Теоремы закона больших чисел. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.
Частный случай закона больших чисел Чебышева. Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. и одинаковые математические ожидания . Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение

Это непосредственно следует из формулы (), так как

Замечание. Говорят, что случайная величина сходится по вероятности к числу А , если при сколь угодно малом вероятность неравенства с увеличением n неограниченно приближается к единице. Сходимость по вероятности не означает, что . Действительно, в последнем случае неравенство выполняется для всех достаточно больших значений n . В случае же сходимости по вероятности это неравенство для отдельных сколь угодно больших значений n может не выполняться . Однако невыполнение неравенства для больших значений n есть событие очень редкое (маловероятное). Принимая это во внимание, частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.
Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин , имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания , сходится по вероятности к а .
Поясним смысл частного случая закона больших чисел Чебышева. Пусть требуется найти истинное значение а некоторой физической величины (например, размер некоторой детали). Для этого будем производить ряд независимых друг от друга измерений. Всякое измерение сопровождается некоторой погрешностью (). Поэтому каждый возможный результат измерения есть случайная величина (индекс i - номер измерения). Предположим, что в каждом измерении нет систематической ошибки, т. е. отклонения от истинного значения а измеряемой величины в ту и другую стороны равновероятны. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны измеряемой величине а , т. е.
Предположим, наконец, что измерения производятся с некоторой гарантированной точностью. Это значит, что для всех измерений . Таким образом, мы находимся в условиях закона больших чисел Чебышева, а потому, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения а меньше, чем на

Вполне естественна потребность количественно уточнить утверждение о том, что в «больших» сериях испытаний частоты появления события «близки» к его вероятности. Следует ясно представить себе известную деликатность этой задачи. В наиболее типичных для теории вероятностей случаях дело обстоит так, что в сколь угодно длинных сериях испытаний остаются теоретически возможными оба крайних значения частоты

\frac{\mu}{n}=\frac{n}{n}=1 и \frac{\mu}{n}=\frac{0}{n}=0

Поэтому, каково бы ни было число испытаний n , нельзя утверждать с полной достоверностью, что будет выполнено, скажем, неравенство

<\frac{1}{10}

Например, если событие A заключается в выпадении при бросании игральной кости шестерки, то при n бросаниях с вероятностью {\left(\frac{1}{6}\right)\!}^n>0 мы все время будем получать одни шестерки, т. е. с вероятностью {\left(\frac{1}{6}\right)\!}^n получим частоту появления шестерок, равную единице, а с вероятностью {\left(1-\frac{1}{6}\right)\!}^n>0 шестерка не выпадает ни одного раза, т. е. частота появления шестерок окажется равной нулю.

Во всех подобных задачах любая нетривиальная оценка близости между частотой и вероятностью действует не с полной достоверностью, а лишь с некоторой меньшей единицы вероятностью. Можно, например, доказать, что в случае независимых испытаний с постоянной вероятностью p появления события неравенство

\vline\,\frac{\mu}{n}-p\,\vline\,<0,\!02

для частоты \frac{\mu}{n} будет выполняться при n=10\,000 (и любом p ) с вероятностью

P>0,\!9999.

Здесь мы прежде всего хотим подчеркнуть, что в приведенной формулировке количественная оценка близости частоты \frac{\mu}{n} к вероятности p связана с введением новой вероятности P .

Реальный смысл оценки (8) таков: если произвести N серий по n испытаний и сосчитать число M серий, в которых выполняется неравенство (7), то при достаточно большом N приближенно будет

\frac{M}{N}\approx P>0,\!9999.

Но если мы захотим уточнить соотношение (9) как в отношении степени близости \frac{M}{N} к вероятности P , так и в отношении надежности, с которой можно утверждать, что такая близость будет иметь место, то придется обратиться к рассмотрениям, аналогичным тем, которые мы уже провели в применении к близости \frac{\mu}{n} и p . При желании такое рассуждение можно повторять неограниченное число раз, но вполне понятно, что это не позволит нам совсем освободиться от необходимости на последнем этапе обратиться к вероятностям в примитивном грубом понимании этого термина.

Не следует думать, что подобного рода затруднения являются какой-то особенностью теории вероятностей. При математическом изучении реальных явлений мы всегда их схематизируем. Отклонения хода действительных явлений от теоретической схемы можно, в свою очередь, подвергнуть математическому изучению. Но для этого сами эти отклонения надо уложить в некоторую схему и этой последней пользоваться уже без формального математического анализа отклонений от нее.

