Геометрическое приложение определенного интеграла вычисление площадей. Геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения ОИ

Типовые задания транспортных задач для решения калькулятором .
12.1. В пунктах А и В находятся соответственно 150 т. и 90 т. горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуется соответственно 60, 70, 110 т. Горючего. Стоимость перевозки 1т. Горючего из пункта А в пункты 1, 2, 3 равна 60, 10, 40 тыс. руб. за 1 т. соответственно, а из пункта В в пункты 1, 2, 3 – 120, 20, 80 тыс. руб. за 1 т. соответственно. Составьте план перевозок горючего, минимизирующий общую сумму транспортных расходов.
12.2. В угольном бассейне добывается уголь, который хранится на трех складах в количестве 120, 60, 100 ед. соответственно. Добытый уголь доставляется четырем энергетическим установкам в количестве 70, 90, 50, и 70 ед. Стоимость доставки 1 ед. угля из каждого склада соответствующим энергетическим установкам задана матрицей . Определить оптимальный план доставки угля энергетическим установкам, обеспечивающий суммарные минимальные затраты.
12.3. Три завода выпускают комбайны, которые отправляются потребителям. Первый завод поставляет 50 комбайнов, второй – 40 комбайнов, третий – 70 комбайнов. Каждому из потребителей требуется соответственно 30, 50, 40 и 40 комбайнов. Стоимость перевозки одной единицы техники от поставщика потребителю задана матрицей стоимостей . Составьте оптимальный план, обеспечивающий общую минимальную стоимость перевозки комбайнов.
12.4. На двух складах А и В находится по 90 т. горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1, 3 и 5 д.е., а перевозка одной тонны со склада В в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 д.е. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.
12.5. В резерве трех железнодорожных станций А, В, С находятся соответственно 60, 80, 100 вагонов. Составить оптимальный план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки хлеба, если пункту 1 необходимо 40 вагонов, пункту 2 – 60 вагонов, пункту 3 – 80 вагонов и пункту 4 – 60 вагонов. Стоимости перегонов одного вагона со станции А в указанные пункты соответственно равны 1, 2, 3, 4 д.е., со станции В – 4, 3, 2 и 1 д.е., со станции С – 1, 2, 2, 1 д.е.
12.6. Завод имеет три цеха А, В, С и четыре склада.1, 2, 3, и 4. Цех А производит 30 тыс. шт. изделий, цех В – 40 тыс. шт., цех С – 20 тыс. шт. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад 1 – 20 тыс. шт., склад 2 – 30 тыс. шт., склад 3 – 30 тыс. шт., склад 4 – 10 тыс. шт. Стоимости перевозки 1 тыс. шт. изделий из цеха А в склады 1, 2, 3, 4 соответственно равны 2, 3, 2, 4 д.е., из цеха В – 3, 2, 5, 1 д.е., из цеха С – 4, 3, 2, 6 д.е. Составить такой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку 90 тыс. шт. изделий были бы минимальными.
12.7. На трех автобазах имеются автобусы в количестве 35, 45, 50 шт. соответственно для обслуживания четырех маршрутов. Для перевозки пассажиров каждому из маршрутов требуется автобусов в количестве 40,25, 35 и 30 шт. соответственно. Расходы по эксплуатации каждой транспортной единицы заданы матрицей . Распределить имеющиеся транспортные средства (автобусы) по маршрутам таким образом, чтобы общие расходы были минимальными.
12.8. Три завода выпускают грузовые автомобили, которые отправляются четырем потребителям. Первый завод поставляет 90 платформ грузовиков, второй – 30 платформ, третий – 40 платформ. Требуется поставить платформы следующим потребителям: первому – 70 шт., второму – 30 шт., третьему – 20 шт., четвертому – 40 шт. Стоимость перевозки одной платформы от поставщика до потребителя указана в следующей таблице (д.е.):

12.11. Имеются два хранилища с однородным продуктом, в которых сосредоточено 200 и 120 т. продукта соответственно. Продукты необходимо перевезти трем потребителям соответственно в количестве 80, 100 и 120 т. Расстояния (в км) от хранилищ до потребителей заданы в таблице:

12.12. На трех складах оптовой базы находится товар в количествах, равных соответственно 140, 300 и 180 т. Этот товар необходимо завезти в пять магазинов, каждый из которых должен получить соответственно 90, 120, 230, 180 и 60 т. С первого склада товар не предоставляется возможным перевозить во второй и пятый магазины, а из второго склада в третий магазин было завезено 100 т. товара. Зная стоимости перевозки 1 т. товара с каждого из складов в соответствующие магазины, которые определяются матрицей , составьте план перевозок, обеспечивающий минимальную общую стоимость перевозок.

12.13. Строительный песок добывается в трех карьерах и доставляется на четыре строительные площадки. Производительность карьеров за день составляет соответственно 45 т, 35 т, 40 т., Потребности в песке строительных площадок составляют соответственно 30 т, 40 т, 50 т. Транспортные расходы определены матрицей . Определить план закрепления строительных площадок за карьерами. Обеспечивающий минимальные расходы.

12.14. Продукция выпускается на трех заводах в количестве 340, 300, 460. Спрос на эту продукцию определяется соответственно в количестве 350, 200, 450 и 100. Транспортные расходы на доставку 1 ед. продукции с i-го завода (i = 1, 2, 3) k-му потребителю (k = 1, 2, 3, 4) определены матрицей . Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заводам из условия минимизации затрат на транспортировку.

12.15. На трех железнодорожных станциях А, В, С скопилось 120, 110 и 130 незагруженных вагонов. Эти вагоны необходимо перегнать на железнодорожные станции 1, 2, 3, 4 и 5. На каждой из этих станций потребность в вагонах равна соответственно 80, 60, 70, 100 и 50. Учитывая, что с железнодорожной станции В не предоставляется возможным перегнать вагоны на станции 2 и 4, и зная, что тарифы перегонки одного вагона определяются матрицей , составьте такой план перегонов вагонов, чтобы общая стоимость была минимальной.

12.16. Груз доставляется в пункты 1, 2, 3, и 4 в количестве 30, 40, 50 и 60 единиц со складов А, В, С и Е, в которых находился данный груз в количестве 20, 40, 50 и 70 единиц. Стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю задана матрицей . Требуется составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозки груза минимальна.

12.17. Имеются четыре хранилища с однородным продуктом, в которых сосредоточено 200 т, 120 т, 150 т, 130 т продукта соответственно Продукты необходимо перевезти трем потребителям соответственно в количестве 200 т, 250 т, 150 т. Расстояния от хранилищ до потребителей (в км) заданы в таблице:

12.18. промышленный концерн имеет два завода и пять складов в различных регионах страны. Каждый месяц первый завод производит 40 ед. продукции, а второй – 70 ед. продукции. Вся продукция, произведенная заводами, должна быть направлена на склады. Вместимость первого склада равна 20 ед. продукции, второго – 30, третьего – 15, четвертого – 27, пятого – 28 ед. продукции. Издержки транспортировки продукции от завода до склада заданы матрицей . Распределите план перевозок из условия минимизации ежемесячных расходов на транспортировку.

12.19. Три нефтеперерабатывающих завода с суточной производительностью 10, 8, 7 млн галлонов бензина снабжают четыре бензохранилища, спрос которых составляет 6, 7, 8 и 5 млн галлонов. Бензин транспортируется в бензохранилища по трубопроводу. Стоимость перекачки бензина на 1 км составляет 5 д.е. на 100 галлонов. Завод 1 не связан с хранилищем 3. Расстояние от заводов до бензохранилищ заданы матрицей . Распределите план перевозок из условия минимизации транспортных затрат.

12.20. На четырех складах находится соответственно 150, 100, 90 и 110 т горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуется соответственно 160, 110, 180 т горючего. Стоимость перевозки 1 т горючего с i-го склада (i = 1, 2, 3, 4) в k-й пункт (k = 1, 2, 3) задана матрицей стоимостей . Составьте план перевозок горючего, минимизирующий общую стоимость транспортных расходов.

