Приложение определенного интеграла вычисление длины дуги. Приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры

Анализируемое на максимум множество значений соответствует количеству путей на графе к событию начала соответствующей работы. Должны быть выполнены все предшествующие работы.

2. Ранний срок окончания работы.

t ij рк = t ij рн + t ij (2.4.11.)

Срок раннего окончания работы равен сумме значений момента раннего начала и продолжительности работы.

3. Срок позднего окончания работы. Сроки позднего окончания работ рассчитываются при анализе графа от заключительного события, при известном значении величины критического пути.

(2.4.12.)

Анализируемое на минимум множество значений соответствует количеству путей на графе к событию окончания соответствующей работы.

4. Срок позднего начала работы.

t ij пн = t ij пк – t ij (2.4.13.)

Срок позднего окончания работы равен разности значений момента позднего окончания и продолжительности работы.

Резервы времени событий и работ.

Различают два вида резервов времени – общий (или полный) и частный.

Общий резерв времени (R i j ) – количество времени, на которое можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения критического пути.

Рис. 2.4.13., схема в.

R ij = t ij пн – t ij рн = t ij пк – t ij рк (2.4.14.)

Частный резерв (r ij) – количество времени на которое можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения начала последующей работы.

Рис. 2.4.13, схема г.

r ij = t jl рн – t ij рк (2.4.15.)

Рис. 2.4.13. Пояснения к понятиям ограничений и резервов времени.

Резервы времени на критическом пути равны нулю . В случае дефицита времени величина резерва принимает отрицательное значение.

Рассмотрим отличие между общими и частными резервами времени, проанализировав граф примера сетевой модели, изображенный в масштабе времени. Работы изображены в положении ранних начал. Работы 12 и 24 изображены сдвинутыми вплотную. Работа 12 частного резерва не имеет. Ее смещение приведет к изменению времени начала работы 24. Работа 24 имеет частный резерв в 2 единицы времени до момента окончания работы 34. Но если сместить работу 34, то у работы 12 появится резерв времени. Таким образом, у работ 12 и 24 имеются совместные ресурсы времени – общий резерв времени, который тоже равен 2 единицам.

Расчет сетевой модели предполагает определение ранних и поздних сроков выполнения работ, определение резервов времени и критического пути сетевой модели.

Порядок проведения расчетов представлен на схеме рис. 2.4.14.

Рис. 2.4.14. Порядок расчетов сетевой модели.

Расчет сетевой модели рассмотрим на примере уже использованного выше графа (рис.2.4.15.).

Рис. 2.4.15. Пример графа сетевой модели для расчета табличным методом.

Таблица имеет 11 столбцов, наименования, которых приведены ниже. Количество строк соответствует числу работ графа. Работы размещаются по строкам в строго определенном порядке. На первой строке размещается работа с первым номером начального события и первым номером конечного события (12). Затем работы с первым номером начального события и другими номерами конечного события в порядке их возрастания (13). После этого берутся работы с следующим номером начального события (2) и т.д. Если начальное событие является общим для нескольких работ (3), то работы размещаются в порядке увеличения номера конечного события 34 и 35. Последняя строка должна содержать номер финального события.

Таблица расчета показателей времени сетевой модели

Столбцы 2 и 3 заполняются вспомогательными данными: кодами предшествующих и последующих работ. Эти данные будут необходимы для расчетов. Если работы начальные, то есть предшествующих им работ нет, или конечные, то есть последующих работ нет, то в соответствующих графах ставятся прочерки. Предшествующих и последующих работ может быть несколько в соответствии с количеством векторов, кончающихся или начинающихся в данном событии./

В столбце 4 размешают значения продолжительности работ.

Со столбца 5 начинаются расчетные данные. Расчет производится в два прохода по строкам таблицы. Первый проход по строкам сверху вниз, при котором рассчитываются ранние сроки работ, а второй проход по строкам снизу вверх, при котором рассчитываются поздние сроки работ.

Раннее начало работ, не имеющих предшествующих (в графе 2 – прочерк), может быть принято за 0, если не задано какое-либо другое значение. Раннее окончание работы определяется согласно формуле 7 и записывается в графу 6.

