Точка лагранжа между луной и землей. Точки Лагранжа — космическая «липучка для мух. Свободная точка L1

Точки Лагранжа – это области в системе двух космических тел с большой массой, в которых третье тело с небольшой массой, может быть неподвижным на протяжении долгого периода времени относительно этих тел.

В астрономической науке точки Лагранжа называют еще точками либрации (либрация от лат. librātiō – раскачивание) или L-точками. Впервые они были обнаружены в 1772 году известным французским математиком Жозефом Луи Лагранжем.

Точки Лагранжа наиболее часто упоминаются при решении ограниченной задачи трех тел. В этой задаче три тела имеют круговые орбиты, но масса одного из них меньше массы любого из двух других объектов. Два крупных тела в этой системе обращаются вокруг общего центра масс, имея постоянную угловую скорость. В области вокруг этих тел находится пять точек, в которых тело, масса которого меньше массы любого из двух крупных объектов, может оставаться неподвижным. Это происходит за счет того, что силы гравитации, которые действуют на это тело, компенсируются центробежными силами. Эти пять точек и называются точками Лагранжа.

Точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел. В современной астрономии они обозначаются латинской буквой «L». Также в зависимости от своего места расположения каждая из пяти точек имеет свой порядковый номер, который обозначается числовым индексом от 1 до 5. Первый три точки Лагранжа называют коллинеарными, остальные две – троянскими или треугольными.

В независимости от типа массивных небесных тел, точки Лагранжа всегда будут иметь одинаковое местоположение в пространстве между ними. Первая точка Лагранжа находится между двумя массивными объектами, ближе к тому, который имеет меньшую массу. Вторая точка Лагранжа находится за менее массивным телом. Третья точка Лагранжа находится на значительном расстоянии за телом, обладающим большей массой. Точное место расположения этих трех точек рассчитывается при помощи специальных математических формул индивидуально для каждой космической двойной системы, учитывая ее физические характеристики.

Если говорить о ближайших к нам точкам Лагранжа, то первая точка Лагранжа в системе Солнце-Земля будет находиться на расстоянии полтора миллиона километров от нашей планеты. В этой точке притяжение Солнца будет на два процента сильнее, чем на орбите нашей планеты, в то время как уменьшение необходимой центростремительной силы будет в два раза меньше. Оба этих эффекта в данной точке будут уравновешены гравитационным притяжением Земли.

Первая точка Лагранжа в системе Земля-Солнце является удобным наблюдательным пунктом за главной звездой нашей планетарной системы – Солнцем. Именно здесь ученые-астрономы стремятся разместить космические обсерватории для наблюдения за этой звездой. Так, к примеру, в 1978 году вблизи этой точки расположился космический аппарат ISEE-3, предназначенный для наблюдения за Солнцем. В последующие годы в район этой точки были запущены космические аппараты SOHO, DSCOVR, WIND и ACE.

Вторая точка Лагранжа находится в двойной системе массивных объектов за телом, обладающим меньшей массой. Применение этой точки в современной астрономической науке сводится к размещению в ее районе космических обсерваторий и телескопов. В данный момент в этой точке находятся такие космические аппараты, как «Гершель», «Планк», WMAP и Gaia. В 2018 году туда должен отправиться еще один космический аппарат – «Джемс Уэбб».

Третья точка Лагранжа находится в двойной системе на значительном расстоянии за более массивным объектом. Если говорить о системе Солнце-Земля, то такая точка будет находиться за Солнцем, на расстоянии чуть большем, чем то, на котором находится орбита нашей планеты. Связано это с тем, что, несмотря на свои малые размеры, Земля все же оказывает незначительное гравитационное влияние на Солнце. Спутники, размещенные в этой области космоса, могут передавать на Землю точную информацию о Солнце, появлении новых «пятен» на звезде, а также передавать данные о космической погоде.

Четвертая и пятая точки Лагранжа называются треугольными. Если в системе, состоящей из двух массивных космических объектов, вращающихся вокруг общего центра масс, на основе линии, соединяющей эти объекты, мысленно начертить два равносторонних треугольника, вершины которого будут соответствовать положению двух массивных тел, то четвертая и пятая точки Лагранжа будут находиться в месте третьих вершин данных треугольников. То есть, они будут находиться в плоскости орбиты второго массивного объекта в 60 градусах сзади и впереди него.