Заметим, впрочем, что при реальном применении оценки

P\!\left\{\,\vline\,\frac{\mu}{n}-p\,\vline\,<0,\!02\right\}>0,\!9999.

Вероятности, которыми принято пренебрегать в различных практических положениях, различны. Выше уже отмечалось, что при ориентировочных расчетах расхода снарядов, гарантирующего выполнение поставленной задачи, удовлетворяются нормой расхода снарядов, при которой поставленная задача решается с вероятностью 0,95, т. е. пренебрегают вероятностями, не превышающими 0,05. Это объясняется тем, что переход на расчеты, исходящие из пренебрежения, скажем, лишь вероятностями, меньшими 0,01, приводил бы к большому увеличению норм расхода снарядов, т. е. практически во многих случаях к выводу о невозможности выполнить поставленную задачу за тот короткий промежуток времени, который для этого имеется, или с фактически могущим быть использованным запасом снарядов.

Иногда и в научных исследованиях ограничиваются статистическими приемами, рассчитанными исходя из пренебрежения вероятностями в 0,05. Но это следует делать лишь в случаях, когда собирание более обширного материала очень затруднительно. Рассмотрим в виде примера таких приемов следующую задачу. Допустим, что в определенных условиях употребительный препарат для лечения какого-либо заболевания дает положительный результат в 50%, т. е. с вероятностью 0,5. Предлагается новый препарат и для проверки его преимуществ над старым планируется применить его в десяти случаях, выбранных беспристрастно из числа больных, находящихся в том же положении, что и те, для которых установлена эффективность старого препарата в 50%. При этом устанавливается, что преимущество нового препарата будет считаться доказанным, если он даст положительный результат не менее чем в восьми случаях из десяти. Легко подсчитать, что такое решение связано с пренебрежением вероятностью получить ошибочный вывод (т. е. вывод о доказанности преимущества нового препарата, в то время как он равноценен или даже хуже старого) как раз порядка 0,05. В самом деле, если в каждом из десяти испытаний вероятность положительного исхода равна p , то вероятности получить при десяти испытаниях 10,9 или 8 положительных исходов, равны соответственно

P_{10}=p^{10},\qquad P_9=10p^9(1-p),\qquad P_8=45p^8(1-p)^2.

В сумме для случая p=\frac{1}{2} получаем P=P_{10}+P_9+P_8=\frac{56}{1024}\approx0,\!05 .

Таким образом, в предположении, что на самом деле новый препарат точно равноценен старому, мы рискуем сделать ошибочный вывод о том, что новый препарат превосходит старый, с вероятностью порядка 0,05. Чтобы свести эту вероятность приблизительно к 0,01, не увеличивая числа испытаний n=10 , пришлось бы установить, что преимущество нового препарата будет считаться доказанным лишь тогда, когда его применение даст положительный результат не менее чем в девяти случаях из десяти. Если это требование покажется сторонникам нового препарата слишком суровым, то придется назначить число испытаний n значительно большим, чем 10. Если, например, при n=100 установить, что преимущества нового препарата будут считаться доказанными при \mu>65 , то вероятность ошибки будет лишь P\approx0,\!0015 .

Если норма в 0,05 для серьезных научных исследований явно недостаточна, то вероятностью ошибки в 0,001 или в 0,003 по большей части принято пренебрегать даже в столь академических и обстоятельных исследованиях, как обработка астрономических наблюдений. Впрочем, иногда научные выводы, основанные на применении вероятностных закономерностей, обладают и значительно большей достоверностью (т. е. построены на пренебрежении значительно меньшими вероятностями). Об этом еще будет сказано далее.

В рассмотренных примерах мы уже неоднократно применяли частные случаи биномиальной формулы (6)

P_m=C_n^mp^m(1-p)^{n-m}

для вероятности P_m получить ровно т положительных исходов при n независимых испытаниях, в каждом из которых положительный исход имеет вероятность р. Рассмотрим при помощи этой формулы вопрос, поставленный в начале этого параграфа, о вероятности

<\varepsilon\right\},

где \mu - фактическое число положительных исходов. Очевидно, эта вероятность может быть записана в виде суммы тех P_m , для которых m удовлетворяет неравенству

\vline\,\frac{m}{n}-p\,\vline\,<\varepsilon,

P=\sum_{m=m_1}^{m_2}P_m,

где m_1 - наименьшее из значений m , удовлетворяющих неравенству (12), а m_2 - наибольшее из таких m .