12.21. Автомобили перевозятся на трайлерах из трех центров четырем продавцам в количестве 50, 60, 80 и 50 шт. соответственно. В каждом из трех центров находилось соответственно 90, 100 и 50 шт. автомобилей. Стоимость перевозки одной единицы транспортного средства задана матрицей . Найдите минимальные суммарные затраты на перевозку автомобилей.

12.22. Овощи, хранящиеся на четырех складах в количестве 50, 60, 45 и 65 т соответственно, необходимо вывезти трем магазинам. Каждый магазин должен получить овощи в количестве 100, 80 и 40 т соответственно. Со второго склада овощи не вывозятся в третий магазин, а с четвертого склада – во второй. Стоимость перевозки 1т овощей с каждого из складов в соответствующие магазины задана матрицей . Составьте план перевозок, обеспечивающий минимальную общую стоимость перевозок.

12.23. В резерве трех железнодорожных станций А, В, С находятся соответственно 100, 80, 120 вагонов. Составить оптимальный план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки товара, если пункту 1 необходимо 90 вагонов, пункту 2 – 80 вагонов, пункту 3 – 70 вагонов и пункту 4 – 60 вагонов. Стоимости перегонов одного вагона со станции А в указанные пункты соответственно равны 4, 5, 3, 4 д.е., со станции В – 1, 3, 5 и 1 д.е., со станции С – 6, 2, 7, 1 д.е.

12.24. В угольном бассейне добывается уголь трех сортов в относительных долях 20%, 60%, 15%. Добытый уголь доставляется четырем энергетическим установкам. Заданы теплотворные способности каждого из сортов топлива (в ккал/кг): 2800; 3000; 3500, потребности установок (в млн. ккал): 10; 25; 15; 30 и затраты по добыче 1 т. каждого сорта (в руб.): 8, 10, 15. Определить требуемый объем добычи и распределение разных сортов угля между энергетическими установками из условия минимизации суммарных затрат.

12.25. На строительном полигоне имеются два кирпичных завода, объем производства которых в сутки равен 600 и 700 т. Заводы удовлетворяют потребности пяти строительных объектов соответственно в количестве 250, 300, 150, 200 и 400 т. Кирпич на строительные объекты доставляется автотранспортом. Стоимость перевозки 1 т. кирпича с каждого из заводов соответствующим строительным полигонам указана в матрице стоимостей . Определить план перевозки кирпича строительным полигонам, обеспечивающий минимальную стоимость перевозки.

12.26. На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 90, 60 и 150 ед. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 40, 60 и 80 ед. груза. Тарифы перевозок единицы груза из каждого из складов во все магазины задаются матрицей .
Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость является минимальной.

12.27. Производственное объединение имеет в своем составе три филиала, которые производят однородную продукцию соответственно в количествах, равных 50, 30 и 10 ед. Эту продукцию получают четыре потребителя, расположенные в разных местах. Их потребности соответственно равны 30, 30, 10 и 20 ед. Тарифы перевозок единицы продукции от каждого из филиалов соответствующим потребителям задаются матрицей .
Составить такой план прикрепления получателей продукции к ее поставщикам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

12.28. Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110, 90, 120, 80 и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей .
Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие затраты являются минимальными.

12.29. На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 90 т муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к каждому из хлебозаводов задаются матрицей .
Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

12.30. В трех хранилищах горючего ежедневно хранится 175, 125 и 140 т бензина. Этот бензин ежедневно получают четыре заправочные станции в количествах, равных соответственно 180, 110, 90 и 40 т. Тарифы перевозок 1 т бензина с хранилищ к заправочным станциям задаются матрицей .
Составит такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Как перевести тн угля в Гкал? Перевести тн угля в Гкал не сложно, но для этого давайте сначала определимся с тем, для каких целей нам это необходимо. Существуют как минимум три варианта необходимости в расчете перевода имеющихся запасов угля в Гкал, это:

В любом случае, кроме исследовательских целей, где необходимо знать точную калорийность угля, достаточно знать, что при сгорании 1 кг угля со средней теплотворной способностью выделяется примерно 7000 ккал. Для исследовательских целей необходимо знать ещё и откуда, или из какого месторождения, нами получен уголь.
Следовательно, сожгли 1 тн угля или 1000 кг получили 1000х7000=7 000 000 ккал или 7 Гкал.