Раннее начало остальных можно определить по правилу ограничения предшествования (формула 4 с условием равенства, так как работа ожидания не задана). Таким образом, если рассматривается, например работа 24, у которой начальное событие 2, то время ее раннего начала равно времени раннего окончания работы 12, так как у нее конечное событие 2. Значение из графы 6 переписывается в графу 5. Коды предшествующих работ указаны в графе 2. Раннее окончание также определяется по формуле 7.

Если, в графе 2 указано, что некой работе предшествует более, чем одна работа (работе 46 предшествуют работы 24 и 34), то необходимо выбрать значение раннего начала из нескольких вариантов значения (9 – по времени окончания работы 24 или 11 – по времени окончания работы 34). Правило выбора соответствует формуле 6, то есть выбирается максимальное значение (в примере – 11). Ранние окончания определяются как указывалось выше.

Максимальное значение раннего окончания в графе 6 соответствует значению продолжительности критического пути (15).

Второй проход вдоль строк таблицы от работы, записанной в последней строке, к работе, записанной в первой строке, позволяет определить значения поздних показателей работ. Для работ, у которых нет последующих работ (в графе 3 – прочерк, в примере работы 46, 56) в графу позднего окончания (8) записывается значение продолжительности критического пути. Для этих работ значение позднего начала вычисляется по формуле 9.

Позднее окончание остальных работ можно определить по правилу ограничения предшествования (формула 4 с условием равенства, так как работа ожидания не задана). Таким образом, если рассматривается, например работа 35, у которой конечное событие 5, то время ее позднего окончания равно времени позднего начала работы 56, так как у нее конечное событие 5. Значение из графы 7 переписывается в графу 8. Коды последующих работ указаны в графе 3. Позднее начало также определяется по формуле 9.

Если, в графе 3 указано, что некой работе следует более, чем одна работа (работе 13 следуют работы 34 и 35), то необходимо выбрать значение позднего окончания из нескольких вариантов значения (4 – по времени начала работы 34 или 9 – по времени начала работы 35). Правило выбора соответствует формуле 8, то есть выбирается минимальное значение (в примере – 4). Позднее начало определяется, как указывалось выше, по формуле 9.

Значение общего резерва времени (столбец 9) рассчитывается по формуле 10, что соответствует разности значений в столбцах 7 и 5.

Значение частного резерва времени (столбец 10) рассчитывается по формуле 11. Для упрощения расчета можно воспользоваться следующей вспомогательной таблицей. В столбец 3 вспомогательной таблицы заносятся значения ранних начал для работ, указанных в столбце 2 (данные берутся из столбца 3 основной таблицы). Для тех случаев, когда последующих работ нет, в столбце 3 записывается значение критического пути.

Ранний (или ожидаемый) срок свершения события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию.

Задержка свершения события по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) то тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

Поэтому поздний (или предельный) срок свершения события равен разности максимального времени наступления последующего за работой события и времени работы до этого (будущего) события.

Резерв времени события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения.

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имею, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

Из этого следует, что для того, чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а, выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Если сетевой график имеет единственный критический путь, то этот путь проходит через все критические события, то есть события с нулевыми резервами времени. Если критических путей несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруднено, так как через часть критических событий могут проходить как критические, так и некритические пути. В этом случае для определения критических путей рекомендуется использовать критические работы .

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале, называемом продолжительностью работы .

Очевидно, что ранний срок начала работы совпадает с ранним сроком наступления предшествующего события.

Ранний срок окончания работы совпадает с ранним сроком свершения последующего события.

Поздний срок начала работы совпадает с поздним сроком наступления предшествующего события.

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком наступления последующего события.

Таким образом, в рамках сетевой модели моменты начала и окончания работы тесно связаны с соседними событиями соответствующими ограничениями.

Если путь не критический, то он имеет резерв времени , определяемый как разность между длиной критического пути и рассматриваемого. Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути на его участке, не совпадающем с критическим путём (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени работы показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится.

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если её начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок.

Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через неё. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через неё, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, лежащих на других (немаксимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва.

Остальные резервы времени работы являются частями её полного резерва.

Частный резерв времени первого вида есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока её начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что её начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки.

