Какая призма называется прямой. Правильная четырехугольная призма. Формулы для правильной четырехугольной призмы

Определение. Призма - это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1) .

Все остальные грани призмы называются боковыми гранями (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы .

Все боковые грани призмы являются параллелограммами.

Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , EE 1 ).

Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD 1).

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы .

Обозначение: ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 . (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке - вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом - с индексом)

Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой . Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник (2 грани - основания призмы, 5 граней - параллелограммы, - ее боковые грани)

Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.

Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.

Параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Свойства и теоремы:

,

где d - диагональ квадрата;
a - сторона квадрата.

Представление о призме дают:

• различные архитектурные сооружения;
• детские игрушки;
• упаковочные коробки;
• дизайнерские предметы и т.д.

Площадь полной и боковой поверхности призмы

S полн = S бок + 2S осн ,

где S полн - площадь полной поверхности,S бок -площадь боковой поверхности, S осн - площадь основания

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы .

S бок = P осн * h,

где S бок -площадь боковой поверхности прямой призмы,

P осн - периметр основания прямой призмы,

h - высота прямой призмы, равная боковому ребру.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Общие сведения о прямой призме

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

где a 1 ,а n - длины ребер основания, р - периметр основания призмы, а I - длина боковых ребер. Теорема доказана.

Практическое задание

Задача (22) . В наклонной призме проведено сечение , перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.

Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.

Обобщение пройденной темы

А теперь давайте попробуем с вами подвести итоги пройденной темы о призме и вспомним, какими свойствами обладает призма.

Свойства призмы

Во-первых, у призмы все ее основания являются равными многоугольниками;
Во-вторых, у призмы все ее боковые грани являются параллелограммами;
В-третьих, у такой многогранной фигуры, как призма, все боковые ребра равны;

Также, следует вспомнить, что такие многогранники, как призмы могут быть прямыми и наклонными.

Какая призма называется прямой?

Если же у призмы боковое ребро расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма носит название прямой.

Не будет лишним напомнить, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Какую призму называют наклонной?

А вот если же у призмы боковое ребро не расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то можно смело утверждать, что это наклонная призма.

Какую призму называют правильной?

Если у основания прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма является правильной.

Теперь вспомним свойства, которыми обладает правильная призма.

Свойства правильной призмы

Во-первых, всегда основаниями правильной призмы служат правильные многоугольники;
Во-вторых, если рассматривать у правильной призмы боковые грани, то они всегда бывают равными прямоугольниками;
В-третьих, если сравнивать размеры боковых ребер, то в правильной призме они всегда равны.
В-четвертых, правильная призма всегда прямая;
В-пятых, если же в правильной призмы боковые грани имеют форму квадратов, то такую фигуру, как правило, называют полуправильным многоугольником.

Сечение призмы

А теперь давайте рассмотрим сечение призмы:

Домашнее задание

А теперь давайте попробуем закрепить изученную тему с помощью решения задач.

Давайте нарисуем наклонную треугольную призму, у которой расстояние между ее ребрами будет равно: 3 см, 4 см и 5 см, а боковая поверхность этой призмы будет равна 60 см2. Имея такие параметры, найдите боковое ребро данной призмы.

А вы знаете, что геометрические фигуры постоянно окружают нас не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни встречаются предметы, которые напоминают ту или иную геометрическую фигуру.

У каждого дома, в школе или на работе имеется компьютер, системный блок которого имеет форму прямой призмы.

Если вы возьмете в руки простой карандаш, то вы увидите, что основной частью карандаша, является призма.

Идя по центральной улице города, мы видим, что у нас под ногами лежит плитка, которая имеет форму шестиугольной призмы.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Стереометрия - раздел геометрии, изучающий фигуры, которые не лежат в одной плоскости. Одним из объектов изучения стереометрии являются призмы. В статье дадим определение призме с геометрической точки зрения, а также кратко перечислим свойства, которые для нее характерны.

Геометрическая фигура

Определение призмы в геометрии звучит следующим образом: это пространственная фигура, состоящая из двух одинаковых n-угольников, расположенных в параллельных плоскостях, соединенных друг с другом своими вершинами.

Получить призму не представляет никакого труда. Представим, что есть два одинаковых n-угольника, где n - это число сторон или вершин. Поместим их так, чтобы они были друг другу параллельны. После этого вершины одного многоугольника следует соединить с соответствующими вершинами другого. Образованная фигура будет состоять из двух n-угольных сторон, которые называются основаниями, и n четырехугольных сторон, представляющих собой в общем случае параллелограммы. Совокупность параллелограммов образует боковую поверхность фигуры.

Существует еще один способ геометрического получения рассматриваемой фигуры. Так, если взять n-угольник и совершить его перенос в другую плоскость при помощи параллельных отрезков равной длины, то в новой плоскости мы получим исходный многоугольник. Оба многоугольника и все параллельные отрезки, проведенные из их вершин, образуют призму.

Рисунок выше демонстрирует Так она называется потому, что ее основания представляют собой треугольники.

Элементы, из которых состоит фигура

Выше было дано определение призмы, из которого понятно, что главными элементами фигуры являются ее грани или стороны, ограничивающие все внутренние точки призмы от внешнего пространства. Любая грань рассматриваемой фигуры принадлежит к одному из двух типов:

• боковая;
• основания.

Боковых n штук, и они являются параллелограммами или их частными видами (прямоугольниками, квадратами). В общем случае боковые грани отличаются друг от друга. Граней основания всего две, они представляют собой n-угольники и друг другу равны. Таким образом, всякая призма имеет n+2 стороны.