Треугольные точки Лагранжа также называют еще и «троянскими». Второе название точек происходит от троянских астероидов Юпитера, которые являются ярчайшим наглядным проявлением четвертой и пятой точек Лагранжа в нашей Солнечной системе.

В данный момент четвертая и пятая точки Лагранжа в двойной системе Солнце-Земля никак не используются. В 2010 году в четвертой точке Лагранжа этой системы ученые обнаружили достаточно крупный астероид. В пятой точке Лагранжа на данном этапе никаких крупных космических объектов не наблюдается, однако последние данные говорят нам о том, что там находится большое скопление межпланетной пыли.

Интересные факты

В 2009 году два космических аппарата STEREO пролетели через четвертую и пятую точки Лагранжа.

Точки Лагранжа часто используются в научно-фантастических произведениях. Часто в этих областях пространства, вокруг двойных систем, писатели-фантасты помещают свои вымышленные космические станции, мусорные свалки, астероиды и даже другие планеты.

В 2018 году во второй точке Лагранжа в двойной системе Солнце-Земля ученые планируют поместить космический телескоп «Джеймс Уэбб». Этот телескоп должен заменить действующий космический телескоп «Хаббл», который находится в этой точке. В 2024 году ученые планируют поместить в этой точке еще один телескоп «PLATO».

Первая точка Лагранжа в системе Луна-Земля могла бы стать отличным местом для размещения пилотируемой орбитальной станции, которая могла бы значительно уменьшить затрату ресурсов, необходимых для того, чтобы добраться с Земли на Луну.

Два космических телескопа «Планк» и «Гершель», которые были запущены в космос в 2009 году, в данный момент находятся во второй точке Лагранжа в системе Солнце-Земля.

Когда Жозеф Луи Лагранж работал над задачей двух массивных тел (ограниченной задачей трёх тел), он обнаружил, что в такой системе существует 5 точек, обладающих следующим свойством: если в них расположены тела пренебрежимо малой массы (относительно массивных тел), то эти тела будет неподвижны относительно тех двух массивных тел. Важный момент: массивные тела должны вращаться вокруг общего центра масс, если же они каким-то образом будут просто покоиться, то вся эта теория тут неприменима, сейчас поймете, почему.

Самым удачным примером, конечно же, является Солнце и Земля, их и рассмотрим. Первые три точки L1, L2, L3 находятся на линии, соединяющей центры масс Земли и Солнца.

Точка L1 находится между телами (ближе к Земле). Почему она есть? Представьте, что между Землей и Солнцем какой нибудь маленький астероид, который вращается вокруг Солнца. Как правило, у тел внутри земной орбиты частота обращения выше, чем у Земли (но не обязательно) Так вот, если у нашего астероида частота обращения выше, то он время от времени будет пролетать мимо нашей планеты, и она будет тормозить его своей гравитацией, и в конце концов частота обращения астероида станет такой же, как и у Земли. Если же у Земли частота обращения больше, то она, пролетая время от времени мимо астероида будет тянуть его за собой и разгонять и результат тот же: частоты обращения Земли и астероида сравняются. Но такое возможно только если орбита астероида проходит через точку L1.

Точка L2 находится за Землей. Может показаться, что наш воображаемый астероид в этой точке должен притягиваться к Земле и Солнцу, так как они оказались с одной стороны от него, но нет. Не забывайте, что система вращается, и благодаря этому центробежная сила, действующая на астероид, уравнивается гравитационными силами Земли и Солнца. У тел за пределами земной орбиты, в основном, частота обращения меньше, чем у Земли (опять же, не всегда). Так что суть та же: орбита астероида проходит через L2 и Земля, время от времени пролетая мимо, тянет астероид за собой, в конечном счете уравнивая частоту его обращения со своей.

Точка L3 находится за Солнцем. Помните, раньше у фантастов была такая мысль, что с той стороны Солнца находится ещё одна планета, типа Противоземля? Так вот, точка L3 находится почти там, но чуть-чуть подальше от Солнца, а не ровно на земной орбите, так как центр масс системы "Солнце-Земля" не совпадает с центром масс Солнца. С частотой обращения астероида в точке L3 всё очевидно, она должна быть такой же как у Земли; если будет меньше, астероид упадет на Солнце, если больше - улетит. Кстати, данная точка самая не устойчивая, её шатает из-за влияния других планет, особенно Венеры.

