Как вычислять соотношения
Вариант 1
1. Разделите число 125 в отношении а) 1: 4 б) 3:2
2. Начертите отрезок АВ, длина которого 14 см. Разделите этот отрезок в отношении 3:4.
3. Разделите число 120 на три части так, чтобы первая относилась ко второй как 1:2, а вторая - к третьей как 2:3
4. Из деревень А и В А ?
5. Известно, что А D = DE = BE , а точка С – середина отрезка АВ .
а) AD и AC ;
б) DB и CB .
С.Р по теме «Деление в данном отношении»
Вариант 2
1. Разделите число 140 в отношении а) 1: 6 б) 2:5
2. Начертите отрезок АВ, длина которого 10 см. Разделите этот отрезок в отношении 2:3.
3. Разделите число 160 на три части так, чтобы первая относилась ко второй как 1:3, а вторая - к третьей как 3:4
4. Из городов С и D D ?
5.
Известно, что А
D
=
DE
=
BE
, а точка С
– середина отрезка АВ
а) ВС и DE ; б) DC и AE .
С.Р по теме «Деление в данном отношении»
Вариант 3
1. Разделите число 150 в отношении а) 3: 2 б) 3:12
2. Начертите отрезок MN, длина которого 15 см. Разделите этот отрезок в отношении 3:2.
3. Разделите число 170 на три части так, чтобы первая относилась ко второй как 1:2, а вторая - к третьей как 2:14
4. Из деревень А и В , расстояние между которыми 26 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. В момент встречи преодоленные ими расстояния относились соответственно как . Какое расстояние проехал до встречи велосипедист из деревни А ?
5. Известно, что А D = DE = BE , а точка С – середина отрезка АВ .
Как относятся длины отрезков:
а) AD и AC ;
б) DB и CB .
С.Р по теме «Деление в данном отношении»
Вариант 4
1. Разделите число 140 в отношении а) 2: 5 б) 2:12
2. Начертите отрезок MN, длина которого 16 см. Разделите этот отрезок в отношении 3:5.
3. Разделите число 320 на три части так, чтобы первая относилась ко второй как 1:3, а вторая - к третьей как 3:4
4. Из городов С и D , расстояние между которыми 210 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. В момент встречи преодоленные ими расстояния относились соответственно как . Какое расстояние проехал до встречи автомобиль из города D ?
5.
Известно, что А
D
=
DE
=
BE
, а точка С
– середина отрезка АВ
.Как относятся длины отрезков:
а) ВС и DE ; б) DC и AE .
6 класс
УРОК № 14. Глава 1 . Отношения, пропорции, проценты (26 часов)
Тема . Прямая и обратная пропорциональность.
Цель . О бобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Отношения, пропорции».
Ход урока.
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Актуализация опорных знаний.
1. Что является отношением одноименных величин? А величин разных наименований?
2. Что показывает численный масштаб 1: 1000?
3. Объясните как разделить число 25 в отношении 2: 3?
4. Что называют пропорцией?
5. Сформулируйте основное свойство пропорции.
6. Какие величины называют прямо пропорциональными?
7. Какие величины называют обратно пропорциональными?
Решение упражнений. (Задания на карточках)
1. Упростите отношение: а) ; б) 
.
2. Из чисел 28, 42, 84, 56 составьте пропорцию. 
.
3. Решите пропорцию:
а) 
, б) 
,
, 
,
. Ответ
: 14. 
. Ответ
: 
.
Забор Краска
24 м – 9 кг
28 м – х кг
Решение.
,
,
.
кг краски израсходуют на 28 м этого забора. Ответ
: кг.
Кол-во Время
8 рабочих – 6 дн.
х рабочих – 4 дн.
Решение.
, 
, 
.
12 рабочих могут выполнить задание за 4 дня. Ответ : 12 рабочих.
1) 
;
2) 
. Ответ: 90; 60.
На карте – ? см 2
На местности: а = 60 м
b = 50 м
Масштаб – 1: 2000
Решение.
1) S = a b ,
S = 60 50 = 3000 (м 2 );
2) 3000 м 2: 2000 2 = 3 000 000 см 2: 4 000 000 = см 2 – площадь этого участка на плане.
1 м 2 = 10 000 см 2 Ответ : см 2 .
а) 24: 17 и 34: 48,
, 
,
, значит, составить пропорцию нельзя;
б) 13: 12 и 39: 36,
, 
,
Подведение итогов урока.
Домашнее задание. § 1.1-1.5 (повторить теорию). № 11(б,в), 47(г), 54(в), 55(а), 78, 82(б) .
Уч.с.7 № 11(б,в). Упростите отношение величин:
б) 
; в) 
.
Уч.с.16 № 47(г) . Можно ли составить пропорцию из отношений:
в) 20: 8 и 35: 14,
, 
,
, значит, составить пропорцию можно.
