.

3 сен­тяб­ря Ан­глия и Фран­ция объ­яви­ли войну Гер­ма­нии, т. к. были свя­за­ны с Поль­шей до­го­во­ром о вза­и­мо­по­мо­щи, но фак­ти­че­ски не пред­при­ня­ли ни­ка­ких бо­е­вых дей­ствий . Такие дей­ствия вошли в ис­то­рию как «Стран­ная война ». Гер­ман­ские вой­ска, ис­поль­зуя так­ти­ку «блиц­кри­га» – мол­ние­нос­ной войны , уже 16 сен­тяб­ря про­рва­ли поль­ские укреп­ле­ния и вышли к Вар­ша­ве. 28 сен­тяб­ря сто­ли­ца Поль­ши пала. Польское правительство отправляется в изгнание через Румынию.

Странная война – термин, приписываемый периоду с 3 сентября 1939 года и по 10 мая 1940 года на Западноевропейском театре военных действий или Западном фронте.

Военных сил Франции и Англии было вполне достаточно для решительного наступления: только во французскую армию было мобилизовано 110 дивизий, имевших 2560 танков и 10 тысяч орудий ; экспедиционный корпус англичан имел в своем составе 5 дивизий, около 1 500 самолетов.

Германия, сосредоточившая основные, отборные дивизии на востоке, в Польше, на Западном фронте имела лишь 23 резервных , наспех собранных, плохо вооруженных и обученных дивизий ландвера с запасами снаряжения и боеприпасов лишь на три дня боя.

Общие французские потери к концу декабря 1939 года составили 1433 человека. (09 декабря английская экспедиционная армия понесла первую жертву — был убит один капрал.)

В немецких войсках на Западном фронте насчитывалось менее 700 человек в числе убитых, раненых и пропавших без вести. Германские и союзные сводки гласили: «На Западном фронте без перемен».

Бывший начальник германского генерального штаба сухопутных войск генерал Гальдер признавал: «В сентябре 1939 года англо-французские войска могли бы, не встретив серьезного сопротивления, пересечь Рейн и угрожать рурскому бассейну, обладание которым являлось решающим фактором для ведения Германией войны»

Пассивно-выжидательная союзная стратегия «странной войны» означала продолжение правящими кругами Англии и Франции той же мюнхенской политики , на сей раз в обстановке формального состояния войны. Гитлеру вновь и вновь давали понять: его агрессия на Восток, против СССР, встретит одобрение, а война на Западе — отпор вооруженных сил Англии и Франции.

Ведя «странную войну», Англия и Франция давали Гитлеру возможность пойти на компромисс с Парижем и Лондоном. С этой целью во французском парламенте был создан секретный Комитет связи , представители которого добивались переговоров с Гитлером.

Профашисты — министр иностранных дел Боннэ, Л’аваль, капитулянты — бывшие премьер-министры Фланден и Шотан, маршал Петэн считали необходимым пойти на сговор с Гитлером , установить фашистские порядки в стране. Возглавлявший французское командование в Сирии и Ливане генерал Вейган предлагал «сломать хребет СССР» .

Пораженцы-мюнхенцы в Англии во главе с премьер-министром Н. Чемберленом , министром иностранных дел Галифаксом, министром авиации By дом, Саймоном, Хором, фашистские элементы во главе с Мое ли также выступали за превращение «ненужной войны» против Германии в «нужную войну» капиталистических государств против СССР. Галифакс в беседе с послом США в Англии Джозефом Кеннеди говорил, что «продолжение войны будет означать победу большевизма во всей Европе»

В новых международных условиях СССР приступил к реализации советско-германских договоренностей. 17 сентября , после разгрома немцами польской армии и падения польского правительства, Красная Армия вступила в Западную Белоруссию и Западную Украину .