L4 и L5 расположены на орбите, которая чуть больше Земной, причём следующим образом: представьте, что из центра масс системы "Солнце-Земля" мы провели луч к Земле и другой луч, так чтобы угол между этими лучами был 60 градусов. Причем в обе стороны, то есть против часовой стрелки и по ней. Так вот, на одном таком луче находиться L4, а на другом L5. L4 будет перед Землей по ходу движения, то есть как бы убегать от Земли, а L5, соответственно, догонять Землю. Расстояния от любой из этих точек до Земли и до Солнца одинаковы. Теперь, вспомнив закон всемирного тяготения, замечаем, что сила притяжения пропорциональна массе, а значит наш астероид в L4 или L5 будет притягиваться к Земле во столько раз слабее, во сколько Земля легче Солнца. Если чисто геометрически построить векторы этих сил, то их равнодействующая будет направлена ровно на барицентр (центр масс системы "Солнце-Земля"). Солнце с Землей вращаются вокруг барицентра с одинаковой частотой, с той же частотой будут вращаться и астероиды в L4 и L5. L4 называют греками, а L5 - троянцами в честь троянских астероидов Юпитера (подробнее на Вики).

Точки Лагранжа и эквипотенциальные поверхности системы двух тел (с учётом центробежного потенциала)

Точки Лагранжа, точки либрации (librātiō - раскачивание) или L-точки - точки в системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействие никаких других сил, кроме гравитационных, со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел.

Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении так называемой ограниченной задачи трёх тел - когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой.

Точки Лагранжа получили своё название в честь математика Жозефа Луи Лагранжа, который первым в 1772 году привёл решение математической задачи, из которого следовало существование этих особых точек.

Расположение точек Лагранжа

Схема пяти лагранжевых точек в системе двух тел, когда одно тело намного массивнее другого ( и ). В такой системе точки L3, L4, L5 показаны на самой орбите, хотя фактически они будут находиться немного за ней

Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L 1 , L 2 и L 3 . Точки L 4 и L 5 называются треугольными или троянскими.

L 1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу, L 2 - снаружи, за менее массивным телом и L 3 - за более массивным. Расстояния от центра масс системы до этих точек в первом приближении по α рассчитываются с помощью следующих формул:

R - расстояние между телами, M M 2 - масса второго тела.

L 1

Точка L 1 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M 1 и M 2 (M 1 > M 2), и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела M 2 частично компенсирует гравитацию тела M 1 . При этом чем больше M 2 , тем дальше от него будет располагаться эта точка.

Пример: Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к - в точке L 1 - действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки L 1 составляет около 1,5 млн км. Притяжение Солнца здесь (118 мкм/с²) на 2 % сильнее, чем на орбите Земли (116 мкм/с²), тогда как снижение требуемой центростремительной силы вдвое меньше (59 мкм/с²). Сумма этих двух эффектов уравновешивается притяжением Земли, которое составляет здесь также 177 мкм/с². Использование

В системе Солнце-Земля точка L 1 может быть идеальным местом для размещения для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни . Первым , работавшим вблизи этой точки, был запущенный в августе 1978 года аппарат ISEE-3 . Аппарат вышел на периодическую гало-орбиту вокруг этой точки 20 ноября 1978 года и был сведён с этой орбиты 10 июня 1982 года (для исполнения новых задач). На такой же орбите с мая 1996 года работает аппарат . Аппараты ACE, WIND и DSCOVR находятся на квази-периодических орбитах Лиссажу́ близ этой же точки, соответственно, с 12 декабря 1997, 16 ноября 2001 и 8 июня 2015 года.

Лунная точка L 1 (в системе Земля - Луна) может стать идеальным местом для строительства космической пилотируемой , которая, располагаясь на «полпути» между Землёй и Луной, позволила бы легко добраться до Луны с минимальными затратами топлива и стать ключевым узлом грузового потока между Землёй и её .

L 2

Точка L2 в системе Солнце - Земля, располагающаяся далеко за пределами орбиты Луны

Точка L 2 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M 1 и M 2 (M 1 > M 2), и находится за телом с меньшей массой. Точки L 1 и L 2 располагаются на одной линии и в пределе M 1 ≫ M 2 симметричны относительно M 2 . В точке L 2 гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие центробежных сил во вращающейся системе отсчёта.

Пример: у объектов, расположенных за орбитой Земли, орбитальный период почти всегда больше, чем у Земли. Но дополнительное влияние на объект силы тяжести Земли, помимо действия солнечной гравитации, приводит к увеличению скорости вращения и уменьшению времени оборота вокруг Солнца, в результате в точке L 2 орбитальный период объекта становится равным орбитальному периоду Земли.