Уч.с.17 № 54(в) . Решите проп.: Уч.с.17 № 55(а) . Решить пропорцию:
в) 
, а) 
,
, 
,
. Ответ
: 4. 
. Ответ
: 24.
Уч.с.21 № 78 . 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 14 м сукна?
Сукно Ситец
8 м – 63 м
14 м – х м
Решение.
,
,
.
м ситца можно купить вместо 14 м сукна. Ответ
: м.
Уч.с.22 № 82(б) . Бригада из 4 человек может выполнить задание за 10 дней. За сколько дней выполнит такое же задание другая бригада из 5 человек, если все 9 человек работают одинаково хорошо?
Кол-во Время .
2. Из чисел 28, 42, 84, 56 составьте пропорцию.
3. Решите пропорцию: а) ; б) .
4. Решите задачу с помощью пропорции:
а) На 24 м забора израсходовали 9 кг краски. Сколько краски израсходуют на 28 м этого забора?
б) 8 рабочих могут выполнить задание за 6 дней. Сколько рабочих могут выполнить задание за 4 дня?
5. Разделите число 150 в отношении 3: 2.
6. Земельный участок в виде прямоугольника, длина которого 60 м, а ширина 50 м. Определите площадь этого участка на плане, если масштаб плана 1: 2000.
4. Решите задачу с помощью пропорции:
а) На 24 м забора израсходовали 9 кг краски. Сколько краски израсходуют на 28 м этого забора?
б) 8 рабочих могут выполнить задание за 6 дней. Сколько рабочих могут выполнить задание за 4 дня?
5. Разделите число 150 в отношении 3: 2.
6. Земельный участок в виде прямоугольника, длина которого 60 м, а ширина 50 м. Определите площадь этого участка на плане, если масштаб плана 1: 2000.
7. Можно ли составить пропорцию из отношений:
а) 24: 17 и 34: 48; б) 13: 12 и 39: 36.
Соотношение (в математике) - это взаимосвязь между двумя или более числами одного рода. Соотношения сравнивают абсолютные величины или части целого. Соотношения вычисляются и записываются по-разному, но основные принципы одинаковы для всех соотношений.
Шаги
Часть 1
Определение соотношений-
Определение соотношений. Соотношение - это взаимосвязь между двумя (или более) значениями одного рода. Например, если для приготовления торта необходимы 2 стакана муки и 1 стакан сахара, то соотношение муки к сахару равно 2 к 1.
- Соотношения могут быть использованы и в тех случаях, когда две величины не связаны друг с другом (как в примере с тортом). Например, если в классе учатся 5 девочек и 10 мальчиков, то соотношение девочек к мальчикам равно 5 к 10. Эти величины (число мальчиков и число девочек) не зависят друг от друга, то есть их значения изменятся, если кто-то уйдет из класса или в класс придет новый ученик. Соотношения просто сравнивают значения величин.
-
Обратите внимание на разные способы представления соотношений. Соотношения могут быть представлены словами или при помощи математических символов.
- Очень часто соотношения выражены словами (как показано выше). Особенно такая форма представления соотношений применяется в повседневной жизни, далекой от науки.
- Также соотношения можно выразить через двоеточие. При сравнении двух чисел в соотношении вы будете использовать одно двоеточие (например, 7:13); при сравнении трех и более значений ставьте двоеточие между каждой парой чисел (например, 10:2:23). В нашем примере с классом вы можете выразить соотношение девочек и мальчиков так: 5 девочек: 10 мальчиков. Или так: 5:10.
- Реже соотношения выражаются при помощи наклонной черты. В примере с классом оно может быть записано так: 5/10. Тем не менее это не дробь и читается такое соотношение не как дробь; более того, запомните, что в соотношении цифры не представляют собой часть единого целого.
Часть 2
Использование соотношений-
Упростите соотношение. Соотношение можно упростить (аналогично дробям), разделив каждый член (число) соотношения на . Однако при этом не упустите из виду исходных значений соотношения.
- В нашем примере в классе 5 девочек и 10 мальчиков; соотношение равно 5:10. Наибольший общий делитель членов соотношения равен 5 (так как и 5, и 10 делятся на 5). Разделите каждое число соотношения на 5 и получите соотношение 1 девочка к 2 мальчикам (или 1:2). Однако при упрощении соотношения помните об исходных значениях. В нашем примере в классе не 3 ученика, а 15. Упрощенное соотношение сравнивает количество мальчиков и количество девочек. То есть на каждую девочку приходится 2 мальчика, но в классе не 2 мальчика и 1 девочка.
- Некоторые соотношения не упрощаются. Например, соотношение 3:56 не упрощается, так как у этих чисел нет общих делителей (3 - простое число, а 56 не делится на 3).