Слева: раздел сфер интересов в Восточной Европе по дополнительному протоколу.
Справа: фактические территориальные изменения к 1941 году.
Оранжевым цветом изображены территории, отходящие и отошедшие к СССР, голубым - территории, отошедшие к рейху, фиолетовым - территории, оккупированные Германией

В октябре 1939 г. СССР предложил Финляндии сдать в аренду на 30 лет полуостров Ханко, имевший стратегическое значение для наших границ, а также передать острова в Финском заливе, часть полуостровов Рыбачий и Средний около Мурманска и часть Карельского перешейка - т.е. около 2 710 кв. км в обмен на территорию в Советской Карелии размером в 5 523 кв. км. Финская сторона не приняла эти условия, и переговоры 13 ноября были прерваны, а затем вспыхнул военный конфликт.

Советско-финская война длилась 105 дней , с 30 ноября 1939 г. по 12 марта 1940 г . Хотя эта кампания и закончилась победой СССР, позволила стране усилить стратегические позиции на северо-западе, отодвинуть границу от Ленинграда, все же она нанесла Советскому Союзу политический и моральный ущерб. Мировое общественное мнение в этом конфликте было на стороне Финляндии, престиж СССР заметно упал. 1 4 декабря 1939 г . СССР был исключен из Лиги Наций.

Советско-финская война 1939-1940 гг.

После по­ко­ре­ния сво­е­го во­сточ­но­го со­се­да гит­ле­ров­ская Гер­ма­ния об­ра­ти­ла свои взоры на север и запад. Свя­зан­ная с СССР до­го­во­ром о нена­па­де­нии, она не могла раз­ви­вать на­ступ­ле­ние на со­вет­ские земли.

9 апреля - 9 июня 1940 года Германия вторгается в Данию и Норвегию. Дания сдается в день нападения; Норвегия сопротивляется до 9 июня.

Операция Везерюбунг (нем. Fall Weserübung) , также: «Учения на Везере» или «Везерские манёвры» - немецкая операция по захвату Дании (Везерюбунг-Зюйд (нем. Weserübung-Süd)) и Норвегии (Везерюбунг-Норд (нем. Weserübung-Nord)) во время Второй мировой войны. К апрелю 1940 Германия уже 7 месяцев находилась в состоянии войны с Великобританией и Францией. Однако западные союзники занимали позицию выжидания и не вели активных боевых действий, ограничиваясь морскими операциями («Странная война»). Дания и Норвегия после начала войны объявили о своём нейтралитете.

Планируя вторжение во Францию , немцы беспокоились,

• что в этом случае англо-французские войска могут занять Данию и Норвегию и получить хороший плацдарм для атаки по Германии.
• Кроме того, оккупация Норвегии Великобританией и Францией для Германии означало бы фактическую блокаду военно-морского флота и прекращение поставок ценнейшего стратегического сырья - железной руды (её ежегодный импорт в Германию на тот момент составлял 11 млн. тонн), без которой она долго продержаться не могла.
• С другой стороны, для Германии захват Норвегии означал бы не только решение вышеуказанных проблем, но и приобретение военно-морских баз которые можно было бы использовать в Атлантических сражениях.

После по­ра­же­ния ан­глий­ских войск в Нор­ве­гии пре­мьер-ми­ни­стром Ве­ли­ко­бри­та­нии ста­но­вит­ся Уин­стон Чер­чилль – сто­рон­ник ре­ши­тель­ной борь­бы с Гер­ма­ни­ей.

Не опа­са­ясь за свой тыл, Гит­лер раз­во­ра­чи­ва­ет вой­ска на запад, с целью по­ко­ре­ния Фран­ции. На про­тя­же­нии 1930-х гг. на во­сточ­ной гра­ни­це Фран­ции со­зда­ва­лась укреп­лен­ная «Линия Ма­жи­но », ко­то­рую фран­цу­зы счи­та­ли непри­ступ­ной.

