Силы и напряжения в сплошной среде. Тензор напряжений. Деформации в сплошной среде. Тензор деформаций. Тензор скоростей деформаций. Обобщенный закон гука, матрицы жесткости и упругости

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S ¡ j как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента S ¡ j линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и I содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9 X 9 = 81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C ijkl , определив посредством уравнения

где каждый значок i , j, k и I может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты C ¡jk l связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все C ¡jk l известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций — тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче — это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна перемещению х, скажем F = kx , то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kх 2 /2. Подобным же образом энергия w , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

Полная же работа W , затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от w по всему его объему:

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минималь ной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу, при которых W минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в C ijkl содержится не 81 различный параметр. Поскольку S ¡j и e ¡j — симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то C ijkl состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии w для него получается такой:

т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл повернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжения как в направлении оси у, так и в направлении оси х. Следовательно, если мы переменим наши определения осей координат х и у в уравнении (39.15), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие С ххху, должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим у на -у, то ничего не должно измениться. Но изменение у на -у меняет е xy на -е ху, так как перемещение в направлении +у будет теперь перемещением в направлении -у. Чтобы энергия при этом не менялась, С ххху должно переходить в —С ххху. Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому С ххху должно быть таким же, как и -С ххху . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.
Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и С уууу = 0! Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый у изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых у встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те С, у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для z.) Таким образом, выживают только компоненты типа С ххуу, С хуху, С хуух и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на у и наоборот (или все z на x и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности:

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симметрия еще выше. Числа С должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами С:

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений S ¡j должен быть связан с е ¡j способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,— скажете вы. «Единственный способ получить S ¡j из e ¡j — умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S ¡j = (Постоянная) х е ¡j ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор δ ¡j , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с e ¡j . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е, — это ∑e ¡j . (Он преобразуется подобно х 2 + у 2 + z 2 , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S ¡j с е ¡j для изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2 μ; при этом коэффициент μ, равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные μ и λ называются упругими по стоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действительно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга Y и отношение Пуассона σ. На вашу долю оставляю показать, что

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами - с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S ij как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента S ij линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и l содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9X9=81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C ijkl определив посредством уравнения

где каждый значок i, j, k и l может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты С ijkl связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор - на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все C ijkl известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций - тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче - это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна перемещению х, скажем F=kx, то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kx 2 /2. Подобным же образом энергия w , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

Полная же работа W, затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от w по всему его объему:

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу, при которых W минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в C ijkl содержится не 81 различный параметр. Поскольку S ij и e ij - симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то C ijkl состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии w для него получается такой:

C хххх =С уууу = C zzzz . (39.16)

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие С ххху , должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим у на -y, то ничего не должно измениться. Но изменение у на -у меняет е xy на -е xy , так как перемещение в направлении +у будет теперь перемещением в направлении -у. Чтобы энергия при этом не менялась, С ххху должно переходить в -С ххху Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому С хх xy должно быть таким же, как и -С ххху . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и C yyyy =0!» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый у изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых у встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те С, у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для z.) Таким образом, выживают только компоненты типа С ххуу , С хуху , С хуух и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на у и наоборот (или все z на x и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности:

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

C хххх =C ххуу +C хуху (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений S ij должен быть связан с e ij способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,- скажете вы. «Единственный способ получить S ij из e ij - умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S ij = (Постоянная)Xе ij ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор  ij , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с е ij . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е, - это e jj . (Он преобразуется подобно х 2 +y 2 +z 2 , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S ij с e ij для изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2; при этом коэффициенту равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные (, и  называются упругими постоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга Y и отношение Пуассона  . На вашу долю оставляю показать, что

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами - с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений как -ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси . Закон Гука говорит, что каждая компонента линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку и содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их , определив посредством уравнения

, (39.12)