Калорийность марок каменных углей.

Для справки: калорийность каменных углей колеблется в пределах 6600-8750 калорий. У Антрацита она достигает 8650 калорий, а вот калорийность бурых углей колеблется от 2000 до 6200 калорий, при этом бурые угли содержат до 40% несгораемого остатка – шлама. При этом антрацит плохо разгорается и горит только при наличии сильной тяги, а вот бурый уголь напротив, хорошо разгорается, но дает мало тепла и быстро прогорает.

Но здесь, и в любом из последующих расчетов, не забывайте, что это тепло выделяемое при сгорании угля. А при отоплении дома, в зависимости от того, где у нас сжигается уголь в печи или котле, тепла вы получить меньше, за счет так называемого КПД (коэффициента полезного действия) отопительного устройства (читайте котла или печи).

Для обычной печи этот коэффициент не более 60%, как говорят, тепло улетает в трубу. Если у вас котел и водяное отопление в доме, КПД может достигать у крутых импортных, читайте современных котлов 92%, обычно для отечественных котлов, работающих на угле, КПД не более 70-75%. Следовательно, загляните в паспорт котла и умножьте полученные 7 Гкал на КПД, как раз и получите искомую величину – сколько Гкал вы получите, израсходовав на отопление 1 тн угля или что тоже самое как перевести тн угля в Гкал.

Израсходовав 1 т угля на отопление дома с импортным котлом, мы получим приблизительно 6,3 Гкал, а вот с обычной печью всего 4,2 Гкал. Пишу с обычной печью, потому, что существует много конструкций экономных печей, с повышенной теплоотдачей или высоким КПД, но, как правило, они имеют большие размеры и не каждый мастер берется за их кладку. Причина в том, что при неправильной кладке или даже при небольшой неисправности экономной печи, в определенных условиях возможно ухудшение или полное отсутствие тяги. В лучшем случае это приведет к плачу печи, ее стены будут сырые от конденсата, в худшем отсутствие тяги может привести к угоранию хозяев от угарного газа.

Какой запас угля необходимо сделать на зиму?

Теперь остановимся на том, что мы все эти расчеты делаем для того, чтобы знать, какой запас угля необходимо сделать на зиму. В любой литературе, кстати, и у нас на сайте, вы можете прочитать, что например, для отопления дома площадью 60 квадратных метров, вам потребуется приблизительно 6 кВт тепла в час. Переведя кВт в Гкал получим 6х0,86 = 5,16 ккал/час, откуда мы взяли 0,86 .

Теперь, казалось бы, все просто, зная количество тепла, необходимое на отопление в час, умножаем его на 24 часа и количество отопительных дней. Желающие проверить расчет получат, казалось бы, неправдоподобную цифру. На 6 месячное отопление довольно небольшого домика в 60 квадратных метров нам необходимо потратить 22291,2 Гкал тепла или запасти 22291,2/7000/0,7=3,98 тонны угля. С учетом наличие несгораемого остатка в угле эту цифру необходимо увеличить на процент примесей, в среднем это 0,85 (15% примесей) для каменных углей и 0,6 для бурых. 3,98/0,85=4,68 т каменного угля. Для бурого эта цифра вообще будет астрономической, поскольку тепла он дает почти в 3 раза меньше и содержит очень много негорючей породы.

В чем же ошибка, да в том, что 1 квт тепла на 10 м квадратных площади дома мы тратим только в морозы, для Ростовской области, например это -22 градуса, Москвы -30 градусов. На эти морозы и рассчитывается толщина стен жилых домов, а, сколько дней у нас в году бывают такие морозы? Правильно, максимум 15 дней. Как же быть, для упрощенного расчета, собственных целей, Вы можете просто умножить полученное значение на 0,75.