Счи­тая, что Гит­лер будет на­сту­пать «в лоб», имен­но здесь были со­сре­до­то­че­ны ос­нов­ные силы фран­цу­зов и при­быв­ших им на по­мощь ан­гли­чан. К се­ве­ру от линии рас­по­ла­га­лись неза­ви­си­мые стра­ны Бе­ни­люк­са. Немец­кое ко­ман­до­ва­ние, не счи­та­ясь с су­ве­ре­ни­те­том стран, на­но­сит глав­ный удар сво­и­ми тан­ко­вы­ми вой­ска­ми с се­ве­ра, об­хо­дя «линию Ма­жи­но», и по­пут­но за­хва­ты­вая Бель­гию, Гол­лан­дию (Ни­дер­лан­ды) и Люк­сем­бург, вы­хо­дит в тыл фран­цуз­ским вой­скам.

План «Гельб» (нем. Fall Gelb ) - кодовое название немецкого плана блицкрига против Бельгии, Голландии,Люксембурга, а также Франции в 1940 году. Позднее был частично реализован в ходе гитлеровского наступления, известного как Французская кампания.

Разработка наступления на Францию была начата 27 сентября 1939 года. На собрании главнокомандующих и военачальников штабов Гитлер подчеркнул: «Цель войны - поставить Англию на колени, разгромить Францию»

План «Гельб» предусматривал наступление основных сил немецких войск (2 группы армий в составе 5 армий и танковой группы при поддержке 2 воздушных флотов) на фронте от Северного моря до южной границы Люксембурга через территорию нейтральных государств Нидерландов, Бельгии и Люксембурга. Направление главного удара намечалось южнее Льеж-Шарлеруа с форсированием р. Маас у Динана и Седана и последующим выходом главной группировки к нижнему течению р. Сомма, разгромом англо-французских войск и успешным завершением войны на Западе. Начало наступления планировалось на 12 ноября 1939, затем сроки наступления переносились 29 раз. Для реализации плана «Гельб» к 10 мая 1940 германским командованием была развернута группировка в составе 3 групп армий («А», «Б» и «Ц»), поддерживаемая 2 воздушными флотами (2-м и 3-м); всего 135,5 дивизий, в т. ч. 10 танковых и 6 моторизованных, 2580 танков, 3834 самолета. План «Гельб» был осуществлен в ходе Французской кампании 1940.

* Количество дивизий на Северо-Восточном фронте с резервом главного командования, без учета французских сил в Альпах (Юго-Восточный фронт), в Северной Африке и Леванте. В состав французских сил включена одна польская дивизия. Крепостные войска 19 укрепрайонов и укрепсекторов приравнены к 13 пехотным дивизиям.

** Не включены три пехотные дивизии неполного состава, предназначавшиеся для охраны коммуникаций.

*** Крепостные части приравнены к одной пехотной дивизии.

**** 4-я танковая дивизия сформирована в ходе боевых действий.

***** На территории метрополии и во Франции.

10 мая - 22 июня 1940 года Германия вторгается в западную Европу - Францию и нейтральные страны Бенилюкса.

• Люксембург оккупирован 10 мая ;
• Нидерланды сдаются 14 мая ;
• Бельгия - 28 мая.
• 10 июня 1940 года Италия вступает в войну. 21 июня Италия вторгается в южную Францию.
• Утром 14 июня гитлеровские войска вступили в Париж . Над правительственными зданиями были подняты флаги с фашистской свастикой

22 июня пра­ви­тель­ство мар­ша­ла Петена вы­нуж­де­но было под­пи­сать мир­ный до­го­вор с Гит­ле­ром, по ко­то­ро­му весь север и запад Фран­ции пе­ре­хо­дил Гер­ма­нии

Встреча маршала Филиппа Петена, ставший главой Франции, с Адольфом Гитлером

В южной части Франции устанавливается коллаборационистский режим со столицей в городе Виши, а само фран­цуз­ское пра­ви­тель­ство обя­за­но было со­труд­ни­чать с Гер­ма­ни­ей.

После заключения перемирия Франция оказалась разделенной на две зоны:

• оккупированную (Северная и Центральная Франция) и
• не оккупированную (Южная Франция), полностью зависимую от Германии.