Формула (13) при сколько-нибудь больших n мало пригодна для непосредственных вычислений. Поэтому имело очень большое значение открытие Муавром для случая p=\frac{1}{2} и Лапласом при любом p асимптотической формулы, которая позволяет очень просто находить и изучать поведение вероятностей P_m при больших n . Формула эта имеет вид

P\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\exp\!\left[-\frac{(m-np)^2}{2np(1-p)}\right].

Если p не слишком близко к нулю или единице, то она достаточно точна уже при n порядка 100. Если положить

T=\frac{m-np}{\sqrt{np(1-p)}},

То формула (14) приобретет вид

P\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\,e^{-t^2/2}.

P\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-T}^{T}e^{-t^2/2}\,dt=F(T),

T=\varepsilon\sqrt{\frac{n}{p(1-p)}}

Разность между левой и правой частями в (17) при постоянном и отличном от нуля и единицы p стремится при n\to\infty равномерно относительно \varepsilon к нулю. Для функции F(T) составлены подробные таблицы. Вот краткая выдержка из них

\begin{array}{c|c|c|c|c}T&1&2&3&4\\\hline F&0,\!68269&0,\!95450&0,\!99730&0,\!99993\end{array}

Произведем при помощи формулы (17) оценку вероятности

P=\mathbf{P}\!\left\{\,\vline\,\frac{\mu}{n}-p\,\vline\,<0,\!02\right\}\approx F\!\left(\frac{2}{\sqrt{p(1-p)}}\right) при n=10\,000,~\varepsilon=0,\!02 , так как T=\frac{2}{\sqrt{p(1-p)}} .

Так как функция F(T) монотонно возрастает с возрастанием T , то для не зависящей от p оценки P снизу надо взять наименьшее возможное (при различных p ) значение T . Такое наименьшее значение получится при p=\frac{1}{2} , и оно будет равно 4. Поэтому приближенно

P\geqslant F(4)=0,\!99993.

В неравенстве (19) не учтена ошибка, происходящая из-за приближенного характера формулы (17). Производя оценку связанной с этим обстоятельством погрешности, можно во всяком случае установить, что P>0,\!9999 .

В связи с рассмотренным примером применения формулы (17) следует отметить, что оценки остаточного члена формулы (17), дававшиеся в теоретических сочинениях по теории вероятностей, долго оставались мало удовлетворительными. Поэтому применения формулы (17) и ей подобных к расчетам при не очень больших n или при вероятностях p , очень близких к 0 или к 1 (а такие вероятности во многих случаях и имеют особенно большое значение) часто основывались лишь на опыте проверок такого рода результатов для ограниченного числа примеров, а не на достоверно установленных оценках возможной ошибки. Более подробное исследование, кроме того, показало, что во многих практически важных случаях приведенные выше асимптотические формулы нуждаются не только в оценке остаточного члена, но и в уточнении (так как без такого уточнения остаточный член слишком велик). В обоих направлениях наиболее полные результаты принадлежат С. Н. Бернштейну.

Соотношения (11), (17) и (18) можно переписать в виде

\mathbf{P}\!\left\{\,\vline\,\frac{\mu}{n}-p\,\vline\,

Для достаточно больших t правая часть формулы (20), не содержащая n , сколь угодно близка к единице, т. е. к значению вероятности, которое соответствует полной достоверности. Мы видим, таким образом, что, как правило, отклонения частоты \frac{\mu}{n} от вероятности p имеют порядок \frac{1}{\sqrt{n}} . Такая пропорциональность точности действия вероятностных закономерностей квадратному корню из числа наблюдений типична и для многих других вопросов. Иногда говорят даже в порядке несколько упрощенной популяризации о "законе квадратного корня из n " как основном законе теории вероятностей. Полную отчетливость эта мысль получила благодаря введению великим русским математиком П. Л. Чебышевым в систематическое употребление метода сведения различных вероятностных задач к подсчетам «математических ожиданий» и "дисперсий" для сумм и средних арифметических "случайных величин".

Случайной величиной называется величина, которая в данных условиях S может принимать различные значения с определенными вероятностями. Для нас достаточно рассмотреть случайные величины, могущие принимать лишь конечное число различных значений. Чтобы указать, как говорят, распределение вероятностей такого рода случайной величины \xi , достаточно указать возможные ее значения x_1,x_2,\ldots,x_r и вероятности

P_r=\mathbf{P}\{\xi=x_r\}.