где каждый значок , , и может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор – на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций – тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче – это подумать об энергии. Когда сила пропорциональна перемещению , скажем , то работа, затраченная на любое перемещение , равна . Подобным же образом энергия , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

. (39.13)

Полная же работа , затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от по всему его объему:

. (39.14)

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений по всему телу, при которых минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в содержится не 81 различный параметр. Поскольку и - симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии для него получается такой:

(39.15)

т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл повернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжения как в направлении оси , так и в направлении оси . Следовательно, если мы переменим наши определения осей координат и в уравнении (39.15), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла

. (39.16)

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие , должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим на , то ничего не должно измениться. Но изменение на меняет на , так как перемещение в направлении будет теперь перемещением в направлении . Чтобы энергия при этом не менялась, должно переходить в . Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому должно быть таким же, как и . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и !» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те , у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для , имеют силу и для и для .) Таким образом, выживают только компоненты типа , , и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все на и наоборот (или все на и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности:

(39.17)

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симметрия еще выше. Числа должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами :

. (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений должен быть связан с способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто», - скажете вы. «Единственный способ получить из - умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по , - это . (Он преобразуется подобно , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего с для изотропного материала, будет

Коэффициенты могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга и отношение Пуассона . На вашу долю оставляю показать, что

(39.22)

Глава 39

УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ

§ 1. Тензор деформации

§ 2. Тензор упругости

§ З. Движения в упругом теле

§ 4. Неупругое поведение

§ 1. Тензор деформации

В предыдущей главе мы говорили о возмущениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформации в большом куске желе, скрученном и сжатом каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сделать, задав в ней набор шести чисел - компонент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.

Предположим, что мы взяли недеформированный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение г=(x, у, z), передвигается в новую точку Р", т. е. в положение r"=(х", у", z"), как это показано на фиг. 39.1.

Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Р недеформированного кубика после деформации перемещается в точку Р".

Мы будем обозначать через и вектор перемещения из точки Р в точку Р", т. е.

u = r"-r. (39.1)

Перемещение и зависит, конечно, от точки Р, из которой оно выходит так, что и есть векторная функция от г или от (х, у, z).

Сначала рассмотрим простейший случай, когда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацией. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси х (фиг. 39.2).

Фиг. 39.2. Однородная деформация растяжения.

Перемещение u x пятнышка с координатой х пропорционально самому х.

Действительно,

Мы будем записывать u x следующим образом:

и x =е хх х.

Разумеется, константа пропорциональности е хх - это то же, что наше старое отношение Dl/l. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)

Если же деформация неоднородна, то связь между х и u x в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим е хх как своего рода локальную величину Dl/l, т. е.

Это число, которое теперь будет функцией х, у и z, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и z. Мы будем описывать их величинами

Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3).

Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига.

При такой деформации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у:

а перемещение в направлении у пропорционально х:

u y =(q/2)x. (39.5)

Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью

u x =e xy y u у =e yx x,

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины е xy и е yx следующим образом:

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения u х и u y имеют вид

Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при u y стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол q/2 (фиг. 39.4).

Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет.

Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если дu y /дх и дu x /ду равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, е ху =е у x .

В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, е ху всегда равно е ух ), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров - элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В - векторы, то С ij =А i В j - тензор.) А каждое наше e ij есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора

u=(u х , u у , u z ) и оператора С=(д /д x,д /д y,д /д z), который, как

мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x 1 , x 2 и x 3 , а вместо u х , u y и u г писать u 1 , u 2 и u 3 ; тогда общий вид элемента тензора e ij будет выглядеть так:

где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.

Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все e ij - постоянные, и мы можем написать

u х =е хх х+е ху y+е х z г. (39.9)

(Начало координат выбрано в точке, где и равно нулю.) В этих случаях тензор деформации e ij дает соотношение между двумя векторами - вектором координаты r=(x, y, z) и вектором перемещения u=(u х , u у , u г ).

Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

где w ij , - антисимметричный тензор

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором е ij .