Точка L 2 в системе Солнце - Земля является идеальным местом для строительства орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L 2 способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени), так что солнечная радиация блокируется не полностью. В этой точке уже находятся аппараты американского и европейского космических агентств - WMAP, и “Gaia”, а в 2018 должен присоединиться «Джеймс Уэбб». Точка L 2 в системе Земля-Луна может быть использована для обеспечения спутниковой связи с объектами на обратной стороне Луны, а также быть удобным местом для размещения заправочной станции для обеспечения грузопотока между Землёй и Луной.

Если M 2 много меньше по массе, чем M 1 , то точки L 1 и L 2 находятся на примерно одинаковом расстоянии r от тела M 2 , равном радиусу сферы Хилла:

где R - расстояние между компонентами системы.

Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг M 2 , для которой период обращения в отсутствие M 1 в раз меньше, чем период обращения M 2 вокруг M 1 .

Примеры

В системе Солнце - Земля: 1 500 000 км от Земли
Земля - Луна: 61 500 км от Луны

L 3

Три из пяти точек Лагранжа расположены на одной оси, соединяющей два тела

Точка L 3 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M 1 и M 2 (M 1 > M 2), и находится за телом с большей массой. Так же, как для точки L 2 , в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.

Пример: Точка L 3 в системе Солнце - Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою небольшую гравитацию (по сравнению с гравитацией Солнца), Земля всё же оказывает на него небольшое влияние, поэтому точка L 3 находится не на самой орбите Земли, а чуть дальше от Солнца, чем Земля, так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра). В результате в этой точке L 3 достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и наша планета.

До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L 3 другой аналогичной ей планеты, называемой «Противоземлёй», которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L 3 в системе Солнце - Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и по разные стороны Солнца, которые случаются каждые 20 месяцев, Венера находится всего в 0,3 . от точки L 3 и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за несбалансированности центра тяжести системы Солнце - относительно Земли и эллиптичности земной орбиты, так называемая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, выдающим её существование, была бы её собственная гравитация: влияние тела размером уже порядка 150 км и более на орбиты других планет было бы заметно. С появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было достоверно показано, что в этой точке нет объектов размером более 100 м.

Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L 3 , могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца, в частности, о появлении новых пятен или вспышек, и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA Space Weather Prediction Center ). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к или . В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника.

L 4 и L 5

Гравитационное ускорение в точке L4

Если на основе линии, соединяющей оба тела системы, построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел M 1 и M 2 , то точки L 4 и L 5 будут соответствовать положению третьих вершин этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в 60 градусах впереди и позади него.

Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на центр масс системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел. Точки L 4 и L 5 называют треугольными (в отличие от коллинеарных).

Также точки называют троянскими : это название происходит от Юпитера, которые являются самым ярким примером проявления этих точек. Они были названы в честь героев Троянской войны из «Илиады» Гомера, причём астероиды в точке L 4 получают имена греков, а в точке L 5 - защитников Трои; поэтому их теперь так и называют «греками» (или «ахейцами») и «троянцами».

Расстояния от центра масс системы до этих точек в координатной системе с центром координат в центре масс системы рассчитываются по следующим формулам:

, R - расстояние между телами, M 1 - масса более массивного тела, M 2 - масса второго тела.

Примеры

В 2010 году в системе Солнце - Земля в троянской точке L 4 обнаружен астероид. В L 5 пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли.
По некоторым наблюдениям, в точках L 4 и L 5 системы Земля - Луна находятся очень разрежённые скопления межпланетной пыли - облака Кордылевского.
В системе Солнце - Юпитер в окрестностях точек L 4 и L 5 находятся так называемые троянские астероиды. По состоянию на 21 октября 2010 известно около четырёх с половиной тысяч астероидов в точках L 4 и L 5 .
Троянские астероиды в точках L 4 и L 5 есть не только у Юпитера, но и у других планет-гигантов.
Другим интересным примером является спутник , в точках L 4 и L 5 которой находятся два небольших спутника - и . Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн - : в точке L 4 и в точке L 5 . Тефия и Диона в сотни раз массивнее своих «подопечных», и гораздо легче Сатурна, что делает систему стабильной.
Один из сценариев модели ударного формирования Луны предполагает, что гипотетическая () Тейя, в результате столкновения которой с Землёй образовалась Луна, сформировалась в точке Лагранжа L 4 или L 5 системы Солнце - Земля.
Первоначально считалось, что в системе KOI-730 две из четырёх планет обращаются вокруг своего солнца по одной орбите. Вдоль общей орбиты эти два мира постоянно разделяют 60 градусов дистанции. Однако дальнейшие исследования показали, что данная система не содержит коорбитальных планет.