\sum_{r=1}^{s}P_r=1.

Примером случайной величины может служить изучавшееся выше число \mu положительных исходов при п испытаниях.

Математическим ожиданием величины \xi называется выражение

M(\xi)=\sum_{r=1}^{s}P_rx_r,

D(\xi)=\sum_{r=1}^{s}P_r(x_r-M(\xi))^2.

\sigma_{\xi}=\sqrt{D(\xi)}=\sqrt{\sum_{r=1}^{s}P_r(x_r-M(\xi))^2}

В основе простейших применений дисперсий и средних квадратических отклонений лежит знаменитое неравенство Чебышева

\mathbf{P}\{|\xi-M(\xi)|\leqslant t_{\sigma_{\xi}}\}\geqslant1-\frac{1}{t^2},

Оно показывает, что отклонения случайной величины \xi от её математического ожидания M(\xi) , значительно превышающие среднее квадратическое отклонение \sigma_{\xi} , встречаются редко.

При образовании сумм случайных величин \xi=\xi^{(1)}+ \xi^{(2)}+\cdots+\xi^{(n)} для их математических ожиданий всегда имеет место равенство

M(\xi)=M(\xi^{(1)})+M(\xi^{(2)})+\cdots+M(\xi^{(n)}).

D(\xi)=D(\xi^{(1)})+D(\xi^{(2)})+\cdots+D(\xi^{(n)}).

верно только при некоторых ограничениях. Для справедливости равенства (23) достаточно, например, чтобы величины \xi^{(i)} и \xi^{(j)} с различными номерами не были, как говорят, «коррелированны» между собой, т. е. чтобы при i\ne j выполнялось равенство

M\Bigl\{(\xi^{(i)}-M(\xi^{(i)}))(\xi^{(j)}-M(\xi^{(j)}))\Bigl\}=0

Коэффициентом корреляции между случайными величинами \xi^{(i)} и \xi^{(j)} называется выражение

R=\frac{M\Bigl\{\Bigl(\xi^{(i)}-M(\xi^{(i)})\Bigl)\Bigl(\xi^{(j)}-M(\xi^{(j)})\Bigl)\Bigl\}}{\sigma_{\xi^{(i)}}\,\sigma_{\xi^{(j)}}}.

Если \sigma_{\xi^{(i)}}>0 в \sigma_{\xi^{(j)}}>0 , то условие (24) равносильно тому, что R=0 .

Коэффициент корреляции R характеризует степень зависимости между случайными величинами. Всегда |R|\leqslant1 , причем R=\pm1 только при наличии линейной связи

\eta=a\xi+b\quad(a\ne0).

Для независимых величин R=0 .

В частности, равенство (24) соблюдается, если величины \xi^{(i)} и \xi^{(j)} независимы между собой. Таким образом, для взаимно независимых слагаемых всегда действует равенство (23). Для средних арифметических

\zeta=\frac{1}{n}\Bigl(\xi^{(1)}+\xi^{(2)}+\cdots+\xi^{(n)}\Bigl) из (23) вытекает

D(\zeta_=\frac{1}{n^2}\Bigl(D(\xi^{(1)})+ D(\xi^{(2)})+\cdots+ D(\xi^{(n)})\Bigl).

Предположим теперь, что для всех слагаемых дисперсии не превосходят некоторой постоянной

D(\xi^{(i)})\leqslant C^2. Тогда по (25) D(\zeta)\leqslant\frac{C^2}{n},

\mathbf{P}\!\left\{|\zeta-M(\zeta)|\leqslant\frac{tC}{\sqrt{n}}\right\}\geqslant1-\frac{1}{t^2}

Неравенство (26) содержит в себе так называемый закон больших чисел в форме, установленной Чебышевым: если величины \xi^{(i)} взаимно независимы и имеют ограниченные дисперсии, то при возрастании n их средние арифметические \zeta , всё реже заметно отклоняются от своих математических ожиданий M(\zeta) .

Более точно говорят, что последовательность случайных величин

\xi^{(1)},\,\xi^{(2)},\,\ldots\,\xi^{(n)},\,\ldots

\mathbf{P}\{|\zeta-M(\zeta)|\leqslant \varepsilon\}\to1\quad (n\to\infty).