Коэффициент 0,75 выведен на основании усреднения более точных расчетов, применяемых при определении потребность в условном топливе для получения лимитов на это самое топливо в органах власти промышленными предприятиями (горгазы, регионгазы и т.д.) и естественно официально ни где, кроме собственных расчетов использовать нельзя. Но приведенная выше методика перевода тн угля в Гкал, а затем определения потребности угля для собственных нужд довольно точна.

Конечно, можно привести и полную методику определения потребности в условном топливе , но выполнить такой расчет без ошибок довольно сложно, и в любом случае официальные органы его примут только от организации имеющей разрешение и аттестованных специалистов на выполнение данных расчетов. Да и простому обыватели он кроме потери времени ни чего не даст.

Точный расчет потребности в угле для отопления жилого дома Вы можете сделать в соответствии с приказом Министерства промышленности и энергетики РФ от 11.11.2005 г. № 301 «Методика определения норм выдачи бесплатного пайкового угля для бытовых нужд пенсионерам и другим категориям лиц, проживающим в угледобывающих регионах в домах с печным отоплением и имеющим право на его получение в соответствии с законодательством Российской Федерации». Пример такого расчета с формулами приведен на .

Для специалистов предприятий интересующихся в расчете годовой потребности в тепле и топливе, самостоятельно можете изучить следующие документы:

— Методика определения потребности в топливе Москва, 2003г, Госстрой 12.08.03

— МДК 4-05.2004 «Методика определения потребности в топливе, электрической энергии и воде при производстве и передаче тепловой энергии и теплоносителей в системах коммунального теплоснабжения» (Госстрой РФ 2004 год) или добро пожаловать к нам, расчет недорогой, выполним быстро и точно. Все вопросу по телефону 8-918-581-1861 (Юрий Олегович) или по электронной почте указанной на страничке .

Используя данные из приведённой ниже таблицы, сравните ресурсообеспеченность стран углём. Расположите страны в порядке увеличения показателя ресурообеспеченности.

А) Казахстан

Б) Австралия

Пояснение.

Ресурсообеспеченность - соотношение количества имеющихся на определённой территории природных ресурсов и того, насколько широко эти ресурсы используются. Измеряется количеством лет, за которые будут использованы природные ресурсы, имеющиеся на определённой территории.

А) В Казахстане 31 300: 111 = 281,9 лет

Б) В Австралии 76 200: 423 = 180,1 года

В) В Китае 114 500: 3240 = 35,3 года

Ответ: ВБА.

Ответ: ВБА

Пояснение.

1) Мексика 1600: 145 = 11 лет

2) Бразилия 2200: 114 = 19,3 года

3) Саудовская Аравия 36 600: 525 = 69,7 лет

Ответ: 123.

Ответ: 123

Запишите в ответ получившуюся последовательность букв.

Пояснение.

Ресурсообеспеченность определяется отношением запасов к добыче, приведенных к единым единицам измерения. То есть переведем млрд.т запасов в млн. тонн. Получаем количество лет, на которые хватит сырья при таком уровне запасов и добычи.

Ангола 1800 (млн.т.) : 85 (млн.т.) = 21 год

Китай 2000 (млн.т) : 203 (млн.т.) = 10 лет

Габон 500: 12 = 42 года

Ответ: БАВ.

Ответ: БАВ

Используя данные из приведённой ниже таблицы, сравните ресурсообеспеченность стран нефтью. Расположите страны в порядке увеличения показателя ресурообеспеченности.

Б) Бразилия

B) Нигерия

Запишите в ответ получившуюся последовательность букв.

Пояснение.

Ресурсообеспеченность определяется отношением запасов к добыче, приведенных к единым единицам измерения. То есть переведем млрд. т запасов в млн. тонн. Получаем количество лет, на которые хватит сырья при таком уровне запасов и добычи.

А) США 3700 млн. т. : 352 млн. т. = 11 лет

Б) Бразилия 2200: 114 = 19 лет

В) Нигерия 5000: 117 = 43 года

Ответ: АБВ.

Ответ: АБВ

Используя данные из приведённой ниже таблицы, сравните ресурсообеспеченность стран нефтью. Расположите страны в порядке увеличения показателя ресурсообеспеченности.