Равновесие в точках Лагранжа

Изображение двойной звезды Мира (омикрон Кита), сделанное космическим телескопом в ультрафиолетовом диапазоне. На фотографии виден поток материи, направленный от основного компонента - - к компаньону - . Массообмен осуществляется через окрестности точки L1

Тела, помещённые в коллинеарных точках Лагранжа, находятся в неустойчивом равновесии. Например, если объект в точке L 1 слегка смещается вдоль прямой, соединяющей два массивных тела, сила, притягивающая его к тому телу, к которому оно приближается, увеличивается, а сила притяжения со стороны другого тела, наоборот, уменьшается. В результате объект будет всё больше удаляться от положения равновесия.

Такая особенность поведения тел в окрестностях точки L 1 играет важную роль в тесных системах. Полости Роша компонент таких систем соприкасаются в точке L 1 , поэтому, когда одна из звёзд-компаньонов в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, вещество перетекает с одной на другую именно через окрестности точки Лагранжа L 1 .

Несмотря на это, существуют стабильные замкнутые орбиты (во вращающейся системе координат) вокруг коллинеарных точек либрации, по крайней мере, в случае задачи трёх тел. Если на движение влияют и другие тела (как это происходит в ), вместо замкнутых орбит объект будет двигаться по квазипериодическим орбитам, имеющим форму фигур Лиссажу. Несмотря на неустойчивость такой орбиты, космический аппарат может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива.

В отличие от коллинеарных точек либрации, в троянских точках обеспечивается устойчивое равновесие, если M 1 /M 2 > 24,96 . При смещении объекта возникают силы Кориолиса, которые искривляют траекторию, и объект движется по устойчивой орбите вокруг точки либрации.

Практическое применение

Полости Роша для двойной звёздной системы (обозначены жёлтым)

Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L 1 системы Земля - Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию - она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит, наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L 2 подходит для космического телескопа - здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L 2 неосвещенной стороной. Точка L 1 системы Земля - Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращённого к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землёй.

В настоящее время несколько космических аппаратов, в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы:

Точка L 1 системы Земля-Солнце :

Космический аппарат WIND, предназначенный для исследования (запущен в 1994 году).
SOHO (Solar and Heliospheric Observatory , «Солнечная и гелиосферная обсерватория») (запущен в 1995 году).
Advanced Composition Explorer (запущен в 1997 году).

Точка L 2 системы Земля-Солнце :

КА НАСА WMAP, изучающий реликтовое излучение (запущен в 2001 году).
Космические телескопы «Гершель» и «Планк», (запущены в 2009 году).
Европейский телескоп «Gaia» (запущен в 2013 году).
Космический телескоп «Джеймс Уэбб», идущий на смену телескопу «Хаббл». Запуск планируется на 2018 год.
В 2017 году НПО имени Лавочкина планирует разместить в точке L 2 космическую обсерваторию Спектр-РГ.
В 2024 году ЕКА планирует также разместить в точке L 2 космический телескоп «PLATO».

Другие точки Лагранжа :

в сентябре-октябре 2009 года два аппарата STEREO совершили транзит через точки L 4 и L 5 .
JIMO (Jupiter Icy Moons Orbiter ) - отменённый проект НАСА по исследованию спутников Юпитера, который должен был активно использовать систему точек Лагранжа для перехода от одного спутника к другому с минимальными затратами топлива. Этот манёвр получил название «лестница Лагранжа».

В 1772 году привёл решение математической задачи, из которого следовало существование этих особых точек.

Расположение точек Лагранжа [ | ]

Схема пяти лагранжевых точек в системе двух тел, когда одно тело намного массивнее другого (Солнце и Земля). В такой системе точки L 3 , L 4 , L 5 показаны на самой орбите, хотя фактически L 4 и L 5 будут находиться немного за ней, а L 3 - внутри неё.