Чтобы получить из неравенства (26) предельное соотношение (27), достаточно положить

T=\varepsilon\cdot\frac{\sqrt{n}}{C}.

Большой ряд исследований А.А. Маркова, С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина и других посвящен вопросу возможно большего расширения условий применимости предельного соотношения (27), т. е. условий применимости закона больших чисел. Эти исследования имеют принципиальное значение. Однако еще более важным является точное исследование распределения вероятностей отклонений \zeta-M(\zeta) .

Великой заслугой русской классической школы в теории вероятностей является установление того факта, что при очень широких условиях асимптотически (т. е. со все большей точностью при неограниченно растущих n ) справедливо равенство

\mathbf{P}\!\left\{t_1\sigma_{\zeta}<\zeta-M(\zeta)

Чебышев дал почти полное доказательство этой формулы для случая независимых и ограниченных слагаемых. Марков восполнил недостающее звено в рассуждениях Чебышева и расширил условия применимости формулы (28). Еще более общие условия были даны Ляпуновым. Вопрос о распространении формулы (28) на суммы зависимых слагаемых с особенной полнотой был изучен С. Н. Бернштейном.

Формула (28) охватила столь большое число частных задач, что долгое время ее называли центральной предельной теоремой теории вероятностей. Хотя при новейшем развитии теории вероятностей она оказалась включенной в ряд более общих закономерностей, ее значение трудно переоценить и в настоящее

Время.

Если слагаемые независимы и их дисперсии одинаковы и равны: D(\xi^{(i)})=\sigma^2, то формуле (28) удобно, учитывая соотношение (25), придать вид

\mathbf{P}\!\left\{\frac{t_1\sigma}{\sqrt{n}}<\zeta-M(\zeta)<\frac{t_2\sigma}{\sqrt{n}}\right\}\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{t_1}^{t_2}e^{-t^2/2}\,dt\,.

Покажем, что соотношение (29) содержит в себе решение задачи об отклонениях частоты \frac{\mu}{n} от вероятности p , которой мы занимались ранее. Для этого введем случайные величины \xi^{(i)} определяя их следующим условием:

\xi^{(i)}=0 , если i -е испытание имело отрицательный исход,

\xi^{(i)}=1 , если i -е испытание имело положительный исход.

Легко проверить, что тогда

\mathbf{P}\!\left\{t_1\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}<\frac{\mu}{n}-p
что при t_1=-t,~t_2=t снова приводит к формуле (20).
Также см. Предельные теоремы теории вероятностей В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Лемма Чебышева . Если случайная величина х , для которой существует математическое ожидание М [x ], может принимать только неотрицательные значения, то для любого положительного числа a имеет место неравенство

Неравенство Чебышева. Если х – случайная величина с математическим ожиданием М [x ] и дисперсией D [x ], то для любого положительного e имеет место неравенство

. (2)

Теорема Чебышева. (закон больших чисел). Пусть х 1 , х 2 , …, x n ,… - последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограниченными одной и той же константой с

. (3)

Доказательство теоремы основано на неравенстве

, (4)

вытекающей из неравенства Чебышева. Из теоремы Чебышева как следствие может быть получена

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А , и пусть v n – случайная величина, равная числу наступлений события А в этих n опытах. Тогда для любого e > 0 имеет место предельное равенство

. (5)

Отметим, что неравенство (4) применительно к условиям теоремы Бернулли дает:

. (6)

Теорему Чебышева можно сформулировать в несколько более общем виде:

Обобщенная теорема Чебышева. Пусть х 1 , х 2 , …, x n ,… - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями M [x 1 ] = m 1 , M [x 2 ] = m 2 ,… и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной с . Тогда для любого положительного числа e имеет место предельное равенство

. (7)

Пусть х -число появлений 6 очков при 3600 бросаниях кости. Тогда М [x ] = 3600 = 600. Воспользуемся теперь неравенством (1) при a = 900: .

Используем неравенство (6) при n = 10000, р = , q = . Тогда

Пример.

Вероятность наступления события А в каждом из 1000 независимых опытов равна 0,8. Найдите вероятность того, что число наступлений события А в этих 1000 опытах отклонится от своего математического ожидания по абсолютной величине меньше чем на 50.

Пусть х - число наступлений события А в указанных 1000 опытах. Тогда М [x ] = 1000 × 0,8 = 800 и D [x ] = 1000 × 0,8 × 0,2 = 160. Теперь неравенство (2) дает:

Пример.

Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин x k (k = 1, 2,..., 1000) равна 4. Оцените вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0,1.

Согласно неравенству (4) при с = 4 и e = 0,1 имеем.

Проведем это доказательство в два этапа. Сначала предположим, что существует, и заметим, что в этом случае D(S„) по теореме о дисперсии суммы. Согласно неравенству Чебышева, при любом t > 0

При t > n левая часть меньше, чем, а последняя величина стремится к нулю. Это завершает первую часть доказательства.

Отбросим теперь ограничительное условие существования D(). Этот случай сводится к предшествующему методом усечения.

Определим два новых набора случайных величин, зависящих от, следующим образом:

U k =, V k =0, если (2.2)

U k =0, V k =, если

Здесь k=1,… , п и фиксировано. Тогда

при всех k.

Пусть {f(j)} -- распределение вероятностей случайных величин (одинаковое для всех j). Мы предположили, что = M() существует, так что сумма

конечна. Тогда существует и

где суммирование производится по всем тем j, при которых. Отметим, что хотя и зависит от п, но оно одинаково для

U 1 , U 2, ..., U n . Кроме того, при, и, следовательно, для произвольного > 0 и всех достаточно больших n

U k взаимно независимы, и с их суммой U 1 +U 2 +…+U n можно поступить точно так же, как и с X k в случае конечной дисперсии, применив неравенство Чебышева, мы получим аналогично (2.1)

Вследствие (2.6) отсюда вытекает, что

Поскольку ряд (2.4) сходится, последняя сумма стремится к нулю при возрастании n. Таким образом, при достаточно большом п

и следовательно

P{V 1 +…+V n 0}. (2.12)

Но, и из (2.9) и (2.12) получаем

Так как и произвольны, правая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и завершает доказательство.

Теория «безобидных» игр

При дальнейшем анализе сущности закона больших чисел будем пользоваться традиционной терминологией игроков, хотя наши рассмотрения допускают в равной степени и более серьезные приложения, а два наших основных предположения более реальны в статистике и физике, чем в азартных играх. Во-первых, предположим, что игрок обладает неограниченным капиталом, так что никакой проигрыш не может вызвать окончания игры. (Отбрасывание этого предположения приводит к задаче о разорении игрока, которая всегда интригует изучающих теорию вероятностей.) Во-вторых, предположим, что игрок не имеет нрава прервать игру, когда ему заблагорассудится: число п испытаний должно быть фиксировано заранее и не должно зависеть от хода игры. Иначе игрок, осчастливленный неограниченным капиталом, дождался бы серии удач и в подходящий момент прекратил бы игру. Такого игрока интересует не вероятное колебание в заданный момент, а максимальные колебания в длинной серии партий, которые описываются скорее законом повторного логарифма, чем законом больших чисел.

Введем случайную величину k как (положительный или отрицательный) выигрыш при k-м повторении игры. Тогда сумма S n = 1 +…+ k является суммарным выигрышем при п повторениях игры. Если перед каждым повторением игрок уплачивает за право участия в игре (не обязательно положительный) взнос, то п представляет собой общий уплаченный им взнос, a S n -- п общий чистый выигрыш. Закон больших чисел применим, если p=M(k) существует. Грубо говоря, при больших п весьма правдоподобно, что разность S п -- покажется малой по сравнению с п. Следовательно, если меньше, чем р, то при больших п игрок будет, вероятно, иметь выигрыш порядка. По тем же соображениям взнос практически наверняка приводит к убытку. Короче, случай благоприятен для игрока, а случай неблагоприятен.

Заметим, что мы еще ничего не говорили о случае. В этом случае единственно возможным заключением является то, что при достаточно большом и общий выигрыш или проигрыш S n -- п будет с очень большой вероятностью малым по сравнению с п. Но при этом неизвестно, окажется ли S n -- п положительным или отрицательным, т. е. будет ли игра выгодной или разорительной. Это не было учтено классической теорией, которая называла безобидной ценой, а игру с «безобидной». Нужно понимать, что «безобидная» игра может на самом деле быть и явно выгодной и разорительной.

