Найти частное производное второго порядка. Частные производные первого и второго порядка. Полное приращение функции z определяется равенством
Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.
СодержаниеФункция не ограничена сверху
1.1. Пусть число b
конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.
.
при .
Обозначим .
Тогда для любого существует ,
так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).
b рано плюс бесконечности
Функция ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M
:
при .
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при .
Тогда при .
Или
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует число ,
так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b
равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M
существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .
Итак, для любого существует число ,
так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).
Функция не возрастает
Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .
Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B
может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой .
Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B
существует такой аргумент ,
для которого
.
По условию теоремы, .
Поэтому .
Поскольку функция не возрастает, то при .
Поскольку ,
то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b
.
Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки ,
существует такая проколотая левая окрестность точки b
,
что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен :
(см. универсальное определение предела функции по Коши).
Предел в точке a
Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.
Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .
Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.
Теперь осталось показать, что если существует предел функции при ,
то существует предел функции при ,
и эти пределы равны:
.
Введем обозначение:
(1)
.
Выразим f
через g
:
.
Возьмем произвольное положительное число .
Пусть есть эпсилон окрестность точки A
.
Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A
(см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое ,
что
при .
Пусть a
- конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a
,
используя неравенства:
при .
Заменим x
на -x
и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a
.
Тогда
при .
Пусть a
- бесконечное число, .
Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует такое ,
что
при .
Это означает, что
.
Теорема доказана.
См. также:Понятие функции многих переменных
Пусть имеется n-перем-х и каждому х 1 , х 2 … х n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х 1 , х 2 … х n) многих переменных.
Х – обл-ть опред-я ф-ции
х 1 , х 2 … х n – независ-е переем-е (аргументы)
Z – ф-ция Пример: Z=П х 2 1 *х 2 (Объем цилиндра)
Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х 1 , х 2 замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.
Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.
Пример: х = х 0 , зн. пл-ть Х || 0уz у = у 0 0хz Вид ф-ции: Z=f(х 0 ,y); Z=f(x,у 0)
Например: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Парабола окруж-ть(центр(0;1)
Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х 0 ,y 0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(х;у) непрерывна в т.(х 0 ,y 0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х 0 и у к у 0 ; - этот предел = знач-ю ф-ции в т.(х 0 ,y 0), т.е. limf(х;у)=f(х 0 ,y 0) Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области Дифференциал ф-ции, его геом смысл. Применение диф-ла в приближенных значениях.
dy=f’(x)∆x – диф-л ф-ции dy=dx, т.е. dy=f ’(x)dx если у=х С геом точки зрения диф-л ф-ции – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке с абсциссой х 0 Диф-л применяют в вычислении приближ. значений ф-ции по формуле: f(х 0 +∆x)~f(х 0)+f’(х 0)∆x Чем ближе ∆x к х, тем результат точнее Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной) О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х 0, у 0. Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y) Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е. Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной. Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х, у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const. Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания. Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления. Производная изолированной const = 0 1.4.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
Пусть z = f(x,y), тогда tz = - называется полным приращением
Частная производная 2-го порядка Для непрерывных функций 2-х переменных смешанные частные производные 2-го порядка и совпадают. Применение частных производных к определению частных производных max и min функций называются экстремумами. О. Точки называются max или min z = f(x,y), если существуют некоторые отрезки такие, что для всех x и y из этой окрестности f(x,y) Т. Если задана точка экстремума функции 2-х переменных, то значение частных производных в этой точке равны 0, т.е. , Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими. Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума. Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка, 1) , причем maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Полный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке , где представлено в виде (1) Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df() или dy. Таким образом, выражение (1) можно записать в виде (). Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A . Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x). Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx. Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx: Т. Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом (*)Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. . Тогда Поэтому производная f’() существует и равна А. Отсюда dy = f’()dx Достаточность. Пусть существует производная f’(), т.е. = f’(). Тогда
кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f() и f’()/