На оккупированной территории до войны проживало

• 65 процентов населения страны,
• выплавлялось 97 процентов чугуна и
• 94 процента стали,
• добывалось 79 процентов угля,
• 100 процентов железной руды,
• собиралось 75 процентов урожая пшеницы,
• насчитывалось 75 процентов конского поголовья,
• 65 процентов крупного рогатого скота.

В Северной и Центральной Франции сосредоточивалось большинство предприятий машиностроительной, автомобильной, авиационной, химической промышленности. Весь экономический потенциал оккупированной зоны был поставлен на службу фашистскому рейху . Оккупационные власти прибегали к прямому грабежу Франции, а также к грабежу с помощью различных методов внедрения германского капитала в ее экономику.

При­ме­ча­тель­но, что под­пи­са­ние мира про­хо­ди­ло в том самом ва­гон­чи­ке в Компьен­ском лесу , в ко­то­ром Гер­ма­ния под­пи­сы­ва­ла мир­ный до­го­вор, за­вер­шив­ший Первую ми­ро­вую войну. Фран­цуз­ское пра­ви­тель­ство, со­труд­ни­чая с Гит­ле­ром, стало кол­ла­бо­ра­ци­о­нист­ским , т. е. доб­ро­воль­но по­мо­га­ло Гер­ма­нии.

Здесь 22 года назад 11 ноября 1918 г. в белом салон-вагоне маршал Фош продиктовал условия перемирия побежденной Германии. По приказу Гитлера исторический вагон Фоша был изъят из музея и, чтобы как можно больше унизить французов, поставлен на то место, где он стоял в 1918 г.

24 июня 1940 г . франко-итальянское соглашение о перемирии было подписано .

25 июня в 1 час 16 минут военные действия во Франции были официально прекращены.

Боевые действия вермахта окончились победой Германии. Франция потерпела жестокое поражение.

• Французская армия потеряла 84 тыс. убитыми, 1 547 тыс. солдат и офицеров оказались в германском плену
• Потери вермахта были меньшими — 27 074 убитых, 18 384 пропавших без вести и 111 043 раненых

На­ци­о­наль­ную борь­бу воз­гла­вил ге­не­рал Шарль де Голль , ко­то­рый не при­знал по­ра­же­ния и встал во главе со­здан­но­го ан­ти­фа­шист­ско­го ко­ми­те­та «Сво­бод­ная Фран­ция» .

Над Англией нависла угроза полного поражения . Это сознавало английское правительство. «В 1940 г.,- говорил впоследствии Черчилль ,- армия вторжения, примерно 150 тыс. отборных солдат, могла бы произвести огромное опустошение в нашей среде»

10 июля - 31 октября 1940 года. Война в воздухе против Англии, известная как Б итва за Англию . Не рас­по­ла­гая до­ста­точ­ны­ми мор­ски­ми си­ла­ми для втор­же­ния в Ве­ли­ко­бри­та­нию, Гер­ма­ния при­ни­ма­ет ре­ше­ние о каж­до­днев­ных бом­бар­ди­ров­ках, ко­то­рые долж­ны пре­вра­тить ан­глий­ские го­ро­да в руины. Наи­бо­лее силь­ные раз­ру­ше­ния по­лу­чил город Ко­вен­три, на­зва­ние ко­то­ро­го стало си­но­ни­мом бес­по­щад­ных воз­душ­ных атак – бом­бар­ди­ро­вок.

В 1940 году США стали по­мо­гать Ан­глии во­ору­же­ни­ем и доб­ро­воль­ца­ми. Со­еди­нён­ные Штаты не же­ла­ли уси­ле­ния Гит­ле­ра и по­сте­пен­но стали вы­хо­дить из своей по­ли­ти­ки «невме­ша­тель­ства» в ми­ро­вые дела. Фак­ти­че­ски, толь­ко по­мощь США спас­ла Ан­глию от по­ра­же­ния.