-
Используйте умножение или деление для увеличения или уменьшения соотношения. Распространены задачи, в которых необходимо увеличить или уменьшить два значения, пропорциональных друг другу. Если вам дано соотношение и нужно найти соответствующее ему большее или меньшее соотношение, умножьте или разделите исходное соотношение на некоторое данное число.
- Например, пекарю нужно утроить количество ингредиентов, данных в рецепте. Если по рецепту соотношение муки к сахару составляет 2 к 1 (2:1), то пекарь умножит каждый член соотношения на 3 и получит соотношение 6:3 (6 чашек муки к 3 чашкам сахара).
- С другой стороны, если пекарю необходимо уполовинить количество ингредиентов, данных в рецепте, то пекарь разделит каждый член соотношения на 2 и получит соотношение 1:½ (1 чашка муки к 1/2 чашке сахара).
-
Поиск неизвестного значения, когда даны два эквивалентных соотношения. Это задача, в которой необходимо найти неизвестную переменную в одном соотношении при помощи второго соотношения, которое эквивалентно первому. Для решения таких задач пользуйтесь . Запишите каждое соотношение в виде обыкновенной дроби, поставьте между ними знак равенства и перемножьте их члены крест-накрест.
- Например, дана группа учеников, в которой 2 мальчика и 5 девочек. Каково будет число мальчиков, если число девочек увеличить до 20 (пропорция сохраняется)? Во-первых, запишите два соотношения - 2 мальчика:5 девочек и х мальчиков:20 девочек. Теперь запишите эти соотношения в виде дробей: 2/5 и х/20. Перемножьте члены дробей крест-накрест и получите 5x = 40; следовательно, х = 40/5 = 8.
Часть 3
Распространенные ошибки-
Избегайте сложения и вычитания в текстовых задачах на соотношение. Многие текстовые задачи выглядят примерно так: «В рецепте необходимо использовать 4 клубня картофеля и 5 корнеплодов моркови. Если вы хотите добавить 8 клубней картофеля, то сколько понадобится моркови, чтобы соотношение осталось неизменным?» При решении подобных задач ученики часто допускают ошибку, прибавляя одинаковое количество ингредиентов к исходному числу. Однако, чтобы сохранить соотношение, нужно использовать умножение. Вот примеры правильного и неправильного решения:
- Неверно: «8 - 4 = 4 - так мы добавили 4 клубня картофеля. Значит, нужно взять 5 корнеплодов моркови и к ним добавить еще 4... Стоп! Соотношения так не вычисляют. Стоит попробовать снова».
- Верно: «8 ÷ 4 = 2 - значит, мы умножили количество картофеля на 2. Соответственно, 5 корнеплодов моркови тоже нужно умножить на 2. 5 x 2 = 10 - в рецепт нужно добавить 10 корнеплодов моркови».
-
Преобразуйте члены в те же единицы измерения. Некоторые текстовые задачи специально усложняют, добавляя разные единицы измерения. Преобразуйте их, прежде чем вычислять соотношение. Вот пример задачи и решения:
- У дракона есть 500 грамм золота и 10 килограмм серебра. Каково соотношение золота к серебру в сокровищнице дракона?
- Граммы и килограммы - разные единицы измерения, их нужно преобразовать. 1 килограмм = 1000 грамм, соответственно, 10 килограмм = 10 килограмм x 1000 грамм/1 килограмм = 10 x 1000 грамм = 10 000 грамм.
- У дракона в сокровищнице 500 грамм золота и 10 000 грамм серебра.
- Соотношение золота к серебру равно: 500 грамм золота/10 000 грамм серебра = 5/100 = 1/20.
-
Записывайте единицы измерения после каждой величины. В текстовых задачах гораздо проще распознать ошибку, если записывать единицы измерения после каждого значения. Помните, что величины с одними и теми же единицами измерения в числителе и знаменателе сокращаются. Сократив выражение, вы получите верный ответ.
- Пример: дано 6 коробок, в каждой третьей коробке находится 9 шариков. Сколько всего шариков?
- Неверно: 6 коробок x 3 коробки/9 шариков = ... Стоп, ничего нельзя сократить. Ответ будет таким: «коробки x коробки / шарики». Он не имеет смысла.
- Верно: 6 коробок x 9 шариков/3 коробки = 6 коробок * 3 шарика/1 коробку = 6 коробок * 3 шарика/1 коробку = 6 * 3 шарика/1 = 18 шариков.
Использование соотношений. Соотношения используются как в науке, так и в повседневной жизни для сравнения величин. Простейшие соотношения связывают только два числа, но есть соотношения, сравнивающие три или более значения. В любой ситуации, в которой присутствует более одной величины, можно записать соотношение. Связывая некоторые значения, соотношения могут, например, подсказать, как увеличить количество ингредиентов в рецепте или веществ в химической реакции.
Загрузка...