Ясно, что в «нормальном случае» существует не только M(k), но и D(k). В этом случае закон больших чисел дополняется центральной предельной теоремой, а последняя говорит о том, что весьма правдоподобно, что при «безобидной» игре чистый выигрыш в результате продолжительной игры S n -- п будет иметь величину порядка n 1/2 и что при достаточно больших п этот выигрыш будет с примерно равными шансами положительным или отрицательным. Таким образом, если применима центральная предельная теорема, то термин «безобидная» игра оказывается оправданным, хотя даже и в этом случае мы имеем дело с предельной теоремой, что подчеркивается словами «в результате продолжительной игры». Тщательный анализ показывает, что сходимость в (1.3) ухудшается при возрастании дисперсии. Если велико, то нормальное приближение окажется эффективным только при чрезвычайно больших п.

Для определенности представим машину, при опускании в которую рубля игрок может с вероятностью 10 выиграть (10--1) рублей, а в остальных случаях теряет опущенный рубль. Здесь мы имеем испытания Бернулли и игра является «безобидной». Проделав миллион испытаний, игрок уплатит за это миллион рублей. За это время он может выиграть 0, 1,2,... раз. Согласно приближению Пуассона для биномиального распределения, с точностью до нескольких десятичных знаков вероятность выиграть ровно к раз равна e -1 /k!. Таким образом, с вероятностью 0,368 . . . игрок потеряет миллион, и с той же вероятностью он только окупит свои расходы; он имеет вероятность 0,184... приобрести ровно один миллион и т. д. Здесь 10 6 испытаний эквивалентны одному-единствеиному испытанию при игре с выигрышем, имеющим распределение Пуассона.

Очевидно, бессмысленно применять закон больших чисел в такого рода ситуациях. К этой схеме относится страхование от пожара, автомобильных катастроф и т. п. Риску подвергается большая сумма, но зато соответствующая вероятность очень мала. Однако здесь происходит обычно только одно испытание в год, так что число п испытаний никогда не становится большим. Для застрахованного игра обязательно не является «безобидной», хотя, может быть, экономически вполне выгодной. Закон больших чисел здесь не при чем. Что касается страховой компании, то она имеет дело с большим числом игр, но из-за большой дисперсии все же проявляются случайные колебания. Размер страховых премий должен быть установлен таким, чтобы предотвратить большой убыток в отдельные годы, и, следовательно, компанию интересует скорее задача о разорении, чем закон больших чисел.

Когда дисперсия бесконечна, термин «безобидная» игра становится бессмысленным; нет никаких оснований считать, что общий чистый выигрыш S n -- п колеблется около нуля. Действительно. существуют примеры «безобидных» игр, в которых вероятность того, что в результате игрок потерпит чистый убыток, стремится к единице. Закон больших чисел утверждает только, что этот убыток будет величиной меньшего порядка, чем п. Однако ничего большего утверждать и нельзя. Если а п образуют произвольную последовательность, причем а п /n0 то можно устроить «безобидную» игру, в которой вероятность того, что общий чистый убыток в результате п повторений игры превышаем a n стремится к единице.

Под «законом больших чисел» в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

В основе- неравенство Чебышева:

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше чем :

Справедливо для дискретных и непрерывных с.в.

53. Теорема Чебышева.

Пусть имеется бесконечная последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной С:

Тогда каково бы ни было положительное число вероятность события стремится к единице.

54. Теорема Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.

55. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.

Распределение суммы большого числа независимых случайных величин при весьма общих условиях близко к нормальному распределению.

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распределены на практике. Объяснение этому было дано А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

56. Генеральная совокупность и выборка: основные определения и понятия.

Математическая статистика – наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.

Задачи математической статистики:

Оценка неизвестной функции распределения на основании результатов измерений.

Оценка неизвестных параметров распределения.

Статическая проверка гипотез.

Пусть изучается некоторый количественный признак x.

Тогда под генеральной совокупностью понимается множество всех его возможных значений.

Для изучения свойств данного признака из генеральной совокупности случайным образом отбирается часть элементов вариантами Xi, которые образуют выборочную совокупность или выборку.

Число элементов совокупности называется ее объектом n.

Выборки: 1) повторная- выборка, при которой отобранный объект(перед отбором следующего0 возвращается в генеральную совокупность.

2) бесповторная- выборка, при которой отобранный объект в генеральную совокупность возвращается.

Чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо чтобы выборка была репрезентативной9представительной)

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект генеральной совокупности должен иметь одинаковую вероятность попасть в выборку.

Если объект генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается.

Перечень вариант, расположенный в возрастающем порядке называется вариационным рядом.

Число наблюдений данной варианты называется ее частотой ni, а отношение частоты ni к объекту выборки n-относительной частоты wi.