Всего (с июня 1940 по июнь 1941 ) немецкая авиация совершила свыше 46 тысяч самолето-вылетов и сбросила около 60 тысяч тонн бомб , потеряв при этом 1733 самолета (англичане - 915 самолетов) . Жертвы среди населения Великобритании составили: было убито свыше 43 тыс. человек и тяжело ранено около 51 тыс. Ряд городов был сильно разрушен. Однако главная цель — вывести Великобританию из войны — достигнута не была .

Успехи фашистской Германии в «молниеносной войне» против сил англо-французской коалиции изменили политическую обстановку в Европе. Быстро высвободив свои вооруженные силы в Западной Европе, рейх начал непосредственную подготовку к новым захватническим походам. Со всей очевидностью вырисовывалась угроза германской агрессии на Балканах, Ближнем и Среднем Востоке.

Со­юз­ник Гит­ле­ра ита­льян­ский дик­та­тор Мус­со­ли­ни, ру­ко­вод­ству­ясь своей идеей о вос­ста­нов­ле­нии Рим­ской им­пе­рии, начал во­ен­ные дей­ствия про­тив Гре­ции, но увяз там в боях.

Гер­ма­ния, к ко­то­рой он об­ра­тил­ся за по­мо­щью, через ко­рот­кое время ок­ку­пи­ро­ва­ла всю Гре­цию и ост­ро­ва, при­со­еди­нив их к себе.

Югославская операция , также известна как Апрельская война - военная операция стран «оси» (Германии,Италии, Венгрии) и объявившей в ходе конфликта независимость Хорватии против Югославии во время Второй мировой войны. Операция длилась с 6 по 17 апреля 1941 года и завершилась 17 апреля после капитуляции Королевства Югославии.

(10 апреля 1941 года лидеры террористического движения усташей провозглашают так называемое Независимое государство Хорватия. Немедленно признанное Германией и Италией, новое государство включает в себя также Боснию и Герцеговину. Хорватия официально присоединяется к государствам «Оси» 15 июня 1941 года. )

Греческая операция , также известная как операция «Марита» (6 апреля-30 апреля 1941) - общее название военных действий во время вторжения нацистской Германии в Грецию в апреле 1941 года. Её, как правило, отделяют от битвы за Крит, которая произошла после подавления материковой Греции.

Битва за Крит ,в немецких планах - операция «Меркурий» - стратегическая десантная операция Германии в ходе Второй мировой войны. Сражение за Крит происходило с 20 по 31 мая 1941 года. Операция имела целью уничтожение британского гарнизона на острове Крит для установления стратегического контроля над Средиземноморским бассейном. Окончилась оккупацией Крита, Германия получила контроль над коммуникациями восточного Средиземноморья.

Эти операции были частью Балканской кампании Германии во время Второй мировой войны.

1. Синий цвет - Германия , её завоевания и союзники.
2. Красный - территории, подконтрольные Великобритании .
3. Зелёный - СССР

• 28 июня 1940 года СССР принуждает Румынию уступить восточную область Бессарабии и северную половину Буковины Советской Украине.
• 14 июня - 6 августа 1940 года 14-18 июня Советский Союз оккупирует прибалтийские государства, 14-15 июля устраивает в каждом из них коммунистический переворот, а затем, 3-6 августа, присоединяет их в качестве Советских республик.
• 13 сентября 1940 года Итальянцы нападают на находящийся под контролем Британии Египет с территории управляемой ими самими Ливии.
• Ноябрь 1940 года К германской коалиции присоединяются Словакия (23 ноября), Венгрия (20 ноября) и Румыния (22 ноября).
• Февраль 1941 года Германия посылает в северную Африку свой Африканский корпус, чтобы поддержать нерешительно действующих итальянцев.