Частный резерв времени второго вида , или свободный резерв времени работы представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что её начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки.

Свободным резервом времени можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени работы - часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.

Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же эта величина отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа ещё не оканчивается, а последующая уже должна начаться. То есть отрицательное значение этой величины не имеет реального смысла. Фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Работы, лежащие на критическим пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

Рисунок 3. Ключ к расчёту секторным методом

Следует отметить, что в случае достаточно простых сетевых графиков кроме табличного метода расчета параметров сетевых графи­ков, может быть применено секторное представление временных параметров, то есть расчет параметров может быть произведен на самом графике. Каждое событие для этого делится на четыре сектора. В левом секторе события записывают раннее начало работы, в правом - позднее окончание, в верхнем - номер данного события, в нижнем - номер предшествующего события, из которого к данному событию идёт путь максимальной продолжительности. Имеет место, когда в нижнем секторе ставят номер события и верхний сектор не заполняют. Определённые резервы времени записывают под стрелкой в виде дроби: в числителе общий резерв, а в знаменателе частный резерв.

Сетевой график 5. Секторное представление временных параметров

Реально на практике продолжительность работ, фактическое их состояние могут изменяться. При этом может изменяться и ожидаемое время наступления события, окончания работ и критический путь. Зная критический путь, руководство может сосредоточиться на тех работах, которые являются решающими с точки зрения сроков окончания всех работ.

В Project Web App расписание проекта может быть одноуровневым списком задач, но обычно задачи проекта формируют иерархию. Иначе говоря, некоторые задачи являются суммарными, а другие - их подзадачами. Суммарные задачи могут представлять разные этапы проекта или высокоуровневые блоки работы, тогда как подзадачи представляют более детальную работу в рамках более крупных этапов или задач.

Понизить или повысить уровень задачи в проекте можно двумя способами.

Щелкните строку задачи, уровень которой нужно понизить или повысить, а затем на вкладке Задача в группе Редактирование выберите команду Понизить уровень или Повысить уровень .

Щелкните строку задачи, уровень которой нужно понизить или повысить. Чтобы понизить уровень задачи, нажмите клавиши ALT + SHIFT + СТРЕЛКА ВПРАВО, а чтобы понизить - ALT + SHIFT + Стрелка влево.

Совет: Проект не открыт для изменения? Выберите пункт Проекты на панели быстрого запуска, щелкните имя проекта в центре проектов, а затем на вкладке Проект или Задача выберите команду Изменить .

При автоматическом планировании длительность и даты начала и окончания суммарной задачи определяются по ее подзадачам. Суммарная задача начинается в самую раннюю дату начала подзадач и заканчивается в наиболее позднюю дату их окончания.

Нужно отобразить суммарную задачу проекта? Можно также включить отображение суммарной задачи проекта в верхней строке списка задач, которая представляет иерархию всех суммарных задач и подзадач на уровне проекта. Чтобы отобразить суммарную задачу проекта, установите флажок Суммарная задача проекта в группе Показать или скрыть на вкладке Параметры .

Пример

Предположим, вы планируете принять участие в конференции. У вас может быть этап подготовки, на котором предполагается собрать предложения и материалы, которые будут раздаваться в павильоне, доставить их на место проведения конференции и оформить павильон. Далее может следовать этап проведения конференции, на котором сотрудники будут посменно работать в павильоне и зале, распространяя материалы. Наконец, заключительным этапом может быть рассылка писем с благодарностями посетителям и ответами на их вопросы.

Данному примеру может соответствовать приведенный ниже структурированный список суммарных задач и подзадач.

Этап 1. Подготовка к конференции

• Доставка материалов на место проведения конференции.

  Оформление павильона на месте проведения конференции.

Этап 2. Конференция

• Смены сотрудников в павильоне

• Смены сотрудников в зале

• Этап 3. Действия после конференции

При составлении сетевого графика оценку времени ведут, исходя из предположения, что все наличные ресурсы могут быть применены для завершения каждой работы на основании проектов производства работ и технологических карт. Затем эта оценка времени уточняется за счет совмещения отдельных работ, исходя из принципов оптимального использования наличной рабочей силы и прочих ресурсов. В связи с тем, что трудоемкость работ обычно выражается в чел.-днях, данные, заимствованные из технологических карт или нормативных справочников, достаточно разделить на количество рабочих, имеющихся в распоряжении руководства стройкой для того, чтобы определить общую продолжительность работы, выраженной в днях. Единица времени, используемая в сетевых графиках, должна быть единой для всех видов работ, включенных в сеть.