Помимо сторон, фигура характеризуется своими вершинами. Они представляют собой точки, где соприкасаются одновременно три грани. Причем две из трех граней всегда принадлежат боковой поверхности, а одна - основанию. Таким образом, в призме нет специально выделенной одной вершины, как, например, в пирамиде, все они являются равноправными. Число вершин фигуры равно 2*n (по n штук для каждого основания).

Наконец, третьим важным элементом призмы являются ее ребра. Это отрезки определенной длины, которые образуются в результате пересечения сторон фигуры. Как и грани, ребра также имеют два разных типа:

• либо образованы только боковыми сторонами;
• либо возникают на стыке параллелограмма и стороны n-угольного основания.

Число ребер, таким образом, равно 3*n, причем 2*n из них относятся ко второму из названных типов.

Виды призм

Выделяют несколько способов классификации призм. Однако все они основаны на двух особенностях фигуры:

• на типе n-угольного основания;
• на типе боковой стороны.

Для начала обратимся ко второй особенности и дадим определение и прямой. Если хотя бы одна боковая сторона является параллелограммом общего типа, то фигура называется наклонной, или косоугольной. Если же все параллелограммы представляют собой прямоугольники или квадраты, то призма будет прямой.

Дать определение можно также несколько иначе: прямая фигура - это та призма, у которой боковые ребра и грани перпендикулярны ее основаниям. На рисунке показаны две четырехугольные фигуры. Левая является прямой, правая - наклонной.

Теперь перейдем к классификации согласно типу n-угольника, лежащего в основаниях. Он может иметь одинаковые стороны и углы или разные. В первом случае многоугольник называется правильным. Если рассматриваемая фигура содержит в основании многоугольник с равными сторонами и углами и является прямой, то она называется правильной. Согласно этому определению, правильная призма в основании может иметь равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник или шестиугольник и так далее. Перечисленные правильные фигуры представлены на рисунке.

Линейные параметры призм

Для описания размеров рассматриваемых фигур используют следующие параметры:

• высота;
• стороны основания;
• длины боковых ребер;
• объемные диагонали;
• диагонали боковых сторон и оснований.

Для правильных призм все названные величины связаны друг с другом. Например, длины боковых ребер одинаковы и равны высоте. Для конкретной n-угольной правильной фигуры существуют формулы, позволяющие по двум любым линейным параметрам определить все остальные.

Поверхность фигуры

Если обратиться к данному выше определению призмы, то понять, что представляет поверхность фигуры, будет несложно. Поверхность - это площадь всех граней. Для прямой призмы она вычисляется по формуле:

S = 2*S o + P o *h

где S o - площадь основания, P o - периметр n-угольника в основании, h - высота (расстояние между основаниями).

Объем фигуры

Наряду с поверхностью для практики важно знать объем призмы. Определить его можно по следующей формуле:

Это выражение справедливо для абсолютно любого вида призм, включая те, которые являются наклонными и образованы неправильными многоугольниками.

Для правильных является функцией длины стороны основания и высоты фигуры. Для соответствующей n-угольной призмы формула для V имеет конкретный вид.

Как она выглядит

Свойства прямоугольной призмы

Многогранники

Основным объектом изучения стереометрии являются пространственные тела. Тело представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью.

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности многогранника называется гранью . Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называется ребрами многогранника , а вершины – вершинами многогранника .

Например, куб состоит из шести квадратов, являющихся его гранями. Он содержит 12 ребер (стороны квадратов) и 8 вершин (вершины квадратов).

Простейшими многогранниками являются призмы и пирамиды, изучением которых и займемся далее.

Призма

Определение и свойства призмы

Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины многоугольников, – боковыми ребрами призмы .

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований (). Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы (). Призма называется n-угольной , если в ее основании лежит n-угольник.

Любая призма обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания призмы совмещаются параллельным переносом:

1. Основания призмы равны.

2. Боковые ребра призмы параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности . Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов (это следует из свойств призмы). Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.

Прямая призма

Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной .

Гранями прямой призмы являются прямоугольники. Высота прямой призмы равна ее боковым граням.

Полной поверхностью призмы называется сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.

Правильной призмой называется прямая призма с правильным многоугольником в основании.

Теорема 13.1 . Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра на высоту призмы (или, что то же самое, на боковое ребро).

Доказательство. Боковые грани прямой призмы есть прямоугольники, основания которых являются сторонами многоугольников в основаниях призмы, а высоты являются боковыми ребрами призмы. Тогда по определению площадь боковой поверхности:

,

где – периметр основания прямой призмы.

Параллелепипед

Если в основаниях призмы лежат параллелограммы, то она называется параллелепипедом . У параллелепипеда все грани – параллелограммы. При этом противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Теорема 13.2 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Рассмотрим две произвольные диагонали, например, и . Т.к. гранями параллелепипеда являются параллелограммы, то и , а значит по Т о двух прямых параллельных третьей . Кроме того это означает, что прямые и лежат в одной плоскости (плоскости ). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым и . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм, а по свойству параллелограмма его диагонали и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, что и требовалось доказать.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). Таких размеров три (ширина, высота, длина).

Теорема 13.3 . В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (доказывается с помощью двукратного применения Т Пифагора).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .

Задачи

13.1Сколько диагоналей имеет n -угольная призма

13.2В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37, 13 и 40. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

13.3Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми . Найти угол наклона этой плоскости к основанию призмы.