На­ча­ло Вто­рой ми­ро­вой войны стало ло­гич­ным про­дол­же­ни­ем пред­ше­ству­ю­щей агрес­сив­ной по­ли­ти­ки гит­ле­ров­ской Гер­ма­нии и ее стра­те­гии рас­ши­ре­ния жиз­нен­но­го про­стран­ства. Пер­вый этап войны про­де­мон­стри­ро­вал мощь по­стро­ен­ной в 1930-е годы немец­кой во­ен­ной ма­ши­ны, ко­то­рой не смог­ла про­ти­во­сто­ять ни одна из ев­ро­пей­ских армий. Одной из при­чин во­ен­ных успе­хов Гер­ма­нии была эф­фек­тив­ная си­сте­ма го­су­дар­ствен­ной про­па­ган­ды, бла­го­да­ря ко­то­рой немец­кие сол­да­ты и граж­дане чув­ство­ва­ли мо­раль­ное право на ве­де­ние этой войны.

Мы уже знаем, что такое равные фигуры: это фигуры, которые можно совместить наложением. Но в жизни мы чаще встречаемся не с равными, а с похожими фигурами. Например, и монета, и Солнце имеют форму круга. Они похожи, но не равны. Такие фигуры называются подобными. На данном уроке мы узнаем, какие фигуры называются подобными и какими свойствами они обладают.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок и ,

Теорема Фалеса

Стороны угла рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части (см. рис.5). То есть:

Аналогичное соотношение можно записать и для суммы длин отрезков:

Рис. 5. Иллюстрация к теореме Фалеса

Рассмотрим два треугольника и , у которых соответствующие углы равны (см. рис. 6):

Рис. 6. Треугольники с равными углами

Стороны, которые лежат против равных углов треугольников, называются сходственными .

Перечислим сходственные стороны: и (лежат против равных углов ), и (лежат против равных углов ), и (лежат против равных углов ).

Определение

Два треугольника и называются подобными , если соответствующие углы равны, а сходственные стороны - пропорциональны:

Причем , где - это коэффициент подобия треугольников .

РЕФЕРАТ

На тему: «Подобие фигур»

Выполнила:

ученица

Проверила:

1. Преобразование подобия

2. Свойства преобразования подобия

3. Подобие фигур

4. Признак подобия треугольников по двум углам

5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

6. Признак подобия треугольников по трем сторонам

7. Подобие прямоугольных треугольников

8. Углы, вписанные в окружность

9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ

Преобразование фигуры Fв фигуру F"называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Yфигуры Fпри преобразовании подобия переходят в точки X", Y"фигуры F",то X"Y" = k-XY, причем число k- одно и то же для всех точек X, Y. Число kназывается коэффициентом подобия. При k = lпреобразование подобия, очевидно, является движением.

Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k·OX, где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X", построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F" называются гомотетичными.

Теорема 1.Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О - центр гомотетии, k - коэффициент гомотетии, X и Y- две произвольные точки фигуры (рис.3)

Рис.3 Рис.4

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X" и Y" на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX" = k·OX, OY" = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ" = kOX, OY" = kOY.

Вычитая эти равенства почленно, получим: OY"-OX" = k (OY- OX).

Так как OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, то Х"Y" = kХY. Значит, /X"Y"/=k /XY/, т.e. X"Y" = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А 1 , В 1 , С 1 , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В 1 лежит между точками А 1 и С 1 . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А 1 В 1 С 1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А 2 и С 2 . Треугольники А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 . Значит, углы ABC и А 1 В 1 С 1 равны, что и требовалось доказать.

3. ПОДОБИЕ ФИГУР

Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F" читается так: «Фигура F подобна фигуре F"».

Докажем, что если фигура F 1 подобна фигуре F 2 , а фигура F 2 подобна фигуре F 3 , то фигуры F 1 и F 3 подобны.

Пусть Х 1 и Y 1 - две произвольные точки фигуры F 1 . Преобразование подобия, переводящее фигуру F 1 в F 2 , переводит эти точки в точки Х 2 , Y 2 , для которых X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 .

Преобразование подобия, переводящее фигуру F 2 в F 3 , переводит точки Х 2 , Y 2 в точки Х 3 , Y 3 , для которых X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2 .