По продолжительности каждого вида работ определяется общий срок строительства, который после привязки к календарю представляет собой календарный план строительства. Принимая продолжительность выполнения отдельных работ по данным, приведенным на рис. 121, можно найти критический путь по сетке с тем,чтобы определить самый ранний и самый поздний сроки окончания по каждой работе.

Рис. 121. Схема сетевого графика с критическим путем.

Критический путь начинается с первоначального события и идет по сети слева направо до конечного события. При этом самые ранние сроки начала и окончания работ определяются путем суммирования продолжительности всех работ, от которых зависит данная работа, начиная от начального события. Эти данные проставляются в квадратиках, располагаемых возле кружков событий.

Таким образом, расчет сетевого графика сводится к определению резервов времени отдельных работ и по ним - общей продолжительности критического пути.

При небольшом количестве событий указанный расчет не представляет собой сложности. Однако, если учесть, что сетевые графики пусковых комплексов промышленных предприятий обычно охватывают сотни и даже тысячи событий, то для их подсчета требуется значительное время. В таких случаях расчет сетевого графика ведется последовательно с использованием соответствующих формул и таблиц вручную при количестве событий до 500 или с помощью ЭВМ при большем их количестве. Для уяснения методики указанных расчетов можно использовать данные, приведенные на рис. 121.

Если принять буквенные обозначения начального события какой-либо из работ - т, конечного п и конечного события следующей за ней работы - к, то эти работы можно обозначить индексами m - n и n - к.

Ранее было сказано, что все работы, не лежащие на критическом пути, обладают запасами времени, и для них могут быть определены по два срока начала и окончания, соответственно наиболее ранние и наиболее поздние.

Приняв обозначения:

Расчет начинается с определения ранних сроков работ, т. е. с

Раннее начало первых работ 1-2 и 1-3, выходящих из начального события 1, равно нулю, или

т. е. если событие m является начальным, то раннее начало работы m - n будет

Самое раннее начало работы

определяется продолжительностью самого длинного пути от начального события до предшествующего события данной работы.

Например, для работы 7 - 8 раннее начало по цепи 1 - 2 - 7 равно:

Однако по технологической зависимости производства работ следует, что начать работу 7 - 8 до окончания работы 2 - 7 нельзя, поэтому раннее начало работы 7 - 8 следует принять через 9 дней, т. е. работу можно начать на 10-й день.

По аналогии определяем раннее начало для остальных работ:

Раннее начало работы 5 - 9:

Так как работа 5 - 9 не может быть начата дож окончания 7 - 8, следует принять ее начало по расчету цепи 1 - 2 - 7 - 8, т. е. через 14 дней после начала строительства. По этим же причинам раннее начало работы 8 - 9 следует принять по цепи 1 - 2 - 7 - 8, т. е.

Раннее начало работы 9 - 10:

Следует принять

18 дней, так как эта работа не может быть выполнена до окончания работы 7 - 8.

Ранние сроки окончания работ определяются путем добавления к раннему сроку начала работы ее заданной продолжительности по формуле:

Очевидно, что раннее начало последующей работы определяется ранним окончанием предыдущих работ, т. е.

Если данной работе предшествует несколько работ, то ее Тр.н будет максимальной из величин ранних окончаний предыдущих работ:

Равенство является прямым следствием того, что нельзя начать какую-либо работу, если не выполнена предыдущая работа или не выполнен ряд работ, сходящихся в одном событии и имеющих разные сроки их окончания.

Раннее окончание работы

определяется по формуле:

В рассматриваемом примере эти сроки будут:

Как видно из приведенного расчета, раннее начало и окончание определяются для всех работ графика последовательно от начального события. Расчет определения ранних сроков окончания работ все время идет по наибольшим величинам продолжительности работ.