L 1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу; L 2 - снаружи, за менее массивным телом; и L 3 - за более массивным. В системе координат с началом отсчета в центре масс системы и с осью, направленной от центра масс к менее массивному телу, координаты этих точек в первом приближении по α рассчитываются с помощью следующих формул :

r 1 = (R [ 1 − (α 3) 1 / 3 ] , 0) {\displaystyle r_{1}=\left(R\left,0\right)} r 2 = (R [ 1 + (α 3) 1 / 3 ] , 0) {\displaystyle r_{2}=\left(R\left,0\right)} r 3 = (− R [ 1 + 5 12 α ] , 0) {\displaystyle r_{3}=\left(-R\left,0\right)}

где α = M 2 M 1 + M 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}} ,

R - расстояние между телами, M M 2 - масса второго тела.

L 1 [ | ]

Пример: Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете - в точке L 1 - действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки L 1 составляет около 1,5 млн км. Притяжение Солнца здесь (118 мкм/с² ) на 2 % сильнее, чем на орбите Земли (116 мкм/с² ), тогда как снижение требуемой центростремительной силы вдвое меньше (59 мкм/с² ). Сумма этих двух эффектов уравновешивается притяжением Земли, которое составляет здесь также 177 мкм/с² . Использование

Лунная точка L 1 (в системе Земля - Луна ; удалена от центра Земли примерно на 315 тыс.км ) может стать идеальным местом для строительства космической пилотируемой орбитальной станции , которая, располагаясь на пути между Землёй и Луной, позволила бы легко добраться до Луны с минимальными затратами топлива и стать ключевым узлом грузового потока между Землёй и её спутником .

L 2 [ | ]

Точка L 2 в системе Солнце - Земля, располагающаяся далеко за пределами орбиты Луны

Точка L 2 в системе Солнце - Земля является идеальным местом для строительства орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L 2 способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени) , так что солнечная радиация блокируется не полностью. В окрестностях этой точки уже находятся аппараты американского и европейского космических агентств - WMAP , «Планк» , «Гершель» и Gaia , в 2019 к ним присоединится «Спектр-РГ », а в 2021 «Джеймс Уэбб» .

Точка L 2 в системе Земля-Луна может быть использована для обеспечения спутниковой связи с объектами на обратной стороне Луны, а также быть удобным местом для размещения заправочной станции для обеспечения грузопотока между Землёй и Луной

r ≈ R M 2 3 M 1 3 {\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}}

где R - расстояние между компонентами системы.

Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг M 2 , для которой период обращения в отсутствие M 1 в 3 ≈ 1.73 {\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73} раз меньше, чем период обращения M 2 вокруг M 1 .

Примеры [ | ]

L 3 [ | ]

Три из пяти точек Лагранжа расположены на оси, соединяющей два тела

Точка L 3 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M 1 и M 2 (M 1 > M 2 ), и находится за телом с бо́льшей массой. Так же, как для точки L 2 , в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.

Пример: точка L 3 в системе Солнце - Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою малую (по сравнению с cолнечной) гравитацию, Земля всё же оказывает там небольшое влияние, поэтому точка L 3 находится не на самой орбите Земли, а чуть ближе к Солнцу (на 2 тыс. км , или около 0,002 %) , так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра . В результате в точке L 3 достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и наша планета.

До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L 3 другой аналогичной ей планеты, называемой «Противоземлёй », которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L 3 в системе Солнце - Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые случаются каждые 20 месяцев , Венера находится всего в 0,3 а.е. от точки L 3 и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за несбалансированности [прояснить ] центра тяжести системы Солнце - Юпитер относительно Земли и эллиптичности земной орбиты, так называемая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, выдающим её существование, была бы её собственная гравитация: влияние тела размером уже порядка 150 км и более на орбиты других планет было бы заметно . С появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было достоверно показано, что в этой точке нет объектов размером более 100 м .

Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L 3 , могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца - в частности, за появлением новых пятен или вспышек, - и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA ). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника

L 4 и L 5 [ | ]

Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на центр масс системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел . Точки L 4 и L 5 называют треугольными (в отличие от коллинеарных).

Также точки называют троянскими : это название происходит от троянских астероидов Юпитера , которые являются самым ярким примером проявления этих точек. Они были названы в честь героев Троянской войны из «Илиады » Гомера , причём астероиды в точке L 4 получают имена греков, а в точке L 5 - защитников Трои ; поэтому их теперь так и называют «греками» (или «ахейцами ») и «троянцами».

r 4 = (R 2 β , 3 R 2) {\displaystyle r_{4}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)} r 5 = (R 2 β , − 3 R 2) {\displaystyle r_{5}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,-{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)} β = M 1 − M 2 M 1 + M 2 {\displaystyle \beta ={\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}} , R - расстояние между телами, M 1 - масса более массивного тела, M 2 - масса второго тела.