§ 2. Тензор упругости

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче - это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна перемещению х, скажем F=kx, то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kx 2 /2. Подобным же образом энергия w, запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

Полная же работа W, затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от w по всему его объему:

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу, при которых W минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии w для него получается такой:

C хххх =С уууу =C zzzz . (39.16)

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

C хххх =C ххуу +C хуху (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений S ij должен быть связан с e ij способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,- скажете вы. «Единственный способ получить S ij из e ij - умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S ij = (Постоянная)Xе ij ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор d ij , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с е ij . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е, - это Se jj . (Он преобразуется подобно х 2 +y 2 +z 2 , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S ij с e ij для изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2m; при этом коэффициенту равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные (m, и l называются упругими постоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга Y и отношение Пуассона s. На вашу долю оставляю показать, что

§ 3. Движения в упругом теле

Мы подчеркивали, что в упругом теле, находящемся в равновесии, внутренние напряжения распределяются так, чтобы энергия была минимальной. Посмотрим теперь, что происходит, если внутренние силы не уравновешены. Возьмем маленький кусочек материала внутри некоторой поверхности А (фиг. 39.5).

Фиг. 39.5. Маленький элемент объема V , ограниченный поверхностью А,

Если этот кусочек находится в равновесии, то полная действующая на него сила F должна быть равна нулю. Можно считать, что эта сила состоит из двух частей, одна из которых обусловлена «внешними» силами, подобными гравитации, действующими на расстоянии на вещество нашего кусочка и приводящими к величине силы на единицу объема f внешн. Полная же внешняя сила F внешн равна интегралу от f внешн по всему объему кусочка:

В равновесии эти силы балансируются полной силой F внутр, действующей по поверхности А со стороны окружающего материала. Когда же этот кусочек не находится в равновесии, а движется, сумма внутренних и внешних сил будет равна произведению массы на ускорение. При этом мы получаем

где r-плотность материала, а а - его ускорение. Теперь мы можем скомбинировать уравнения (39.23) и (39.24) и написать

Нашу запись можно упростить, положив

Тогда уравнение (39.25) запишется в виде

Величина, названная нами F внутр, связана с напряжениями в материале. Тензор напряжений S ij был определен нами в гл. 31 таким образом, что x-компонента силы dF , действующей на элемент поверхности da с нормалью n , задается выражением

Отсюда х-компонента силы F внутр, действующей на наш кусочек, равна интегралу от dF x по всей поверхности. Подставляя это в x-компоненту уравнения (39.27), получаем

Оказалось, что поверхностный интеграл связан с интегралом по объему, а это напоминает нам нечто знакомое по главам об электричестве. Заметьте, что если не обращать внимания на первый значок х в каждом из S в левой части (39.29), то она выглядит в точности как интеграл от величины (S·n), т.е. нормальной компоненты вектора по поверхности. Она была бы равна потоку S через объем. А используя теорему Гаусса, поток можно было бы записать в виде объемного интеграла от дивергенции S. На самом деле все это справедливо независимо от того, есть ли у нас индекс х или нет. Это просто математическая теорема, которая доказывается интегрированием по частям. Другими словами, уравнение (39.29) можно превратить в

Теперь можно отбросить интегралы по объему и написать дифференциальное уравнение для любой компоненты f :

Оно говорит нам, как связана сила, действующая на единицу объема с тензором напряжения S ij .

Вот как работает эта теория внутренних движений твердого тела. Если первоначально нам известны перемещения, задаваемые, скажем, вектором и, то можно найти деформации e ij . Из деформаций с помощью уравнения (39.12) можно получить напряжения. Затем с помощью уравнения (39.31) мы из напряжений можем найти плотности сил f . А зная f , мы из уравнения (39.26) получаем ускорение r в материале, которое подскажет нам, как изменятся перемещения. Собирая все это вместе, мы получаем ужасно сложные уравнения движения упругого твердого тела. Я просто напишу вам ответ для изотропного материала. Если вы воспользуетесь для S ij уравнением (39.20) и запишете e ij в виде 1 / 2 (du i /dx j +du j ]dx i ), то окончательно получите векторное уравнение:

Вы можете очень просто убедиться в том, что уравнение должно иметь такую форму. Сила должна зависеть от второй производной - перемещения и. Но какие можно составить вторые производные и так, чтобы они были векторами? Одна из них С (С·u); это самый настоящий вектор. Есть еще только одна такая комбинация - это С 2 u. Так что наиболее общей формой силы будет

что как раз дает (39.32) с другим определением постоянных. Вас может удивить, почему у нас нет третьего слагаемого СXСXu, которое тоже вектор. Но вспомните, что СXСXu

в точности равно С 2 u-С(С·u), т. е. это линейная комбинация двух уже написанных слагаемых. Так что оно не добавит ничего нового. Мы еще раз доказали, что в изотропном материале есть только две упругие постоянные.

Для получения уравнения движения материала мы можем положить выражение (39.32) равным rд 2 u /дt 2 и, пренебрегая объемными силами типа силы тяжести, написать

Это уравнение выглядит похожим на волновое уравнение, с которым мы познакомились в электромагнетизме, за исключением одного добавленного слагаемого, которое усложняет дело. Для материалов, упругие свойства которых всюду одинаковы, мы можем увидеть, на что похоже общее решение. Вы, наверное, помните, что любое векторное поле может быть записано в виде суммы двух векторов, у одного из которых нулю равна дивергенция, а у другого - ротор. Другими словами, можно положить

Подставляя вместо u в уравнении (39.33) u 1 +u 2 , получаем

Взяв дивергенцию этого уравнения, мы можем исключить из него u 1:

Поскольку операторы С 2 и С могут быть переставлены, можно вынести оператор дивергенции и получить

А так как СXu 2 , по определению, равно нулю, то ротор выражения в фигурных скобках также будет нулем, так что выражение в скобках само по себе тождественно равно нулю и

Это векторное волновое уравнение для волн, движущихся со скоростью С 2 = Ц(l+2m)/r. Поскольку ротор u 2 есть нуль, то эти волны не связаны со сдвигом, а представляют просто волны сжатия наподобие звуковых, которые мы изучали в предыдущих главах и скорость которых как раз равна найденной нами для С прод.

Подобным же образом, беря ротор уравнения (39.36), можно показать, что u 1 удовлетворяет уравнению

Это снова векторное волновое уравнение для волн, распространяющихся со скоростью C 2 =Цm/r. Поскольку С·u 1 равно нулю, то перемещение u 1 не приводит к изменению плотности; вектор u 1 соответствует поперечным или сдвиговым волнам, которые встречались нам в предыдущей главе, а

C 2 =C сдвиг.

Если мы хотим знать статические напряжения в изотропном материале, то в принципе их можно найти, решая уравнение (39.32) с f , равным нулю (или равным статическим объемным силам, обусловленным силой тяжести, такой, как rg) при определенных условиях, связанных с силами, действующими на поверхности нашего большого куска материала. Сделать это несколько сложнее, чем в соответствующих задачах электромагнетизма. Во-первых, это более трудно потому, что сами уравнения несколько сложнее, и, во-вторых, формы тех упругих тел, которыми мы обычно интересуемся, гораздо сложнее. На лекциях по электричеству мы часто интересовались решением уравнений Максвелла в областях сравнительно простой геометрической формы, таких, как цилиндр, сфера и т. д. В теории упругости, нам приходится заниматься объектами гораздо более сложной формы, например крюком подъемного крана, или коленчатым автомобильным валом, или ротором газовой турбины. Такие задачи иногда можно приближенно решить численным методом, воспользовавшись принципом минимальной энергии, о котором мы упомянули ранее. Другой способ - это воспользоваться моделями предметов и измерять внутренние напряжения экспериментально с помощью поляризованного света.