Максимальная величина суммы ранних окончаний технологически связанной цепи работ, завершающаяся конечным событием всего графика (в нашем случае цепи 1 - 2 - 7 - 8 - 9 - 10), определяет продолжительность критического пути и срок строительства. В рассматриваемом примере Пкр = 23 дня.

Самое позднее начало работы, которое не вызовет задержки окончания строительства всего объекта, определяется разностью продолжительности критического пути и самого длинного пути от предшествующего события данной работы до конечного события. ^

Например, для работы 7 - 8 (рис. 121) позднее начало будет равно:

Несколько сложнее определить позднее начало работы 2 - 7 или самое позднее свершение события 2, от которого зависит начало последующих работ 2 - 7, 2 - 8, 2 - 9 и др. К работе 2 - 7 от конечного события 10 до рассматриваемого 2 можно подойти несколькими путями:

путь 1 (10 - 9 - 2) продолжительностью L1 = 5+ 10 = 15 дней;

путь 2 (10 - 9 - 8 - 2) продолжительностью L2 = 5 + 4 + 8 = 17 дней;

путь 3 (10 - 9 - 8 - 7 - 2) продолжительностью L3 = 5 + 4 + 5 + 6 = 20 дней.

Соответственно этим путям поздние сроки начала работы

будут равны:

Очевидно, чтобы не вызвать задержки в выполнении последующей работы и других работ, следует принять минимальное значение

т. е. начать работу 2 - 7 не позднее чем через 3 дня после начала строительства. Если взять больший срок позднего начала работы 2 -- 7, то все последующие работы будут также выполняться позднее, что вызовет в целом задержку в окончании строительства.

Самым поздним окончанием последней работы 9-10 в рассматриваемом сетевом графике явится свершение события 10, срок которого определяется продолжительностью критического пути, т. е. ранним сроком завершения работ, лежащих на пути 1 - 2 - 7 - 8 - 9 -- 10. В нашем случае Пкр = 23 дням и

23 дням, поэтому

или в общем виде

Позднее окончание других работ в рассматриваемой цепи определяют суммой позднего начала и продолжительности данной работы.

Для работы 7 - 8:

Для работы 2 - 7:

В общем виде определить поздний срок выполнения работы можно следующим образом. Позднее начало работ

равно разности позднего окончания

и продолжительности работы m - n, т. е.

Дальнейший анализ сетевого графика ведется путем сопоставления ранних и поздних характерных работ для выявления критического пути и определения резервов времени. Те работы, у которых ранние начала и окончания равны поздним началам и окончаниям, не имеют запаса времени, а следовательно, они лежат на критическом пути. Если это совпадение не установлено, то у рассматриваемых работ имеется определенный резерв времени.

Как указывалось ранее, различают полный резерв времени рассматриваемого пути (цепи), частный и общий резервы времени работы.

Полным резервом времени для данной цепи работ называют разницу во времени между суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути, и продолжительностью работ рассматриваемой цепи (пути), т. е.

где Пкр -суммарная продолжительность работ, лежащих на критическом пути;

Пц - то же, лежащая на рассматриваемой цепи.

В нашем примере величина полного резерва между критическим путем 1-2-7-8-9-10, равным 23 дням, и цепью 1-3-4-5-9-10, равной 2+4+3 + 3+5= 17 дням, будет Рпол = 23-17 = 6 дням.

Таким образом, полный резерв Рпол данной цепи (пути) равен сумме частных (свободных) резервов работ, лежащих на ней

В нашем примере:

Полный или общий резерв времени Р° работы m - n определяется как резерв времени у максимального из путей, проходящего через эту работу.

Величина

показывает, на какое время может быть увеличена продолжительность отдельной работы т п, чтобы при этом длина максимального из путей, проходящего через эту работу не превышала длины критического пути.

Общий запас времени определяют разностью позднего и раннего начала времени или позднего и раннего окончания работы.

Например, общий запас времени для работы 7 - 8 составляет

Сводный или частный резерв времени определяет то количество времени, на которое можно перевести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения раннего начала следующих за ней работ.

Такой запас может выявиться в том случае, когда событие является результатом двух или более работ. Он определяется разностью раннего начала последующей работы и раннего окончания данной работы.