Примеры [ | ]

В 2010 году в системе Солнце - Земля в троянской точке L 4 обнаружен астероид . В L 5 пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли.
По некоторым наблюдениям, в точках L 4 и L 5 системы Земля - Луна находятся очень разрежённые скопления межпланетной пыли - облака Кордылевского .
В системе Солнце - Юпитер в окрестностях точек L 4 и L 5 находятся так называемые троянские астероиды . По состоянию на 21 октября 2010 известно около четырёх с половиной тысяч астероидов в точках L 4 и L 5 .
Троянские астероиды в точках L 4 и L 5 есть не только у Юпитера, но и у других планет-гигантов .
Другим интересным примером является спутник Сатурна Тефия , в точках L 4 и L 5 которой находятся два небольших спутника - Телесто и Калипсо . Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн - Диона : Елена в точке L 4 и Полидевк в точке L 5 . Тефия и Диона в сотни раз массивнее своих «подопечных», и гораздо легче Сатурна, что делает систему стабильной.
Один из сценариев модели ударного формирования Луны предполагает, что гипотетическая протопланета (планетезималь) Тейя , в результате столкновения которой с Землёй образовалась Луна , сформировалась в точке Лагранжа L 4 или L 5 системы Солнце - Земля .
Первоначально считалось, что в системе Kepler-223 две из четырёх планет обращаются вокруг своего солнца по одной орбите на расстоянии 60 градусов . Однако дальнейшие исследования показали, что данная система не содержит коорбитальных планет.

Равновесие в точках Лагранжа [ | ]

Такая особенность поведения тел в окрестностях точки L 1 играет важную роль в тесных двойных звёздных системах . Полости Роша компонент таких систем соприкасаются в точке L 1 , поэтому, когда одна из звёзд-компаньонов в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, вещество перетекает с одной звезды на другую именно через окрестности точки Лагранжа L 1 .

Несмотря на это, существуют стабильные замкнутые орбиты (во вращающейся системе координат) вокруг коллинеарных точек либрации, по крайней мере, в случае задачи трёх тел. Если на движение влияют и другие тела (как это происходит в Солнечной системе), вместо замкнутых орбит объект будет двигаться по квазипериодическим орбитам, имеющим форму фигур Лиссажу . Несмотря на неустойчивость такой орбиты, космический аппарат может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива .

В отличие от коллинеарных точек либрации, в троянских точках обеспечивается устойчивое равновесие, если M 1 /M 2 > 24,96 . При смещении объекта возникают силы Кориолиса , которые искривляют траекторию, и объект движется по устойчивой орбите вокруг точки либрации .

Практическое применение [ | ]

В настоящее время несколько космических аппаратов , в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы :

Точка L 1 системы Земля-Солнце :

Точка L 2 системы Земля-Солнце :

Другие точки Лагранжа :

Упоминание в культуре [ | ]

Точки Лагранжа довольно популярны в научно-фантастических произведениях, посвящённых освоению космоса. Авторы часто помещают в них обитаемые или автоматические станции - см., например, «Возвращение к звёздам » Эдмонда Гамильтона , «Глубина в небе » Вернора Винджа , «Нейромант » Уильяма Гибсона , «» Нила Стивенсона , телесериал «Вавилон-5 », компьютерные игры Borderlands 2 , .

Иногда в точки Лагранжа помещают и более интересные объекты - мусорные свалки («Единение разумов» Чарльза Шеффилда , «Нептунова арфа» Андрея Балабухи), инопланетные артефакты («Защитник» Ларри Нивена) и даже целые планеты («Планета, с которой не возвращаются» Пола Андерсона). Айзек Азимов предлагал отправлять в точки Лагранжа радиоактивные отходы («Вид с высоты»).

См. также [ | ]

Примечания [ | ]

Источники [ | ]

Lagrange, Joseph-Louis. Tome 6, Chapitre II: Essai sur le problème des trois corps // Oeuvres de Lagrange : [фр. ] . - Gauthier-Villars, 1867–92. - P. 229–334.
Расчёт положения точек Лагранжа
Расчёт положения точек L 4 и L 5 (другой вариант)
ISEE-3/ICE profile by NASA Solar System Exploration

Проводились ли эксперименты по размещению космических аппаратов в точках Лагранжа системы Земля-Луна?