Метод этот состоит в следующем. Когда кусок упругого изотропного материала, например прозрачную пластмассу типа плексигласа, подвергают напряжению, в ней возникает двойное лучепреломление. Если пропускать через эту пластмассу поляризованный свет, то плоскость поляризации повернется на величину, связанную с напряжением. Измеряя угол плоскости поляризации, можно измерить напряжение. На фиг. 39.6 показан примерный вид этого устройства, а на фиг. 39.7 приведена фотография упругой модели сложной формы под напряжением.

Фиг. 39.6. Измерение внутренних напряжений с помощью поляризованного света.

Фиг. 39.7. Вид напряженной пластмассовой модели между двумя скрещенными поляроидами.

§ 4. Неупругое поведение

Во всем, что до сих пор говорилось, мы предполагали, что напряжение пропорционально деформации, а это вообще-то неверно. На фиг. 39.8 приведена типичная диаграмма напряжение - деформация упругого материала.

Фиг. 39.8. Типичная диаграмма напряжение - деформация для больших деформаций.

Для малых деформаций напряжение пропорционально деформации. Однако после некоторой точки зависимость напряжения от деформации начинает отклоняться от прямой линии. Для многих материалов, которые мы назовем «хрупкими», разрушение наступает, когда деформация несколько превысит ту точку, где кривая начинает загибаться. В общем же случае в диаграмме напряжение - деформация есть и другие усложнения. Например, когда вы деформируете предмет, существующие большие напряжения могут затем медленно уменьшиться со временем. Если вы достигнете высоких напряжений, однако ниже точки разрыва, а затем будете уменьшать деформацию, то напряжения будут возвращаться назад уже по другой кривой. Возникает небольшой гистерезисный эффект (наподобие того, что мы видели в связи между В и Н в магнитных материалах).

Напряжения, при которых происходит разрушение, сильно изменяются от материала к материалу. Некоторые материалы разрушаются при максимальном растягивающем напряжении. Другие же разрушаются при определенной величине напряжения сдвига. Скажем, мел гораздо слабее противостоит растяжению, тем сдвигу. Если вы потянете за концы палочки мела, то она сломается перпендикулярно направлению приложенной силы (фиг. 39.9, справа).

Фиг. 39.9. Сломанный кусочек мела:

Справа - растягиванием за "концы", слева - скручиванием.

Ведь мел - это только спрессованные частички, которые легко растаскиваются в стороны, поэтому он ломается перпендикулярно приложенной силе. А в отношении сдвига этот материал гораздо крепче, так как в этом случае частицы мешают друг другу. Вспомните теперь, что когда мы скручиваем стержень, то в любом его поперечном сечении возникают сдвиги. Мы показали, кроме того, что сдвиг эквивалентен комбинации растяжения и сжатия под углом 45°. По этой причине при скручивании кусочек мела разломится по сложной поверхности, которая расположена под углом 45° к образующим. На фиг. 39.9 (слева) приведена фотография куска мела, сломанного таким способом. Мел ломается там, где напряжения максимальны.

Есть и другие материалы, которые ведут себя очень странным и сложным образом. Чем сложнее материал, тем причудливей его поведение. Если мы возьмем лист сарана, скомкаем его и бросим на стол, то постепенно он расправится и примет свою первоначальную плоскую форму. На первый взгляд кажется соблазнительным считать, что здесь основную роль играет именно упругость. Но простой подсчет покажет, что она слишком слаба (на несколько порядков слабее), чтобы как-то влиять на этот эффект. Оказывается, что здесь соревнуются два механизма; «нечто» внутри материала «помнит» первоначальную форму и «пытается» вернуться к старому виду, а «нечто» другое «предпочитает» новую форму и сопротивляется возврату к старой.