Запишите в ответ получившуюся последовательность цифр.

Пояснение.

1) Ангола - 1800: 85 = 21

2) США - 3700: 352 = 11

3) Нигерия - 5000: 117 = 43

Ответ: 213.

Ответ: 213

Используя данные из приведенной ниже таблицы, сравните ресурсообеспеченность стран углём. Расположите страны в порядке увеличения показателя ресурсообеспеченности.

Запишите в ответ получившуюся последовательность цифр.

Пояснение.

Ресурсообеспеченность определяется отношением запасов к добыче. Получаем количество лет, на которые хватит сырья при таком уровне запасов и добычи:

1) ЮАР - 30 156: 255 = 118

2) Россия - 157 010: 333 = 472

3) Казахстан - 33 600: 116 = 290

Ответ: 132.

Ответ: 132

Используя данные таблицы, сравните обеспеченность стран пахотными землями. Расположите страны в порядке увеличения показателя ресурсообеспеченности.

Запишите в ответ получившуюся последовательность цифр.

Пояснение.

Ресурсообеспеченность определяется отношением запасов к добыче. Получаем количество лет, на которые хватит сырья при таком уровне запасов и добычи:

1) Австралия - 47,2: 22,0 = 2,14

2) Бразилия - 61, 2: 196,8 = 0,31

3) Канада - 45,1: 34,5 = 1,31

Ответ: 231.

Ответ: 231

Используя данные из приведённой ниже таблицы, сравните обеспеченность стран пахотными землями. Расположите страны в порядке увеличения показателя ресурсообеспеченности.

Запишите в ответ получившуюся последовательность цифр.

Пояснение.

Ресурсообеспеченность определяется отношением запасов к добыче. Получаем количество лет, на которые хватит сырья при таком уровне запасов и добычи:

Австралия - 47,2: 22,0 = 2,15

Китай - 138,6: 1338,1 = 0,10

Нигерия - 36,0: 149,2 = 0, 24

Ответ: 231.

Ответ: 231

Используя данные таблицы, сравните обеспеченность стран железной рудой. Расположите страны в порядке увеличения показателя ресурсообеспеченности.

Запишите в ответ получившуюся последовательность цифр.

Пояснение.

Обеспеченность определяется делением запасов на добычу.

1) США 25 400: 53 = 479 лет

2) ЮАР 9400: 32 = 294 года

3) Казахстан 8800: 10 = 880 лет

Ответ: 213.

Ответ: 213

Используя данные из приведённой ниже таблицы, сравните ресурсообеспеченность стран нефтью. Расположите страны в порядке увеличения показателя ресурсообеспеченности.

Запишите в ответ получившуюся последовательность цифр.

Пояснение.

Ресурсообеспеченность определяется делением запасов на добычу.

1) Нигерия 5000: 115 = 44 года

2) Мексика 1600: 147 = 11 лет

3) Россия 10 600: 505 = 21 год

Ответ: 231.

Ответ: 231

Пояснение.

1) Ан­го­ла 1800: 85,2 = 21 год

2) Ка­зах­стан 3900: 82,4 = 48 лет

3) Китай 2000: 203,5 = 8 лет

Ответ: 312.

Ответ: 312

Используя таблицу, срав­ни­те обес­пе­чен­ность стран нефтью. Рас­по­ло­жи­те стра­ны в по­ряд­ке уве­ли­че­ния по­ка­за­те­ля ресурсообеспеченности, на­чи­ная со стра­ны с наи­мень­шим зна­че­ни­ем этого показателя.

Запиши в ответ не­об­хо­ди­мую по­сле­до­ва­тель­ность цифр.

Пояснение.

Ресурсообеспеченность опре­де­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем за­па­сов к добыче. По­лу­ча­ем ко­ли­че­ство лет, на ко­то­рые хва­тит сырья при таком уров­не за­па­сов и добычи.

1) Бра­зи­лия 2200: 114,6 = 19 лет

2) Мек­си­ка 1600: 145,1 = 11 лет

3) Ни­ге­рия 5000: 117,4 = 42 года

Ответ: 213.