Из равенств

X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

следует, что X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . А это значит, что преобразование фигуры F 1 в F 3 , получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F 1 и F 3 подобны, что и требовалось доказать.

В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А 1 , В - в B 1 и С - в С 1 .

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А 1 В 1 С 1

A=А 1 , В=В 1 , С=С 1

4. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ

Теорема 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 А=А 1 , B=B 1 . Докажем, что ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 .

Пусть . Подвергнем треугольник А 1 В 1 С 1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 6). При этом получим некоторый треугольник А 2 В 2 С 2 , равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то A 2= А 1 , B 2 = B 1 . А значит, у треугольников ABC и А 2 В 2 С 2 A = A 2 , B=B 2 . Далее, A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. Следовательно, треугольники ABC и А 2 В 2 С 2 равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам).

Так как треугольники А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А 2 В 2 С 2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А 1 В 1 С 1 и ABC подобны. Теорема доказана.

Задача. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, пересекает его сторону АС в точке А 1 , а сторону ВС в точке В 1 . Докажите, что Δ ABC ~ ΔА 1 В 1 С.

Решение (рис. 7). У треугольников ABC и А 1 В 1 С угол при вершине С общий, а углы СА 1 В 1 и CAB равны как соответствующие углы параллельных АВ и А 1 В 1 с секущей АС. Следовательно, ΔАВС~ΔА 1 В 1 С по двум углам.

5. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ

Теорема 3.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 C=C 1 и АС=kА 1 С 1 , ВС=kВ 1 С 1 . Докажем, что ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 .

Подвергнем треугольник A 1 B 1 C 1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 8).

При этом получим некоторый треугольник А 2 В 2 С 2 , равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то С 2 = =С 1 . А значит, у треугольников ABC и А 2 В 2 С 2 C=C 2 . Далее, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC. Следовательно, треугольники ABC и А 2 В 2 С 2 равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники A 1 B 1 C 1 и А 2 В 2 С 2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А 2 В 2 С 2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А 1 В 1 С 1 и ABC подобны. Теорема доказана.

Задача. В треугольнике ABC с острым углом С проведены высоты АЕ и BD (рис. 9). Докажите, что ΔABC~ΔEDC.

Решение. У треугольников ABC и EDC угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС=AC cos γ, DC = ВС соsγ. То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, ΔАВС~ΔEDC по двум сторонам и углу между ними.

6. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ

Теорема 4.Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 AB = kA 1 B 1 , AC = kA 1 C 1 , BC = kB 1 C 1 . Докажем, что ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 .

Подвергнем треугольник А 1 В 1 С 1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 10). При этом получим некоторый треугольник А 2 В 2 С 2 , равный треугольнику ABC. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

A 2 В 2 = kA 1 В 1 = АВ, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC.

Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники A 2 В 2 C 2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А 1 В 1 С 1 и ABC подобны. Теорема доказана.

Задача. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Решение. Пусть ABC и А 1 В 1 С 1 - подобные треугольники. Тогда стороны треугольника А 1 В 1 С 1 пропорциональны сторонам треугольника ABC, т. е. А 1 В 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. Складывая эти равенства почленно, получим:

A 1 B 1 + B 1 C 1 +A 1 C 1 =k(AB+BC+AC).

т. е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны.

7. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла (рис. 11).

Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: ΔABC~ΔCBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равны острые углы при вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:

Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов I на гипотенузу.

Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Пусть CD - биссектриса треугольника ABC (рис. 12). Если треугольник ABC равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса CD является и медианой.

Рассмотрим общий случай, когда АС≠ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD.

Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:

т. е. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать.

8. УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 13 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° - α, где α - градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 14).

Рис. 13 Рис.14

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 15). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Рис. 15 Рис. 16

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 16 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.

Теорема 5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 17, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы A и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 17, б, в). В случае, представленном на рисунке 17, б, АВС= CBD+ ABD= ½ COD + ½ АОD= ½ АОС.