Я не хочу вдаваться в подробности и описывать тот механизм, который играет роль в поведении скомканного листа сарана, но получить представление о том, как такие эффекты происходят, вы можете на следующей модели. Представьте себе материал, изготовленный из длинных гибких, но крепких нитей вперемешку с пустотелыми ячейками, заполненными вязкой жидкостью. Представьте также, что между каждой ячейкой и соседними с ней имеются узкие проходы, по которым жидкость может медленно проникать из одной ячейки в другую. Если мы скомкаем лист такого материала, то длинные нити деформируются, жидкость из одной ячейки будет выжиматься и переходить в другие ячейки, которые оказались растянутыми. Когда же мы отпускаем лист, то длинные нити будут стремиться вернуться к своей первоначальной форме. Однако, чтобы сделать это, они должны заставить жидкость возвратиться на свое прежнее место, что происходит довольно медленно из-за ее вязкости. Силы, которые мы прилагаем, комкая лист, гораздо больше сил, развиваемых нитями. Скомкать лист можно очень быстро, а вот вернуться к прежнему виду он сможет гораздо медленнее. Несомненно, что здесь основную роль играет комбинация больших, жестких молекул и более мелких, но более подвижных. Этот механизм согласуется также с тем фактом, что материал быстрее принимает свою первоначальную форму, если он нагрет, и медленнее в холодном состоянии: тепло увеличивает подвижность (уменьшает вязкость) мелких молекул.

Хотя мы обсуждали, как происходит нарушение закона Гука, но, по-видимому, наиболее удивительно все же не нарушение этого закона при больших деформациях, а его универсальность. Некоторое понятие о том, почему так происходит, вы можете получить, рассматривая энергию деформации материала. Утверждение о том, что напряжение пропорционально деформации, равносильно утверждению, что энергия деформации изменяется как квадрат напряжения. Предположим, что мы скрутили стержень на малый угол q. Если справедлив закон Гука, то энергия деформации должна быть пропорциональна квадрату q. Предположим, что энергия является некоторой произвольной функцией угла. Мы можем записать ее в виде разложения Тэйлора около нуля:

U (q)=U (0)+U" (0)q + 1 / 2 U’’(0)q 2 + 1 / 6 U"""(q)q 3 + -.. . (39.40)

Момент силы t представляет производную U по углу, поэтому

t(q)=U"(0)+U"(0) q+ 1 / 2 U’’’(0)q 2 + ... . (39.41)

Если теперь отсчитывать угол от положения равновесия, то первое слагаемое будет равно нулю. Таким образом, первое оставшееся слагаемое пропорционально q и при достаточно малых углах оно будет превосходить слагаемое с q 2 . [На самом деле, внутренне материалы в достаточной мере симметричны, так что t(q)=-t(-q); слагаемое с q 2 оказывается нулем, а отклонение от линейности происходит только из-за слагаемого с q 3 . Однако нет причин, по которым это было бы верно для растяжения и сжатия.] Единственно, что мы не объяснили,- почему материалы обычно разрушаются вскоре после того, как становятся существенными члены высшего порядка.

§ 5. Вычисление упругих постоянных

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,- это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изменения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадратична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэффициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными C ijkl .

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к нему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны силы в плоскости ху, которые мы будем учитывать. Следует еще учесть соответствующие силы в плоскостях yz и zx.

Поскольку нас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно.

Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б).

Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k 1 . Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k 2 . (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором e ij . В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компонентами: е хх , е xy и е yy . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11.

Фиг, 39.11. Перемещение ближайших и следующих поблизости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.)

Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения u x , u y , выписанные в табл. 39.1.

Таблица 39.1 · КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ u x , u у

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k 2 /2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка y-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изменение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонтального перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент u х и u v в диагональном направлении:

Воспользовавшись величинами u х и u y . можно получить выражение для энергии

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U 0 , получаем

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и y-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна

Упругие постоянные связаны с плотностью энергии w уравнением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с одним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пружинкой, должно приходиться по 1 / 2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/a 3 атомов, то w и U 0 связаны соотношением

w=U 0 /2a 3 .