Ответ: 213

Используя дан­ные из при­ве­ден­ной ниже таблицы, срав­ни­те ре­сур­со­обес­пе­чен­ность стран ре­сур­са­ми прес­ной воды. Рас­по­ло­жи­те стра­ны в по­ряд­ке уве­ли­че­ния по­ка­за­те­ля ресурообеспеченности.

Б) Мьянма

Пояснение.

Ресурсобеспеченность для воз­об­но­ви­мых видов ре­сур­сов рас­счи­ты­ва­ет­ся на душу населения.

А) Индия 2085: 1170 = 1,6

Б) Мьян­ма 1080: 50 = 21,6

В) Ка­на­да 2900: 33,7 = 88,9

Ответ: АБВ.

Ответ: АБВ

Используя дан­ные из при­ве­ден­ной ниже таблицы, срав­ни­те ре­сур­со­обес­пе­чен­ность стран нефтью. Рас­по­ло­жи­те стра­ны в по­ряд­ке уве­ли­че­ния по­ка­за­те­ля ресурсобеспеченности.

Укажите ответ в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти бук­вен­ных обо­зна­че­ний вы­бран­ных элементов.

Б) Казахстан

B) Бразилия

Пояснение.

Ресурсообеспеченность для ис­чер­па­е­мых ре­сур­сов рас­счи­ты­ва­ет­ся на ко­ли­че­ство лет в зав­си­мо­сти от за­па­сов до­бы­чи дан­но­го вида ресурсов.

А) Китай 2100 (млн.т.) : 190 (млн.ч.) = 11 лет

Б) Ка­зах­стан 5500 (млн.т.) : 62 (млн.т.) = 88 года

В) Бра­зи­лия 1700 (млн. т.) : 84 (мл.т.) = 20 лет

Ответ: АВБ.

Ответ: АВБ

Используя таблицу, срав­ни­те обес­пе­чен­ность стран золотом. Рас­по­ло­жи­те стра­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния в них по­ка­за­те­ля ресурсообеспеченности, на­чи­ная со стра­ны с наи­мень­шим зна­че­ни­ем этого показателя.

Пояснение.

1) Перу - 34 700: 171 = 203 т.

2) Австралия - 79 900: 225 = 355 т.

3) ЮАР - 125 100: 250 = 500 т.

Ответ: 123.

Ответ: 123

Используя дан­ные таблицы, срав­ни­те обес­пе­чен­ность стран па­хот­ны­ми землями. Рас­по­ло­жи­те стра­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния в них по­ка­за­те­ля ресурсообеспеченности, на­чи­ная со стра­ны с наи­мень­шим зна­че­ни­ем этого показателя.

Запишите в ответ по­лу­чив­шу­ю­ся по­сле­до­ва­тель­ность цифр.

Пояснение.

1) Турция 21,4: 76,1 = 0,3

2) Мексика 25,1: 117,6 = 0,2

3) Казахстан 24,0: 17,0 = 1,4

Ответ: 213.

Ответ: 213

Используя дан­ные из приведённой ниже таблицы, срав­ни­те ре­сур­со­обес­пе­чен­ность стран па­хот­ны­ми землями. Рас­по­ло­жи­те стра­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния в них по­ка­за­те­ля ресурсообеспеченности, на­чи­ная со стра­ны с наи­мень­шим зна­че­ни­ем этого показателя.

Приведем некоторые приложения определенного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой (где
), прямыми
,
и отрезком
оси
, вычисляется по формуле

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми
и
(где
) прямыми
и
вычисляется по формуле

Если кривая задана параметрическими уравнениями
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми
,
и отрезком
оси
, вычисляется по формуле

,

где иопределяются из уравнений
,
, а
при
.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением
и двумя полярными радиусами
,
(
), находится по формуле

.

Пример 1.27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой
(рис 1.1).

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая
на отрезке
- гладкая (то есть производная
непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

.

При параметрическом задании кривой
(
- непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметраотдо, вычисляется по формуле

Пример 1.28. Вычислить длину дуги кривой
,
,
.