Несмотря на то, что о так называемых точках либрации, существующих в космосе, и об их удивительных свойствах человечеству известно достаточно давно, использовать их в практических целях начали лишь на 22-й год космической эры. Но вначале вкратце расскажем о самих чудо-точках.

Впервые теоретически они были обнаружены Лагранжем (чье имя теперь и носят), как следствие решения так называемой задачи трех тел. Ученому удалось определить, где в пространстве могут находиться точки, в которых равнодействующая всех внешних сил обращается в ноль.

Точки делятся на устойчивые и неустойчивые. Устойчивые принято обозначать L 4 и L 5 . Они располагаются в одной плоскости с основными двумя небесными телами (в данном случае - Землей и Луной), образуя с ними два равносторонних треугольника, за что их часто еще называют треугольными. В треугольных точках космический аппарат может находиться сколь угодно долго. Если же даже он отклонится в сторону, действующие силы все равно вернут его к положению равновесия. Космический аппарат словно попадает в гравитационную воронку, как бильярдный шар в лузу.

Однако, как мы сказали, существуют еще и неустойчивые точки либрации. В них космический аппарат, наоборот, находится словно на горе, являясь устойчивым лишь на самой ее вершине. Любое внешнее воздействие отклоняет его в сторону. Выйти в неустойчивую точку Лагранжа чрезвычайно сложно - для этого требуется сверхточная навигация. Поэтому аппарату приходится двигаться лишь вблизи самой точки по так называемой "гало-орбите", время от времени расходуя для ее поддержания топливо, правда, совсем немного.

В системе Земля-Луна неустойчивых точек три. Часто их еще называют прямолинейными, так как они расположены на одной линии. Одна из них (L 1) находится между Землей и Луной, в 58 тыс. км от последней. Вторая (L 2) - расположена так, что ее никогда не видно с Земли - она прячется за Луной в 65 тыс. км от нее. Последняя же точка (L 3), наоборот, никогда не видна с Луны, так как ее загораживает Земля, от которой до нее примерно 380 тыс. км.

Хотя находиться в устойчивых точках и выгоднее (не требуется расходовать горючее), космические аппараты все же пока познакомились лишь с неустойчивыми, вернее, только с одной из них, да и то относящейся к системе Солнце-Земля. Она находится внутри этой системы, в 1.5 млн. км от нашей планеты и так же как точка между Землей и Луной имеет обозначение L 1 . При взгляде с Земли она проецируется прямо на Солнце и может служить идеальным пунктом для слежения за ним.

Этой возможностью впервые воспользовался американский аппарат ISEE-3, запущенный 12 августа 1978 года. С ноября 1978 по июнь 1982 года он находился на "гало-орбите" вокруг точки Li, изучая характеристики солнечного ветра. По окончания этого срока именно ему, но уже переименованному в ICE, довелось стать первым в истории исследователем кометы. Для этого аппарат покинул точку либрации и, совершив несколько гравитационных маневров у Луны, в 1985 году осуществил пролет вблизи кометы Джакобини-Циннера. На следующий год он же исследовал комету Галлея, правда, только на дальних подступах.

Следующим посетителем точки L 1 системы Солнце-Земля стала европейская солнечная обсерватория SOHO, запущенная 2 декабря 1995 года и, к сожалению, недавно потерянная из-за ошибки управления. За время ее работы было получено не мало важной научной информации и сделано множество интересных открытий.

Наконец, последним на сегодняшний день аппаратом, выведенным в окрестности L 1 , стал американский аппарат АСЕ, предназначенный для изучения космических лучей и звездного ветра. Он стартовал с Земли 25 августа прошлого года и в настоящее время успешно проводит свои исследования.

А что же дальше? Существуют ли новые проекты, связанные с точками либрации? Безусловно, существуют. Так, в США принято предложение вице-президента А. Гора о новом запуске в направлении точки L 1 системы Солнце-Земля научно-образовательного аппарата "Триана", уже прозванного "Камерой Гора".

В отличие от своих предшественников он будет следить не за Солнцем, а за Землей. Наша планета из этой точки видна всегда в полной фазе и поэтому очень удобна для наблюдений. Ожидается, что картинки, полученные "Камерой Гора", будут практически в реальном времени поступать в сеть Интернет, и к ним будет открыт доступ для всех желающих.

Существует и российский "либрационный" проект. Это аппарат "Реликт-2", предназначенный для сбора информации о реликтовом излучении. Если для этого проекта найдется финансирование, то его ждет точка либрации L 2 в системе Земля-Луна, то есть та, что спрятана за Луной.