Чтобы найти упругие постоянные C ijkl , нужно только возвести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при е ij е kl ссоответствующими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с е 2 xx и е 2 yy , мы находим, что множитель при нем равен

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения е хх е yy от е yy е хх , то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при е хх е yy в уравнении (39.45) равен 2k 2 , так что получаем

Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что С кхуу =С уухх , поэтому

Таким же способом можно получить

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных k 1 и k 2 . В нашем частном случае C ху x у =C ххуу . Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что С xxyy , вообще говоря, не равно С xyxy . Причина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе - это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, расположенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в нашей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные С xxyy и С xyxy у них почти равны.

Таблица 39.2 · упругие постоянные

КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ

Только хлористое серебро почему-то не хочет подчиняться условию С ххуу =C xyxy ..

* В литературе вы часто столкнетесь с другими обозначениями. Так, многие пишут:

* Пластик с мудреным названием «поливинилиденхлорид», применяемый для обертки.- Прим. ред.

* Предположим на минуту, что полный угол сдвига q делится на две равные части, чтобы деформация была симметричной относительно осей x и y.

Литература: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 2nd ed., New York, 1956. (Имеется перевод: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, М., 1962.)

Тензор напряжений

Тензор деформаций описывает деформацию тела с кинематической точки зрения, то есть безотносительно причин, породивших ее. Для рассмотрения этих причин (действующих на тело сил) необходимо определить понятие напряжения как силы, действующей на единицу площади сечения детали. Рассмотрим плоский срез деформируемого тела, проходящий через точку P с нормалью n . Пусть f - сила, действующая на маленький участок плоскости A, содержащий точку P .

Тогда предел существует и называется напряжением в точке P вдоль вектора n . Для определения напряжения в произвольном направлении используется тензор напряжений, который задает напряжение в произвольном направлении n как tn = n . Для большинства материалов тензор задается симметрической матрицей. Физический смысл тензора напряжений иллюстрируется на примере срезов, параллельных координатным плоскостям (рис. 31).

Обобщенный закон Гука, матрицы жесткости и упругости

В предыдущей лекции мы рассматривали динамику движения недеформируемого твердого тела. Как известно, она описывается уравнениями Ньютона-Эйлера (основанными на втором законе Ньютона), которые связывают линейное и угловое ускорение тела с действующими на него силами посредством массы и тензора инерции. Аналогичную роль в задачах теории упругости играет обобщенный закон Гука. Открытый в XVII веке английским математиком Гуком (Hooke) закон растяжения для тонкого стержня имеет вид F = kx, где F - действующая на стержень сила, x - величина растяжения, а k - коэффициент упругости. Величину коэффициента упругости можно связать с физическими размерами стержня следующим образом: k = ES/L, где S - площадь поперечного сечения стержня, L - его длина, а E - модуль Юнга. С введением понятий относительного удлинения x/L и нормального напряжения в поперечном сечении = F/S закон Гука принимает вид E. Как мы уже знаем, в общем случае напряжение и деформация определяются симметрическими тензорами размера 3х3. Тем не менее, между этими тензорными сущностями действует то же линейное соотношение, что и между скалярными, называемое обобщенным законом Гука: . Тензор четвертого порядка C в данной формуле задается 81 коэффициентом (34), но так как он связывает симметрические 3х3-матрицы, каждая из которых определяется шестью скалярными величинами, то может быть представлен в виде 6х6-матрицы жесткости D , которая связывает вектор деформаций с вектором напряжений

Это линейное соотношение справедливо для малых деформаций. Обратная матрица к матрице жесткости (D -1) называется матрицей упругости. Заметим, что матрица жесткости (упругости) полностью определяется свойствами материала и не зависит от конкретных нагрузок на тело. Упругие свойства материала могут быть описаны с помощью двух параметров, измеряемых в заданных направлениях: модуля Юнга E, который определяет отношение напряжения к внутренней деформации и коэффициента Пуассона н, который характеризует отношение относительного поперечного сужения к относительному продольному удлинению. Для линейно-эластичных изотропных материалов (таких как металлы, стекло, полипропилен и полиэтилен, резина - в случае малых деформаций) модуль Юнга и коэффициент Пуассона являются константами, не зависящими от направления и точки измерения, а матрица жесткости имеет следующий вид.