Решение. Найдем производные по параметру :
,
. Тогда по формуле (1.7) получаем

.

2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Пусть каждой упорядоченной паре чисел
из некоторой области
соответствует определенной число
. Тогданазываетсяфункцией двух переменных и,
-независимыми переменными или аргументами ,
-областью определения функции, а множество всех значений функции -областью ее значений и обозначают
.

Геометрически область определения функции обычно представляет собой некоторую часть плоскости
, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области.

Пример 2.1. Найти область определения
функции
.

Если переменной дать некоторое приращение
, аоставить постоянной, то функция
получит приращение
, называемоечастным приращением функции по переменной :

Аналогично, если переменная получает приращение
, а остается постоянной, то функция
получит приращение
, называемоечастным приращением функции по переменной :

Если существуют пределы:

,

,

они называются частными производными функции
по переменными соответственно.

Замечание 2.1. Аналогично определяются частные производные функций любого числе независимых переменных.

Замечание 2.2. Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной при условии, что остальные переменные – постоянны, то все правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

Пример 2.2.
.

Решение . Находим:

,

.

Пример 2.3. Найти частные производные функции
.

Решение . Находим:

,

,

.

Полным приращением функции
называется разность

Главная часть полного приращения функции
, линейно зависящая от приращений независимых переменных
и
,называется полным дифференциалом функции и обозначается
. Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

,

где
,
- произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

Аналогично, для функции трех переменных
полный дифференциал определяется выражением

.

Пусть функция
имеет в точке
частные производные первого порядка по всем переменным. Тогда векторназываетсяградиентом функции
в точке
и обозначается
или
.

Замечание 2.3. Символ
называется оператором Гамильтона и произносится “намбла”.

Пример 2.4. Найти градиент функции в точке
.

Решение . Найдем частные производные:

,
,

и вычислим их значения в точке
:

,
,
.

Следовательно,
.

Производной функции
в точке
по направлению вектора
называют предел отношения
при
:

, где
.

Если функция
дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле:

,

где ,- углы, который векторобразует с осями
и
соответственно.

В случае функции трех переменных
производная по направлению определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид

где
- направляющие косинусы вектора.

Пример 2.5. Найти производную функции
в точке
в направлении вектора
, где
.

Решение . Найдем вектор
и его направляющие косинусы:

,
,
,
.

Вычислим значения частных производных в точке
:

,
,
;
,
,
.

Подставляя в (2.1), получаем

.

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:

,

,

,

Частные производные
,
называютсясмешанными . Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.

Пример 2.6. Найти частные производные второго порядка функции
.

Решение . Вычислим предварительно частные производные первого порядка:

,
.

Продифференцировав их еще раз, получим:

,
,

,
.

Сравнивая последние выражения, видим, что
.

Пример 2.7. Доказать, что функция
удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Решение . Находим:

,
.

,
.

.

Точка
называетсяточкой локального максимума (минимума ) функции
, если для всех точек
, отличных от
и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство

(
).

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом . Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экстремума функции .

Теорема 2.1 (Необходимые условия экстремума ). Если точка
является точкой экстремум функции
, тоили хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными или критическими . Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Введем предварительно следующие обозначения:

,
,
,
.

Теорема 2.2 (Достаточные условия экстремума ). Пусть функция
дважды дифференцируема в окрестности точки
и точка
является стационарной для функции
. Тогда:

1. Если
, то точка
является экстремумом функции, причем
будет точкой максимума при
(
) и точкой минимума при
(
).

2. Если
, то в точке

экстремума нет.

3. Если
, то экстремум может быть, а может и не быть.

Пример 2.8. Исследовать на экстремум функцию
.

Решение . Так как в данном случае частные производные первого порядка всегда существуют, то для нахождения стационарных (критических) точек решим систему:

,
,

откуда
,
,
,
. Таким образом, получили две стационарные точки:
,
.

,
,
.

Для точки
получаем:, то есть в этой точке экстремума нет. Для точки
получаем:и
, следовательно

в этой точке данная функция достигает локального минимума: .