В случае, представленном на рисунке 17, в,

ABC= CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

Теорема доказана полностью.

9. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S

ТоAS·BS=CS·DS.

Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 19). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 5. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASZ и CSB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

AS·BS = CS·DS, что и требовалось доказать

Рис.19 Рис.20

Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то

Пусть точки А и С - ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 20). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда PA·PB=PC·PD, что и требовалось доказать.

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

Геометрия

Подобие фигур

Свойства подобных фигур

Теорема. Когда фигура подобна фигуре , а фигура - фигуре , то фигуры и подобные.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. Например, в подобных треугольниках ABC и :
; ; ;
.

Признаки подобия треугольников

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам второго треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Теорема 3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Из этих теорем вытекают факты, которые являются полезными для решения задач.
1. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
На рисунке .

2. У подобных треугольников соответствующие элементы (высоты, медианы, биссектрисы и т.д.) относятся как соответствующие стороны.
3. У подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
4. Если О - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD , то .
На рисунке в трапеции ABCD: .

5. Если продолжение бічих сторон трапеции ABCD пересекаются в точке K , то (см. рисунок).
.

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то они подобны.
Теорема 2. Если два катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.
Теорема 3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника, подобные данному.
На рисунке .

Из подобия прямоугольных треугольников вытекает такое.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
; ,
или
; .
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
, или .
3. Свойство биссектрисы треугольника:
биссектриса треугольника (произвольного) делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
На рисунке в BP - биссектриса .
, или .

Сходство равносторонних и равнобедренных треугольников

1. Все равносторонние треугольники подобные.
2. Если равнобедренные треугольники имеют равные углы между боковыми сторонами, то они подобны.
3. Если равнобедренные треугольники имеют пропорциональные основание и боковую сторону, то они подобны.

Примеры

• Каждая гомотетия является подобием.
• Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1 .

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

Свойства

В метрических пространствах так же, как в n -мерных римановых , псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r -членную группу преобразований Ли , называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r − 1) -членную нормальную подгруппу движений.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Подобные фигуры" в других словарях:

ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ - фигуры, у которых соответственные линейные элементы пропорциональны, а углы между ними равны, т. е. при одинаковой форме имеют разные размеры … Большая политехническая энциклопедия

Две гомологические фигуры называются Г., если расстояния соответствующих точек до центра пропорциональны. Отсюда видно, что Г. фигуры суть фигуры подобные и подобно расположенные, или же подобные и обратно расположенные. Центр гомологии в этом… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 Формулировки 2 Доказательства … Википедия

Щит Тинктуры Щитодержатель Щитодержатель (девиз) … Википедия

Известная Шила на гиг из церкви в Килпеке, Англия Шила на гиг (англ. Sheela na Gig) скульптурные изображения обнажённых женщин, обычно с увеличенной в … Википедия

- … Википедия

Во второй раз собирался я ехать в страну черных, не обращая внимания на то, что ее адский климат едва не уморил меня в первую поездку. Я предпринимал это путешествие с весьма смешанными чувствами и никак не мог отделаться от различных,… … Жизнь животных

Общее имя с относительно ясным содержанием и сравнительно четко очерченным объемом. П. являются, напр., «химический элемент», «закон», «сила тяготения», «астрономия», «поэзия» и т.п. Отчетливой границы между теми именами, которые можно назвать П … Философская энциклопедия

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Книги

• Пророки и чудотворцы. Этюды о мистицизме , В. Е. Рожнов. Москва, 1977 год. Политиздат. Владельческий переплет. Сохранность хорошая. Спиритизм и астрология, теософия и оккультизм - эти слова постоянно можно встретить на страницах журналов и газет…
• Счет, форма, величина. Для занятий с детьми от 4 до 5 лет. Книжка с игрой и наклейками , Дорофеева А.. Альбом «Счет. Форма. Величина» из серии Школа семи гномов, пятый год обучения, представляет собой развивающее пособие, где каждое занятие проводится в игровой формеи продолжает давать детям в…