Например, частный запас времени для работы 2 - 8 составляет:

В общем виде частный запас времени Рч определяют по формуле:

После окончания расчета сетевого графика легко определить критический путь по видам работ, у которых Р°=0; критический путь включает все работы (стрелки), расположенные последовательно одна за другой, т. е. он обозначает работы, на выполнение которых требуются наибольшие затраты времени.

Понятие критическая работа охватывает как основные строительно-монтажные, так и вспомогательные работы. Например, критической работой может оказаться доставка строительных деталей или технологического оборудования на строительную площадку.

Помимо критического пути, представляет интерес так называемая критическая зона, обусловливающая совокупность работ, имеющих малые резервы времени. Работы критической зоны, не лежащие на критическом пути, могут оказаться в нем даже при небольшом изменении продолжительности некоторых работ. Такие работы называются подкритическими. Различают также резервную зону, совокупность работ которой имеет значительные резервы времени.

Суммируя время, необходимое для выполнения всех работ, расположенных на критическом пути, определяют продолжительность строительства объекта

Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.
Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.
Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.
События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.
В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ.
Рассмотрение основных понятий и положений МКП будем вести на основе следующего примера. Пусть задана следующая последова­тельность работ с их временными характеристиками: Построим сетевой график так, чтобы все дуги работы были
направлены слева направо (рис.2). Над дугами проставлены длительности работ.

Рис. 2. Сетевой график примера

Критический путь представляет собой путь от начальной до конечной работы, имеющий наибольшую длительность. Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к срыву выполнения всего комплекса работ, поэтому критическому пути и уделяется столько внимания.
Рассмотрим основные понятия, связанные с критическим путём .
Ранний срок наступления события (ЕТ). Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Для начального события ЕТ = 0. Для других определяется по формуле, где ЕТ 1 – ранний срок наступления события i, предшествующего событию j; t ij – продолжительность работы (ij).

Поздний срок наступления события (LТ) – это наиболее позд­ний срок, в который может наступить событие без задержки выполнения всего комплекса работ. Определяется он при движении по сети справа нале­во от конечного события к начальному по формуле:

Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают. Для конечного события эта величина равна длине критического пути. Расчёт показателей сетевого графика можно производить непосредственно по вышеприведённым формулам. Сначала надо найти ранние сроки наступления событий (при движении по сети слева направо, от начала к концу), (остальное выполнить самостоятельно).

Затем расчёты выполнить в обратном направлении и найти поздние сроки наступления событий.
Положить ЕТ 10 = LT 10 . LT 9 = LT 10 – t 9,10 = 51 –11 = 40.
LT 8 = LT 10 – t 89 = 51 – 9 = 42, и т.д.
Возможен и другой способ вычисления показателей – табличный.
События отмечаются в квадратах "главной" диагонали. Работы отмечаются дважды в верхних и нижних "побочных" квадратах отно­сительно главной диагонали таблицы. В верхних "побочных" квад­ратах таблицы номер строки соответствует предыдущему событию, номер столбца – последующему. В нижних "побочных" квадратах на­оборот.
Порядок заполнения таблицы

1. Сначала заполняются числители верхних и нижних побочных квадратов. В них записываются продолжительности соответствующих работ.
2. Заполняются знаменатели верхних "побочных" квадратов как суммы числителя главного квадрата и числителя верхнего "по­бочного" в той же строке.
3. Числитель первого главного квадрата принимается равным нулю, числители остальных главных квадратов равны максимуму знаменателей верхних "побочных" квадратов в том же столбце.
4. Знаменатель последнего главного квадрата принимается равным числителю этого квадрата. Знаменатели нижних "побочных" квадратов равны разности знаменателя главного и числителя "ниж­него" побочного в той же строке.
5. Знаменатели главных квадратов равны минимуму знаменате­лей "нижних" побочных в том же столбце.
Расчёт показателей сетевого графика

6. Общие резервы времени работ (разность между знаменателем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" в том же столбце).
7. Свободные резервы времени работ (разность между числите­лем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" квадра­та в том же столбце).

Воспроизведём график сети, проставив над каждым событием слева – ранний, а справа – поздний сроки наступления события (рис.3).

Рис. 3. Сетевой график с временными характеристиками

TS ij = LT j – ET i – t ij

FS ij = ET j – ET i – t ij

Задачи для контрольных заданий №4